PGP

il est clair que S et (t seront symétriquement placés par rapport au plan AG/?; donc ce plan est un plan de symétrie, et il en existe en tout q d'une autre espèce que AGP, et tous directement semblables à XCp.

Il existe donc ^q plans de symétrie passant par L^^, et leur nombre ne peut être plus considérable; car s'il était égal à Q > 2^, Tordre delà symétrie de l'axe placé à leur commune rencontre serait Q ou mQ (théorème XI) , ce qui ne peut être.

Corollaire l. — Le nombre des plans de symétrie passant par un axe principal A.^*^ est toujours o ou 27, et ne peut être supérieur à ce dernier nombre.

Corollaire IL — Ges plans de symétrie sont perpendiculaires deux à deux.

TnéoRÈME XXVL — Les polyèdres à aa-e principal A^*^ ^ qui ne possèdent ni plans de symétrie passant par cet acre, ni a^es binaires y ont deux modes distincts de symétrie, selon que le plan normal à l'axe principal est ou n'est pas un plan de symétrie.

Le nombre des axes de symétrie est fixé par Ténoncé du théorème; il en est de même de celui des plans de symétrie, du moment que l'on sait si le

XXXVIII MIÉMOIRE

plan normal à Taxe principal est ou n*est pas un plan de symétrie. Quant à la présence du centre de symétrie, elle est subordonnée à celle du plan de symétrie normal à Taxe principal (théorèmes XXI et XXII). Les symboles de ces deux modes de symétrie seront donc

[A^^ oL% oG, oP], [A'^ oL% G, n].

Théorème XXVII. — Les polyèdres h axe principal A^'^ ^ qui possèdent isolément y soit les iq plans de symétrie, soit les ^q axes binaires y compatibles avec cet axe principal^ ne peuvent avoir ni plan de symétrie normal à l'axe principal, ni centre de symétrie.

G'est une conséquence évidente des théorèmes XVII, XVIII, XIX et XX .' Le groupe de polyèdres auquel se rapporte Ténoncé du théorème actuel se décompose en deux classes à symétrie distincte, selon que les plans de symétrie ou les axes binaires font défaut; les axes binaires étant de deux espèces différentes (théorème XXII), nous représenterons ceux d'une première espèce par L", ceux d'une deuxième espèce par JJ^. De même pour les plans de symétrie; ceux d'une espèce seront désignés par P, ceux de l'autre espèce par P'. On aura ainsi, pour représenter les deux classes de polyèdres, les symboles

[A% q\.\ q\J\ oG, oP], [A^^ oL% oG, 7P, qV].

Théorème XXVIII. — Dans les polyèdres possédant iaxe principal A^^, !i q axes binaires et 1 q plans de symétrie passant par l'axe principal, les axes binaires peuvent être situés sur les plans de symétrie, ou bien alterner avec eux, c'est-à-dire coïncider avec les bissectrices de leurs angles dièdres; ce qui donne ^ pour ce cas particulier ^ deux modes distincts de symétrie.

Pour toute autre position relative, les axes binaires, en reproduisant par des rotations de 180 degrés les 2q plans de symétrie (théorème X, corol-