SUR LES POLYEDRES DE FORME SYMETRIQUE. XXXIX
laire), feraient doubler le nombre de ces derniers; et, de même, les axes binaires se répétant dans des positions homologues de l'autre côté des plans (théorème VIII, corollaire) j doubleraient aussi en nombre; ce qui est contraire aux corollaires des théorèmes XXIV et XXV : donc, etc.
Théorème XXIX. — Dans les polyèdres à a.ve principal A^^, lorsque les plans de symétrie contiennent les a^es binaires^ il existe un plan de symétrie normal à Vaxe principal, et un centre de symétrie.
Soit GPi.yJig. 5, Taxe principal ; soient CP l'un des axes binaires, et AGPQ le plan de symétrie qui contient cet axe. Le sommet S aura son homologue en s par rapport à l'axe binaire CP; s aura son homologue en 2 par rapport au plan ACPQ. La disposition relative de S et 2 indique que le plan PCP', normal à CA et au plan CAP, est un plan de symétrie du polyèdre, par rapport auquel S et 2 sont deux sommets homologues : donc il existera un plan de symétrie normal à A^^, lequel entraîne à son tour l'existence d'un centre de symétrie (théorème XXII).
Théorème XXX. — Dans les polyèdres à axe principal A^% lorsque les plans de symétrie alternent avec les axes binaires, ceux-ci sont tous de même espèce, mais inversement semblables chacun avec son voisin; il n'existe alors ni plan de symétrie normal à l'axe, ni centre de symétrie.
S'il existait un plan de symétrie normal à Taxe, ses intersections avec les plans de symétrie seraient des axes binaires (théorème XVII), ce qui est contraire à l'énoncé de notre théorème; donc il n'existe ni plan de symétrie normal à Taxe principal, ni centre de symétrie (théorème XXI).
Les axes binaires voisins L^ Z^, L, /,• , Jig. 8, sont inversement semblables, comme homologues par rapport au plan de symétrie intermédiaire qui passe par l'axe principal et par PoC/;„.
La similitude inverse n'exclut pas nécessairement, dans le cas général, la similitude directe; mais, dans le cas présent, il est facile de s'assurer que L^/^, L,/, ne peuvent jamais être directement semblables; car la rotation qui amènerait la coïncidence caractéristique de la similitude directe ne peut évidemment s'effectuer qu'autour de l'axe principal, autour de la bissectrice /^^CP
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