SUR LES POLYEDRES DE FORME SYMIÉTBIQUE. XLVII

axe de symétrie L^ d'ordre supérieur au deuxième, le nombre total Q des axes d'ordre q appartenant à ce polyèdre est nécessairement égal à la moitié de Vune des valeurs que peut avoir le nombre des sommets dun polyèdre régulier auxiliaire satisfaisant aux deux conditions suivantes ; i® que son centre de figure soit aussi un centre de sa symétrie; a** que chacun de ses angles solides soit formé de q angles plans.

L'axeL^ est nécessaîrement associé à un axeL^', q' étant plus grand que 2 (théorème XXXIX) ; or, en faisant tourner L^ autour de L^' d'un angle égal

à — j-y on obtiendra le lieu d'un deuxième axe d'ordre y, distinct de Taxe

primitif L^ (théorème X, corollaire).

Soient donc OA, OB, fig. 10, ces deux axes d'ordre 9 se coupant en O, qui est le centre de figure du polyèdre. De O comme centre, décrivons la sphère de rayon i , coupant les deux axes OA, OB en A et B, et menons l'arc de grand cercle AB. On pourra toujours supposer

arc AB < 90** ou = 90® :

dans le cas contraire, on considérerait le supplément de l'angle AOB. De même, on peut toujours supposer que OA et OB sont choisis de manière que leur inclinaison soit la plus petite parmi toutes celles que les axes

d'ordre q ont entre eux. Ceci posé, faisons tourner le polyèdre de

autour de l'axe OB d'ordre q. Le point A viendra en G : joignons BC par un arc de grand cercle ; on aura

ABG=:^,

et la droite OC sera aussi un axe d'ordre q (théorème X, corollaire). Traçons de même l'arc de grand cercle CD, tel que l'on ait