SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE. XLIII
C'est une conséquence évidente des théorèmes XVII, XVIII, XIX et XX.
En conservant les notations déjà adoptées, on trouve que les deux classes de polyèdres auxquels se rapporte le théorème actuel sont représentées par les symboles
[A^^"*, (2(7-f-i)L% oG, oP],
[A'^^S oL% oC, (2gr+i)P].
Théorème XXXVI. — Dans les polyèdres possédant l'axe principal A^^* , 2gr -h I axes binaires et 2^+1 plans de symétrie passant par Va^e principal, les axes binaires sont situés sur les plans de symétrie, ou bissè^ quent leurs angles dièdres.
Ce théorème se démontre exactement comme le théorème XXVIII.
Théorème XXXVII. — Dans les polyèdres à axe principal A*^*\ lorsque les plans de symétrie contiennent les axes binaires, il existe un plan de symétrie normal à fcure principal, mais pas de centre de symétrie.
La démonstration est celle du théorème XXIX. Mais la conséquence relative à l'existence du centre de symétrie n'a plus lieu, à cause du théorème XXXI.
Théorème XXX VIII. — Dans les polyèdres à axe principal A*^"*"*, lorsque les plans de symétrie alternent avec les axes binaires, ceux-ci sont tous de même espèce, et coïncident avec les normales aux plans de symétrie; il existe alors un centre de symétrie, mais pa^ de plan de symétrie normal à l'axe principal.
Les axes binaires CL^,, CL, , CL^, /ig. 9, paitagent alors en 2qr -h 1 parties égales la demi-circonférence d'un cercle décrit de C comme centre; ce nombre étant impair, l'une des bissectrices des angles L^CL,, L^CL^, etc., sera normale à GL^, ; donc il existera toujours un plan de symétrie normal à l'axe GL„ : c'est le plan dont la trace est P,C/?, sur le plan de \^ fig. 9, supposé normal à l'axe principal. La coexistence d'un plan de symétrie et d'un axe binaire qui lui est normal entraîne celle du centre de symétrie (théorème XXII).
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