SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE. LIX
sont normaux aux quinze axes binaires, et le polyèdre possède un centre de symétrie; il en est dépourvu dans le cas contraire.
Il résulte de la démonstration du théorème précédent que Taxe binaire KOK', Jig. 1 12, est normal au plan MgGMA,. Or ce plan est l'un des quinze plans de symétrie du polyèdre; donc chacun de ces plans est normal à l'un des quinze axes binaires : donc le polyèdre possède alors un centre de symétrie (théorème XXII). Mais si le polyèdre était dépourvu de plans de symétrie, il ne pourrait avoir de centre de symétrie, à cause de ses axes binaires (théorème XXI).
Théorème LVI . — Les polyèdres décemternaires ont deux modes distincts de symétrie, selon quils ont ou non un centre de symétrie.
C'est une conséquence des théorèmes LIV et LV. Les symboles de ces deux modes seront
[6L% ioL% i5L% oC, oP], [6L% ioL% i5L% C, i5p^].
Théorème LVII. — Les axes qui caractérisent la symétrie des polyèdres quaterternaires a a^es binaires rectangulaires entrent aussi dans la symétrie des polyèdres décemternaires.
Choisissons arbitrairement un sommet d'axe ternaire tel que A^,Jig. 12: le milieu G de l'un des deux côtés A, A,,, AgA^ adjacents au côté A^^A^, qui est l'opposé du sommet A^ dans le pentagone A^^A, AjjAgA^, sera l'extrémité d'un axe binaire (théorème LUI) : il en sera de même des points H, K qui sont les homologues de G par rapport à l'axe ternaire OA^. Dans le triangle sphérique HGK, les trois angles H, G, K sont droits ; donc les trois côtés HG, KG, HK sont égaux à 90 degrés.
Les trois axes OG, OH, OK sont donc trois axes binaires rectangulaires, et le triangle sphérique GHK est trirectangle. Le sommet A^ est le centre de ce triangle. De même A^ sera le centre du triangle trirectangle GHK', B^, ccjui
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SUR LES POLYÈDRES DE fORHE SVMETRIQOË.
Classification des polyèdres d'après la nature de leur symétrie, avec indication du nombre minimum de leurs sommets.
POLYËDiE
dépottmi d'à tes.
