SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE. LY

Je dis que, si Ton joint le centre O de la sphère de la fig. 1 1 avec le point Go milieu de AA^, cette droite sera un axe binaire du polyèdre.

Donnons au polyèdre une rotation de 90 degrés autour de OM^, de A vers A^^ , et une seconde rotation de 1 20 degrés autour de OA,, , de B^ vers A ; ce double mouvement, qui ne troublera pas les lieux apparents des sommets, amènera

A en A^, puis en A^,

A^, en B^, puis en A,

B, en Ajj, puis en A^,

Ajj en A, puis en B^.

Le résultat de ces deux rotations est le même que si Ton avait fait tourner le polyèdre de 180 degrés autour de G^ ; donc OG^ est un axe d'ordre pair, qui évidemment ne peut être que binaire, et il en serait de même pour les cinq autres droites homologues de CXor^. Trois des six axes binaires sont situés dans le plan du grand cercle de projection de la sphère.

On prouverait, de même que cela a été déjà fait dans la démonstration du théorème XLV, que toute autre droite serait impropre à être un axe binaire du système.

Théorème L. — Les polyèdres quaterternaires à axes quaternaires, s'ils possèdent des plans de symétrie, en ont nécessairement six passant par les ojces ternaires^ et trois passant par les a^es quaternaires; ils ont en même temps un centre de symétrie.

Je désignerai par P^ les plans passant par les axes quaternaires, par P^ ceux qui passent par les axes ternaires. On a déjà vu (démonstration du théorème XL VI) que ce sont les seuls plans de symétrie possibles.

Admettons Texistence des plans P* ; M^^G^ Mj, et M^^G^M^ , fig. 1 1 , seront deux plans de symétrie se coupant suivant un axe quaternaire; donc AM^B^, A, M^ Ajj seront aussi des plans de symétrie (théorème XXV) : le système P^ s'associe donc au système P\ On démontrerait de même que le système des plans P* s'associe toujours au système des plans P^.

Les trois plans du système P^ sont normaux chacun à l'un des trois axes

quaternaires. Les six plans du système P' sont normaux chacun à l'un des six axes binaires ; car, si dans un cube à quatre arêtes verticales on joint deux a deux les milieux de deux de ces quatre arêtes opposées entre elles, chacune de ces droites sera normale au plan qui passe par les deux autres arêtes. L'existence des plans de symétrie entraînera d'ailleurs celle du centre de symétrie (théorème XXII).

Théorème LI. — Les polyèdres quaterternaires à axes quaternaires ne sont susceptibles que de deux modes de symétrie, selon quils possèdent ou ne possèdent pas de plans de symétrie.

Cela résulte du théorème, précédent.

Dans le cas où le polyèdre ne possède aucun plan de symétrie, il ne peut avoir de centre de symétrie, par suite du théorème XXI. Le système complet des homolo^es du sommet S, fig. 1 1 , forme alors un |>olyèdre inscrit, à vingt-quatre sommets se groupant trois par trois autour de chacun des huit pôles A, A^, A^, Aj,, B^, etc. On s'est borné, dans la figure, à représenter le triangle (T^(r\(r\ qui enveloppe, dans ce cas, le pôle A^.

Lorsque le polyèdre a ses neuf plans de symétrie, les huit triangles SS^S^', SoS'qS''^^, etc., sont remplacés par huit hexagones, et le système des homologues comprend quarante-huit sommets.

Les symboles de ces deux modes de symétrie seront

[3L*, 4L% 6L% oC, oP], [3L% 4L% ()L% C, 3P% 6P^].

Cas des polyèdres décemternaires .

Théorème LII. — Si l'on construit un dodécaèdre régulier ayant pour diagonales les dix axes ternaires d'un polyèdre décemternaire donné, les six normales abaissées du centre de figure sur les faces de ce dodécaèdre sont des axes de symétrie quinaire pour le polyèdre.

En prenant l'unité pour rayon, et pour centre le point de mutuelle rencontre des dix axes ternaires, décrivez une sphère qui coupera en A^^, A,,

SUR LES POLYEDRES DB FORME SYMETRIQUE. LVIl

Aj, A3, A^,' B^^, B^, Bj, B3, B^, ji^. la, les moitiés supérieures desdixlikes ternaires. (J'ai projeté rtéréographiquement la surface de cette sphère sur le plan du grand cercle parallèle à la face A^^A^A^AjA^ du dodécaèdre régulier inscrit dont ces extrémités A^, A^^..*, B^, B^, etd., sont les sommets ; le lecteur est prié de se représenter les points et lignes de la figure sur la surface même de la sphère ; le centre O de la sphère n'est pas marqué sur le dessin.) En joignant deux à deux les intersections, il en résulte des pentagones réguliers sphériques dont les douze centres M, M,,, M^,... N^, N^, etc., sont les extrémités de rayons menés du centre de la sphère normalement aux douze faces du dodécaèdre.

Deux rotations de 120 degrés, l'une autour de OA^, de A^ yers B^, et l'autre autour de OB^, de A^ vers C^, amèneront A^ en B^ et A^ en Cj,. Ces deux rotations, qui n'altèrent pas les lieux des sommets du polyèdre, équivalent à une rotation unique de i44 degrés autour de OM^, de A^ vers B^; celle-ci répétée trois fois équivaudra à une rotation de 72 degrés; donc l'axe OMj est un axe quinaire, et il en serait de même pour OM, OM ^^, OM^ , etc. Les points M^, M, , etc. , sont les sommets d'un icosaèdre régulier inscrit à la sphère.

Théorème LUI. — Les polyèdres décemternaires possèdent toujours quinze axes binaires.

Faites tourner le polyèdre donné de 72 degrés autour de OM, fig. 12, de A^ vers A, , puis de 1 20 degrés autour de OA^ , de A, vers A^^ ; par suite de ces deux mouvements, le pôle A^^ vient en A, , et A^ vient en A^ ; le résultat final est le même que si le polyèdre avait tourné de 1 80 degrés autour du rayon OG, aboutissant au milieu de l'arc A,, A, . Or, les lieux apparents des sommets nont pas été altérés; donc G est Texlrémité d'un axe d'ordre pair, qui est évidemnrient un axe binaire. Le dodécaèdre régulier ayant trente côtés opposés deux à deux, le nombre total des axes binaires sera égal à quinze.

Aucun autre diamètre de la sphère ne saurait être un axe binaire; car, quelle que fût sa position, il forcerait les axes ternaires à se répéter, et l'on aurait plus de dix axes ternaires, ce que nous savons être impossible (théorème XLIII).

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