LES POLYÈDRES SYMÉTRIQUES DE LA GÉOMÉTRIE

Par m. a. BRAVAIS,

PROFESSEUR A l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE.

On dit que deux polyèdres sont symétriques, lorsqu'ils ont été construits semblablement l'un au-dessus, l'autre au-dessous d'un plan, avec la condition, pour leurs sommets homologues, d'être également distants du plan, et sur une même droite normale à ce plan. (Legendre, Géométrie, liv. 6.)

Je nommerai polyèdres inverses deux polyèdres dont les sommets homologues sont également distants d'un point donné et situés sur une même droite passant par ce point, mais de côtés opposés.

Je désignerai par P le premier polyèdre, supposé donné, et par p son inverse. On voit que, réciproquement, P sera l'inverse de/?.

Je nommerai pôle de symétrie des deux polyèdres le point par lequel passent toutes les droites joignant deux à deux les sommets homologues des deux polyèdres.

Si l'on considère les deux polyèdres P, p comme formant un polyèdre unique (P, /?), ce même point sera dit centre de symétrie du polyèdre (P, p).

Théorème 1. — Lorsque le pôle de symétrie du polyèdre fixe P se déplace, son inverse p se change en un nouvel inverse p\ et Von peut toujours transporter p sur p' par un mouvement de translation commun à tous les sommets.

Soient C,fig. i, PI. J, le premier pôle de symétrie et C le deuxième;

XIV NOTE SUR LES POLYEDRES SYMETRIQUES

soit S un sommet quelconque du polyèdre fixe P; soient s son homologue •ivant le déplacement de C, et / son homologue après ce déplacement.

De C^ = GS, CV = C'S on déduit .y/ = 2GC'; de plus, ss' est parallèle à ce/. Soient de même f, t' les deux positions successives d'un autre sommet du polyèdre inverse; on aurait aussi ttf = 2CGj tt! parallèle à CC. Donc, si Ton transporte le polyèdre p en le faisant mouvoir, de C vers G', parallèlement à GG\ et d'une quantité éjçale à aGG', il viendra coïncider avec le polyèdre /?'. C. O. F. D,

Corollaire. — Il suit de là qu'un polyèdre P étant donné, son inverse est complètement déterminé quant à sa forme et aussi quant à la direction de ses parties par rapport à l'espace absolu; toutefois le lieu qu'il doit occuper reste indéterminé, et dépend de la position du pôle de symétrie.

Théorème II. — Dans deux polyèdres inverses, les faces homologues sont égales chacune à chacune, et l'inclinaison de deux faces adjacentes, dans un de ces solides y est égale à V inclinaison des faces homologues dans l'autre.

Ce théorème se démontrerait, comme la proposition II du livre 6 de Legendre, en substituant des triangles opposés par le sommet aux trapèzes de même base employés dans la démonstration ; mais on peut l'obtenir plus simplement de la manière suivante :

Soit proposé de démontrer que les arêtes, angles plans et angles dièdres qui composent l'angle solide S^/ig. 2, sont les mêmes que leurs homologues dans le polyèdre inverse. Le choix du pôle de symétrie étant arbitraire, prenons S pour pôle; prolongeons les arêtes SM, SN, SP, SQ, de Sm = SM, S/i = SN, S/; = SP, Srj=^SQj etc. Les deux angles solides opposés auront évidemment leurs arêtes égales deux à deux par construction, leurs angles plans égaux deux à deux comme opposés par le sommet, et leurs angles dièdres pareillement égaux comme opposés au sommet; or ces arêtes, angles plans ou angles dièdres sont homologues dans le polyèdre et dans son inverse. La même démonstration peut s'appliquer à tous les angles solides, par conséquent à toutes les arêtes, à tous les angles plans et à tous les angles dièdres : donc les faces sont égales et également inclinées de part et crautre. C. Q. F. D.