DE LA GEOMETRIE. XV

Théorème UL — Si l on fait tourner de deux angles droits le polyèdre p inverse de P autour d'une droite passant par le pôle de symétrie G, le polyèdre p' ainsi obtenu sera le symétrique de P par rapport au plan mené par G normalement à Va^e de rotation.

Soient NN', Jig. 3, la droite donnée et QGÇy son plan normal passant par G ; soient S un sommet quelconque du polyèdre P, et s son homologue dans le polyèdre inverse. De s abaissez la perpendiculaire sr sur NN' et prolongez-la en s\ à une distance rs'=rs. Il est visible qu'après un demitour effectué autour de NN', s viendra en /. Joignons S et /. Puisque l'on a ,yG = GS, sr=rs\ S/ sera parallèle à NN', et, par conséquent^ normale au plan QQ'. Si R est le point de rencontre de S/ avec le plan QQ', la droite GR sera normale à NN', et, par conséquent, parallèle à s/ ; or on a jG = GS, donc aussi SR = R/. Donc / est le sommet homologue de S dans le polyèdre construit symétriquement par rapport à P au-dessous du plan QQ'. Il en serait de même pour tout autre sommet du polyèdre P; donc une rotation de deux angles droits autour de NN' amènera l'inverse p en coïncidence avec le symétrique // de P par rappoi t au plan QQ'. C. Q. F. D.

Scolie. — Le plan QGQ' peut être appelé plan de symétrie du polyèdre (P, y/) considéré comme un polyèdre unique.

Théorème IV. — Réciproquement, le symétrique // de P par rapport au plan quelconque QQ', en tournant de deux droits autour d'une normale au plaJiy devient l'un des inverses de P, et le pôle de symétrie est situé au point de rencontre G du plan et de l'axe de rotation.

Gar si l'on construit l'inverse p^ en prenant G pour pôle de symétrie, p et y/ peuvent être amenés à coïncidence, p sur /?', ou // sur y;, par une rotation de deux angles droits autour de NN'.

Corollaire I. — Il résulte des deux théorèmes précédents que les divers polyèdres symétriques de P ne sont autre chose, quant à leur forme, que son polyèdre inverse, et sont, quant à la direction de leurs parties, les divers polyèdres obtenus par des demi-révolutions de Tinverse /^, eft'ectnées autour d'axes arbitrairement choisis.