AA' = OA, A'A''=AA

tous ces points A', A'^ . . appartiendront à notre Assemblage en vertu de la loi générale qui caractérise la distribution régulière. Cette première opération détermine l'une des Rangées du système. Il importe toutefois de remarquer que la Rangée ainsi retrouvée n'est pas nécessairement l'une de celles qui ont servi dans l'origine à construire l'Assemblage.

En dehors de la Rangée OAA'A'^ . . , prenons au hasard un Sommet B et joignons OB : si d'autres Sommets existaient entre O et B, nous ne conser-

verrions que le plus voisin de O. Ainsi nous pouvons toujours supposer qu'entre O et B, il n'existe aucun autre point appartenant au système de l'Assemblage.

Gela posé , sur OB et OA construisons le parallélogramme OAPB ; P appartiendra au Réseau du plan OAB. Or, dans l'intérieur de ce parallélogramme, il pourra exister généralement un nombre fini de Sommets, tels que m, n,..., appartenant au Réseau du plan. Dans ce cas, on devra rejeter le point B, et le remplacer par celui de ces Sommets dont la distance à OA est un minimum. Appelons-le m ; menons de m la droite mm' parallèle et égale à OA, et achevons le parallélogramme Okrd m. Non-seulement m appartiendra au Réseau, mais on pourra affirmer que le parallélogramme OrriniK n'offre ni dans son intérieur, ni sur ses côtés, aucun point de l'Assemblage général, sauf les quatre Sommets O, A, m, m'.

Pour ne pas compliquer inutilement la fig. i , je reprends le parallélogramme OAPB, et me borne à supposer que le point B a été choisi de manière à satisfaire aux deux conditions suivantes :

I**. Qu'entre O et B il n'existe aucun point de l'Assemblage ;

2°. Qu'il n'en existe pas non plus dans l'intérieur du parallélogramme construit sur OA et OB. Nous venons de voir qu'il existe toujours au moins un Sommet satisfaisant à ces conditions.

Alors, connaissant les paramètres OA et OB des deux Rangées, non-seulement nous pourrons trouver tous les Sommets appartenant à ces Rangées, mais, par les intersections de deux systèmes de parallèles menés par A, A', A'',..., et par B, B', B'',..., nous pourrons reconstituer intégralement le Réseau du plan OAB. Remarquons que ce Réseau n'est pas nécessairement le même que celui qui, dans Torigine, a servi à la construction de l'Assemblage.

Après avoir successivement obtenu une Rangée, puis un Réseau, il ne nous sera pas plus difficile de retrouver le système entier.

Nous choisirons hors du plan OAB un Sommet D, en l'assujettissant à la condition qu'il n'existe aucun Sommet intermédiaire, ni entre O et D sur la ligne de jonction , ni sur la surface du parallélogramme AODQ , ni sur celle du parallélogramme BODR, ni dans l'intérieur du parallélipipède OAPSQDRB, construit sur les paramètres OA, OB, OD comme arêtes. On

s'assurera, comme nous l'avons fait pour le point B, dans le cas du plan, que ces conditions sont en effet réalisées.

Il est un moyen simple d'obtenir directement le point D : il consiste à faire mouvoir un plan géométrique parallèlement à lui-même, à partir d'une position initiale dans laquelle il coïncidera avec le plan OAB. Dès que ce plan, dans son mouvement de transport, atteindra un premier Sommet de l'Assemblage, on l'adoptera comme étant le point cherché, et l'on fera de la distance OD le paramètre de la troisième Rangée ODD'D'^

La solution que nous venons de donner prouve que l'on peut résoudre le problème 1 d'un très-grand nombre de manières différentes, et même il n'est pas difficile de voir que le nombre de ces solutions est infini. En effet, le plan DQSR jouit, dans le système de tous ses parallèles, de la propriété d'être aussi près que possible du plan OAB. Si nous considérons un Sommet quelconque, tel que S, appartenant au Réseau que supporte ce plan, il est évident que nous pouvons remplacer la Rangée OD par la nouvelle Rangée OS; nous obtiendrons alors tous les points de l'Assemblage donné, au moyen des intersections du système des plans parallèles à OAB, par le système des droites menées de chaque point du Réseau OAA'. . .BB'. . . parallèlement à OS.

De même, en prenant OS et OA, ou OS et OB pour Rangées primordiales, on pourrait reconstruire l'Assemblage, en prenant pour intermédiaire le Réseau du plan OAS ou celui du plan OBS, ce qui nous donnerait de nouvelles solutions du problème ; et puisque le nombre de Sommets d'un Réseau est infini, le nombre de ces solutions l'est également.

Lorsque, dans un Réseau, deux Rangées OA, OB seront telles, qu'aucun Sommet ne tombe dans l'intérieur du parallélogramme construit sur les paramètres OA, OB de ces Rangées, je dirai que ces Rangées sont conjuguées; et dans le cas où elles seraient prises pour axes coordonnés , elles prendront le nom d^axes conjugués.

Le système des Rangées parallèles à deux Rangées conjuguées OAA', OBB',..., découpe le Réseau en cases parallélogrammiques , toutes égales entre elles. J'appellerai ce parallélogramme (OAPB, fig. i), (OAmB,yîg^. 2), parallélogramme générateur ou maille parallélogrammique du Réseau.

L'espace indéfini compris entre une Rangée telle que OAA'A'^.., et sa

plus proche voisine BPP' {^fig. i), recevra le nom de bande. La bande est caractérisée par cette particularité, qu'il n'existe jamais aucun Sommet dans son intérieur, mais seulement sur les deux droites qui la limitent.

Les deux Rangées parallèles qui contiennent une bande entre elles seront dites limitrophes. A chaque Rangée correspondent deux Rangées limitrophes, situées de côtés opposés par rapport à la Rangée donnée. Le plan d'une bande, ou de deux Rangées parallèles, ou, plus généralement, le plan qui contient trois Sommets, non en ligne droite, sera appelé plan réticulaire : il porte sur sa surface un Réseau complet de Sommets.

Si, dans l'espace, les paramètres des trois Rangées OA, OB, OC {fig- i) peuvent servir d'arêtes à un parallélipipède vide de tout Sommet dans son intérieur, ainsi que sur ses faces latérales, je désignerai ces trois Rangées sous le nom de Rangées conjuguées y et sous le nom dUa^es conjugués y dans le cas oii l'on jugerait convenable de les prendre pour axes coordonnés.

Les trois plans qui réunissent deux à deux ces Rangées seront appelés des plans réticulaires conjugués ou plans conjugués.

Une Rangée sera dite conjuguée d'un plan réticulaire lorsque, en prenant sur ce plan deux Rangées conjuguées relativement au Réseau de ce plan, elles seront conjuguées avec la Rangée donnée.

L'espace indéfini compris entre un plan réticulaire et son plus proche voisin, parmi les plans réticulaires qui lui sont parallèles, sera désigné sous le nom de strate. Il ne peut exister aucun Sommet dans l'intérieur d'une strate.

Les deux plans réticulaires parallèles qui limitent la strate seront dits limitrophes. A chaque plan réticulaire correspondent deux plans limitrophes qui lui sont parallèles, et situés de côtés opposés par rapport au plan donné.

Les trois systèmes de plans réticulaires parallèles aux trois plans conjugués AOB, AOD, BOD {^g. i), découpent l'espace en cellules parallélipipédiques, toutes égales et superposables. J'appellerai le parallélipipède ainsi obtenu, et construit sur les trois paramètres conjugués OA, OB, OD, parallélipipède générateur ou noyau de l'Assemblage.

La juxtaposition de tels parallélipipèdes faces contre faces reproduit tous les Sommets de cet Assemblage.

La fixation de notre terminologie nous permet de résumer les propriétés fondamentales dont jouit un Assemblage quelconque.

<c Les Sommets d'un Assemblage sont rangés sur un système de plans » parallèles et équidistants, et forment, sur chacun de ces plans, un Réseau » dont la configuration est la même sur chaque plan.

)> Dans chacun de ces Réseaux, les Sommets forment des systèmes de )> Rangées parallèles, superposables et équidistantes.

V Sur chaque Rangée, les Sommets sont également espacés entre eux. » On peut toujours reproduire les Sommets donnés d'un Réseau par les )) intersections, deux à deux, de deux systèmes distincts de droites parallèles » et équidistantes : tout le plan se trouve alors découpé en cases paral- » lélogrammiques superposables, et qui ne laissent entre elles aucun espace » vide.

j) On peut toujours reproduire les Sommets d'un Assemblage par les in- » tersections , trois à trois , de trois systèmes distincts de plans parallèles et » également distants dans chaque système : l'espace est alors découpé en » cellules parallélipipédiques, toutes égales, superposables, et ne laissant » entre elles aucun espace vide.

» La décomposition du plan ou de l'espace en parallélogrammes ou jy parallélipipèdes égaux, dont les sommets coïncident avec les Sommets de » l'Assemblage, peut se faire d'une infinité de manières différentes. »

§ IL — Des Roseaux en général.

Notations, définitions. — Nous allons considérer le Réseau de \^fig' 2. Le Sommet O sera pris pour origine des coordonnées. Soient OAA'..., OBB'..., les deux Rangées qui ont servi à construire le Réseau, et désignons par a, 6 les deux paramètres, de sorte que l'on ait

(1) OA = a, 0B = ^^.

Soient |, w les coordonnées linéaires des points du plan rapportées aux axes obliques OA, OB. Pour un Sommet quelconque P, les rapports -> t^

seront des nombres entiers, positifs ou négatifs, que nous appellerons les coordonnées numériques du Sommet P, et qui seront représentés par les lettres m, n, si P est un Sommet déterminé, et par les lettres x^ y^ si P est un Sommet indéterminé du Réseau. On aura, suivant les cas,

L'équation générale du Réseau, considéré comme étant une courbe plane à branches séparées, et évanouissantes en chaque Sommet du Réseau, peut s'écrire analytiquement sous la forme suivante :

sin - TTH-sin^x 7r = o, a o

TT étant le nombre 3, 1 4159.... Cette équation est satisfaite pour chaque Sommet, et cesse de l'être pour tout autre point du plan.

Problème II. — Trouver l'équation d'une Rangée passant par l'origine et par le Sommet P (fig. 2).

Soient m, n les coordonnées numériques de P; l'équation de OP en coordonnées linéaires et courantes sera

ma nb

Soient x^y les coordonnées numériques d'un Sommet quelconque appartenant à la Rangée OP ; on aura

c'est l'équation en coordonnées numériques de la Rangée OP.

Si m et /i avaient un plus grand diviseur commun D, le point ^5 ^

appartiendrait à la Rangée OP, et serait, de tous les Sommets de cette Rangée, le plus rapproché du Sommet O; mais si m et /i sont premiers entre eux, OP est le paramètre de la Rangée.

On peut mettre l'équation (4) sous la forme

(5) nx — my = o.

XXXUV Cahier, 2

lO MEMOIRE

Si Ton pose alors

g et h étant des nombres entiers, premiers entre eux, positifs ou négatifs, réquation devient

(7) gX-r-hx = 0.

Théorème I. — Si m^ M (fig. 3) sont deux Sommets d'un Réseau y et si, par un troisième Sommet O, on mène une droite On égale et parallèle à m M, l'extrémité de cette droite sera un quatrième Sommet du Réseau.

Transportons l'origine des coordonnées successivement en m et en O, sans changer la direction des axes ; nommons ^, yi les coordonnées de M par rapport aux axes menés par m. Il résulte des propriétés générales des Réseaux et Assemblages (page 3), qu'il existera dans le Réseau un Sommet de mêmes coordonnées, dans le système d'axes menés par O : soit n ce Sommet. La droite On sera égale et parallèle à mM.

Corollaire. — Si l'on prolonge Mm d'une longueur m iu=mM. {fig. 3), u sera l'un des Sommets du Réseau : ainsi , le Sommet m est un centre géométrique du Réseau, et il en est de même pour tous les autres Sommets.

Problème III. — Trouver V équation générale des Rangées parallèles à la Rangée OP (fig. 2).

Par un Sommet à coordonnées numériques m', /i' menons une parallèle a OP ; son équation en coordonnées linéaires sera

^ — m'a Y} — nfb

ma nb

Si l'on fait disparaître a du premier membre, et h du second, on aura

OU, en tenant compte des équations (6),

On aurait pu déduire directement cette équation de l'équation (7), en y changeant x et y en x — m' et y — n\ Donc

gx H- hy = gm' ■+- hn' ^

OU

(8) gj:-\'hjr = Cj

en désignant le dernier membre par C; G est nécessairement un nombre entier. Cette équation, aussi générale que possible, comprend tout le système des Rangées parallèles à OP.

Notation, définition. — Nous adopterons désormais la notation {gh) pour représenter tout le système des Rangées parallèles à la droite de l'équation (7); les nombres entiers g*, A, positifs ou négatifs, seront les caractéristiques de ce système de Rangées, relativement aux axes des x et des r.

Problème IV. — Trouver le paramètre nies Rangées de notation {gh).

Soit J" l'angle AOB {/ig. 2); soit A le paramètre de la Rangée OP qui va de

Torigine au Sommet dont les coordonnées sont j^? ^- On aura, par une formule connue,

et, si Ton substitue les caractéristiques gj /i,

(9) A^ = h^ a^ -h g^b^ — 2gh ah cos^.

Problème V. — Trouver le nombre de Sommets contenus dans le parais lélogramme construit sur les paramètres OA, OP ou OB, OP (fig. 2).

Supposons que les coordonnées numériques m et n du point P soient positives. Le nombre des Rangées Bm..., B'm..., B"/?..., parallèles à l'axe des x^et qui traversent le parallélogramme O A PQ, est égal à n — i . Le segment intercepté entre OP et AQ, étant égal au paramètre OA, doit contenir un Sommet, lequel sera situé dans l'intérieur du parallélogramme OAPQ, puisqu'il ne peut tomber ni sur OP, ni sur AQ; donc, le nombre des Sommets contenus dans ce parallélogramme sera n — i . De même pour le parallélogramme OBPR, le nombre des Sommets intérieurs sera m — 1 .

Si m ou n étaient négatifs, on les rendrait positifs, par un échange convenable des demi-axes positifs avec les négatifs.

Problème VI. — Trouver i équation des Rangées limitrophes de OP.

L'équation générale des Rangées parallèles à OP est

gx -{- hy=. gni -4- hn ;

g et h sont des nombres donnés, premiers entre eux; m', /^', des nombres arbitrairement choisis.

Or on sait, par la théorie des fractions continues, que Ton pourra toujours déterminer m', n' de manière à satisfaire soit à l'équation

gm! -h hn' = H- 1 , soit à l'équation

gm' H- hn' = — i .

L'équation (8) devient alors

(lo) g^a;+Aj = dt I,

et représente les deux Rangées/?/?'..., rr' ...^ limitrophes de la Rangée OP. Il est évident que l'on ne peut avoir, dans le Réseau, d'autres Rangées plus rapprochées de l'origine O.

Autre démonstration de la solution. — Soient m^ n^ p^ q {fig- 2) les Sommets situés dans l'intérieur du parallélogramme OAPQ. Deux d'entre eux ne peuvent être à même distance de OP; car, si m et p étaient dans ce cas, mp serait parallèle à OP, et sur une Rangée parallèle à OP on aurait un paramètre moindre que OP, ce qui ne peut être.

Donc, si l'on mène les lignes/?/?', mm', qq\ nn\ elles formeront le commencement de la série des Rangées parallèles à OP; ainsi, ces lignes doivent être équidistantes.

Le nombre des Sommets contenus entre OP et AQ étant égal k n — i (problème V). celui des bandes comprises entre ces deux droites sera égal à n. Donc OA sera partagé en n segments égaux, et l'on aura

(II) o/ = 2^ = ?.

Si maintenant on prolonge la Rangée/?/?' en/?" jusqu'à la rencontre du demi-axe des jr négatives, on démontrerait de même, au moyen du parallélogramme construit sur OP et OR, que l'on a

Or l'équation àe pp' en coordonnées linéaires est évidemment

Op' ^ Op" ' •

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUAS REGULIEREMENT. l3

Si Ton remplace ^, n par leurs valeurs tirées des équations (2), 0^'et O/?" par leurs valeurs tirées des équations (11) et (i 2), il viendra

nx — my = -+- i .

De l'autre côté de OP, dans le parallélogramme OBPR, il existe une autre Rangée limitrophe, la Rangée rr\ formant avec OP une bande de même largeur que la bande comprise entre pp' et OP.

Son équation sera évidemment

nx — my = — i ;

donc les deux Rangées limitrophes sont comprises dans T équation collective

7ix — my = ifc i ,

et si Ton substitue à m, /i, les caractéristiques gy h de la Rangée OP, en remarquant que m et n sont premiers entre eux, puisque OP est un paramètre, celle-ci devient

gx -^ ky = ±1,

Problème VII. — Dans un système de Rangées dont la notation symboligue est {gh), oh demande quel nombre de bandes de ce système est compris entre le Sommet à coordonnées M, N e^ fe Sommet à coordonnées M', N'.

Concevons que la Rangée/?/?' {fig- 2), limitrophe de OP, reçoive Tunité pour numéro d'ordre; que la Rangée suivante mm^ reçoive le n"" 2, et ainsi de suite; puis, que Ton affecte des numéros d'ordre égaux à — i , — 2 , — 3,..., aux Rangées rr' j ss\...y situées du côté opposé.

La Rangée n® i aura pour équation

gx^hy = i.

Celle de la Rangée n^ 2, deux fois plus éloignée de l'origine que la précédente, sera

gx '-\- hy z= 2.

La Rangée dont le numéro d'ordre sera C aura pour équation

gx H-^j = C.

l4 MEMOIRE

D'où Ton voit que, dans Téquation (8), le dernier membre est précisément le numéro d'ordre de la Rangée que Ton considère.

Soient donc G et C les numéros d'ordre des Rangées passant par les Sommets (M, N) et (M', N'); on aura

C =gM-^hN, C'=^]Vf'-+-AN', (i 3) C — a = g {M — W) ^ h{N — N').

Ainsi le nombre des bandes interceptées entre les deux Sommets donnés aura pour valeur, au signe près ,

Corollaire. — Dans le parallélogramme construit sur les paramètres OP, OP' {Jig- 2), nommons (m, n)j [m\ n') les coordonnées des Sommets P, P'. liC nombre des bandes contenues entre deux côtés opposés de ce parallélogramme sera égal, au signe près, à mn' — nm' ,

Problème VIII. — Trouver la condition pour que deux Rangées soient ronjuguées.

Soient m, n les coordoimées numériques d'un Sonmiet P [fig- 2) ; soient m', /^' celles d'un autre Sommet/? : on suppose m, n premiers entre eux; on suppose aussi m', n' premiers entre eux, et l'on demande la condition pour que OP et Op soient des Rangées conjuguées.

Le Sommet p doit appartenir à l'une ou à l'autre des deux Rangées limitrophes de OP : sans cela, les Rangées parallèles à QP et celles parallèles à Op se couperaient en des points qui ne seraient pas tous des Sommets du Réseau, et les Rangées OP, O/? ne seraient pas conjuguées. Donc il faut qu'en posant

X = m', y =: tî

dans l'équation (10), celle-ci soit satisfaite; ce qui donne la condition

(i/î) g^' + hn^=:± I,

et si l'on y substitue les valeurs de g^ A, tirées des équations (6), en

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES REGULIEREMENT. l5

remarquant que D = i , cette condition se change en

(i 5) nm' — mn' = dz i .

Réciproquement, si cette condition est satisfaite, le Sommet (m', /^') appartiendra à Tune des Rangées limitrophes de OP, et sa ligne de jonction avec l'origine formera une Rangée conjuguée de la Rangée OP.

Si F on substitue à m, n les caractéristiques g-, A de la Rangée OP, à m', /i' les caractéristiques g*', A' de la rangée O/?, on aura

(16) hg'-gh'=±i',

ce sera la condition pour que les Rangées désignées par les symboles {gh)^ {g' h') soient conjuguées et reproduisent les Sommets du Réseau par leurs intersections mutuelles.

Problème IX. — Trousser la condition pour que trois Sommets (m, «), (m', n'), (m'"^, n'^)^ appartiennent à des Rangées limitroplies .

Transportons l'origine en (m", n'^) ; les coordonnées numériques des deux autres Sommets seront (m — m'^, n — /i'^), [m' — m'^ n — n'^).

Pour que les Rangées allant de la nouvelle origine à ces deux Sommets soient conjuguées , il faut que Ton ait

c'est-à-dire, après réduction,

nm' — n'm + r}!'m — nm'' -+- n' m" — m'n'^ = d= i .

Problème X. — Changer les axes coordonnés et exprimer les noncelles coordonnées enfonction des anciennes^ et réciproquement.

Soient (m, n), (m', n') les coordonnées numériques des deux Sommets P et P' {fig. 3) ; m et w sont premiers entre eux, et il en est de même de m' et n .

Soient pris OP, OP' pour nouveaux axes coordonnés, et soient X , \ les coordonnées numériques d'un Sommet M dans ce nouveau système.

Alors, si l'on mène Mm parallèle à OP' jusqu'à la rencontre de OPm, et M/^ parallèle à OP jusqu'à la rencontre de OP', on aura

Om=Mn = X.OP,

On =Mm=Y.OP'.

l6 Ml^MOIRE

Les coordonnées numériques du point m dans l'ancien système d'axes conjugués OA, OB seront mX, A^Y; celles du point n seront m' Y, n' Y.

Pour obtenir les coordonnées x^ y du point M dans l'ancien système, on remarquera que, dans le passage de m à M, l'abscisse et l'ordonnée numériques éprouvent les mêmes accroissements que dans le passage de O à n, puisque On est égal et parallèle à Mm. Donc

Ix = mX H- m'Y, j=nX-h n'Y.

On en déduit, par l'élimination,

^ = —f r- ^ H f 7— Yi

nm' — n'm mn! — nm «^

Si les Rangées OP, OP' sont conjuguées, ces équations se changent en

izt X == n! X — Tïi' y^ dt Y = — /la: -h my.

P'aites tourner autour de O et d'un mouvement commun les axes des X et des Y, jusqu'à ce que le demi-axe des X positives et le demi-axe des x positives coïncident : si les demi-axes des Y positives et des y positives se trouvent alors situés du même côté par rapport aux axes coincidents, le signe supérieur devra être préféré dans les premiers membres des équations (19). On adoptera le signe inférieur dans le cas contraire.

Corollaire. — Supposons que l'axe des y change seul , et soit remplacé

par la Rangée OP conjuguée avec l'axe des ^, lequel reste invariable;

soit m^ l'abscisse numérique du point P. On aura, dans ce changement

d'axes,

on en conclura

et, réciproquement,

La coordonnée numérique parallèle à Taxe déplacé reste invariable.

Problème XL — On demande ce que déifient le symbole d'une Rangée donnée {gh)j dans un nousfeau système d'ares.

Soient toujours (m, /^), (m', n') les coordonnées numériques des extrémités des nouveaux axes.

Si dans Téquation

gx-^hy = Ç,

on substitue les valeurs de a:, j, tirées des équations (i 7), on aura {gm -+- hn) X -h {gm' -h hn') Y = G ;

d'où Ton voit que, si Ton représente par (GH) le nouveau symbole, on passera de ( g*A) à (GH ) au moyen des formules

G = gm -\- hn^ H = gm' -+- hn'.

Corollaire. — Si, conservant Taxe des x, on se borne à remplacer Taxe des j, et à prendre pour nouvel axe des y positives la Rangée allant de Torigine au Sommet ( — i, — i), Rangée qui est le prolongement en sens inverse de la diagonale du parallélogramme construit sur a et 6, on aura

m = i , n = Oy

ce qui changera le symbole (g, h) en {g y — g — /^).

Si Ton nomme alors i la caractéristique de la Rangée {gh) relative à ce nouvel axe, on aura l'équation

Soit c le paramètre du nouvel axe ; le segment intercepté sur cet axe entre l'origine et la Rangée

gx-j-hy = i,

XXXIIl* Cahier. 3

devenue, dans le nouveau système,

gx + lY = I ,

aura évidemment pour valeur -•

D'où l'on voit que, « lorsque les paramètres a, b, c de trois Rangées conju- )) guées deux à deux sont disposés de manière à figurer trois forces qui se )) font équilibre sur le plan du Réseau , toute Rangée limitrophe à une Rangée » passant par l'origine déterminera, dans les paramètres de ces Rangées,

» les trois segments - ' r? -? ^y ^^^ ^ étant des nombres entiers positifs ou

)) négatifs, assujettis à la relation

)) et alors on pourra prendre indistinctement pour symbole de la Rangée )) {gh)j l'un ou l'autre des symboles (g"//), [gi), {îh). »

Notation à trois caractéristiques. — Lorsqu'on rapportera la position des Rangées du Jléseau à trois axes coordonnés satisfaisant aux conditions que nous venons d'indiquer, on pourra remplacer le symbole {gli) par la notation à trois caractéristiques {gài).

La formule (9) prend une forme remarquable dans ce système de caractéristiques.

Soient (/g^. 5)

0A = «, OC =6, OE = c, AOC = S;

on aura

c'^ = a^ -\- b^ -\- lab cos è.

En substituant dans l'équation (9) la valeur de 2 aè cos J" déduite de cette formule, et remarquant que l'on a

Ir ^ gh=— hi, g' -^ g/i = — gi,

on trouvera, pour le carré du paramètre de la Rangée {ghi)j

(:>..) A^ == - hia- - gih^ - g/œ- =- ghi (^^ + ^^ -^ C).

Théorème IL — Si une Rangée OP (fig. '^)est contenue dans l angle AOR

formé par deux Rangées conjuguées OA, OB, toutes les Rangées conjuguées de OP seront contenues dans le même espace angulaire AOB.

Prenons OA pour demi-axe des x positives, OB pour demi-axe des r positives, et soient aw, /^ les coordonnées numériques du Sommet P, positives et plus grandes que zéro.

Supposons maintenant queO/; soit une rangée conjuguée de OP, et soient

les coordonnées numériques du Sommet p\ m„ et n^ sont des nombres

entiers et positifs. La condition générale prescrite par l'équation (i5)

deviendra

nni^ H- mn^ = it i .

Or il est impossible d'y satisfaire avec des valeurs positives et supérieures à zéro des nombres m, n, m^^ a?^. Ainsi, la Rangée Op ne peut être conjuguée de OP.

Par la même raison, une Rangée telle que Oq (même figure) ne peut être conjuguée avec OP. Donc, etc.

Théorème III. — Le parallélogramme générateur du Réseau a une aire constante y de quelque manière qu'il soit construit.

Je désignerai, désormais, par a» la surface du parallélogramme générateur d'un Réseau; soit OAmB {fig. 2) un tel parallélogramme.

Les Rangées OP et Op étant conjuguées, construisons sur OP, O/?, le parallélogramme OPp^ar^ qui sera la maille de notre Réseau, déduit de ce système de Rangées ; je dis que l'on a

aire OP^p = aire OAmB = eo.

En effet, le parallélogramme OP^p a même base que OAQP ; mais la hauteur est différente, et l'on a [équation (11)]

OP ^p : OAQP ::Op':OA::i:n,

n étant l'ordonnée numérique du Sommet P.

Mais, d'autre part,

OAmB : OAQP : : OB : OB'^ : ; i : /^;

donc

aire OV^p = aire OAmB = cù.

Deuxième démonstration. — Soient (m, n) les coordonnées numériques de P, (m', /^') celles de/?. On démontre, dans les Traités de Géométrie analytique, que le triangle joignant l'origine aux deux points dont les coordonnées linéaires sont (Ç, w), (Ç', w'), a pour aire, si les axes coordonnés sont rectangulaires, la valeur absolue de l'expression

et, si les axes sont obliques et forment entre eux un angle cT,

Ainsi, en posant

angle AOB = <r, on aura, au signe près,

aire tri. 0/?P = ^sin^ {nbm'a — man'h) = \ahs\nS{nni — nm)\

donc, à cause de l'équation (i 5),

aire tri. 0/?P = | aA sin S.

Donc

aire OP^p = ah sin S = aire OA/w B = û).

Troisième démonstration. — Nous conviendrons de nommer densité du Réseau, le nombre des Sommets contenus dans T unité de surface, les dimensions de cette unité de surface étant supposées toutes les deux extrêmement grandes comparativement aux paramètres des Rangées que l'on considère.

Ceci posé, soient [fig. 3)

OP = a', Op=b\ pOP^y, sàreOP^p^a,'; on aura

a/ = a'è'sin^'.

Prenons sur la droite OP prolongée, et à partir de O, une longueur k très-grande relativement à a', et à partir de O sur Op prolongée, une longueur / très-grande relativement à è', de manière que le parallélogramme construit sur les deux longueurs ^t, / soit égal à l'unité de surface, et

qu'ainsi Ton ait

KisinS^ == 1.

Le nombre de Sommets contenus dans ce parallélogramme se calculera comme le nombre des boulets de la base d'une pile rectangulaire, par la fonnule

On aura donc, p étant ce nombre, toujours très-grand,

xc xcsinJ' I

or le nombre p, qui mesure la densité du Réseau, doit rester constant, quel que soit le système d'axes conjugués que Ton ait adopté pour sa détermination. On aura donc

(28) û>' =û> = aè sin^.

Théorème IV. — L* intervalle moyen des Sommets d'un Réseau est égal h la racine carrée de l'aire de son parallélogramme générateur.

Poisson (*) a désigné par a intervalle moyen des molécules d'un corps » le côté d'un cube égal à l'unité de volume du corps divisée par le nombre des molécules que contient cette unité de volume. On peut appliquer cette définition au cas du plan, et nommer intervalle moyen des Sommets d*un Réseau le côté d'un carré égal à l'unité de surface divisée par le nombre des Sommets qu'elle renferme.

Soit î cet intervalle moyen : en continuant à désigner par p le nombre des Sommets contenus dans l'unité de l'aire, on aura

donc, d'après le théorème précédent,

cù étant l'aire constante du parallélogramme générateur du Réseau.

(*) Journal de l'École Pofytechnique, 20* cahier, page 5.— Mémoires de l'Académie des Sciences, tome XVin, page 7.

22 Ml^MOIRE

Problème XII. — Trouver la largeur d'une bandey dans le système de Rangées dont la notation symboiuiue est {gh).

Soient A la largeur inconnue de la bande, A le paramètre des deux Rangées limitrophes qui l'embrassent : Taire du parallélogramme générateur sera égale à A A. On aura donc

(25) AA = a).

Substituant les valeurs de A, w, tirées des équations (9) et (20), on

aura

. ab sind

>Jh}a^-\-g^b^-Jt- 1 ghâh cos d

OU, plus simplement,

. sin à

Définition. — Je désigne par triangle élémentaire tout triangle ayant pour sommets trois Sommets du Réseau appartenant à deux Rangées limitrophes.

Un tel triangle est toujours la moitié de Tun des parallélogrammes générateurs du Réseau.

On peut le considérer comme formant la maille triangulaire du Réseau.

Je désigne sous le nom de triangle élémentaire principal, ou , plus brièvement, sous le nom de triangle principal^ celui qui a pour base le plus petit paramètre du Réseau, et dont les angles à la base sont aigus, Tun d'eux pouvant exceptionnellement devenir droit.

Théorème V. — Les triangles élémentaires ont une aire constante , égale a la moitié de Vaire du parallélogramme générateur. Le triangle ayant pour sommet t origine et pour hase la droite qui joint les Sommets [m^ n)j (//?/, n)^ a pour aire le produit de l'aire du triangle élémentaire par la valeur absolue du facteur mn' — nm'.

La première partie du théorème est évidente ; les aires des triangles élémentaires ont pour expression commune l co.

Soient maintenant P, P' {fig- 2) les Sommets à coordonnées numériques (m, /z), (m', n^); on aura, d'après la deuxième démonstration du théo-

rème III,

Or

aire tri. OPP'= -absmS {nnt — mn).

ah ûnS =^ €à\

donc

(27) aire tri. OPP' = \ a> {nm' — mn').

Si Ton multiplie m et n par un facteur commun D, le premier membre et le second membre deviennent tous les deux D fois plus considérables, de sorte que Téquation (27) n'est pas troublée; elle ne l'est pas non plus dans le cas où l'on multiplierait m' et n' par un facteur D'. Donc cette équation a toujours lieu, lors même que /w, n ou m\ n ne seraient pas premiers entre eux.

Problème XIII. — Trouver le triangle principal (Vun Réseau.

Choisissez arbitrairement un Sommet O ^fig- 4)? et cherchez parmi tous les autres Sommets le plus rapproché de O.

Soit A ce Sommet, OA étant le paramètre minimum du Réseau. En O et A , élevez les droites O/?, A m, perpendiculaires sur OA, et cherchez dans l'espace indéfini pOXm le Sommet le plus rapproché de la droite OA. Vous le rencontrerez nécessairement en B, sur la Rangée limitrophe de OA. Joignez OB et BA ; OAB sera le triangle principal du Réseau.

Théorème VI. — Le triangle principal est le seul triangle élémentaire dont les trois angles soient aigus.

En effet, soit OAB {fig- 5) le triangle principal. Menons la droite GOF parallèle à BA; les trois Rangées AOD, BOE, GOF sont conjuguées deux à deux. Donc tout triangle élémentaire ayant son sommet en O sera contenu dans l'un des six espaces angulaires AOB, BOG , GOD, DOE, EOF, FOA (théorème II). Soit Oa^S un tel triangle ; la Rangée Oy menée par O parallèlement à a/3, étant conjuguée de Oa et de Oj'i, devra être contenue dans le même espace angulaire AOB (théorème II). Si le triangle Oa^ avait ses trois angles aigiis, l'espace angulaire embrassé par les trois demi-droites Oa, Oj'B, Oy devrait égaler ou surpasser 90 degrés. Or cela n'est pas possible dans le cas actuel, puisque nous venons de démontrer que l'angle aOy est nécessairement moindre que l'angle aigu ou droit AOB.

Donc, pour obtenir un triangle acutangle, il faut faire coïncider Oa avec OA, 0/3 avec OB, et Ton retrouve ainsi le triangle principal.

Scolie. — Les six triangles qui composent l'hexagone ABCDEF sont tous égaux et superposables ; ils ne forment donc qu'une seule solution. On remarquera que ces triangles sont de deux sortes : les uns, savoir, OAB, DOC, EFO, tournent leur paramètre minimum vers le bas, et peuvent être amenés à coïncidence par une simple translation, sans rotation; les trois autres sont placés dans une situation inverse, et l'on ne peut les faire coïncider avec les précédents que par une rotation de i8o degrés autour d'une normale au plan.

Par exemple, DOC viendra coïncider avec DOE par une demi-rotation, effectuée dans son plan, autour du milieu O' de la base OD, commune aux deux triangles. Une demi-rotation autour de O amènerait DOC en coïncidence avec AOF.

Corollaire. — Le triangle principal n'ayant aucun de ses angles supérieurs à 90 degrés, on en conclura :

1°. Que son angle minimum est compris entre zéro et 60 degrés inclusivement ;

2®. Que son angle moyen est compris entre 45 et 90 degrés inclusivement ;

3^. Que son angle maximum est compris entre 60 et 90 degrés inclusivement.

Théorème VIL — Le triangle principal appartient à la bande de lar-

geur mojcimum.

En effet, de l'équation (25) on conclut

Or a> est constant pour tout le Réseau; donc A atteint son maximum, lorsque le paramètre atteint sa valeur minimum. Donc, si l'on prend le paramètre minimum pour base du triangle principal, et si on lui mène une parallèle par le sommet géométrique de ce triangle, la bande enfermée entre ces parallèles, et contenant le triangle principal, sera la bande de largeur maximum de tout le Réseau.

Scolie. — Cette valeur maximum de A ne peut être inférieure à cl\/j^

si l'on désigne par a le paramètre minimum du Réseau. En effet, dans la fig. 4, décrivez de O, comme centre, le quart de cercle ANP; de A, comme centre, le quart de cercle ONM. IjC sommet B du triangle principal sera compris dans l'espace indéfini /;PNM m. La hauteur A de ce triangle sera la plus petite possible, lorsque B coïncidera avec N. Donc, nommant A^, la largeur maximum des bandes du Réseau, on aura

A,> ou =«\/^-

Théorème VIII. — Le triangle principal contient les trois plus petits paramètres de tout le Réseau.

Soient OA {fig^ 5) le paramètre minimum, et OB le plus petit des deux autres côtés du triangle principal; soient OAB, OBC les deux triangles principaux construits sur OB. La ligne 0«, normale à OA, passera entre les Sommets B et G. Pour un Sommet quelconque a appartenant à la Rangée BC prolongée, on aura évidemment

ia>/B, /a>iG; donc

Oa>OB, Oa>OC, c'est-à-dire AB.

Si le point a appartenait à la Rangée limitrophe de BC, à celle qui coupe la normale OiV à la distance 0«'= 2O/, on aurait

Oa > O/'; or on a d'ailleurs

or = 20/= 2AB X sinOAB.

Mais, de plus, en vertu du corollaire du théorème VI, OAB étant l'angle

moyen,

OAB> ou =45^, 2sinOAB> ou =\/2; donc

0a>ABv/2.

Ainsi, dans tous les cas, le paramètre Oa surpassera le paramètre AB, lequel est, par hypothèse, le plus grand coté du triangle principal. ScoUe. — Il est bien entendu que l'on peut avoir exceptionnellement

OB = OA, et même OC = OB = OA.

XXXIir Cahier, i

On peut aussi avoir exceptionnellement Oa = OC, mais seulement dans le cas oii le triangle BOA serait rectangle en O.

(Corollaire, — Le triangle principal est le triangle de périmètre minimum parmi tous les triangles élémentaires du Réseau.

Théorème IX. — Un point quelconque étant pris dans l'intérieur dun triangle principaly Van des trois sommets de ce triangle sera toujours plus rapproché de ce point que tout autre Sommet du Réseau,

On démontrerait ce théorème en décrivant sur OA, OB, BA [Jig- 5), comme diamètres, des demi-circonférences extérieures au triangle BOA, et remarquant que ces trois demi-cercles ne peuvent contenir aucun Sommet.

g IIJ. — Des Réseaux symétriques.

Définitions, — Toute droite qui partage un Réseau en deux moitiés symétriques, c'est-à-dire susceptibles d'être amenées à coïncidence, Sommet sur Sommet, par une demi-rotation de Tune de ces moitiés autour de la droite, sera dite a^e de symétrie du Réseau. Les Sommets, ainsi amenés à coin- (ûdence, seront dits homologues par rapport à Taxe de symétrie. Nous verrons bientôt que ces axes peuvent toujours être considérés comme étant des Rangées. Le Réseau qui possède un ou plusieurs axes de symétrie sera dit Réseau symétrique; il sera dit asymétrique, dans le cas contraire.

Lorsque le Réseau possède plusieurs axes de symétrie, ces axes peuvent être de même espèce ou d espèces différentes.

Deux axes de symétrie sont dits de même espèce, lorsque la configuration du Réseau est la même autour de chacun d'eux, ce qui exige, comme première condition, qu'ils aient le même paramètre. Alors, si oh lie par la pensée les Sommets du Réseau à chacun de ces axes, par exemple, au moyen de normales abaissées sur ces axes, de manière à figurer deux Réseaux égaux, superposés Sommet sur Sommet, et si l'un de ces systèmes est supposé mobile, il faudra, pour que les axes soient de même espèce, que l'on puisse, par des mouvements convenables du Réseau mobile, faire coïncider en même temps l'axe mobile avec l'axe fixe, les Sommets mobiles avec les Sommets fixes.

Deux axes de symétrie sont d'espèces différentes lorsque la configuration du Réseau n'est pas la même autour de chacun d'eux.

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES REGULIEREMENT. tlj

Théorème X. — y4 tout axe de symétrie ne contenant aucun Sommet du Réseau, correspondent d'autres ajces parallèles et passant par des Sommets; le triangle principal est alors rectangle.

Soit GH un tel axe de symétrie {fig- 6) ; soient A un Sommet, et A' le Sommet homologue de A, sur une ligne normale à GH. Joignons A, A', et choisissons sur la Rangée AA' les deux Sommets les plus rapprochés de Taxe GH, l'un d'un côté et l'autre de l'autre. Supposons que les Sommets A, A' satisfassent à cette condition, et menons AB, A'B' parallèles à GH.

Soit maintenant BB' la Rangée limitrophe de la Rangée AA' : son paramètre sera nécessairement égal à AA'; ses points d'intersection avec les droites AB, A'B' seront des Sommets du Réseau ; car, si un Sommet tombait entre B et B', il serait à une distance de son homologue moindre que le paramètre AA', ce qui ne saurait être. Donc AB, A'B' seront des Rangées de paramètre AB = A'B', et conjuguées avec AA', BB'. Ces Rangées sont évidemment des axes de symétrie. Le triangle principal est alors A'AB, ou A'B'B; il est rectangle.

Corollaire. — On peut remplacer l'axe GH par les axes de symétrie AB, A'B' qui lui sont parallèles, ou par une Rangée quelconque parallèle à AB qui, elle aussi, sera évidemment un axe de symétrie.

On dit alors que le RésesiU possède un axe de symétrie parallèle à AB. On doit entendre par là que toutes les Rangées parallèles à AB sont de tels axes.

Après avoir ti'ouvé un système d'axes de symétrie parallèles, et passant par des Sommets, on pourra se demander s'il n'existerait pas des axes parallèles aux précédents, et ne contenant aucun Sommet. Je désigne ces derniers sous le nom d'axes intermédiaires : mais, comme, lorsque de tels axes se rencontrent- ils n'introduisent aucune notion nouvelle dans l'étude des Réseaux, je m'abstiendrai de les considérer, et je supposerai désormais que tout axe de symétrie passe par un Sommet.

Théorème XI. — Tout ojoe de symétrie passant par un Sommet est une des Rangées du Réseau.

Soit GOH {fig. 7) l'axe passant par le Sommet O, et soit A un autre Sommet en dehors de l'axe; le point A a son homologue en A', en vertu de la

2K MIÉMOIRE

symétrie dont jouit l'axe GOH : mais, d'autre part, en vertu de la symétrie {générale de tout Réseau, A' a un Sommet correspondant en A'' de l'autre côté (le O par rapport à A'. Donc la droite AA'^est une Rangée ; mais elle est parallèle à GOH : donc GOH est aussi une Rangée du Réseau.

Théorème XH. — A tout axe de symétrie correspond un second axe de symétrie qui lui est perpendiculaire ^ et le coupe sur un Sommet.

Si Ton mène {fig- 7) la droite lOK, passant par le Sommet O et normale à GOH, elle sera perpendiculaire sur le milieu de AA'^: donc, à tout Sommet A correspond un autre Sommet M\ qui est son homologue par rapport à lOK ; donc lOK est aussi un axe de symétrie du Réseau.

Théorème XUI. — A toiU axe de symétrie correspondent une infinité d autres axes de symétrie qui lui sont parallèles et passent par tous les Sommets du Réseau,

(y est un résultat des lois générales de la distribution régulière des Sommets dans un Réseau quelconque.

lia symétrie du Réseau, suivant une direction déterminée, n'est jamais caractérisée par un axe unique, mais bien par un système d'axes parallèles, formant un système complet de Rangées parallèles entre elles, embrassant tous les Sommets du Réseau.

Théorème XIV. — Tout Réseau pourvu d'un axe de symétrie a pour triangle principal un triangle rectangle ou un triangle isocèle.

En effet, soit OMm {fig. 8) l'axe de symétrie passant par deux Sommets voisins O , M ; soit O'M' la droite sur laquelle est située la Rangée limitrophe de OM. Le segment O'M', intercepté entre les perpendiculaires OO', \IM', doit contenir un des Sommets du Réseau.

Soit donc N ce Sommet ayant son homologue en N'. Si l'on fait

la droite MN" sera égale et parallèle à ON': ainsi N'' sera l'un des Sonmiets (lu Réseau (théorème 1). Or il ne peut exister deux Sommets distincts N, N'^ entre O' et M'. Il faut donc que l'une des deux choses suivantes ait lieu : r ou que Ton ait NN''= O'M', auquel cas ^î tombe en O' et N'' en M';

SUR LES SYSTEMES DE POINTS DISTRIBUES REGULIEREMENT. '2Lf

:à^ ou que l'on ait NN'' = o. Dans le premier cas, le triangle principal sera O'OM ou OMM', c'est-à-dire rectangle. Dans le second cas, N coïncide avec le milieu P de O'M'; le triangle OPM est isocèle, et, de plus, si POM > 45 degrés, il est le triangle principal du Réseau : mais si l'on a P()M < 45 degrés, P' étant le Sommet homologue du Sommet P, le triangle POP' sera le triangle principal (théorème VI) ; il sera pareillement isocèle.

(Mrollaire 1. — Tout Réseau dont le triangle principal est scalène est asymétrique.

CoroUaù'e 11. — Tout Réseau symétrique a pour parallélogrannne générateur un rectangle ou un rhombe : le rectangle OO'M'M [Jig. 8), si le triangle principal est OO'M; le rhombe OPMP', si le triangle principal est OPP' on OPM.

Théorème XV . — Réciproquement , si le trianjiçle principal est rectangle, le Réseau possède deux axes de symétrie parallèles aux petits cotés du triangle; si le triangle principal est isocèle, le Réseau possède deux a,res de symétrie, l'un parallèle et l'autre perpendiculaire à la hase.

liC Réseau à maille rectangulaire a pour axes les côtés dti rectangle; il existe, dans ce cas, des axes de symétrie intermédiaires, parallèles aux précédents, et passant par les centres des rectangles générateurs. Ijc Réseau à maille rhombe a pour axes les diagonales du rhombe.

Définition. — Centrer un Réseau, centrer les mailles d'un Réseau, c'est ajouter de nouveaux Sommets au centre de chacun des parallélogranmies générateurs du Réseau.

Théorème XVI. — Si l'on centre tous les rectangles d'un Réseau à maille rectangulaire, on forme un Réseau à maille rhombe; si l'on centre tous les rhombes d'un Réseau à mailJe rhombe, le Réseau devient rectangulaire.

Cette proposition est évidente; il importe de remarquer que ces changements n'altèrent pas les axes de symétrie du système.

Théorème XVII. — Les mêmes systèmes de Rangées se reïwontrent dan^ le Réseau h rhombes centrés et dans le Réseau à rhombes non centrés:

3o MEMOIRE

// en est de même pour les Réseaux a mailles rectangulaires centrées nu non centrées.

Soit ahc..,^ ABC... {fig- 9) un Réseau rhombiqueà maille AaBa', et considérons le système des Rangées parallèles à l'une des diagonales du rhombe, par exemple à AB. Si Ton prend cette diagonale pour axe des ;r, ime quelconque des Rangées parallèles à cet axe sera caractérisée par réquation numérique

oii n est un nombre entier quelconque.

Le Réseau rhombique se change dans le Réseau rectangulaire à maille ABA'B', si Ton supprime toutes les Rangées représentées par l'équation

y = ^ij -f- I ,

/ étant un nombre entier quelconque. Cette suppression fait disparaître tous les Sommets à ordonnée numérique impaire.

La Rangée qui réunit deux Sommets à ordonnées paires 2y et ay' existe évidemment, et dans le Réseau primitif et dans le Réseau dédoublé. Si Ton joint un Sommet à ordonnée paire ij avec un Sommet à ordonnée ay' -h 1 , la Rangée ainsi obtenue, prolongée au delà de ce dernier Sommet d'une quantité égale à l'intervalle des deux Sommets donnés, aboutira à un troisième Sommet ayant une ordonnée égale à 4y '-H 2 — 2y , paire par conséquent; cette Rangée appartiendra donc au Réseau dédoublé, mais son paramètre y sera deux fois plus grand que dans le Réseau primitif.

Enfin, si l'on réunit deux Sommets d'ordonnées impaires 2y H- i et j^J^ '\' I, la Rangée ainsi obtenue n'existe pas, il est vrai, dans le Réseau dédoublé; mais, si on lui mène une parallèle par le Sommet servant d'origine, l'extrémité du paramètre aboutira à un Sommet ayant pour ordonnée ± (2y' — 2y), et qui fait partie des Rangées du Réseau dédoublé.

Donc le dédoublement du Réseau n'a fait disparaître aucun système de Rangées.

On prouverait de même que si, dans le Réseau à maille rectangulaire a.\b^A' {fig* 10), on supprime, dans le système des Rangées parallèles aux diagonales ab\ AB, toutes les Rangées d'ordre impair, telles que abcj

SUR LES SYSTEMES DE POINTS DISTRIBUES REGULIEREMENT. 3l

a'b'c'd\..., le Réseau à maille rhombe ABA'B', provenant de cette soustraction, offrira les mêmes systèmes de Rangées que le Réseau primitif, sauf des altérations nécessaires dans les paramètres de ces Rangées, ou dans les intervalles qui les séparent.

Thi^orème XVni. — Si le triangle principal d'un Réseau est à la fois rectangle et isocèle, le Réseau aura quatre systèmes d'axes : deux systèmes, rectangulaires entre éâx et de même espèce, auront pour paramètres les cotés du carré générateur; deux autres systèmes d'une autre espèce que les précédents seront pareillement rectangulaires entre eux; Us auront pour paramètres les diagonales du carré générateur et couperont les ares précédents sous des angles de l^b degrés.

C'est une conséquence évidente du théorème XV.

Théorème XIX. — Si le triangle principal est équilatéral, le Réseau possédera six systèmes d'axes : trois systèmes d'une première espèce seront dirigés suivant les cotés du triangle principal; trois antres systèmes pareils entre eux, mais d'une autre espèce que les précédents, seront perpendiculaires aux cotés du triangle principal.

C'est encore une conséquence du théorème XV. Lafig. ii représente la disposition des axes; les lignes pleines correspondent aux axes de la première espèce; les lignes pointillées aux axes de la deuxième espèce.

Classification des Réseaux symétriques.

Au point de vue de leur symétrie, on peut distinguer quatre classes distinctes de Réseaux :

Première classe. — Réseaux à six axes de symétrie, trois d'une espèœ et trois d'une autre espèce. Cette classe n'offre qu'un seul mode ; le Réseau à maille triéquiangle ayant pour parallélogramme générateur un rhombe à angles de 60 et 1 20 degrés {voyez théorème XIX).

Deuxième classe. — Réseaux à quatre axes de symétrie, deux d'une espèce et deux d'une autre espèce. Cette classe n'offre qu'un seul mode; le Réseau à maille carrée {voyez théorème XVIII).

Troisième classe. — Réseaux à deux axes de symétrie. Cette classe office deux modes distincts : le Réseau à maille rhombe, ou rectangle centrée; le

Réseau à inaille rectangulaire, ou rhombe centrée (théorèmes XV et XVI), liCs deux axes sont rectangulaires entre eux et d'espèces différentes.

Quatrième classe. — Réseaux asymétriques; la maille est un paralléloiçramme à côtés inégaux, et dont les angles diffèrent de 90 degrés.

Des Rangées de même espèce dans les Réseaux symétriques.

Définition. — Nous supposerons, comme à la page â6, que, dans le Réseau donné, existent deux Réseaux égaux, superposés Sommets sur Sommets, de manière à figurer un Réseau unique. L'un des deux Réseaux sera considéré comme invariable de position ; mais l'autre pourra se mouvoir tout d'une pièce, soit par translation, soit par rotation.

Ceci posé, si, étant donnée une Rangée du Réseau mobile coïncidant avec la Rangée fixe ahc... avant tout déplacement, on peut, par des mouvements convenables du Réseau mobile, faire coïncider cette Rangée avec la Rangée tixe ABC..., la coïncidence des deux Réseaux, Sommets à Sommets, ayant lieu simultanément, on dira que les Rangées ahc... et ABC... sont de même espèce.

TniéoRÈME XX. — Deux Rangées parallèles peuvent toujours être considérées comme étant de même espèce.

Car, en donnant au Réseau mobile un mouvement convenable de translation, sans rotation, on pourra toujours amener la coïncidence désirée.

Théorème XXI. — Deux Rangées sont de même espèce, si elles ont le même paramètre, et si sur ces paramètres ^ comme ba^esj on peut construire deux triangles élémentaires égaux entre eux.

On peut toujours, par simple translation, faire coïncider un Sommet de la Rangée mobile avec un Sommet de la Rangée fixe. Soit donc O {fig. 1 2) le Sommet commun; soit OA la Rangée mobile sur le paramètre OA de laquelle on a contruit le triangle élémentaire OAa; soit OA' la Rangée fixe sur le paramètre OA' de laquelle on a construit le tiiangle élémentaire OA'a'. On a, par hypothèse, 0A= OA'. Il est permis de supposer que l'on a Oa = Oa'; car, si l'on avaitOa'=aA, l'un des triangles élémentaires pourrait être construit du côté opposé du paramètre qui lui sert de base, et la relation Ort = Oa' serait alors satisfaite.

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRlBUlÉS REGULIEREMENT. 33

Si maintenant nous faisons tourner le Réseau mobile, d'une quantité angulaire égale à AOA', autour d'un axe de rotation passant par O et normal au plan du Réseau, les deux triangles élémentaires coïncideront, et la superposition des deux Réseaux sera complète.

Dans le cas où les deux triangles élémentaires seraient inversement disposés, comme le sont OaA et Oa!" M'\ on ne pourrait obtenir la coïncidence par rotation autour de la normale au plan; mais, alors, on y parviendra en faisant tourner le Réseau mobile de 180 degrés autour de la droite 00', bissectrice de l'angle AOM" . Donc, dans ce cas encore, les deux Rangées seront de même espèce.

Scolie. — La bissectrice de l'angle formé par deux Rangées à triangles élémentaires égaux , mais inversement disposés, est un axe de symétrie du Réseau.

Définition. — Les Rangées OA,'OA' [fig. 1 2), dont les triangles élémentaires peuvent être amenés à coïncidence par rotation autour de la normale passant par 0, seront dites directement semblables. Les Rangées OA, OA''', dont les triangles élémentaires sont inversement disposés, seront dites inversement semblables.

Lorsque les deux triangles élémentaires, construits sur les paramètres comme bases, sont isocèles, les Rangées sont en même temps directement semblables et inversement semblables.

Théorème XXIL — Deux Rangées homologues par rapport à l'un des axes de symétrie du Réseau sont de même espèce et inversement semblables. La similitude inverse est alors un résultat de la symétrie.

Théorème XXIIL — S'il existe deux ou plusieurs Rangées de même especCy et directement semblables y partant d'un même Sommet^ le système complet de ces Rangées divise en parties égales Vespaxie environnant ce Sommet.

Parmi les Rangées directement semblables à OA {fig. 12), il est permis de considérer celle qui fait avec OA ||^angle minimum. Soit OA' cette Rangée. Faisons tourner le Réseau mobile autour de la normale passant par O, jusqu'à ce que la Rangée mobile OA vienne coïncider avec la Rangée fixe OA'. Dans ce mouvement, la Rangée mobile OA' arrivera en OA'^, qui

XXXIIV Cahier. ^ 5

devra être l'une des Rangées du Réseau fixe, et l'on trouvera ainsi