OD = DD' = D'D

de sorte que ODD'D'^.. est aussi une Rangée, mais qui différera de OjVA'A'^ . . , OBB' B'^ . . par la direction et par la grandeur de son paramètre.

L'Assemblage ainsi obtenu offre une distribution régulière caractérisée par les propriétés suivantes, assez évidentes pour n'exiger aucune démonstration.

Aucun des points intégrants ne se distingue des autres par une particularité quelconque de position relative.

La configuration formée par l'Assemblage, supposé illimité, autour d'un de ses points arbitrairement choisi , est la même , quel que soit le point adopté. Si , par exemple , ce point est pris pour origine de coordonnées quelconques rectangulaires ou obliques , on retrouvera , autour de chaque point pris successivement pom^ origine, des points semblablement situés et de mêmes coordonnées, pourvu que, dans le changement d'origine, les nouveaux axes aient conservé leur direction première.

Avant de passer outre, j'affecterai une désignation particulière aux points qui composent un Réseau ou un Assemblage. Il convient, en effet, de les distinguer d'avec les points purement mathématiques qui existent en un lieu quelconque de l'espace.

En conséquence, je les appellerai des Sommets. On peut, sans inconvénient et pour fixer les idées, attribuer à ces Sommets des dimensions trèspetites, en faire de véritables molécules, et attacher spécialement le nom de Sommet aux centres de figure de ces molécules dont la forme polyédrale restera d'ailleurs indéterminée.

Je supposerai ces Sommets liés entre eux par des forces telles, que l'Assemblage entier soit invariable de forme, toutes les distances mutuelles restant les mêmes, mais soit cependant susceptible de se mouvoir dans l'espace comme un corps solide , soit parallèlement à lui-même , soit en tournant

autour d'un axe donné , toutes les fois qu'il sera nécessaire de lui imprimer de tels mouvements de translation ou de rotation.

Si Ton transporte tout le système parallèlement à lui-même, un Sommet tel que A {fig- i) venant occuper le lieu qu'occupait précédemment un autre Sommet tel que B, chacun des autres Sommets viendra pareillement occuper un lieu de l'espace, abandonné par l'un des Sommets du système à l'origine du mouvement. Je dis alors que le lieu des Sommets na pas été troublé par le mouvement général imprimé à l'Assemblage, ou plus simplement, qu'il y a eu restitution des lieux des Sommets.

Tant que les droites OAA', BPP',... et les plans qui les unissent restent tracés dans l'espace, l'Assemblage de ^àfig- i conserve l'empreinte des opérations qui ont servi à le construire. Mais nous pouvons supprimer par la pensée toutes ces droites et tous ces plans , et chercher à résoudre un problème inverse de celui qui vient de nous occuper , problème dont l'énoncé sera le suivant :

Problème I. — Un Assemblage étant donné, retrouver les Rangées, plans et Réseaux qui peuvent le produire.

Prenons au hasard deux points ou Sommets, tels que O et A {fig- i) , appartenant à l'Assemblage donné, et joignons-les par la droite OA; s'il existait sur la droite de jonction, entre O et A, d'autres Sommets a, è, c,. . . , appartenant au système^ nous considérerions spécialement le Sommet a le plus voisin de O, et Oa serait alors un sous-multiple exact de OA. Ainsi l'on peut toujours supposer qu'entre les Sommets choisis O et A, il n'existe aucun autre Sommet intermédiaire.

Prolongeons OA dans les deux sens , et prenons