AOA

Théoriîme XXIV. — Le nombre total des Rangées de même espèce et directement semblables dans un Reseau ne peut être supérieur à trois.

Soit q le nombre total des Rangées directement semblables; soit C) {/ig.i3) leur Sommet commun, et soit OM le paramètre minimum du

180" Réseau. Faites tourner OM autour de O d'un angle égal à : on sait

(théorème précédent) que, dans ce mouvement, le Réseau mobile revient coïncider avec le Réseau fixe.

Soit donc MOM'= ^-^; M' sera l'un des Sommets du Réseau. Décrivez

Vin cercle de centre O et de rayon OM, et faites arc M'' M' == arc M' M, arcM'^'M'^=arcM''M', etc. : les points M, M', M'' appartiendront tous au Réseau, et les cordes MM', M' M'' seront les côtés d'un polygone régulier inscrit, à nombre de côtés égal h 2q.

Ce polygone ne peut être qu'un carré ou un hexagone. En effet, achevons le losange MM' M" m : on aura évidemment angle M' M /w = angle M'OM; ainsi les triangles M'OxM, M' Mm seront isocèles et semblables, et l'on aura

Donc, si M'M < OM, on aura, à/ortiori, M'm < OM ; m étant un Sommet du Réseau, OM ne serait plus le paramètre minimum. Or, pour tout polygone régulier inscrit d'un noiubre de côtés supérieur à six, le côté est infé-

rieur au rayon. Donc le polygone MM'M'^... s^ra un carré ou un hexagone, et le nombre q sera égal à 2 ou à 3. Si ^ = 2, le Réseau sera à maille carrée; si éjr = 3, le Réseau sera à maille triéquiangle.

Corollaire. — L'angle formé par deux Rangées directement semblables ne peut être égal qu'à 60 ou à 90 degrés.

Théorème XXV. — Il ne peut y avoir de Rangées de même espèce, et directement semblables, que dans les Réseaux à maille carrée ou triéquiangle.

Ce théorème est une conséquence du corollaire précédent. Les deux suivants, qui n'exigent aucune démonstration, en sont les réciproques.

Théorème XXVL — Dans tout Réseau à maille carrée, tournant dans son plan autour d'un de ses Sommets, le lieu des Sommets redevient le même a chaque quart de tour, et à tout système de Rangées correspond un autre système de Rangées de même espèce et directement semblables, qui lui est verpendiculaire.

Théorème XXVIL — Dans tout Réseau à maille triéquiangle, tournant autour d'un de ses Sommets, le lieu des Sommets redevient le même à chaque sixième de tour, et à tout système de Rangées correspondent deux autres systèmes de Rangées de même espèce et directement semblables, inclinés de (io degrés sur le système donné.

Définitions. — Lorsqu'un Réseau, tournant autour d'une droite normale à son plan, recouvre les positions de ses Sommets à chaque quart de tour, cette droite sera dite un a.xe de symétrie quaternaire du Réseau. Lorsque le lieu des Sommets redevient le même à chaque sixième de tour, l'axe de rotation est un a^e de symétrie sénaire. Ces axes, lorsqu'ils existent, constituent un système de droites parallèles passant par chaque Sommet.

La symétrie quaternaire caractérise le Réseau à maille carrée; la symétrie sénaire, le Réseau à maille triéquiangle.

Les fig. 14, 1 5 et 16 représentent le mode de disposition des Rangées

de même espèce (soit directement, soit inversement semblables), autour d'un

même Sommet O, pour ces diverses classes de Réseaux. Les lignes pleines

sont les axes de symétrie ; les traits de longueur inégale indiquent les axes

de différentes espèces ; les lignes pointillées sont les Rangées dont l'espèce

est la iiiênie que celle d'une Rangée de paramètre donné. La fig, i4 se rapporte aux Réseaux de la première classe, à maille triéquiangle ; la^ïg*. i5, aux Réseaux de la deuxième classe, ou à maille carrée; la/Zg". i6, aux Réseaux de la troisième classe, à maille rhombe ou rectangulaire.

Théorème XXVIII. — // ne peut y awir de Rangées de même espèce et de directions différentes dans un Réseau asymétrique.

Cela est évident pour les Rangées inversement semblables [voyez le corollaire du théorème XXI). Cela n'est pas moins évident pour des Rangées directement semblables, en vertu du théorème XXV.

Théorème XXIX. — Deux axes de symétrie de même espèce sont des Rangées de même espèce pour le Réseau.

Ces axes sont des Rangées du Réseau (théorèmes X et XI), et puisque la coïncidence de deux tels axes entraîne celle du Réseau fixe avec le Réseau mobile, ces Rangées sont de même espèce (définition de la page Sa).

Définition. — On peut définir angles de même espèce dans un Réseau deux angles égaux compris entre des Rangées de même espèce deux à deux.

^ IV. — Des x\ssemblages en général.

Nous considérerons l'Assemblage de \2ifig. i , dont le Sommet O est pris pour origine des coordonnées, et qui est construit au moyen des trois Rangées OAA'A"^..., OBB'B''..., ODD'iy'.... Nous désignerons par a, h, d les paramètres de ces Rangées, savoir,

(28) OA = a, OB = i, OD=:rf;

^, w, ^seront les coordonnées linéaires des points de Tespace rapportés aux axes obliques OA, 08, OD; m, /i, p représenteront des coordonnées numériques de Sommets définis; a?, j, z seront des coordonnées numériques mobiles, appartenant à des Sommets indéterminés, de sorte que Ton aura, suivant les cas,

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES REGULIEREMENT. Sj

On remarquera que l'Assemblage entier peut être considéré comme une surface à nappes distinctes et fermées, venant s'évanouir chacune en un des Sommets de l'Assemblage.

L'équation de cette surfiice peut s'écrire sous la forme

sin* - TT -h sin* r ^r -+- sin^ ^ «^î- = o.

Problème XIV. — Troui^er l'équation d*une Rangée passant par l'origine et par un Sommet donné T (fig. 20).

Soient m, n^ p les coordonnées numériques de T; l'équation de OT en coordonnées linéaires et courantes sera

ma nb pd'*

en coordonnées numériques, on aura

Si m, n, /? avaient un plus grand commun diviseur D, le Sommet ( 5' 5 ' n ) ^PP^^'*i^ï^^''^ît à 1^ Rangée OT, et serait, parmi tous les Sommets de la Rangée, le plus rapproché du Sommet O. Si m, /i, p n'ont d'autre diviseur commun que l'unité, OT est le paramètre de la Rangée.

Je supposerai, dorénavant, que les Sommets que nous aurons l'occasion de joindre par une droite avec l'origine satisfont à cette condition, que leurs trois coordonnées numériques n'aient d'autre diviseur commun que l'unité.

Notation. — La Rangée allant de l'origine au Sommet (m, n^p), m, n et p n'ayant aucun diviseur commun, sera désignée, dorénavant, par le symbole mnp.

Théorème XXX. — Soient T, T' deuœ Sommets d*un Assemblage (fig. 20) ; ji, par un troisième Sommet O, on mène la droite Ot égale et parallèle à TT', l'extrémité de cette droite sera un quatrième Sommet de l^ Assemblage.

Ce théorème se démontrerait comme le théorème L

38 Ml^MOlRE

Problème XV. — Troui^er V équation générale des Rangées parallèles h la Rangée OT (fig. 20), dont le symbole est mnp.

Soient m\ n\ p' les coordonnées d'un second Sommet T' pris arbitrairement : la Rangée menée par ce Sommet, parallèlement à OT, aura pour équation, en coordonnées numériques.

Problème XVI. — Trouver le paramètre de la Rangée OT et de ses parallèles (fig. 20).

Soient a, /3, (5^ les angles que forment entre eux les trois demi -axes des coordonnées positives sur le plan des jz, sur le plan des xz et sur le plan des xy.

Convenons de désigner par Vmnp le paramètre de la Rangée O T allant de l'origine au Sommet (m, /i, p) : on aura, par une formule connue, pour la valeur du carré de ce paramètre,

l V^'mnp = m^a^ + n^b' -^p^d'

( -+- 2mnab coscT-f- impadcos^j -f- 2,npbdcos a.

On pourrait, dans cette formule, remplacer a par Pioo, b par Poio, d par Pooi.

Problème XVII. — Trouver l'équation du plan réticulaire passant par l origine O et par les deux Sommets T c^ T' (fig. 20). liCs formules de la Géométrie analytique donnent

^{nbpd' — pdnb)-}- f\[pdm' a — map'd) -\-^{man'b — nbm'a) = o;

et, divisant par abd^ ^ *

(34) x{np' — pn') -i- y{pm' — ^^p^) -K z(mn — nn/) = o.

Soit maintenant D le plus grand commun diviseur des binômes np^ — pn'y pni' — mp[^ mn — mn : posons

... np' — pn' ^ pm' — pm' , mn' — nm ' ,

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES RÉGULIÈREMENT. 3i)

il viendra

(36) gf^-H AjH-Âz = o.

Notation, définition. — Nous adopterons la notation symbolique [ghk) pour représenter l'ensemble des plans réticulaires parallèles au plan OTT' : les nombres entiers g^ h^ kj positifs ou négatifs, seront les caractéristiques de ce système de plans réticulaires par rapport aux axes des x, des .) et des z. Dans le cas où ce symbole {ghk) offrirait de l'ambiguïté, on le remplacerait par (g*, A, k). Si Tune des trois caractéristiques, k par exemple, prenait le signe — , on le placerait au-dessus de cette caractéristique, ce qui changerait {ghk) en {ghk).

De ces conventions il résulte que le symbole du plan des a: y sera (ooi), celui du plan des xz (oio), celui du plan des >z (loo).

Théorème XXXL — La trace d'un plan réticulaù^e quelconque passant par l'origine, tel que OTT' (fig. 20), sur l'un des trois plans coordonnés^ est une Rangée commune aux Réseaux de ces deux plans.

liCs équations de cette trace sur le plan des xy sont

z = o, gvr -h hf = o.

La seconde de ces équations est satisfaite par x = g^ y = — h: donc cette trace est une Rangée. Si g et h ne sont pas premiers entre eux, il existe d'autres Sommets entre l'origine et le point x = A, j = — g. Soit, en général, D le plus grand commun diviseur de g, h; la trace du plan

(ghk) sur le plan des xf sera une Rangée de symbole (^ k)-

Corollaire I. — L'intersection de deux plans réticulaires quelconques sera une Rangée commune aux Réseaux des deux plans, pourvu qu'elle contienne un Sommet ; car l'on peut toujours prendre l'un des deux plans pour plan des xy (problème I), et le Sommet commun pour origine.

Corollaire II. — Si cette intersection ne passe par aucun des Sommets de l'Assemblage, elle est du moins parallèle à un certain système de Rangées. Pour obtenir ces dernières, on mènera par un Sommet arbitrairement choisi deux plans réticulaires parallèles aux plans donnés ; leur intersection fera connaître une des Rangées de ce système.

4o MÉMOIRE

Problème XVIII. — Trouver V équation générale des plans réticulaires parallèles au plan OTT (fig. 20), et dont le symbole est [ghk).

Par le Sommet (m'^ ^" ^ p") menons un plan parallèle à OTT; son

équation sera

gx -h hy + hz = gm^' ■+- hn" + kp'\ ou

(37) gx^hy -\-kz =C,

en désignant le dernier membre par G : G est nécessairement un nombre entier. Gette équation, aussi générale que possible, embrasse tout le système des plans réticulaires parallèles à OTT'. ^^

Problème XIX. — Trousser l' équation d£s plans réticulaires limitrophes duplanOTT{/ig.:xo),

On sait, par la théorie des fractions continues, que si g^ h, X^n'ont d'autre diviseur commun que F unité, il sera toujours possible de satisfaire à la double équation

(38) gx -hhy-^ kz = zt i,

par des valeurs entières de a:, j, z.

Les deux plans réticulaires fournis par cette équation sont les limitrophes du plan OTT; car, pour tout autre plan dont l'équation serait

gx -+- hy H- kz = G,

les intersections avec les axes des x^ des y et des z auraient lieu à des distances de l'origine plus considérables que pour les plans de l'équation (38).

On pourrait aussi démontrer ce théorème sans recourir à la théorie des fractions continues.

Problème XX. — Da^is un système de plans réticulaires dont la notation symbolique est {ghk) y on demande quel nombre de strates de ce système est compris entre le Sommet à coordonnées M, N, P ef /c Sommet à coordonnées M', N', F.

Goncevons que le plan réticulaire

gx -h hy H- Xrz = I reçoive l'unité pour numéro d'ordre, que le plan suivant reçoive le

n"* 2, etc.; le plan

gx + hy-^- A-z = C aura le numéro d'ordre C.

Soient maintenant C et C les numéros d'ordre des plans réticulaires

passant par les Sommets (M, N, P) et (M', N', P') : on aura

C= g^M + AN + AP, C'= ^M'-+- AN'-h kV.

Ainsi le nombre des strates interceptées entre les deux Sommets donné» aura pour valeur, au signe près,

Problème XXI. — Trou{>er la condition pour qu'un plan réticulaire de symbole {ghk)^ pa^saM par V origine, soit conjugué à une Rangée allant de l'origine au Sommet {m'\ n" ^p").

Il faut évidemment que le Sommet {jnri!\ n" ^ p") soit situé sur l'un des deux plans réticulaires limitrophes du plan

gx + hy -H Â:z = o.

Ainsi la condition cherchée sera

( 39 ) gm" + hn"^ hf = ± I .

Si le plan [ghk) contient les Sommets (m, n,/?), (m', n\ /?'), comme cela a été supposé ci-dessus (problème XVII), et si Ton remplace, dans l'équation (89), g^hëtk par leurs valeurs tirées des équations (35), la condition cherchée deviendra

(4o) m" [np' — pn') H- n" [pm' — mp') ^ p" {mn' — nm') = ± D.

Dans cette formule, D est le plus grand commun diviseur des binômes np — pn , pm — pm , mn — nm .

Théorème XXXII. — Si trois Rangées, partaM d'un même Sommet, sont conjuguées dans l'espace, deux d entre elles seront conjuguées, l'une par rapport à Vautre, sur leur plan ds jonction.

Cette proposition résulte évidemment de la définition des Rangées conjuguées (page 7).

XXXIIP Cahier. 6

Le parailéiipipède construit sur les paramètres de ces trois Rangées est un des parallélipipèdes générateurs de TAssemblage : les trois faces qui s'assemblent à l'origine forment trois plans conjugués ayant pour plans limitrophes les trois autres faces.

Théorème XXXID. — Si Ion remplace Le système des trois Rangées conjuguées OA, OB, OD (fig. 17) par Le système des trois Rangées conjuguées OA', OB, OD, Le volume du parailéiipipède ne serapa^ altéré par ce changement.

En effet, la droite A A' sera située dans un plan parallèle au plan BOD; ainsi, les parallélipipèdes générateurs, dans les deux systèmes d'axes, auront la même base OBB'D, et leurs hauteurs seront égales.

Théorème XXXIV. — Si l'on substitue au système des trois Rangées conjuguées OA, OB, OD (fig. 1 7) , fe système OA, OB', OD', les Rangées OB' et OD' étaM conjuguées l'une de Vautre sur le plan BOD, le ^volume du parailéiipipède générateur restera le même après ce changement.

Car les bases parallélogrammiques de ces parallélipipèdes ont même surface sur le plan OBD (théorème III ) ; les hauteurs sont les mêmes : donc les volumes sont égaux.

Théorème XXXV. — Le paraUélipipède générateur d'un Assemblage a toujours le même volume^ quel que soit le système de Rangées conjuguées dont il dérive.

Soient O^, Oj, Oz {fig- 18) les trois paramètres qui ont servi à construire les Sommets de l'Assemblage ; soit Ù le volume du parailéiipipède construit sur ces trois paramètres; soient OA, OB, OD les trois Rangées conjuguées qui nous sont données, et Ci' le volume du parailéiipipède générateur correspondant.

Soit maintenant OA' la trace du plan AOB sur le plan des xy ; cette trace est l'une des Rangées du Réseau du plan AOB (théorème XXXI). Soit donc OB' l'une de ses conjuguées, dans le même plan. On pourra, en vertu du théorème XXXiV, remplacer le système de Rangées (OA, OB, OD) par le système (OA', OB', OD), sans altérer le volume fi' du parailéiipipède générateur.

Soit, de même, OD' la Rangée, trace du plan OB'D sur le plan des xy, et soit OB" une Rangée conjuguée de OD' dans le plan OB'D. On pourra

substituer au système (O A', OB', OD) le système (OA', OD', OB''), sans altérer le volume fi' du parallélipipède générateur.

On peut, enfin, remplacer (OA', OD', OB") par (O^, Oj, OB"), puisque O.r et Or sont deux Rangées conjuguées du plan AO'D', qui coïncide avec le plan des xy. Le volume du parallélipipède générateur restera égal à ii'.

Si l'on compare ce dernier parallélipipède au parallélipipède construit sur O.r, Oj, Oz, on aura, en vertu du théorème XXXIII,

Deiiœième démonstration. — Nous conviendrons de nommer densité de V Assemblage le nombre des Sommets contenus dans l'unité de volume, les dimensions de cette unité de volume étant supposées, toutes les trois, extrêmement grandes comparativement aux paramètres des Rangées que Ton considère.

Ceci posé, soient {fig* i8)

OA = a', OB = 6', OD = d\ angle AOB = <î", inclinaison de OD sur le plan AOB = t'.

^)n aura, par une formule connue,

i2' = /x'/^'rf'sin(r'sinT'.

Prenons, sur les droites OA, OB, OD prolongées, des longueurs *, /, (r très-grandes relativement à a', è', rf', de manière que le parallélipipède construit sur Jt, /, (t soit égal à l'unité de volume, et qu'ainsi l'on ait

jt/o"sinc^' sin t' = i .

Le nombre des Sommets contenus dans ce parallélipipède se calculera comme le nombre des boulets d'une pile à faces rectangulaires, et sera égal à

On aura donc, p étant ce nombre, toujours très-grand,

y.tu xtff sin d' sin t' i

P~"ZÂ^— a'/.'rf'sin'î'sinT ~" îï''

Or le nombre p, qui mesure la densité de l'Assemblage, doit rester constant, quel que soit le système d'axes conjugués que Ton ait adopté pour sa détermination.

Si donc Ton pose

Ox = a , Oj = è, Oz = dy

angle xOy = S^ inclinaison de Oz sur xOjr = t, on aura

(4i) iï = 4Î = abcisinSsinr.

Théorème XXXVI. — Réciproquement, si le paraUélipipède construit sur les paramètres des Rangées OA, OB, OD (fig. i8) est égal en volume au paraUélipipède générateur de l'assemblage, les trois Rangées seront conjuguées.

Concevons que dans l'intérieur du paraUélipipède il existe un Sommet de l'Assemblage, et nommons P ce Sommet, choisi de manière à être aussi rapproché que possible du plan AOB : le paraUélipipède construit sur OP, OA, OB serait égal à il (théorème précédent) : donc le paraUélipipède construit sur OD, OA, OB, qui a même base sur le plan OAB et une hauteur plus grande aurait un volume plus grand que iî, ce qui est contraire à l'hypothèse comprise dans l'énoncé du théorème; donc, etc.

Problème XXII. — Trouver la condition pour que trois Rangées soient conjuguées.

Soient (m, /i,/?), {m\ n\ /?'), (m", n" ^p") les coordonnées des trois Sommets T, T', T" {fig. 20). On suppose que m, /?, p n'ont pas d'autre diviseur commun que l'unité, et qu'il en est de même pour m\ n\ p\ et pour m" ^ n" , p". On demande la condition pour que les Rangées OT, OT, 0V\ dont les symboles sont mnp^ m'n!p\ m"n"p" ^ soient des Rangées conjuguées.

Soient (^, w, ^), (^', «', ^'), (f '^, «'', ^'^) les coordonnées linéaires de.s points T, T', T", dans le système d'axes conjugués O^, Or,Oz, ayant pour paramètres a, 6, rf.

On démontre, dans les Traités de Géométrie analytique, que le volume d'un tétraèdre, ayant son sommet à l'origine, et les sommets de sa base triangulaire aux points {%, w, ^), (f', >»', ^'), {^\ y\" , ^") , a pour valeur,

au signe près,

si le système d'axes est rectangulaire.

Mais, si les axes sont obliques, et si Ton a

angle xOy=^ ^, inclinaison de Oz sur ^Oj = t,

ce volume doit être multiplié par sin^ sinr.

Donc, si l'on nomme fi' le volume du parallélipipède construit sur les paramètres OT, OT' et OT", fi celui du parallélipipède générateur, on aura, au signe près,

12' == {mn'p'^ — mp^n" H- pm!n" — nm!p" H- np'm" — pn'm") ahd sin^î^sinr, ou encore, à cause de l'équation (40'

(42) fi'= {jnn* p" — mp' n" -\- pm' n" — nm!p" -^r np'm" — pn!m")i\.

Si les Rangées sont conjuguées, on doit avoir fi' = fi (théorème XXXV). Donc la condition cherchée sera

(43) mn'p'^ — mp' n'^ -^ pm' n" — nm'p" -+- np'm" — /?/^'m''=±l.

Réciproquement, si l'équation (43) est satisfaite, on en conclura lî' = fi, et les trois Rangées seront conjuguées (théorème XXXVI).

Problème XXIII. — Trouver la condition pour que dewt Rangées, allant de l'origine aux points T, T' (fig. 20), soient conjuguées sur le plan réticulaire qui contient ces deux Rangées.

Soient (m, /^ /?), (m', n\p') les coordonnées de T et T'. L'équation du plan OTT' sera donnée par la formule (36), dans laquelle g, A, k ont des valeurs indiquées par les formules (35). L'équation des deux plans réticulaires limitrophes de OTT' sera donnée (problème XIX) par

gx '-\- liy '\- kz=^±\.

Ainsi cette équation pourra s'écrire

x{np — pn) -^ yiprn' — mp) -f- z[mn — nnt) =dz D.

Soient maintenant (/n'^ n\ p") les coordonnées d'un Sommet T'^ appartenant à l'un de ces plans limitrophes; OT'^ sera une Rangée conjuguée avec le plan OTT', et Ton aura

(44) m" [np'— /?///.) + u" {prn'— mp') + p" {mn'— nm') = =fc D.

Mais, si OT et OT' sont déjà des Rangées conjuguées l'une à l'autre sur le plan OTT', OT, OT' et OT" seront trois Rangées conjuguées, et Ton aura, en vertu de la condition exprimée par (43),

m" {pp — pn') -j- n" {pm' — m/?') -{- p'^ {mn' — nm')^± i.

De cette équation et de l'équation (44)» on conclut D = i . Réciproquement, si D est égal à i , la condition (43) sera satisfaite, et les Rangées OT, OT' seront conjuguées entre elles sur leur plan de jonction (théorème XXXII).

Donc, si np' — pn\ pm! — mp\ et mn' — nm! n'ont d'autre diviseur conunun que l'unité, les Rangées OT et OT' sont des Rangées conjuguées du Réseau du plan OTT', et la réciproque est également vraie.

Théorème XXXVIL — Si {m, n, p), {m\ n\ p') sont les coordonnées numériques des Sommets T, T' (fig. 20), le nombre des bandes parallèles a OT ou a OT', et contenues entre deux côtés opposés du parallélogramme construit sur OT, OT', sera égal au plus grand commun dii^iseur des trois binômes np' — pn', pm' — mp', mn' — nm'.

En effet, soient m", n'\ p" les coordonnées d'un Sommet T'^ appartenant à un plan réticulaire limitrophe du plan OTT'. On aura (équation 44)

m"{np'—pn') + n''{pm/- mp') ^p"{mn'— nm') = db D.

Soit îî' le volume du parallélipipède construit sur les trois arêtes OT, OT',

OT" ; la valeur de îî' sera donnée par l'équation (4^), qui se changera, dans le

cas actuel , en

iî'=iîD.

Soient maintenant cù l'aire du parallélogramme générateur du Réseau du plan OTT', co' l'aire du parallélogramme construit sur OT et OT', enfin A l'épaisseur de la strate comprise entre T" et le plan OTT' ; on aura

12 = Aû>, iî'=Aû>'.

Donc aussi

Or le rapport &>' : ca devra évidemment être égal au nombre de bandes parallèles soit à OT, soit à OT', qui traversent le triangle OTT' : donc I) représentera ce nombre de bandes; donc ce nombre sera le plus grand c*ommun diviseur de nos trois binômes.

Théorème XXX VIII. — Dans un système de plans réticulaires parallèles ayoJit pour symbole (ghk) et dont le parallélogramme générateur a pow surface eo^ le triangle intercepté pa^' les axes conjugués dans- le plan

gx -h hy -j- kz= i,

a pour aire le quotient de Vaire ^eo par le produit ghk des cararJvris' ti/pies, et Vaire du triangle intercepté par ces mêmes a,ves dans le plan

gx H- hy H- kz = ghk^

a pour valeur le produit de ^eo par ghk.

Soient GHK {fig- 19) le plan

gx H- hy H- Az = I , et G'H'K' le plan

gx 4- hy -h Xrz = ghk,

de sorte qu'on ait, a, 6, rf étant les trois paramètres de O.r, ()/, Oz,

OG=hka, OG = -,

(46) ^OïV=gkh, 0H=^,

\OYJ=ghd, 0K = ^,

aire G'H'K' : aire GHK : : Ôg'' : Ôg' : : g'hn' : 1 .

Transportons l'origine des coordonnées en G', les axes gardant leurs directions. Les coordonnées numériques (m, /«, p), [m\ //', p') des Sommets

H' et K', pour cette position des axes, seront

m = — M, n = gk^ yy = o, m'= — M, /i'=o, p' =i gh;

on en conclut

w/?' — /7w' = g^hk^ pm' — mp' z= gh^k^ mn' — nm' =1 ghk^^

et, D étant le plus grand commun diviseur des trois binômes,

D = ghk,

attendu que g", A, k sont des nombres premiers entre eux.

Soit donc ai Taire de la maille génératrice des Réseaux des plans GHK, G'H'K': on aura, en vertu du théorème XXXVII et de l'équation (45),

(47) 2 aire tri. G'H'K' = oïD = ghkc^,

ce qui démontre la deuxième paitie du théorème. Et, comme on a, d'autre

part,

\,^* • r-«i^ aire tri. CH'K' aire tri. GHK = ^Ytri »

il en résulte

(48) 2 aire tri. GHK =

Problème XXIV. — Tromper Vairê du parallélogramme générateur dans le système des plans réticulaires indiqués par le symbole {ghk).

Je nommerai a, |3, ^ {fig^ 19) les angles zOj, zOx et yOx de l'angle trièdre O; ^, v, tm les angles dièdres du même angle solide, ,a étant l'angle dièdre dont Ox est l'arête, v, tm étant les angles dièdres dont Oy et O2 sont les arêtes. Je nommerai S {^ghk) l'aire inconnue du parallélogramme générateur des Réseaux des plans {ghk). Ceci posé, on aura, par une formule connue que j'emprunte à la Géométrie analytique à trois dimensions,

., . GHK =GHO +GKO -hHKO — 2GHO.GKOcosyt^ — 2GHO.HKOCOSV — 2GKO.HKOcos^.

Le plan GHK étant le plan réticulaire qui a pour équation

gx -h ky -h A-z = I ,

on aura

airetri.GHO = iOG.OHsin^=i- ^sin^T, aire tri. GKO = {00 .OK sin]3 = i - t sin/3,

aire tri. HKO = iQH.OKsina = i | ^ sina.

Convenons maintenant de représenter bd sin a par <p ,

ad sin |3 par x > ab sin S par ^ ;

ç sera Taire de la maille du Réseau du plan des jz, soit S (loo) ; X sera Taire analogue pour le plan des xz, soit S (oio) ; 4 sera Taire analogue pour le plan des xy^ soit S (ooi). On aura alors

airetri.GH0 = {4'

2 gh

airetri.GK0 = i4, airetri.HKO = lf • mais, d'autre part, en vertu du théorème XXXVIII,

aire tri. GHK = i^-i# 2 ghk

Donc, en substituant ces valeurs dans l'équation (49)? il viendra

( — tigh^x^^^"^ — 2tg'Â:<p4 cosv — 2.kkX'\ cos^,

et cette équation fera connaître Taire du parallélogramme générateur du plan réticulaire {ghk)^ dès que Ton connaîtra les aires analogues pour les Réseaux des trois plans coordonnés conjugués.

Problème XXV. — Trouver V épaisseur des strates parallèles aux plans réticulaires dont le symbole est {ghk).

Soit toujours S {ghk) Taire du parallélogramme générateur du Réseau du

XXXIIP Cahier. 7

5o MEMOIRE

système {ghk). Soient A Tépaisseur des strates correspondantes, et Ù le volume du parallélipipède générateur; on aura

(5i) ii = ^^ghk).

(conservons aux angles a , /3 , (T, /te , v , fsr leurs significations précédentes ; nous pourrons mettre l'équation (4i) sous la forme

(Sî) 12 = abd\J \ — cos^a — cos"*^ — cos^^M- acosacos^ cos<i\

Tirons de l'équation (5o) la valeur de S^{ghk) pour la substituer dans l'équation {5i) élevée au carré: nous aurons

2 rt'i*rf*(i — cos*a — cos'(3 — cos'o-hacosacosjScoscî)

é'* ?* '^~ '** X* H-^*^* — 2gf/i^;(COSCT — 2 gkf^f cosv — 'ihk^ilfcosiJL

Enfin, si nous remplaçons ç, x^ 4 parleurs valeurs en a, 6, d, a, p, S, cette équation deviendra

I — cos'a — cos'P — cos'^ -h 2COSa cos p cos^ ^ ~F'sin'a /r'sin'6 / ' sin ' $ W<sinasin6 ^/sinasin^ /rArsinfisin^

2 \ 7—^ H 2 '^ ^ COSIJ ~ 2 ? COSv — 2 Ç cOS a

/l* O* r/* flô /lÉ^ ^^ ^

On aurait pu arriver dîtectement à cette formule, en cherchant l'expression analytique de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan dont l'équation, en coordonnées Unéaires, est

Théorème XXXIX. — L'intervalle moyen des Sommets dun Assemblage est égal a la racine cubique du volume de son parallélipipède générateur.

Conformément à la définition donnée par Poisson de Xinters^alle moyen {voyez page 21), nous nommerons intervalle moyen des Sommets dun Assemblage le côté d'un cube égal à l'unité de volume divisée par le nombre des Sommets que renferme cette unité de volume.

Soit E cet intervalle moyen; en nommant toujours p le nombre des Sommets, supposé très-considérable, que contient l'unité de volume, on aura

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES REGULIEREMENT. 5l

d'où, à cause de p==7T(^q)^ezdeuxièmedéinonstrationdu théorème XXXV), on conclura

(54) E' = fl, E = y^Ï2,

iî étant le volume invariable du parallélipipède générateur de l'Assemblage.

Problème XXVI. — Changer les axes coordonnés et exprimer les nouvelles coordonnées en /onction des anciennes, et réciproquement.

Soient (m, /i,/?), (m', n' ^ p')^ {m'\ n'\ p") les coordonnées numériques des extrémités T, T', T'^ [^fis* ^^) ^^^ paramètres des trois Rangées qui doivent servir de nouveaux axes. Soient X, Y, Z les coordonnées numériques d'un Sommet quelconque dans le nouveau système d'axes. Par une voie analogue à celle qui conduit aux équations (17), on obtiendra

Ia:=mX-h/w/Y-hm''Z, J=,^X + /^'Y + /^''Z, z = /;Xh-/Y4-/'Z.

La Rangée OT allant de l'origine au point (m, /e,/?) est censée servir d'axe des X. La Rangée OT' sert d'axe des Y, et la Rangée OT'^, d'axe des Z.

Je pose maintenant, pour abréger,

mn'p" — mp' n'^ -^ pm' n" — mnp" -\- np'm" — pn'm"=. [nin'p'^),

mn' — nm'^={mn')^ nm" — mn" =^{nm")^ m'n" — nm"=^lm'n"\.^ (56) ( ^ ' ]pm'—mp'={pm'), mp"— pm"={Tnp"), p'm"—my={p'm"),

np' — pn'={np'), pn"— np" = {pn"), n'p"—p'n"^ («>").

Si , par les procédés connus de réiimination , on tire des équations (55) les valeurs de X, Y, Z, on aura

' — {mn'p») ^ "^ {jnn'p") ^ ^ Jm^'p"') ' ^ — {mn'p") ^ ^ {mn'p") J ^ {mn'p") ^ '

d'où l'on voit que, pour que X, Y, Z soient toujours des nombres entiers, il Êiut que les trois Rangées données soient conjuguées. En adoptant cette hypothèse, on aura

{mny) =zti, ce qui changera les précédentes équations en

(57) \±Y = {pn')x-h {mp') j-+-(nm'^) z,

\±7j=^{np') x-i- (pm^) y-\-{mn^^) z.

Par une rotation convenable du système OT, OT, OT'^ autour de O, amenez OT sur Ox^ amenez OT' dans le plan xOfj en ayant soin que OT' et Oj soient situés d'un même côté par rapport à la droite Oj: indéfiniment prolongée dans les deux sens : alors, si OT" et Oz tombent du même coté par rapport au plan des ^j, vous devrez donner le signe -4aux premiers membres des équations (57); dans le cas contraire, vous devrez préférer le signe — .

Corollaire. — Supposons que Taxe des z change seul et soit remplacé parOT", et nommons m^, n^ les coordonnées numériques de T" parallèlement aux axes des x et des jr.

Dans ce cas, l'on aura

m=ly A|=0, p Z=Oj

et les équations (55) donneront

a:=X-f- m^Z, j=Y-Hn, Z, z = Z.

Les formules inverses seront alors

X=cl7 — /W^jJZ,

La coordonnée numérique parallèle à l'axe déplacé reste invariable.

Problème XXVII. — On demande ce que devient le symbole d^un plan réticulaire (ghk) dans un nouveau système d'ares.

Soient toujours (m, n,/?), (m', n\p')^ [m" ^ ri' ^p") les coordonnées numériques des extrémités T, T', T''' {fig* 20) des paramètres des trois Rangées qui doivent servir de nouveaux axes. Si, dans Téquation générale

on substitue les valeurs de a?, j, z, tirées des équations (55), Ton aura {Sm^hn + kp)y^-\-[gm' + hn' ^hp')X-^r{Sm' ^hn" -Yhp")^^

d'où Ton voit que, dans ce nouveau système d'axes, le symbole des plans (g^/iA) se change en (g-m-f-A/î + A'/?, gm' -^hn' -^kp\ gm" -^-hn" -^kp")\ c'est-à-dire que, si le nouveau symbole est (GHK), l'on aura

iQf=Lgm -+-hn '+-kp^ R = gm'^hn' +kp\ K = gm'-^hn'+kp\

Corollaire. — Si, conservant les axes des x et des j, on se borne à remplacer l'axe des z, et à prendre pour nouvel axe des z la Rangée i i i , qui est le prolongement en sens inverse de la diagonale du parallélipipède construit sur a, 6, c?, on aura

m=i, n =0, p=zo^

m'=o, Ai'=i, p'=Oj

m= — I, Ai= — I, />= — I,

ce qui change le symbole {ghk) en {g^h^ — g — h — A).

Si Ton nomme alors / la caractéristique du plan réticulaire {ghk) relative à ce nouvel axe, on aura l'équation

Si e est le paramètre du nouvel axe, le segment intercepté sur cet axe entre l'origine et le plan

gX'^hy'^kz= I,

devenu , dans le nouveau système,

gx-^hy + lZ^ I,

aura évidemment pour valeur ^•

D'où Ton voit que, « lorsque les paramètres a, 6, d^ e de quatre Rangées » conjuguées deuxjà deux sont disposés de manière à figurer quatre forces se )> faisant équilibre dans l'espace , tout plan limitrophe à un plan réficulaire » passant par l'origine déterminera , dans les paramètres de ces Rangées ,

» les segments -^ j-y yy j^ gy à, k^ l étant des nombres entiers positifs ou

)) négatifs ; alors on pourra prendre indistinctement pour symbole du plan » réticulaire les notations {ghk), {gfd)j {glk), {Uik)^ et il existera, entre les )) quatre caractéristiques g", A, ^, /, la relation

Notation à quatre caractéristiques. — Lorsqu'on emploie, pour fixer la position des plans réticulaires de l'Assemblage, quatre axes coordonnés satis&isant aux conditions que nous venons d'énoncer, il convient de remplacer le symbole {ghk) par le symbole à quatre caractéristiques (ghkl).

Dé/initions. — Je désigne sous le nom de tétraèdre élémentaire tout tétraèdre ayant pour sommets quatre Sommets de l'Assemblage, choisis de manière que chacun d'eux soit situé sur un plan limitrophe au plan réticulaire qui contient les trois autres Sommets, ou encore a tout tétraèdre construit » sur trois paramètres conjugués aboutissant au même Sommet. »

Un tel tétraèdre forme toujours la sixième partie de l'un des parallélipipèdes générateurs de l'Assemblage : ainsi, le volume de tous ces tétraèdres est le même et égal à |iî.

Je nomme tétraèdre principal, celui dont la base est le triangle acutangle embrassé par les deux paramètres minima de tout l'Assemblage, et dont les trois angles dièdres adjacents à la base sont aigus, deux de ces trois angles pouvant, exceptionnellement, devenir droits.

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUlés REGULIEREMENT. 55

Théorème XL. — Tout tétraèdre ayant pour sommets V origine et les trois points (m, w, /?), {m\ n\ /?'), {m" ^ n!\ p")^ a pour volume le produit du volume du tétraèdre élémentaire par le facteur

mii'p'^ — mp^n'^'H- pm'n'' — nm'p'^-h np'm'^ — pn'm''.

Ce théorème est une conséquence de la formule (d^)- Soit OTT'T" [fig. 20) le tétraèdre donné; on aura

(60) volume tétra. (SlW =\ù{mn' p").

Cette formule reste exacte, lorsque m, /i,/?, ou m\ n\ p\ ou ni\ h'\ p'\ ont des diviseurs communs autres que l'unité.

Problème XXVIII. — Trouver le tétraèdre principal d'un Assemblage.

Choisissons arbitrairement un Sommet O {fig- 21), et cherchons les deux paramètres minima OA, OB; traçons-les dans un sens tel, que l'angle AOB soit aigu, ou tout au plus égal à 90 degrés, ce qui sera toujours possible. Achevons le triangle AOB, qui sera l'un des triangles principaux du plan réticulaire AOB, et sur l'un quelconque de ses trois côtés, par exemple sur AB, construisons le second triangle principal BAO' qui, réuni au précédent, complète le parallélogramme générateur OAO'B. Sur le contour de ce parallélogramme, élevons à angle droit les faces d*un prisme indéfini dans les deux sens. Le plan réticulaire, limitrophe du plan OAO'B, et situé au-dessus de ce dernier plan, sera coupé par le contour du prisme suivant un |)arallélogramme égal à la base OAO'B, et qui devra contenir dans son intérieur un Sommet de l'Assemblage, à moins qu'il n'en contienne deux, ou quatre, sur son contour. Soit D ce Sommet ; les Rangées OA, OB, OD seront conjuguées, et la pyramide OABD sera le tétraèdre principal.

Si le Sommet ainsi obtenu était situé en d^ et se projetait orthogonalement dans l'intérieur du deuxième triangle BAO', les Rangées O'A, O'B, O'c? seraient conjuguées, et la pyramide O'ABc? serait le tétraèdre principal.

Scolie. — Soit OABD le tétraèdre principal résultant de la construction précédente, et nécessairement situé au-dessus du plan OAO'B. Si nous répétons la même construction sur le plan limitrophe du plan OAO'B, et qui est situé au-dessous de ce dernier plan, nous obtiendrons un autre

Soniniet D', dont la situation par rapport à D sera telle, que A, D, B, D' formeront un parallélogramme. Le tétraèdre O'ABD' sera aussi un tétraèdre principal, mais placé au-dessous du plan OAO'B. Il est facile devoir que OABD, O'ABD' sont deux polyèdres inverses (*), dont \e pôle de symétrie sera en o), au centre du parallélogramme OAO'B: d'où l'on voit que, a dans tout Assemblage, il existe deux tétraèdres principaux inverses l'un )) de l'autre. »

Théorème XLI. — Tous les angles plans du tétraèdre principal sont aigus; quelques-uns d'entre eux [quatre au plus) peu^^ent être droits^ exceptionnellement.

Soient OA, OB {fig» 21) les deux paramètres minima de l'Assemblage, et OABD son tétraèdre principal.

La proposition énoncée est évidente pour les trois angles de la base OAB. Menez en O un plan normal à OA : par la construction même du tétraèdre, OD et OA ne peuvent être situés de cotés différents par rapport à ce plan ; donc AOD < 90 degrés. On démontrerait de la même manière qu'une inégalité pareille a lieu pour les angles DOB, DAO, DAB, DBO, DBA.

Maintenant, de OB < OD, on conclut ODB < OBD < 90 degrés; de OA < OD, on conclut ODA < OAD < 90 degrés; enfin, de BD > BO, DA > OA, on déduit