BD' + DA' > BA

donc l'angle BDA ne peut surpasser 90 degrés.

Le nombre des angles droits du tétraèdre ne peut d'ailleurs surpasser quatre, le tétraèdre ne possédant pas plus de quatre faces.

Scolie. — Les propriétés du tétraèdre principal sont plus restreintes que celles dont jouit le triangle principal dans les Réseaux. Ses angles dièdres ne sont pas nécessairement tous aigus : il ne possède pas nécessairement tous les paramètres miîiima du système ; enfin, le triangle principal d'aire minimum peut ne pas être l'une de ses quatre faces.

{*) Pour la dcGnitioD de ces termes, voyez la note (*) de la page 63.

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUlés REGULIEREMENT. 67

Voici, sans démonstration, Ténoncé de diverses propriétés appartenant au tétraèdre principal.

Théorème XLII. — Si b est le plus grand des deux paramètres minium de V Assemblage, et si B est V angle opposé au côté b dans le triangle principal construit sur ces paramètres , la hauteur du tétraèdre principal sera au moins égale « è y i — | coséc^ B.

Corollaire. — Cette même hauteur sera au moins égale à b ^.

Théorème XLIII. — Le plus petit des paramètres de V Assemblage, en de/tors du plan contenant les deux paramètres minima, est nécessairement l'une des trois arêtes qui joignent le sommet du tétraèdre principal aux trois sommets de sa base.

Théorème XLIV. — Si OB, OA (fig. 21) sont les deux arêtes minima du tétraèdre principal OABD^ OA étant la plus petite des deux, et si par B on mène lu droite BO' égale et parallèle à OA, l'un des quatre triangles AOB, AOD, BOD, BO'D sera le triangle élémentaire a aire minimum de tout r Assemblage.

Corollaire. — Le plan réticulaire à aire minimum contient toujours au moins l'un des deux paramètres minima de l'Assemblage.

§ V. — Des Assemblages symétriques.

Définitions. — Je nomme a^e de symétrie d'un Assemblage toute droite telle, que, l'Assemblage venant à tourner d'un certain angle, et tout d'une pièce, autour d'elle, les mêmes points de* l'espace coïncident avec les Sommets de cet Assemblage, avant et après la rotation. Je dis alors que le lieu apparent des Sommets de l'Assemblage a été restitué, après cette rotation.

Pour plus de précision dans les explications qui vont suivre, je supposerai qu'il existe deux Assemblages égaux , superposés Sommet sur Sommet, de manière à figurer un Assemblage unique. L'un de ces Assemblages sera considéré comme invariable de position; l'autre pourra se mouvoir tout d'une pièce, et comme un corps solide, soit par translation.

liOrsque T Assemblage mobile, tournant autour de Taxe, reviendra en coïncidence avec l'Assemblage fixe, après une rotation d'un demi-tour, ou de 180 degrés. Taxe sera désigné sous le nom d'aœe de symétrie binaire, ou, plus brièvement, d'axe binaire. Un Sommet quelconque de l'Assemblage aura son fiomologue de l'autre côté de l'axe ; la droite joignant ces deux Sommets sera normale à l'axe, et divisée par lui en deux parties égales.

Lorsque la coïncidence se rétablira après un tiers, un quart, un sixième de tour, l'axe de rotation recevra le nom d'axe de symétrie ternaire, quaternaire, sénaire. Dans les Assemblages à axe de symétrie ternaire, les Sommets sont disposés trois par trois autour de l'axe, et chaque Sommet a deux /tomologues. La disposition est de quatre par quatre autour des axes quaternaires, et de six par six autour des axes sénaires.

La symétrie d'un axe aura pour numéro d'ordre 2, 3, 4 ou 6, selon qu'elle sera binaire, ternaire, quaternaire ou sénaire. Ce numéro d'ordre sera désigné par la lettre ^, dans le courant des calculs.

Deux axes de symétrie de même ordre seront dits axes de même espèce, lorsque la configuration des Sommets autour de l'un d'eux sera la même qu'autour de l'autre. Pour constater cette similitude de configuration, on lie par la pensée les Sommets de l'Assemblage à chacun des deux axes, et l'un de ces deux systèmes est supposé mobile. Alors, si l'on peut faire coïncider en même temps l'axe mobile avec l'axe fixe, les Sommets mobiles avec les Sommets fixes, les axes seront dits de même espèce.

Pour que les axes soient de même espèce, il faut qu'ils soient du même ordre et que leurs paramètres soient égaux : ces conditions sont, en général, suffisantes. Il y a cependant un cas particulier où deux axes binaires peuvent avoir le même paramètre, sans être de même espèce.

Deux axes qui ne satisfont pas aux conditions précédentes seront dits axes d'espèces difjérentes.

Tout Assemblage possédant un ou plusieurs axes de symétrie sera dit Assemblage symétrique; dans le cas contraire, il sera dit asymétrique.

Tout plan qui partage un Assemblage en deux moitiés géométriquement symétriques sera nommé /?/a/2 de symétrie de l'Assemblage. Chaque Sommet trouve alors son homologue sur le côté opposé du plan.

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES REGULIEREMENT. Sg

Théorème XLV. — Le plus petit angle qui restitue les lieux des Sommets d'un Assemblage symétrique^ pendant sa rotation autour d'un €ixe de symétrie, est un sous-multiple de 36o degrés.

Soient M {Jig. i3) l'un des Sommets de l'Assemblage, et MO la perpendiculaire abaissée de M sur l'axe. Donnons, autour de l'axe, à l'Assemblage mobile une rotation MOM' qui ne trouble pas les lieux des Sommets, et

soit

MOM'=Q.

Pendant que le Sommet mobile M viendra se superposer au Sommet fixe M', le Sommet mobile M' viendra en M'', et nous aurons OM'^ = OM' = OM , M'^ OM' = Q.

Décrivons un cercle de centre O et de rayon OM, puis faisons arc M''M'=r arc M'M, arc M'^M''= arc M^M' ;

il est clair que M, M', M'^..., seront autant de Sommets de l'Assemblage fixe, et que les cordes des arcs formeront un polygone régulier inscrit, lequel, après un ou plusieurs tours, viendra se fermer sur lui-même, au point de départ, en M : sans cela, il y aurait une infinité de Sommets de l'Assemblage sur la circonférence du cercle, ce qui est impossible. D'ailleurs on peut toujours supposer que M, M' sont deux sommets voisins, et alors MOM' sera le plus petit angle de rotation qui restitue les lieux des Sommets. On aura donc, en nommant Q cet angle minimum,

Théorème XLVI. — [/n Assemblage ne peut posséder que des Onves de symétrie binaire, ternaire, quatertmire ou sénaire.

Sur MM', WW [fig. i3), achevons le losange W^Wm\ le point m sera un Sommet de l'Assemblage, et nous trouverons facilement

Om = OM'(i — 4sin4Q).

Pour ^ = 2, Q=i8o'', nous avons 0/// = — 30M'; Pourry = 3, Q=i2o% 0/;? = — 2OM';

Pour 7 = 4, Q= 90", 0/;? = — 0M';

Pour 9 = 5, Q= 72°, Om= — ^=^0M'=— o,3820M';

Pour(/ = 6, Q= 60"*, Om=o;

Pour 7 > 6, Q=<6o% Om<OM'.

6o MÉMOIRE

Les solutions ^ = 5 et ^ > 6 ne sont évidemment pas admissibles ; car on peut toujours supposer que M a été pris à la distance minimum de Taxe de rotation, et, par conséquent, l'inégalité Ow<OM' est impossible, sauf dans le cas où Ton aurait Om = o, parce qu'alors serait un Sommet de l'Assemblage.

Donc, si l'Assemblage a un axe de symétrie, on aura nécessairement

(y = 2, 3, 4 ou 6,

f/ étant le numéro d'ordre de la symétrie propre à l'axe que l'on considère.

Corollaire. — Des rotations de 6o, 90, 120, 180, 240, 270 et 3oo degrés sont les seules qui puissent restituer, dans certains cas, les lieux des Sommets d'un Assemblage.

Théorème XL VII. — Lorsqu'il existe, dans un Assemblage, un ojce dv ^ymétrie ne passant par aucun Sommet, les droites parallèles, menées par des Sommets, sont des axes possédant la même symétrie.

Soit q le numéro d'ordre de la symétrie de l'axe considéré MM' {fig. 22) ,

36o** et soit m un Sommet quelconque, lequel, après une rotation, égale à ^

de l'Assemblage mobile, vient occuper le lieu du Sommet m' . Si l'on transporte parallèlement à lui-même, et de m' en m, l'Assemblage mobile qui aura subi cette rotation préalable, il se trouvera placé dans les mêmes conditions que s'il eût tourné, dès le principe, autour d'une droite nmn\ menée par m parallèlement à MM'; et, comme le lieu des Sommets n'a pas été troublé, cette droite nmn' est aussi un axe de symétrie de l'Assemblage. L'ordre de symétrie de cet axe sera, en général, égal à q. Toutefois, comme un axe d'ordre y ^, y étant un nombre entier quelconque, jouit a fortiori des propriétés des axes d'ordre q^ il pourrait arriver que le nouvel axe fïit d'un ordre plus élevé, mais qui devra toujours être un multiple de l'ordre de symétrie de l'axe donné (*).

Définition, — Nous désignerons sous le nom diO^es intermédiaires les axes

{*) Cette démonstration est due à M. Cauchy : comme elle est plus simple que la démonstration que j'avais donnée moi-même de ce théorème, je Tai substituée à cette dernière. {Foxez les Comptes rendus de l* Académie des Sciences, t. XXIX, p. i35. )

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES Rl^GU LIE REMENT. 6l

qui ne contiennent aucun Sommet de l'Assemblage. D'après le théorème précédent, les axes intermédiaires sont toujours accompagnés d'axes de même symétrie, menés par les Sommets; d'où il résulte que l'on peut, à la rigueur, se borner à considérer ces derniers, dans toute recherche qui n'a pas pour but de déterminer d'une manière spéciale les propriétés propres aux axes intermédiaires.

Théorème XL VIII. — Tout axe de symétrie contenant un Sommet est une des Rangées de V Assemblage.

Soit MM' [fig' 22) Taxe donné passant par le Sommet M; soient m un autre Sonunet extérieur à l'axe, et m', m'',..., ses homologues par rapport à cet axe. Joignons M/n, Mm', ^m^\..,: si maintenant nous traçons la diagonale M^ du parallélogramme construit sur Mm, Mm', cette diagonale sera, en grandeur et en direction, un des paramètres de l'Assemblage, d'après le théorème XXX. De même, si l'on combine M^c avec Mm'^ la nouvelle diagonale M^' jouira des mêmes propriétés. Le résultat final, ainsi obtenu, après avoir épuisé la série des homologues de m, sera le même que si l'on eût composé mécaniquement des forces égales en grandeur et en direction à Mm, Mm', Mm",..., pour en obtenir la résultante. Or, si Ton décompose chacune de ces forces suivant MM', et normalement à cette droite, il est visible que les composantes normales à MM' s'entre-détruiront par suite de la symétrie, et que les composantes verticales subsisteront seules. Si donc est le point de rencontre de MM' avec le plan du polygone mm^ni' . . . , chacune de ces composantes verticales sera égale à MO : donc, si l'on prend MM'=^^MO, M' sera aussi un Sommet; donc MM' est une Rangée de l'Assemblage.

Théorème XLIX. — Tout plan mené par un Sommet normalement à un axe de symétrie est un plan réticulaire de V Assemblage.

Soient M le Sommet donné [fig. 22), et MM' l'axe donné, que l'on peut toujours supposer passant par M. Soient m un autre Sommet quelconque, et m', m" ses homologues. Les lignes menées par M parallèlement à mm\ m' m'\ m'^m,..,, sont évidemment des Rangées de l'Assemblage; donc le plan normal à MM', et qui contiendra toutes ces droites, sera l'un des plans réticulaires du système.

Si l'axe MM' était un axe binaire, on aurait recours à un deuxième Sommet fUL situé hors du plan mMM'; alors la même démonstration serait encore applicable.

Théorème L. — Lorsqu'il existe dans un Assemblage un plan de symétrie ne contenant aucun Sommet ^ tout plan parallèle passant par un Sommet est aussi un plan de symétrie du système.

Soient m {Jiff- 2 3) un Sommet quelconque, et w' son homologue de l'autre côté du plan donné GH, qui est, par hypothèse, un plan de symétrie de l'Assemblage. Si Ton transporte parallèlement à lui-même, et de m' en ///, (*'est-à-dire suivant une direction normale au plan, l'Assemblage mobile, on sait qu'il continuera à être le symétrique de l'Assemblage fixe par rapport au plan normal sur le milieu de la droite qui joint le point mobile w' au point lixe m; à la limite, lorsque m' coïncidera avec /w, le plan de symétrie, toujours parallèle à lui-même, finira par passer par m : mais alors les deux Assemblages , le mobile et le fixe , coïncideront ; donc le plan mené par m , parallèlement à GH, sera un plan de symétrie du système.

Scolie. — On peut faire abstraction des plans de symétrie intermédiaires, pour ne considérer que ceux passant par des Sommets.

Théorème LI. — Tout plan de symétrie contenant un Sommet est un plan réticulaire.

Soit M {fig. îa3) le Sommet situé dans le plan de symétrie GH; soient m, m' deux Sommets homologues par rapport à ce plan. La diagonale du losange construit sur Mw, M/w' sera, en grandeur et en direction, le paramètre de Tune des Rangées du système : or il est évident qu'elle est contenue dans le plan de symétrie. On prouverait, de même, qu'il existe d'autres Rangées passant par M, et appartenant au plan de symétrie, mais non situées dans le plan 7?^Mm'; d'oii l'on voit que le plan de symétrie est nécessairement un plan réticulaire.

Théorème LII. — Lorsqu'un Assemblage possède un axe de symétrie d'ordre pair, il possède aussi un système de plans de symétrie tous normmix à cet axe, et, réciproquement, la présence d'un plan de symétrie entraine relie d'un système d'axes d'ordre pair, normaux à ce plan.

y ai démontré, dans une Note sur les polyèdres symétriques de la géo-

métrie (*), que, si l'on fait tourner de i8o degrés le polyèdre imerse d'un polyèdre donné P, autour d'une droite A menée par le pôle de symétrie, on obtient le polyèdre symétrique de P par rapport au plan de symétrie mené par le pôle normalement à la droite A.

Prenons un Sommet quelconque O [fig- 28)* pour pôle de symétrie, et construisons l'Assemblage inverse, lequel coïncidera, Sommet à Sommet, avec le primitif; puis, ayant mené par O une droite rnOm' parallèle à l'axe d'ordre pair, faisons tourner de 180 degrés l'Assemblage inverse autour de cette droite; il devra recoincider avec lui-même. Sommet à Sommet, par suite de la symétrie de l'axe. Donc, en vertu de la propriété générale citée plus haut, le plan mené par normalement à l'axe sera un plan de symétrie pour les deux Assemblages coïncidents, et, par conséquent, pour les deux moitiés de l'Assemblage donné (**).

Le théorème réciproque se démontrera de la manière suivante :

Soit O {fig. 23) un Sommet situé sur le plan de symétrie commun à l'Assemblage fixe et à l'Assemblage mobile : on sait, par la théorie générale des polyèdres inverses (voyez la Note citée), qu'en faisant tourner de i8o degrés le polyèdre symétrique d'un polyèdre P autour de la normale au plan de symétrie élevée à partir de ce Sommet O, on doit retrouver le polyèdre inverse ; dans le cas actuel, en faisant faire ce demi-tour à l'Assemblage mobile, on le fera recoincider avec l'Assemblage inverse, lequel évidemment ne diffère pas de l'Assemblage donné. Donc la normale est un axe binaire du système. Dans le cas général, on voit qu'elle peut être un axe d'ordre pair quelconque (*''').

Définition. — En continuant à désigner par système de Rangées l'ensemble de toutes les Rangées parallèles entre elles dans un Assemblage, on a à considérer dans un tel système la direction, la grandeur du para-

(*) Journal de Mathématiques de M. Liou ville, t. XIV, p. i38.

Le polyèdre inverse de P s'obtient en joignant les sommets de P à un point fixe qui prend le nom de pôle de symétrie, et prolongeant ces droites au delà du pôle de quantités égales à elles-mêmes.

(**) On peut aussi considérer ce théorème comme une conséquence immédiate du théorème XXI de mon Mémoire « Sur les Polyèdres de forme symétrique «, inséré dans le tome XIV du Journal de Mathématiques de M. Liou vil le.

(***) Ce théorème réciproque est une conséquence immédiate du théorème IV de mon Mémoire « Sur les Polyèdres de forme symétrique » .

mètre ^ et enfin la densité du système, qui est égale au nombre des Rangées <!ontenues dans un prisme indéfini de section normale égale à i , et à arêtes parallèles à la direction commune des Rangées.

Il résulte de la constance des volumes des parallélipipèdes générateurs qu'en passant d'un système de Rangées à un autre, le quotient du paramètre par la densité reste toujours constant et égal au volume lî du parallélipipède générateur.

liorsqu'on altère un système de Rangées par Tintercalation de nouveaux Sommets équidistants, entre deux Sommets voisins sur chaque Rangée, on modifie l'Assemblage, et, selon que le nombre des Sommets intercalaires est 1, 2, 3,..., sur chaque paramètre, le nouvel Assemblage est un Assemblage doublé, triple, quadruplé,..., quant au nombre de ses Sonmiets. Alors le volume 12 du parallélipipède générateur diminue dans le rapport de r unité aux nombres 2, 3, 4? — ^^eci posé. Ton peut démontrer le théorème suivant :

Théorème LUI. — Les mêmes systèmes de Rangées se retrouvent dans r assemblage primithement donné et dans l'Assemblage qui en dérive par l' intercalât ion de nouveaux Sommets sur Vun de ses systèmes de Rangées.

Soient prises trois Rangées conjuguées pour axes coordoimés. Taxe des z étant Tune des Rangées du système modifié par Tintercalation de nouveaux

Sommets: alors, si a, 6, rf sont les trois paramètres de ces axes, a, ^, ^

seront les trois paramètres dans le nouvel Assemblage, ô — i étant le nombre <les Sommets ajoutés sur chaque paramètre. Pour revenir à l'Assemblage j)rimitif on supprimera dans celui-là tous les plans réticulaires de la forme

j étant un nombre entier quelconque, et Ton ne conservera que les plans r. = o, z = Ô, z = 2 v,. . . , z =y 9-

Considérons maintenant la Rangée menée de l'origine O {fig. 20) au Sommet t à coordonnées (/y/, /^,/;) de l'Assemblage k Sommets intercalaires. Alors, si l'ordonnée p est un multiple de 6, le Sommet t appartiendra à T Assemblage primitif; le système des Rangées O^ se retrouvera dans l'Assemblage primitif, avec la même grandeur de paramètre. Si l'ordonnée/;

n'est pas un multiple de ô, on prolongera O^ de tt" =:z (ô — i) O^; Tordonnée numérique du Sommet t^' parallèlement aux z étant alors devenue un multiple de ô, le point t" appartiendra à l'Assemblage primitif : ainsi le système des Rangées O^ subsistera encore dans l'Assemblage, après la suppression des plans réticulaires

z=yô+i, z=yô-h 2,..., 2=yÔH-ô — i.

Donc tous les systèmes de Rangées subsistent, sans que leur direction soit troublée, après la suppression des Sommets intercalaires. Ces systèmes sont seulement altérés, soit dans leur densité, soit dans la grandeur de leur paramètre; pour chacun d'eux, la suppression des Sommets fait croître, dans le rapport fl : i , le rapport du paramètre à la densité.

Corollaire. — Les mêmes systèmes de Rangées se retrouvant dans les deux Assemblages, avec des modifications qui ne portent que sur la grandeur du paramètre ou la densité du système, il en résulte que les mêmes systèmes de plans réticulaires existent aussi dans les deux Assemblages; toutefois l'épaisseur des strates, ou l'aire de la maille génératrice, variera de l'un à l'autre, de manière à ce que leur produit croisse, dans le rapport ô : i , par la suppression des Sommets intercalaires.

Après ces théorèmes généraux, nous allons successivement passer en revue les propriétés qui caractérisent chaque genre particulier de symétrie.

Symétrie binaire.

Théorème LIV. — Dans tout Assemblage à axe de symétrie binaire, si l'on considère les deux plans réticulaires lùnitrop/ies d* un plan réticulaire normal à l'ojie binaire, le Réseau de Vun de ces deux plans coïrtcide avec la projection orthogonale du Réseau de Vautre,

Car, soient P un plan réticulaire normal à l'axe, P' et P'^ ses deux limitrophes; les Réseaux de F et ^' sont homologues par rapport au plan P qui est un plan de symétrie de l'Assemblage (théorème LU) : donc le Réseau de l'un des plans F, ^' est la projection orthogonale du Réseau de Tautre.

Corollaire. — Si l'on affecte des numéros d'ordre à tous ces plans réticulaires successifs, tous normaux à l'axe, on voit que, dans la série des plans à numéro d'ordre pair, le même Réseau se reproduira, en projection

XXXJW Cahier. 9

orthogonale; ii en sera de même dans la série des plans à numéro d'ordre impair.

Théorème LV. — Tout Assemblage à axe de symétrie binaire peut être considéré comme dérivant d'un prisme droit à base parallélogrammique, lequel peut, dans certains ca^, offrir en son centre de figure l'un des Sommets de l'Assemblage.

Soit ABGDE (/ig. 24) le Réseau tracé sur le plan normal à l'axe binaire et passant par un Sommet A. Prenons ce plan pour plan des xy; son équation en coordonnées numériques sera z == o.

Tous les Réseaux tracés sur les plans z=:zt2,z==h4,2;=zt6,..., se projetteront orthogonalement sur le Réseau ABCD... (théorème LIV).

Les Réseaux des plans z = ±i,z = ±3,..., pourront aussi se projeter orthogonalement sur ABCD,...; dans ce cas, le parallélipipède générateur sera un prisme droit à base parallélogrammique.

Mais le contraire pourra aussi avoir Ueu. Supposons alors que l'un des Sommets A' du Réseau z = i se projette en a sur le plan z = o. Si l'on joint A avec A', et si l'on prolonge A A' d'une quantité égale à elle-même, jusqu'en D'^ D'^ sera évidemment un Sommet du Réseau z= 2 ; et si l'on abaisse les perpendiculaires A'a, D'^D, D sera l'un des Sommets du Réseau z = o (théorème LIV), et a sera situé au milieu de la longueur aD. Le Sommet A ayant été choisi arbitrairement, on voit que a est un centre géométrique du Réseau ABCD,..., et occupe le milieu de l'un des paramètres AD de ce Réseau. Maintenant, sur AD comme base, construisons deux triangles élémentaires égaux et opposés, tels que ACD, AED ; le point a sera le centre du parallélogramme générateur ACDE, et A' sera le centre de figure du prisme droit ayant pour base inférieure ACDE, et sa base supérieure sur le plan z=2. L'Assemblage pourra donc être considéré comme composé d'une infinité de tels prismes, de hauteur égale à l'intervalle compris entre les plans z = o, z= 2, et portant en outre, chacun en son centre de figure, l'un des Sommets de l'Assemblage.

Scolie /. — Il est toujours permis de supposer que A a été choisi de manière à être, parmi tous les Sommets du Réseau z = o, le plus voisin du point a; alors, si AD n'est pas le paramètre minimum du Réseau z = o, soit AB ce paramètre minimum, porté dans un sens tel, que l'on ait

SUR LES SYSTEMES DE POINTS DISTRIBU]^ Rl^GULIEREMENT. 67

BAD < 90 degrés. Puisque l'on a aB > aA, le Sommet B est eu dehors de la circonférence décrite sur AD comme diamètre, et ainsi il est certain que Ton a ABD < 90 degrés. Mais, d'autre part, à cause de AB<BD, on a aussi ADB < BAD < 90 degrés ; donc les trois angles du triangle BAD sont aigus: ainsi, BAD sera le triangle principal du Réseau z = o (théorème VI). Donc la projection de A' tombera toujours sur le milieu de l'un des trois cotés du triangle principal; ce qui prouve que l'alternance des Réseaux à numéros d'ordre alternativement pairs et impairs ne peut se faire que de trois manières différentes, selon que la projection des Sommets du Réseau z == i se fait sur le milieu du petit, du moyen, ou du grand coté du triangle principal du Réseau z = o.

D'où l'on voit encore que l'Assemblage peut aussi être considéré comme composé de prismes ayant pour base un parallélogramme tel que ABCD, ayant pour hauteur l'intervalle compris entre les plans i; = o et 2=2, et portant des Sommets sur les centres de deux de leurs faces verticales rectangulaires ; la base de chacune des deux faces centrées peut toujours alors être supposée formée par l'un des trois côtés du triangle principal.

Scolie IL — Dans le cas de l'alternance des Réseaux, on peut encore substituer au prisme droit centré l'octaèdre de \^ fig^ 28, dont l'axe A'A'^ traverse normalement et centralement la base parallélogrammique ACDE.

11 doit être entendu que cet octaèdre n'est point pour cela un solide générateur y capable de reproduire, par des juxtapositions immédiates, tous les Sommets de l'Assemblage.

Symétrie ter binaire.

Théorème L VI • — Si le solide générateur de l'Assemblage est un prisme droit à base rhombe, centré ou non centré, l'Assemblage possède trois axes de symétrie binaire rectangulaires entre eux.

Supposons que le rhombe ACDE {/ig. 24) soit la base du prisme droit générateur ; alors, si Ton jette les yeux sur h/ig. 25, qui représente, sur le plan z = o, i"* le Réseau z = o, dont les Rangées sont figurées par des lignes pleines, et en projection sur ce Réseau, les Réseaux z = 27, ainsi que les Réseaux z = 2y + 1 , mais ces derniers, dans le cas seulement de la

superposition de toutes les projections; 2^ mais, pour le cas de raltemance seulement, les Réseaux z = ay -h i , figurés par les lignes pointillées ac^ cdj de^ ae^ etc. , il deviendra évident que tout plan normal au plan de la figure, et dirigé suivant une des diagonales du rhombe, par exemple suivant la ligne 0La\ sera un plan de symétrie pour l'Assemblage, puisque tout est pareil à droite et à gauche de ce plan. Donc la diagonale AD, normale à ce plan, sera un axe binaire du système (théorème LII) ; on démontrerait de même que la seconde diagonale EC est aussi un axe binaire.

Scoliel. — Dans le cas où a {fig- ^5) tomberait sur le milieu de AA', c sur le milieu de AC, d sur le milieu de ËD, etc., le théorème précédent ne serait plus applicable, quoique le prisme générateur fût encore un prisme droit à base rhombe.

ScoUe IL — Si le triangle principal devient équilatéral, et si, de plus, les Réseaux sont superposés, la symétrie devient sénaire, et l'Assemblage appartient à une classe spéciale, dont il sera parlé ultérieurement; mais si, dans ce cas, les Réseaux successifs sont alternants, la symétrie générale de l'Assemblage n'est pas modifiée par cette circonstance.

Théorème LVII. — Si le Réseau normal à l'axe binaire est à maille rectangulaire, l'Assemblage possède trois axes de symétrie binaire rectangulaires entre eux.

Dans le cas où les Réseaux sont superposés sans alternance, le solide générateur est un parallélipipède rectangulaire non centré, et le théorème est évident.

Si les Réseaux sont alternants, il peut se présenter deux cas distincts : ou bien le point a de hjig. 24 tombe sur le milieu de l'hypoténuse du triangle principal, alors rectangle, ou bien sur le milieu de l'un des deux petits côtés.

Dans le premier cas, \si/ig. a6 offre la projection des Réseaux alternants sur le plan z = o. Dans ce cas, les plans menés normalement au plan z=o, suivant les droites AG, ax^j ED,..., ainsi que les plans menés suivant AE, ae, CD,..., sont évidemment des plans de symétrie de l'Assemblage : donc alors les côtés des rectangles sont des axes binaires (théorème LU).

Dans le second cas, la projection est représentée par \^Jig> 27, où ACDE

est la maille du Réseau z = o, acde celle du Réseau 2=1. Dans ce cas encore, les plans menés suivant les cotés des rectangles sont évidemment des plans de symétrie de l'Assemblage. On remarquera que, dans ce dernier cas, on peut adopter pour solide générateur un prisme droit à base rhombe ; il suffît, en effet, de prendre pour base la maille du Réseau rhombique situé dans le plan normal à z = o, et qui a pour trace la droite XoEe.

Scolie. — Si le rectangle se changeait en un carré, la symétrie deviendrait quaternaire, et l'Assemblage rentrerait dans une classe particulière, dont nous parlerons bientôt; cependant, dans le cas de Talternance correspondant à la^g^. 27, la symétrie resterait la même.

Définition. — Nous désignerons sous le nom de symétrie terbinaire celle qui est caractérisée par trois axes binaires normaux l'un à l'autre. Ces trois axes, quoique de même ordre, sont d'espèces différentes.

Thi^oreme LVIIL — Dans tout Assemblage à symétrie terbinaire, les plans réticulaires normaux aux axes binaires sont à maille rhombique ou rectangulaire.

Soient pris les trois axes binaires pour axes des x, des j et des z. Si l'on fait tourner l'Assemblage de 180 degrés autour de l'axe des a:, le Réseau 5=0 doit recoîncider avec lui-même; ainsi l'axe des x doit être un axe de sjrmétrie binaire pour le Réseau du plan deso:^*, ce qui exige (théorème XIV, corollaire II) que sa maille soit rhombe ou rectangulaire. Il en serait de même pour les Réseaux situés sur les plans des xz et des/z.

Corollaire. — Il résulte des théorèmes précédents que tout Assemblage terbinaire rentre dans l'une des quatre catégories suivantes :

1^. Prisme droit à base rhombe non centré , ou prisme droit rectangulaire ayant deux de ses faces latérales centrées ;

2^. Prisme droit à base rhombe, centré ;

3^. Prisme droit rectangulaire, non centré;

4^. Prisme droit rectangulaire, centré.

Dans les cas 2^ et 4^, on peut , pour faire dériver l'Assemblage, remplacer le prisme par un octaèdre ACDEA'A'^ {fig. 28), à base rhombe (deuxième cas)^ ou à base rectangulaire (quatrième cas).

Scolie. — J'ai démontré, dans mon <c Mémoire sur les Polyèdres de forme

JO MJ^MOIRE

symétrique », plusieurs théorèmes relatifs à la symétrie binaire. On peut les appliquer aux Assemblages, en ne perdant pas de vue qu'un Sommet quel* conque peut être considéré comme étant le centre de symétrie de l'Assemblage, et le lieu de croisement de ses axes et plans de symétrie. Je me bornerai à reproduire ici l'énoncé du théorème suivant (corollaire du théorème XIII de mon Mémoire), dont la démonstration directe n'offrirait d'ailleurs aucune difficulté :

« Lorsqu'il existe deux axes binaires normaux l'un à l'autre, il en existe )> toujours im troisième normal à leur plan. »

Théorème LIX. — Les mêmes systèmes de Rangées et de plans réticu^ laires se retrouvent dans l'Assemblage dérwant du prisme droit centré et dans l'Assemblage dérivant du même prisme droit non centré.

Le centrage du prisme n'est autre chose que l'intercalation d'un Sommet sur le milieu de l'une de ses quatre diagonales. Si l'on effectue la même intercalation sur tous les prismes de l'Assemblage, en opérant toujours sur la diagonale parallèle à celle primitivement choisie, il est clair que l'on aura un Assemblage doublé, dans lequel, en vertu du théorème LUI, on devra retrouver les mêmes systèmes de Rangées et de plans réticulaires que dans l'Assemblage primitif. Donc, etc.

Symétrie ternaire.

Théorème LX. — Dans tout Assemblage possédant un a^e ternaire, le Réseau des plans réticulaires normaux: à Va^e est à maille triéquiangle.

Soit M {fig- 1 1 ^^Jig* 29) l'un des Sommets de l'Assemblage, choisi de manière à être aussi voisin que possible de l'axe de symétrie ternaire, sans être cependant sur cet axe. Par M, menons le plan normal à l'axe, et le coupant en O; enfin construisons le triangle équilatéral MNP autour de O comme centre.

Si O est un Sommet de l'Assemblage, le Réseau ofifrira la configuration représentée Jig. 11 : M', N', P' seront aussi des Sommets, et l'axe de symétrie sera non-seulement un axe ternaire, mais, qui plus est, un axe sénaire. Fjï effet, prenons le plan de la figure {fig. 1 1) pour plan des xyiîlest clair que le Réseau des plans z=i, :; = 2,...,se projettera orthogonalement sur

celui du plan z= o ; car, en transportant le Réseau z = o sur le plan z=i, parallèlement à lui-même, il faut qu'aucun des Sommets de l'hexagone MM'NN'PP' ne se rapproche de Taxe. Dans ces conditions, la droite, menée par O normalement au plan de la figure, sera évidemment un axe sénaire.

Ce cas restant réservé, nous admettrons, dans ce théorème et les suivants relatif à la sj^métrie simplement ternaire, que le centre O {fig- 2^9) du triangle MNP n'est pas un Sommet de l'Assemblage, ce qui ne veut pas dire cependant que l'axe mené par ce point ne doit contenir aucun Sommet.

Le triangle MNP {Jig. 29), résultat de la construction indiquée, sera évidemment le triangle principal du Réseau : donc le Réseau sera à maille triéquiangle.

Thi^oreme LXl. — Dans tout Assemblage à symétrie simplement ternaire, deux plans réticulaires normaux à l'axe ternaire, et séparés par deux plans réticulaires intermédiaires ^ ont des Réseaux qui se projettent orthogonalement l'un sur l'autre.

Prenons le plus bas de ces quatre plans pour plan des a;j, de sorte que son équation soit z = o. Je dis que le Réseau du plan z = 3 se projettera orthogonalement sur le Réseau z = o.

Soit ABCDEF {Jig. 29) un hexagone régulier dont les sommets appartiennent au Réseau z = o, et par le centre O, qui est aussi un Sommet du Réseau, menons sur son plan une normale, qui sera un axe ternaire du système (théorème XLVII). Puis, transportons parallèlement à lui-même le Réseau z = o sur le plan z = i . Soit MNP le triangle principal du Réseau z = 1 , triangle dont la surface est percée par la normale élevée en O ; la figure représente la projection orthogonale de ce triangle sur le plan z == o.

Si O coïncidait avec la projection de l'un des Sommets M, N, P, les Réseaux se correspondraient dans les plans z = o, z = i , et la symétrie serait sénaire.

Ce cas étant exclu , la symétrie ternaire de la normale élevée en O exige que O coïncide avec le centre du triangle MNP; et, comme ce dernier triangle doit avoir ses côtés parallèles à AB, AO, BO, il n'est susceptible que des deux positions, inverses l'une de l'autre, MNP, M'N'P^ I.e triangle MNP, dont les sommets coïncident évidemment avec les centres de figure des triangles

AOF, BOC, DOE, peut être considéré comme provenant d'une translation, sans rotation, de AOB, ou de COD, ou de F/)F. Le triangle M'N'P', dont li'H sommets sont les centres de figure de DOC, EOF, AOB, proviendrait de la translation de l'un des triangles B(X, DOE, FOA.

Supposons donc que le Réseau z = i soit, en projection, le Réseau à lignes interrompues MNP... de la figure. Alors, dans le losange AOFG, la grande diagonale OG devra passer par M, et Ton aura, par des propriétés (connues du triangle équilatéral, OM = |0G. Si donc on joint le Sommet O \\\\ Sonmiet situé sur le plan z = i , et qui a M pour projection, Sommet que je nommerai M, (et qui n'est point indiqué sur la figure), l'oblique OM, sera l'origine d'ime Rangée de paramètre OM, . En prenant sur cette Rangée une longueur OG, = 3 OM, , le Sommet G, (qui n'est point marqué sur la ligure) devra évidemment avoir sa projection en G, et, de plus, il appartiendra au plan z = 3. D'où l'on voit que le Réseau z = 3 se projette sur le Réseau z = o.

Deuxième démonstration. — Soit OO'O'^O"^ {fiS* 3o) l'axe ternaire passant par le Sommet O qui est censé appartenir au plan z = o ; cet axe est coupé en O', O'^ par les plans z = i , z = 2, et au point O"^ par le plan z = 3. Le triangle équilatéral M'N'F de la figure est la maille triangulaire du Réseau du plan z = i , et il a son centre en O^ sur l'axe ternaire.

Par l'axe OO'^ et par l'un des trois Sommets M', N', F, par exemple par M', menons le plan M'OO'm' qui coupera N'P' en son milieu m' et sera perpendiculaire à cette ligne. Sur OF, ON', comme cotés, construisons le rhoml)e ON'P'M'' dont le quatrième Sommet M'^ appartiendra à l'Assemblage, sera situé dans le plan z = 2, et sera, en outre, évidemment contenu dans le plan M'OO'm'.

On aura alors

M'^0'^=2 0'm'=M'0', 0'^0^= 00', tXVM'=9o^=0^0''M\

l)t>nc les triangles OO'M' et 0"'0^^r sont égaux : donc M'^O^ est égal ot |>araUèle à OM'; ainsi O"' est aussi un Sommet de l'Assemblage (théor«nno X\\)« Donc les Sommets du Réseau z = 3 se projettent ordiogonaloinont sur ceux du Réseau c = o.

Scolie. — On voit facilement que le Réseau pointillé M'N'P'... {fig. 29) sera la projection orthogonale du Réseau du plan z = 2.

Si, au contraire, le Réseau M'N'P^.. avait été la projection orthogonale du Réseau z = i , alors MNP... eût été celle du Réseau z = 2.

Corollaire. — Si, sur la Rangée OG3, Ton supprime le Sommet M,, ainsi que celui qui vient après M, sur la même Rangée, et si Ton feit la même opération sur tout le système des Rangées parallèles à OG,, et qui partent des Sommets du Réseau z=o, on changera l'Assemblage ternaire en un Assemblage sénaire qui aura pour noyau un prisme droit à base rhombe de 60 et 1 20 degrés. Réciproquement, on passera de l'Assemblage sénaire à l'Assemblage ternaire correspondant, trois fois plus riche en Sommets, en intercalant deux nouveaux Sommets sur chaque paramètre d'un système de Rangées parallèles à l'une des deux grandes diagonales du prisme générateur à base rhombe.

Mais il importe de remarquer que l'on obtient ainsi deux Assemblages distincts, selon que l'on a choisi l'une ou l'autre des deux diagonales; ces Assemblages ont la propriété de coïncider, lorsque l'on fait tourner l'un d'eux de 180 degrés autour de l'axe ternaire. Ainsi, d'un même Assemblage sénaire peuvent dériver deux Assemblages ternaires, distincts par leur situation dans l'espace, un Assemblage ternaire direct et un Assemblage ternaire irwerse.

Théorème LXII. — Tout Assemblage à symétrie simplement ternaire a pour noyau un rhomboèdre.

Reprenons la fig. 3o et la deuxième démonstration du théorème précédent. Faisons tourner de 1 20 degrés autour de 00"'' le parallélogramme OM'O^'M": le Sommet M' viendra se substituer successivement à N' et à F; le Sommet M'' viendra se substituer à N'^ et à P". Or, de même que les quatre Sommets O, N', F, M'' forment un rhombe plan, OM'N'F, OM'FN'^ seront aussi des rhombes plans égaux au précédent, et il est visible qu'il en

sera de même des trois faces supérieures.

Le solide ainsi obtenu sera donc un rhomboèdre, et comme il ne renferme aucun Sommet de l'Assemblage, ni dans son intérieur, ni sur ses

XXXÏIP Cahier. lo

faces ou arêtes, il pourra être considéré comme étant le parallélipipède générateur ou noyau de l'Assemblage.

Corollaire. — On peut aussi faire dériver l'Assemblage de l'un des tétraèdres élémentaires OM'N'P', ^M'^N'^P'' {fig. 3o): les quatre sommets suffisent pour fixer complètement le système entier de l'Assemblage ; mais ce tétraèdre n'est point un solide générateur proprement dit.

Théorème LXHI. — Tout Assemblage à symétrie ternaire possède trois plans de symétrie passant par l'axe et perpendiculaires aux trois directions des cotés du triangle principal du Réseau des plans normaux à l'axe.

La Jig. 29 représente en projection orthogonale les trois Réseaux des plans z = o,z = i, 2 = 2; tous les autres Réseaux des plans z =/? se projettent sur les précédents, les Réseaux de la forme z = 3j sur le Réseau 3 = 0, ceux de la forme z = Sy + 1 sur le Réseau z = 1 , ceux de la forme z = 3y -h 2 sur le Réseau z = 2. Soit menée par O la droite OMG normale au côté AF, et par cette droite un plan normal au plan de la figure. Ce plan sera évidemment un plan de symétrie pour chacun des trois Réseaux; il sera donc un plan de symétrie de l'Assemblage.

De même, les plans menés par O normalement aux côtés AB, BG seraient aussi des plans de symétrie; d'ailleurs la symétrie ternaire exige que ces plans soient au nombre de trois. Donc, etc.

Les plans menés par O, normalement au plan de la figure, et parallèlement aux côtés, ne sont pas des plans de symétrie de l'Assemblage.

Scolie. — Les cristallographes désignent sous le nom de section principale du rhomboèdre, tout plan tel que OM'm'^0"']Vrm' {fig. 3o) qui passe par l'axe géométrique du rhomboèdre et par deux de ses six sommets latéraux, tels que M' et Rf : OO'^ est dit Vaxe du rhomboèdre.

On voit, d'après cela, que les trois sections principales du rhomboèdre servant de noyau à un Assemblage ternaire sont des plans de symétrie pour cet Assemblage.

Th^orisme LXIV. — Dans les Assemblages à symétrie ternaire, tout roté de la maille triéquiangle d'un Réseau normal à l'axe ternaire est un axe binaire de l'Assemblage.

C'est une conséquence évidente des théorèmes LIl et LXllL On le

voit, d'ailleurs, clairement sur la fig. 29, en considérant le Réseau MNP comme appartenant au plan z= i , et le Réseau M'N'P' comme appartenant au plan z =: — i . Alors, après une rotation de 1 80 degrés autour de la droite AOD, M vient en P', P en M', etc. ; de sorte que le Réseau z = 1 prend la place du Réseau z = — i , et vice versa. De même, les Réseaux z=p et :: = — p se substitueraient l'un à l'autre ; donc AOD est un axe binaire.

Symétrie quaternaire.

Théorème LXV. — Dans tout Assemblage à axe de symétrie quaternaire, le Réseau des plans réticulaires normaux à l'axe quaternaire est à maille carrée.

Soit M {fig. 3i) l'un des Sommets de l'Assemblage placé à la distance minimum de l'axe quaternaire, mais hors de cet axe. De M menons un plan normal à l'axe, et qui le coupe au point O ; puis, dans le cercle de centre O et de rayon OM, inscrivons un carré MM'JWM''' dont M soit un des sommets : les quatre points M, M', M'^ M'^' appartiendront au Réseau de ce plan. Alors, si le point O est l'un des Sommets de l'Assemblage, le Réseau aura pour parallélogramme générateur le carré OM/wM', et le carré MM'M'^M"^, dans le cas contraire.

Théorème LXVL — Tout Assemblage à axe de symétrie quaternaire dérii^e du prisme droit à base carrée, centré ou non centré.

L'axe quaternaire possédant évidemment toutes les propriétés d'un axe binaire, le noyau de l'Assemblage sera un prisme droit à base parallélogrammique, centré ou non centré (théorème LV).

Si le prisme n'est pas centré, tous les Réseaux des plans z =/? se projetteront sur celui du plan z = o normal à l'axe quaternaire, et il en résultera, en projection orthogonale, la disposition indiquée par la fig. 32.

Si le prisme est centré, les Réseaux des plans z = nj se projetteront encore sur le Réseau à maille carrée z = o; mais, quant aux plans z = 2y -t- 1 , la projection de leurs Sommets se fera {/ig' 32) sur le milieu de l'un des trois côtés du triangle principal ABC (théorème LV, scolie I): or elle ne peut se faire ni sur O', ni sur O"; car le prisme droit élevé sur le carré

ABGD, comme base, aurait deux de ses faces latérales centrées, et les deux

autres non centrées , résultat évidemment incompatible avec la symétrie des axes quaternaires menés par les Sommets A, B, G, D. Donc la projection du Réseau z = i se fera en O, c'est-à-dire sur les centres des carrés du Réseau jj = o, comme l'indique la fig. 33.

Corollaire I. — Le théorème LUI peut être appliqué aux Assemblages quaternaires. Les mêmes systèmes de Rangées et de plans réticulaires se retrouvent dans l'Assemblage dérivant du prisme droit centré et dans l'Assemblage dédoublé que Ton obtient en supprimant les Sommets placés aux centres des prismes.

Corollaire IL — On peut substituer au prisme droit centré à base carrée l'octaèdre à base carrée de la fig. 28; toutefois ce solide n'est pas un solide générateur de l'Assemblage.

Th^orebie LXVIL — Dans le cas du prisme droit à base carrée, non centré, les quatre arêtes latérales sont des axes de symétrie quaternaire : les oarallèles à ces axes menées par les centres des bases carrées sont aussi des a^xes quaternawes; mais ces ojces sont du genre de ceux que nous aidons nommés axes intermédiaires, et ne renferment aucun } des Sommets de V Assemblage.

Thj^orème LXVin. — Dans le cas du prisme droit centré à base carrée, tous les a^xes de symétrie quaternaire sont des Rangées, et ont pour paramètre la hauteur du prisme.

Théorème LXIX. — Dans tout Assemblage quaternaire, il caviste des plans de symétrie passant par l'axe, et dirigés, les uns suivant les cotés, les autres suivant les diagonales du carré générateur du Réseau normal à l'axe quaternaire.

Corollaire. — Chaque côté et chaque diagonale du carré générateur du Réseau normal à l'axe quaternaire sont des axes binaires de l'Assemblage (théorème LII).

Définitions. — Les axes parallèles aux cotés des carrés seront dits axes binaires de première espèce; les axes parallèles aux diagonales de ces carrés seront dits axes binaires de deuxième espèce. Les premiers ont le côté du carré, et les autres la diagonale du même carré, pour paramètre.

Ces quatre systèmes d'axes se coupent sous des angles de 45 degrés et de 90 degrés.

Ces divers énoncés n'exigent aucune démonstration.

Symétrie sénaîre.

Tu^ORiiiME LXX. — Dans tout Assemblage à axe sénaire, le Réseau des plans, normaux a Va^e est a maille triéquuingle, et les divers liéseawr de ces plans se projettent orthogonalement les uns sur les autres.

Soit M {fig* 1 1) l'un des Sommets, pris hors de Taxe, au minimum de distance. Menons par M un plan normal à Taxe, et qui le coupe au point (). Soit construit alors l'hexagone régulier MM'NN' PP' ayant son centre en (). Chacun de ses sommets sera un Sommet de l'Assemblage, et il en sera de même du centre O. Ce plan étant pris pour plan des ay^ son équation sera 2 = 0.

Sur les plans réticulaires js = i, z = 2,..., la même démonstration est applicable; l'intersection de chacun de ces plans avec l'axe sera aussi un Sonmiet. Donc les Réseaux de ces plans coïncident, en projection orthogonale, avec le Réseau du plan z = o. D'ailleurs il est évident que ces Réseaux sont à maille triéquiangle.

Corollaire. — L'axe sénaire est une des Rangées de l'Assemblage, et cette Rangée est conjuguée avec son plan normal.

Théorème LXXI. — Tout Assemblage à axe de symétrie sénaite dérive d'un prisme droit a hase triéquiangle.

C'est une conséquence du corollaire précédent. Si sur le rhombe OMM'N {fig. Il) on élève un prisme droit ayant pour hauteur l'intervalle qui sépare le plan 2 = o du plan z = i , ce solide sera le parallélipipède générateur de F Assemblage, puisque OM et ON sont deux Rangées conjuguées du Réseau du plan OMM' N.

I^ prisme droit de même hauteur et de base triangulaire OMM^ peut aussi être pris pour solide générateur de l'Assemblage.

Corollaires. — Toutes les Rangées parallèles à l'axe sénaire sont aussi des axes sénaires.

jH MÉMOIRE

Toute parallèle à l'axe sénaire menée par le centre de Tun des triangles équiangles du Réseau normal à Taxe est un axe intermédiaire, dont la symétrie est ternaire.

Toute parallèle à Taxe sénaire menée par le milieu de l'un des côtés des triangles équiangles du Réseau z = o est aussi un axe intermédiaire, mais de symétrie binaire.

Tous les plans réticulaires normaux à Taxe sénaire sont des plans de symétrie.

Tous les plans réticulaires passant par Taxe sénaire et parallèles aux côtés des triangles du Réseau z = o sont des plans de symétrie; il y a trois systèmes distincts de tels plans.

Tous les plans réticulaires passant j)ar Taxe sénaire et perpendiculaires aux côtés des triangles du Réseau z = o sont aussi des plans de symétrie ; il y a trois systèmes distincts de tels plans.

Dans chacun des triangles équiangles du Réseau z = o, chaque côté est un axe de symétrie binaire de l'Assemblage; il y a trois systèmes de tels axes, et ces axes sont de même espèce.

Dans ces mêmes triangles, chaque normale à un côté menée par le sonmiet opposé est aussi un axe de symétrie binaire; il y a trois systèmes de tels axes: ces axes sont de même espèce entre eux, mais d'espèce différente de celle des précédents.

Dcfinitiotis . — Les axes parallèles aux côtés seront dits axes binaires de première espèce; les axes perpendiculaires aux côtés, et dont le paramètre est la grande diagonale du rhombe générateur du Réseau z = o, seront dits axes binaires de deuxième espèce.

Ces six systèmes d'axes se coupent entre eux sous des angles de 3o, (>o et 90 degrés.

ThéorilMe LXXII. — Si, dans un Assemblage à symétrie simplement ternaire, on supprime, parmi les Réseaux des plans réticulaires normawr a l'axe, ceux qui ont un numéro d'ordre rwn divisible par 3, on obtient un Assemblage à symétrie sénaire : toutes les Rangées et plans réticu • l air es de l' Assemblage primitif se retrouvent dans le nouvel Assemblage,

La première partie de la proposition énoncée a déjà été démontrée (théorème LXI, corollaire); la suppression indiquée revient à annuler

deux Sommets sur trois, sur chacune des grandes diagonales des prismes droits générateurs à base rhombe. Or nous avons vu (théorème LUI) que rintercalation de nouveaux Sommets, ou la suppression des Sommets intercalés, dans un système de Rangées parallèles, n'altère pas les divers systèmes de Rangées ou de plans réticulaires, du moins quant à la direction de ces systèmes.

La suppression des plans à indice non multiple de 3 modifie les systèmes de Rangées, soit en rendant leur densité trois fois moindre, soit en rendant leur paramètre trois fois plus grand. Elle modifie les systèmes de plans réticulaires, soit en triplant l'épaisseur des strates, soit en triplant l'aire de la maille génératrice des Réseaux de ces plans.

Symétrie terquaternaùe.

Les énoncés des théorèmes qui vont suivre, et la définition de la page 86, indiqueront ce que l'on doit entendre par la symétrie terquaternaire.

Théorème LXXIIL — Lorsqu'un Assemblage possède deux axes de symétrie ternaire non parallèles, il en possède quatre, disposés comme le sont les quatre grandes diagonales d'un cube, c'est-à-dire se coupant sous l'angle 70*'3i'44" dont le cosinus est égal à \j et il ne peut en posséder un plus grand nombre.

Soient OA et OB {Jig. 34) les deux axes de symétrie donnés partant d'un même Sommet O, et prolongeons-les jusqu'à la rencontre d'une surface sphérique de centre O et de rayon égal à i. Menons l'arc de grand cercle AB, et faisons tourner le système OAB de 1 20 degrés autour de OB, jusqu'à ce qu'il arrive en 0GB, puis de 120 degrés autour de OC, etc.; nous arriverons facilement par cette voie à démontrer que les axes ternaires sont assemblés, ou bien comme les quatre diagonales d'un cube, ou bien comme les dix diagonales d'un dodécaèdre régulier; mais si l'on nomme ca {Jig' 34) le centre du polygone régulier sphérique ABCD... ainsi obtenu, Ocj devra être aussi un axe de symétrie tel, que la restitution des Sommets s'opère après une rotation égale à l'angle Ae»C, autour de Oû>; or, dans le cas du dodécaèdre régulier, on aurait

8o MléMOIRE

angle qui ne peut jamais (voyez le corollaire du théorème XL VI) produire la restitution des lieux des Sommets : donc le cas de dix axes ternaires assemblés comme les diagonales d'un dodécaèdre régulier doit être exclu; donc, etc.

Ceux de nos lecteurs qui désireraient une démonstration plus développée de ce théorème, la trouveront dans mon « Mémoire sur les Polyèdres de forme symétrique :». Je me borne à rappeler que j'ai démontré dans ce Mémoire :

1°. Que lorsqu'il existe dans un polyèdre deux axes d'ordre supérieur au deuxième, le polyèdre est sphéroédrique (théorème XL de mon Mémoire) ;

2°. Qu'il existe deux groupes de polyèdres sptœroédriquesy les quater^ ternaires, ayant quatre axes ternaires assemblés comme le sont les quatre diagonales d'un cube, et les décemternaires ^ ayant dix axes ternaires assemblés comme le sont les dix diagonales d'un dodécaèdre régulier (corollaire du théorème XLIII, même Mémoire);

3^. Que les polyèdres décemternaires ont en même temps dix axes quinaires (théorème LII, même Mémoire)-

Comme les Assemblages ne peuvent jamais posséder d'axes quinaires, ils ne peuvent, par conséquent, avoir dix axes ternaires.

De là résulte clairement que tout Assemblage qui a deux axes ternaires rentre dans la catégorie des polyèdres quaterternaires j et même dans la catégorie spéciale des polyèdres quaterternaires à centre de symétrie, puisque chaque Sommet d'un Assemblage peut être pris pour son centre de symétrie. Ainsi le théorème actuel est complètement démontré.

Théorème LXXIV. — Le plan de jonction de deux axes ternaires non parallèles est un plan de symétrie de l'Assemblage.

Soient OA [fig. 35) l'un de ces axes, et OB le second axe: du Sommet O, et d'un rayon OA égal à i , décrivez une surface sphérique ; menez l'arc de grand cercle AB, et les arcs de grand cercle AC, AD, tels, que l'on ait

BAC = i2o% BAD = i2o% AC = AD = AB.

Par OA passent trois plans de symétrie (théorème LXIII) qui couperont la sphère suivant trois grands cercles. Si ces plans n'étaient pas dirigés

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES REGULIEREMENT. 8l

suivant AB, AC, AD, ils le seraient suivant Aè, Ac, Ad; B,C, D auraient des homologues en B', C, D': ainsi non-seulement OB, OC, OD seraient des axes ternaires ; mais il en serait de même de OB', OC', OD', ce qui est contraire au théorème précédent. Donc OAB, OAC, OAD sont des plans de symétrie; ce sont, de plus, les trois sections principales du rhomboèdre générateur dont Taxe est dirigé suivant OA.

Théorème LXXV . — Les bissectrices des angles 70^ 3 1 ' 44'' , 1 09° 28' 1 6" , que forment entre eux deux axes ternaires^ sont des axes de symétrie pour le Réseau du plan réticulaire qui unit ces deux axes.

La démonstration de ce théorème se déduit facilement des principes exposés dans mon « Mémoire sur les Polyèdres de forme symétrique » : car il en résulte que la bissectrice de l'angle obtus (109° 28' 16") de deux axes ternaires d'un polyèdre quaterternaire est toujours un axe de symétrie binaire ou quaternaire du polyèdre (théorème XLIV de ce Mémoire); donc cette bissectrice est un axe de symétrie pour les Réseaux de tous les plans réticulaires qui passent par cette droite. La bissectrice de l'angle aigu des deux axes ternaires sera donc aussi un axe de symétrie du Réseau de leur plan (théorème XII).

Problème XXIX. — Trouver les assemblages qui possèdent quatre axes de symétrie ternaire.

Dans un Assemblage quelconque à noyau rhomboédrique, soit 00' [fig. 36) Taxe ternaire, de paramètre 00'; O, O' sont deux Sommets, et l'une des trois sections principales est prise pour plan de la figure. Soit AOA'O' cette section principale : si par les Sommets O, A, A', O' on imagine des plans GOH, A/wB, A'/n'B', G'O'H' normaux à l'axe, ces plans pourront être considérés comme ayant pour équations

ils divisent donc le paramètre de l'axe 00' en trois parties égales.

Maintenant nommons

A6 l'angle du rhomboèdre, c'est-à-dire l'angle que forment entre elles deux faces de ce rhomboèdre passant toutes les deux par O, ou toutes les deux par O';

XXXnV Cahier. M

8 a MEMOIRE

a le paramètre des axes binaires de l'Assemblage, c'est-à-dire la longueur des côtés du triangle équiangle formant la maille du Réseau des plans z = o, z = !,..•;

d le paramètre de Taxe ternaire, c'est-à-dire la longueur 00'.

Il est aisé de voir que l'on a, quel que soit l'angle (jl du rhomboèdre,

Am = Ps!m!=- y/| a,

l'angle ,u dépend du rapport existant entre les paramètres a et d^ et l'on trouve facilement que cette dépendance est exprimée par la formule

(62) tang4^ = J. + l.

Ces préliminaires, qui s'appliquent à tous les Assemblages ternaires, étant posés, cherchons la condition pour que l'Assemblage possède quatre axes ternaires.

Prenons pour plan de la figure le plan de jonction de 00' avec le deuxième axe ternaire, qui sera OA. On sait: i® que ce plan sera Tune des trois sections principales du rhomboèdre à axe 00' (théorème LXXIV); 2^ que l'on doit avoir

cos mOA = \ (théorème LXXIII),

d'où il résulte que Ton a

3** que la bissectrice OM de l'angle AOO' est un axe de symétrie du Réseau du plan de la figure (théorème LXXV).

D'où l'on voit que, si l'on mène AM parallèle à 00', O'M parallèle à OA, la figure OAMO' sera un rhombe dont les quatre sommets seront des Sommets appartenant au Réseau du plan de la figure, et dont les diagonales OM, AO' seront des axes de symétrie du Réseau (théorème LXXV). Si maintenant on partage OA en trois parties égales O/i, nn\ n'A, les plans normaux à OA, passant par O, n, n'. A, viendront couper la bissectrice OM en C, B', N. Comme les Sommets de notre Réseau ne peuvent se rencontrer, d'une part, que sur le système des Rangées G'O'H', A'/n'B', BmA, d'autre part,

que sur le système des Rangées APN, /l'RB'Q, nCO^ ces Sommets ne doivent être cherchés que sur les points d'intersection de ces droites. Mais d'abord il est évident que les quatre points R, P, Q, D' ne peuvent appartenir à l'Assemblage; car, si le point D^ était dans ce cas, en le faisant tourner de I20 degrés autour de 00 ^ il viendrait en un lieu de l'espace tel, qu'il aurait u pour projection sur le plan de la figure, et serait situé dans l'intérieur de la strate comprise entre les deux plans menés par O et /i normalement à OA, ce qui est évidemment impossible. Donc les points C, B', N peuvent seuls être des Sommets, dans l'intérieur du rhombe OAMO'. Donc le nombre des solutions se réduit à trois, le paramètre de la Rangée OCB'M étant nécessairement égal à OM, ou à 0B'= { OM, ou à OC = { OM.

Première solution. — Le paramètre de la Rangée bissectrice est égal h OM. Le parallélogramme AOA'O' est alors la section principale du rhomboèdre ayant 00' pour axe.

Ce rhomboèdre est complètement déterminé par l'équation

d'où l'on tire

A/n =0A — Om =\d\

tang*{/u=3, /u = i20*'.

L'Assemblage dépendant du rhomboèdre de 120 degrés auquel nous sommes ainsi conduits, peut être obtenu en centrant tous les cubes d'un Assemblage à noyau cubique. En effet, le point O peut être considéré comme étant le plus bas Sommet d'un cube dont le centre serait en O' et le Sommet supérieur en O"; le parallélogramme OA'O'^M serait sa section principale suivant la diagonale OO''; le Sommet A serait le centre de Tun des six cubes qui se juxtaposent à OA'O^'M suivant chacune de ses faces.

Deuxième solution. — Le paramètre de la Rangée bissectrice est égal à OB'. Le rectangle OB'O'B est alors la section principale du rhomboèdre qui a 00^ pour axe. L'arête O'B^ du rhomboèdre étant normale à la &ce qui a O'B pour ti^ace, on voit que le rhomboèdre correspondant est un

■ Sj"

cube. On déduirait aussi ce résultat des formules

a* = 3 B^' = f Âi^' = I rf%

Troisième solution. — Le paramètre de la Rangée bissectrice est égal a OC. Dans ce cas, O, G, B', N, M sont des Sommets de l'Assemblage. La section principale est OCO'C. On a, alors,

a^ = 3C^' = |B^' = lrf%

D'après la valeur, 7o*'3i'44^ de l'angle dièdre du rhomboèdre générateur, on reconnaît qu'il se termine supérieurement et inférieurement par deux tétraèdres réguliers. On a, d'ailleurs.

OC =0m +Gm = irf^ h- ^rf» = irf^ = a%

ce qui prouve bien que les trois faces latérales de ce tétraèdre sont des triangles équilatéraux.

Les Sommets C, G occupent les centres de deux des faces du cube à section principale OBO'B'; les quatre Sommets qui se projettent orthogonalement en D et D', sur le plan de la figure, occupent les centres des quatre autres faces du même cube. Ainsi l'Assemblage actuel peut être considéré comme dérivant d'un cube ayant ses six faces centrées.

En résumé, le cube, le rhomboèdre de 120 degrés (rhomboèdre tangent extérieurement au cube, suivant le langage des crislallographes) , et le rhomboèdre de 70° 3 1 '44'^ (rhomboèdre tangent intérieurement au cube), sont les seuls rhomboèdres qui puissent servir de noyau à un Assemblage possédant quatre axes ternaires.

Théorème LXXVL — Les Assemblages qui possèdent quatre a^es ternaires possèdent aussi trois axes quaternaires ,

On peut substituer aux trois rhomboèdres que nous venons d'obtenir le cube centré, le cube non centré et le cube à six faces centrées. Or chacun de ces solides possède évidemment trois axes quaternaires ; ce sont les lignes

qui joignent deux à deux les centres des &ces opposées de ces cubes. Ces axes quaternaires sont rectangulaires entre eux.

Théorème LXXVII. — Lorsqu'il existe deux axes de symétrie quaternaire, il en existe trois assemblés rectangukdrement^ et Une peut en exister un plus grand nombre.

Ce tliéorème se démontrerait comme le théorème LXXIII. Les intersections des axes avec la sphère de rayon i forment un système de six points répartis de manière à figm*er les sommets d'un octaèdre régulier inscrit ; donc, etc.

C'est d'ailleurs une conséquence immédiate du théorème XU de mon « Mémoire sur les Polyèdres de forme symétrique » .

Problème XXX. — Trousser les Assemblages qui possèdent trois axes quaternaires.

Le solide générateur de tout Assemblage à un axe quaternaire est un prisme droit à base carrée, centré ou non centré (théorème LXVI). Soit donc OACB {fig- Sy) la base de ce prisme, O, A, C, B étant des Sommets de l'Assemblage.

Soient a le paramètre des Rangées dirigées suivant les côtés de ce carré, d le paramètre des Rangées normales à son plan.

Les deux axes quaternaires qui restent disponibles sont nécessairement situés dans le plan OACB (théorème LXXVII); ils sont donc dirigés suivant OA, OB, ou suivant OC, GOE; sans cela, la symétrie binaire que possèdent ces dernières lignes (théorème LXIX, corollaire) doublerait le nombre des axes quaternaires, ce qui serait contraire au théorème TiXXVlI. De là résultent les trois solutions suivantes :

Première solution. — Si le prisme n'est pas centré, les axes situés dans le plan de la figure ne peuvent être OC et GOE; car une rotation de 90 degrés autour de OC amènerait A dans l'intérieur du prisme indéfini qui a OACB pour base, et qui doit rester vide de tout Sommet dans son intérieur : mais l'on peut prendre OA, OB pour axes quaternaires, et, en faisant tourner OACB de 90 degrés autour de OA, on voit que Ton aura

rf == rt.

Ainsi, dans ce cas, le solide générateur est un cube non centré.

Deuxième solution. — Si le prisme est centré, soit D son centre (que l'on n'a point marque sur la figure), se projetant orthogonalement en d sur le centre du carré OACB.

Si les axes quaternaires disponibles sont alors dirigés suivant OA , OB, une rotation de OACB autour de OA, égale à 90 degrés, fera voir que Ton a, comme précédemment ,

Le point D occupera le centre du cube ayant OACB pour base; le solide générateur est alors un cube centré.

Troisième solution. — Enfin , si les axes quaternaires disponibles sont OC et GOE, en effectuant ime rotation de 90 degrés autour de OC, on voit que A viendra en D; d'où Ton déduit

Drf = Arf=av/|,

et , en doublant cette hauteur, on aura la hauteur du prisme générateur, savoir,

Mais, si Ton prend alors le carré OCFE pour base, le prisme se change évidemment en un cube centré sur ses six faces.

Corollaire. — Les trois genres d'Assemblages que fournit la solution du problème XXX coïncident avec les trois genres d'Assemblages que fournit la solution du problème XXIX.

Il en résulte que les Assemblages qui possèdent trois axes de symétrie quaternaire possèdent quatre axes de symétrie ternaire, et vice versa.

Théorème LXXVIII. — Tout assemblage qui possède en même temps un axe ternaire et un axe quaternaire, possède trois axes quaternaires et quatre axes ternaires.

Les trois axes quaternaires sont une conséquence de la symétrie propre à l'axe ternaire donné ; l'Assemblage possède donc aussi quatre axes ternaires (corollaire précédent).

Définition. — Nous nommerons dorénavant Assemblages terquaternaires les trois genres d'Assemblages dont nous venons de constater l'existence, et

qui possèdent en même temps trois axes quaternaires et quatre axes ternaires. La symétrie qui caractérise ces Assemblages sera dite symétrie terquaternaire. La présence simultanée de deux de ces sept axes suffit pour constater la symétrie terquatemaire.

Théorème LXXIX. — Tout Assemblage terquaiernaire possède six a:tes binaires qui bissèquent les angles droits que Jbrment les axes quaternaires combinés deux à deux.

Soient a?'Oa:, j'Oj, z^Oz {fig- 4^) trois axes quaternaires se coupant au Sommet O; la symétrie de l'axe quaternaire Oz exige que les deux bissectrices des angles a?Oj, x'Oy soient des axes binaires (théorème LXIX, corollaire). D en serait de même pour les quatre autres bissectrices.

Théorème LXXX. — Tout Assemblage terquatemaire possède trois plans de symétrie joignant deux a deux les axes quaternaires y et six autres plans de symétrie joignant deux à deux les axes ternaires y mais d'autre espèce que les trois précédents.

La présence des trois axes quaternaires exige que les plans réticulaires normaux à ces axes soient des plans de symétrie de l'Assemblage (théorème LU). Les six axes binaires nécessitent de même six plans de symétrie qui leur soient normaux ; du reste, on a déjà vu ( théorème LXXIV) que le plan de jonction de deux axes ternaires était un plan de symétrie : un tel plan est évidemment normal à l'un des six axes binaires du système.

ScoUe. — Pour se figurer la position mutuelle de ces axes et plans, on peut considérer un cube dont le centre coïncide avec leur point de concours. Les quatre diagonales du cube sont les axes ternaires; les trois droites, joignant deux à deux les centres des &ces opposées, sont les axes quaternaires; les six droites, joignant deux à deux les milieux des arêtes opposées, sont les axes binaires ; les plans menés par le centre parallèlement aux faces sont les trois plans de symétrie de première espèce; les plans menés par deux arêtes opposées sont les six plans de symétrie de seconde espèce.

On peut également diviser la sur&ce de la sphère en huit triangles trirectangles, au moyen de trois grands cercles: les sommets Q, Q', Q",..., de ces triangles sont alors des extrémités d'axes quaternaires; les centres

T, T', T'', . . . , de ces mêmes triangles sont des extrémités d'axes ternaires, et les milieux B, B', B''',..., de leurs côtés sont des extrémités d'axes binaires. On a, en se bornant à considérer les plus petits des angles formés par ces axes, et en nommant O le centre de la sphère, les relations angulaires suivantes :

Q0Q'=9o^ QOT=54M4'8%

TOr=7o°3i'44'', QOB = 45%

BOB' = 6o^ TOB = 35^ 1 5'52^

Thiêorème LXXXI. — S'il existe dans un Assemblage un axe de sy* métrie sénaire, il ne peut y exister aucun autre axe que des axes binaires situés dans le plan normal à cet axe.

Et d'abord il ne peut exister simultanément deux axes sénaires, puisqu'il n existe aucun polyèdre régulier dont les angles plans s'assemblent six par six à chaque sommet {"voyez les démonstrations des théorèmes LXXIII et LXXVII, ou mieux encore le théorème XLI de mon « Mémoire sur les Polyèdres de forme symétrique »).

S'il existait dans l'Assemblage un axe ternaire ou quaternaire, ou même un axe binaire oblique à l'axe sénaire, la symétrie propre à cet axe forcerait l'axe sénaire à se répéter, et il y aurait au moins deux axes sénaires dans l'Assemblage, ce qui n'est pas possible, d'après la remarque précédente.

Classification des Assemblages symétriques.

Au point de vue de leur symétrie, on peut distinguer sept classes d'Assemblages que je désigne de la manière suivante :

Première classe. — Assemblages terquaternaires. Trois axes quaternaires, quatre axes ternaires et six axes binaires, disposés comme le sont les lignes joignant deux à deux, dans un cube, les centres des faces opposées, les sommets opposés et les milieux des arêtes opposées. Trois plans de symétrie normaux aux axes quaternaires; six plans de symétrie normaux aux axes binaires.

Trois modes d'arrangement distincts :

I®. Le cube;

2**. Le cube centré, que Ton peut remplacer par le rhomboèdre de 1 20 degrés ;

3®. Le cube à faces centrées, que Ton peut remplacer par le rhomboèdre de 70*'3 1'44'^ ou par le prisme centré, à base carrée, dont la hauteur égale le côté de la base multiplié par y^. Le tétraèdre régulier et l'octaèdre régulier peuvent aussi servir à la dérivation de ce troisième mode.

Deuxième classe. — Assemblages sénaires. Un axe sénaire normal à un plan réticulaire dont le Réseau est à maille triéquiangle; trois axes binaires de première espèce, parallèles aux côtés du triangle principal ; trois axes binaires de deuxième espèce, parallèles aux hauteurs.

Un plan de symétrie normal à Taxe sénaire ; trois plans de symétrie de même espèce, normaux aux axes binaires de la première espèce; trois plans de symétrie d'une autre espèce, normaux aux axes binaires de la deuxième espèce. ^

Un seul mode d'aiTangement, indiqué par les six sommets d'un prisme droit à base triéquiangle. Le parallélipipède générateur est un prisme droit dont la base est un rhombe de 60 et 1 20 degrés.

Troisième classe. — Assemblages quaternaires. Un axe quaternaire normal à un plan réticulaire dont le Réseau est à maille carrée ; deux axes binaires de première espèce, parallèles aux côtés de ce carré; deux axes binaires de deuxième espèce, parallèles aux diagonales.

Un plan de symétrie normal à l'axe quaternaire; deux plans de symétrie de même espèce, normaux aux axes binaires de la première espèce; deux plans de symétrie d'une autre espèce, normaux aux axes binaires de la deuxième espèce.

Deux modes distincts d'arrangement :

1**. Le prisme droit à base carrée;

2*". Le prisme droit à base carrée, centré; on peut lui substituer un octaèdre droit à base carrée.

Quatrième classe. — Assemblages ternaires. Un axe ternaire normal à un plan réticulaire dont le Réseau est à maille triéquiangle; trois axes binaires de même espèce, parallèles aux côtés du triangle principal.

Trois plans de symétrie passant par l'axe ternaire et perpendiculaires aux axes binaires.

XXXIIP Cahier. 12

Un seul mode d'arrangement indiqué par les huit sommets d'un rhomboèdre.

Cinquième classe. — Assemblages terbinaires. Trois axes de symétrie binaire, rectangulaires entre eux, tous les trois d'espèces différentes ; trois plans de symétrie joignant ces axes deux à deux.

Quatre modes distincts d'arrangement :

1°. Le prisme droit à base rectangle;

2°. Le prisme droit à base rectangle, centré; on peut lui substituer l'octaèdre droit à base rectangle;

S''. Le prisme droit à base rhombe; on peut lui substituer un prisme droit à base rectangle, centré sur ses deux bases, ou sur deux de ses faces latérales, parallèles et opposées l'une à l'autre;

4**. Le prisme droit à base rhombe, centré; on peut lui substituer l'octaèdre droit à base rhombe, dont les trois sections principales sont des rhombes.

Sixième classe. — Assemblages binaires. Un seul axe de symétrie binaire ; un seul plan de symétrie normal à Taxe, et dont le Réseau a pour triangle principal un triangle acutangle quelconque.

Deux modes distincts d'arrangement ;

i*". Le prisme droit à base parallélogrammique, non centré ;

2**. Le prisme droit à base parallélogrammique, centré ; on peut lui substituer le prisme droit à base parallélogrammique, ayant deux de ses faces latérales centrées.

Septième classe. — Assemblages asymétriques. Aucun axe, aucun plan de symétrie.

Un seul mode d'arrangement :

Le prisme oblique à base parallélogrammique.

Le tableau suivant indique le nombre des axes de symétrie dans les diverses classes d'Assemblages :

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUlés REGULIEREMENT.

ABBEMBLAGES.