A L'ACADÉMIE DES SCIENCES

Par m. CAUCHY.

Rapport sur un Mémoire de M. Bravais relatif à certains systèmes ou assemblages de points matériels (i).

(Commissaires: MM. Biot, Beudant, Dnfrénoy, Regnault, Lamé, Caiichy

rapporteur.)

Parmi les applications que l'on a faites de la géométrie. Tune des plus remarquables est la science nouvelle créée, vers la fin du dernier siècle, par l'auteur de V Essai sur la cristallographie. Après avoir observé que les cristaux sont des assemblages de molécules similaires, notre illustre Haùy a recherché les lois suivant lesquelles les diverses molécules d'un corps se trouvent réunies et juxtaposées dans un même cristal. Aux observations que l'auteur avait faites, sont venues se joindre des observations nouvelles; et, enrichie par les fécondes méditations des minéralogistes^ la science qu'il avait fondée a pu se perfectionner et s'étendre en participant aux progrès de la physique moléculaire. Toutefois, M. Bravais a pensé que la cristallographie pouvait subir encore des perfectionnements; et il est effectivement parvenu à découvrir, dans certains systèmes de points matériels, des propriétés qui sont dignes de remarque, et des caractères qui peuvent être utilement employés à la classification des cristaux. L'étude de ces propriétés, de ces caractères, est l'objet spécial du Mémoire dont nous avons en ce moment à rendre compte. Essayons d'en donner une idée en peu de mots.

Considérons trois séries de plans tellement disposés, que les divers plans d'une même série soient parallèles entre eux et équidistants, sans être jamais parallèles à aucun plan d'une autre série. L'assemblage des points suivant lesquels se couperont tous ces plans formera ce qu'on peut appeler un système réticulaire, et ce système, suivant la remarque déjà faite par divers auteurs, spécialement par M. Delafossc,

(i) Extrait des Comptes renclus de V Académie des Sciences, séance du 6 août 1849, '• XXIX, p. i33.

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sera éminemment propre à représenter le système des points avec lesquels coïncident, dans im cristal quelconque, les centres des diverses molécules. D'ailleurs ces trois séries de plans, dont chacun est appelé, par M. Bravais, pUw réiicutaire, partageront l'espace en parallélipipèdes élémentaires^ tous égaux entre eux; et les divers points du système, compris dans un même plan réticulaire, formeront un réseau dont les mailles, \esfilset les na?iid!s seront, d*un« part, les parallélogrammes élémentaires qui serviront de base aux parallélipipèdes; d'autre part, les droites sur lesquelles se mesureront les côtés de ces parallélogrammes, et les points d'intersection de ces droites ou les sommets des parallélogrammes dont il s'agit. M. Bravais appelle paramètres les longueurs des trois arêtes d'un parallélipipède élémentaire adjacentes à un même sommet; il nomme tétraèdre élémentaire un tétraèdre construit sur ces trois arêtes, et triangle élémentaire im triangle qui a pour côtés deux côtés adjacents d'un parallélogramme élémentaire.

Cela posé, M. Bravais commence par établir, tantôt à l'aide de la géométrie, tantôt à l'aide d'une analyse tout à la fois élégante et simple, les propriétés générales des réseaux. Il prouve, en particulier, que les nœuds d'un réseau donné sont en même temps les nœuds d'un nombre infini d'autres réseaux, dont les fils se coupent sous des angles divers, mais dont les mailles sont toujours équivalentes en surface aux mailles du premier. Il prouve encore que, parmi les triangles élémentaires correspondants à ces divers réseaux, il en existe un, mais un seul, qui offre trois angles aigus, et que ce triangle, auquel il donne le nom de triangle principal^ a potir côtés les trois plus petits paramètres que Ton puisse obtenir en joignant Tun à Tautre les nœuds du réseau donné.

Après avoir établi les propriétés des réseaux, M. Bravais a recherché celles des assemblages ou systèmes réticulaires. Il a reconnu d'abord que les nœuds dont se compose un système réticulaire peuvent être fournis, d'une infinité de manières différentes, par les intersections de trois séries de plans parallèles, auxquels correspondent des parallélipipèdes élémentaires de formes diverses, mais égaux en volumes. Il prouve que, parmi les tétraèdres élémentaires correspondants k un système réticulaire, c'est-à-dire à un système donné de nœuds, il existe un tétraè' dre principal, dans lequel chaque angle dièdre est ou un angle aigu, ou un angle droit. Tune des bases de ce tétraèdre ayant pour côtés les deux plus petits paramètres que l'on puisse obtenir en joignant l'un à l'autre les nœuds donnés. Enfin, M. Bravais nomme axe de symétrie d'un système réticulaire, une droite tellement choisie^ qu'il suffise d'imprimer au système autour de cet axe une rotation mesurée par un certain angle pour substituer les divers nœuds les uns aux antres; puis il démontre que l'angle qui sert de mesure à la rotation doit être nécessairement égal soit à un ou à deux droits, soit au tiers ou aux deux tiers d'un angle droit.

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Donc le rapport de la circonférence entière à Tare qui mesure la rotation ne peut être que Tun des nombres 2, 3, 4? 6 ; et la symétrie est nécessairement, suivant le langage adopté par M. Bravais, binaire, ou ternaire j ou quaternaire ^ ou sénaire. D'autre part, il est clair que, si un système de nœuds tourne autour d'un axe passant par un point quelconque, le mouvement de rotation effectif de tout le système autour de cet axe ne différera pas du mouvement apparent de rotation autour d'un axe parallèle passant par un nœud quelconque, aux yeux dun observateur dont la position coïnciderait avec ce même nœud. Il en résulte immédiatement qu'à tout axe de symétrie qui ne passe par aucun nœud d'un système donné, correspondent toujours d'autres axes de symétrie parallèles au- premier, et passant par les divers nœuds du système. II est d'ailleurs facile de voir que tout axe de symétrie passant par un nœud donné, coïncide nécessairement, ou avec l'une des arêtes d'un parallélipipède élémentaire qui a ce nœud pour sommet, ou avec l'une des diagonales d'un tel parallélipipède, ou avec la diagonale de l'une de ses faces. Ces principes étant admis, on peut, comme l'a fait M. Bravais, classer les divers systèmes réticulaires^ ou plutôt les divers systèmes de nœuds qu'ils peuvent offrir, d'après le nombre et la nature des axes de symétrie qui passent par un nœud donné. L'auteur compte effectivement sept classes d'assemblages ou systèmes de nœuds, distinguées les unes des autres par les caractères que nous allons rappeler.

Les systèmes de la première classe, correspondants au premier système cristallin des minéralogistes, offrent quatre axes ternaires, trois axes quaternaires et six axes binaires. Les formes distinctes comprises dans cette classe sont : i^ le cube; a® le cube centré ou rhomboèdre de 1 20 degrés, ou] octaèdre à base carrée; 3^ le tétraèdre régulier, ou octaèdre régulier, ou rhomboèdre de 70** 3i'44''«

Les systèmes de la seconde classe, correspondants au second système cristallin des minéralogistes, offrent un seul axe quaternaire et quatre axes binaires. Les formes comprises dans cette classe sont : i^ le prisme droit à base carrée; a^ le prisme droit centré à base carrée, ou octaèdre à base carrée.

Les systèmes de la troisième classe offrent un seul axe sénaire et six axes binaires. Celte classe présente d'ailleurs une seule forme, savoir : le prisme droit, qui a pour base un triangle équilatéral.

Les systèmes de la quatrième classe offrent un seul axe ternaire et trois axes binaires. Cette classe présente une seule forme, savoir : un rhomboèdre, dans lequel deux sommets opposés sont les extrémités d'un axe de symétrie ternaire, les six autres sommets étant ceux de deux triangles équilatéraux, dont les plans parallèles entre eux divisent en trois parties égales la diagonale dont il s'agit.

Les systèmes de la troisième et de la quatrième classe correspondent au troisième système cristallin des minéralogistes.

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Les systèmes de la cinquième classe, correspondants au quatrième système cristaUin des minéralogistes, offrent trois axes binaires. Cette classe présente quatre formes distinctes, savoir : le parallélipipède rectangulaire centré ou non centré, et le même parallélipipède ayant deux ou six faces centrées.

Les systèmes de la sixième classe, correspondants au cinquième système cristallin des minéralogistes, offrent un seul axe binaire. Cette classe présente deux formes, savoir : le prisme droit ceniré ou non centré, qui a pour base un parallélogramme.

I^s systèmes de la septième classe, correspondants au sixième système cristallin des minéralogistes, sont ceux qui n'offrent aucun axe de symétrie. Cette classe comprend une seule forme, savoir : le prisme oblique, qui a pour base un parallélogramme.

£n résumé, si, les divers systèmes cristallins étant caractérisés par le nombre et la nature de leurs axes de symétrie, on range ces systèmes dans Tordre indiqué par le nombre de ces axes, ou obtiendra le tableau suivant :

NOMBRE DES AXES DE STHiTRIE