NOMBRE TOTAL

des axes de symétrie.

binaire.

ternaire.

quaternaire.

sénaire.

Système terquatemaire

SvsLèmo sénaire

Système quaternaire

Svsième ternaire

Svstème terbinairc

Svstème binaire

Système asymétrique

En terminant, M. Bravais établit divers théorèmes relatifs aux faces semblables ou plutôt similaires qui se trouvent échangées entre elles quand on fait tourner un système réticulaire autour de Tun quelconque des axes de symétrie.

A l'aGADIÉMIE DBS SCIENCES. ^83

Les Commissaires pensent que dans ce nouveau travail M. Bravais a donné de nouvelles preuves de la sagacité qu'il avait déjà montrée dans d'autres recherches. En conséquence, ils sont d'avis que le Mémoire soumis à leur examen est très-digne d'être approuvé par TAcadémie et inséré dans le Recueil des Savants étrangers.

Les conclusions de ce Rapport sont adoptées.

Rapport sur un Mémoire présenté par M. Bravais, et intitulé: Études sur la cristallographie (i).

(Commissaires : MM. Dufrénoy, Regnault, Lamé, Cauchy rapporteur.)

Dans un précédent Mémoire que TAcadémie, adoptant les conclusions du Rapport présenté par six de ses Membres, a jugé très-digne de son approbation, M. Bravais avait considéré le système des points matériels avec lesquels coïncident, dans un cristal quelconque, les centres de gravité des diverses molécules. Partant de la remarque faite par divers auteurs, spécialement par M. Delafosse, que ces centres forment un système réticulaire, c'est-à-dire qu'ils se réduisent aux points suivant lesquels des plans équidistants et parallèles se trouvent coupés par deux autres séries de plans équidistants et parallèles, il avait compris la nécessité d'étudier avec beaucoup de soin la nature et les propriétés d'un système réticulaire quelconque, et des réseaux dont chacun a pour nasuds les points du système renfermés dans l'un des plans réiiculaires. Il avait facilement reconnu que. les trois séries de plans réticulaires partagent l'espace en parallélipipèdes élémentaires tous égaux entre eux, et que les nœuds d'un réseau donné sont en même temps les nœuds d'un nombre infini d'autres réseaux dont les fils se coupent suivant des angles divers, mais dont les mailles sont toujours équivalentes eu surface aux mailles du premier; puis, en nommant axe de symétrie d'un système réticulaire une droite tellement choisie, qu'il suffise d'imprimer au système autour de cet axe une rotation mesurée par un certain angle pour substituer les divers nœuds les uns aux autres, il avait démontré que l'angle qui sert de mesure à la rotation doit être nécessairement égal, soit à un ou à deux droits, soit au tiers ou aux deux tiers d'un angle droit. Par suite, le rapport de la circonférence entière à l'arc qui

(i) Extrait des Comptes rendus de l'Académie des Sciences y séance du a5* février i85i, t. XXXII, p. 284.

mesure la rotation ne pouvait être que Tun des nombres 2, 3, 4» ^J ^ 1^ symétrie d'un système réticulaire devait être, suivant le langage adopté par M* BravaiSi binaire j ou ternaire^ ou quaternaire^ ou sénaire. Enfin 9 après avoir établi ces principesy Tauteur avait observé qu ils pouvaient être utilement appliqués à la classi* fication des cristaux ; et en classant les divers systèmes réticulaires, ou plutôt les systèmes de nœuds qu'ils peuvent offrir, d'après le nombre et la nature de leurs axes de symétrie, M. Bravais avait compté sept systèmes distincts, caractérisés par les axes de symétrie quenousavons mentionnés dans notre premier Rapport, savoir: les systèmes terquaternaire, sénaire^ quaternaire, ternaire, terhinaire et binaire^ et le système asymétrique, c'est-à-dire celui qui n*offre aucun axe de symétrie.

Dans le nouveau Mémoire dont nous avons à rendre compte, M. Bravais ne se borne plus à la recherche des propriétés du système réticulaire formé par les centres de gravité des molécules d'un cristal. Pénétrant plu9 avant dans les profondeurs de la science, il s'occupe aussi des diverses formes que peuvent offrir les molécules cristallines, et de l'influence que ces formes doivent exercer sur la cristallisation. Déjà, dans un Mémoire présenté à l'Académie le 3i août 1840^ M. Delafosse avait signalé cette influencci et observé qu'elle suffit pour expliquer de prétendues exceptions à la loi de spnétrie, regardées comme des anomalies constarHes dans certaines espèces minérales, telles que ta pyrite, la borctcite, la tourmaline, te quartz, etc. Déjà, il avait Insisté sur cette considération, que deux parties dhm. cristal géométriquement semblables peuvent avoir des structures ou constitutions molé^ culaires différentes, et que, dans ce cas, on ne peut plus dire quetkf sont en tout point identiques. Déjà le savant professeur, attribuant la formation des cristaux dits lîémiédriques aux particularités qui caractérisent ^r constitution moléculaire, avait cherché, par exemple, l'explication de Thémiédrie de la boracite dans la forme tétraédrique de la moléoufe, et de rhémiédrie du quartz dans une sorte de distorsion d'une molécule rhomboédrique. Mais en confirmant ce principe, que la forme de la molécule exerce une influence notable sur h cristallisation, M. Bravais arrive, en outre, à cette conclusion remarquable que, pour expliquer tous les phénomèoes de l'hémiédrîe, il suffit d'avoir égard à cette mffuenee et aux effets qu'elle petit produire. Pour étabbr cette proposition, M. Bravais commence par examiner les divers genres de symétrie que peut offrir une motécule cristalline, considérée comme un système d'atomes, et représentée par un polyèdre dkmt ces atomes occupent les sommets; puis il recherche tes lois suivaat lesquelles Ta symétrie àe la molécule se transmet en partie au système réticulaire, formé par les centres de gravité des diverses molécules dont un cristal se compose. Entrons, sur ces deux points, dans quelques détails.

M. Bravais observe d'abord qu'un polyèdre peut offrir trois éléments desymé-

A l'académie des sciences. 28^)

trie, savoir : Télément point ou centre de sj'métrie, réiémcnt ligne ou axe de sjrmétrie, et l'élément plan on plan de sjrmétrie.

Le centre de symétrie d'un polyèdre est un point autour duquel les sommets, pris deux à deux, sont rangés sur des diagonales dont ce point est le milieu.

Une droite est un axe de symétrie d'un polyèdre, lorsqu'il suffit d'imprimer à celui-ci, autour de cette droite, une rotation mesurée par un certain angle pour substituer les divers sommets les uns aux autres. Le rapport de la circonférence au plus petit des arcs propres à mesurer la rotation est toujours un nombre entier qui détermine Yordre de symétrie de l'axe. Mais ce rapport peut être l'un quelconque des nombres entiers supérieurs à l'unité; par suite, un polyèdre peut admettre, non-seulement comme les systèmes réticulaires, des axes de symétrie binaire^ ternaire, quaternaire et sénaire, mais encore des axes de symétrie quinaire, septénaire, etc. Un même polyèdre peut d'ailleurs offrir des axes de symétrie de divers ordres. Deux axes de même ordre sont de même espèce, lorsqu'en les substituant l'un à l'autre on ne fait qu'échanger les sommets entre eux; ils sont d'espèces différentes dans le cas contraire. Dans un polyèdre donné, le nombre des diverses espècesd'axes desymétrieue peut surpasser trois, maisil peut être égal à trois. Ainsi, par exemple, dans le cube, un axe de symétrie peut être ou Taxe binaire qui joint les milieux de deux arêtes opposées, ou l'axe ternaire qui représente une diagonale et qui joint deux sommets opposés, ou enfin l'axe quaternaire qui joint les centres de deux faces opposées et parallèles.

Enfin, un plan de symétrie, dans un polyèdre donné, sera un plan qui divisera le polyèdre en deux parties symétriques, les sommets étant situés deux à deux à égales distances du plan sur des droites qui lui seront perpendiculaires. D'ailleurs les plans de symétrie, comme les axes de symétrie, pourront être de même espèce ou d'espèces différentes; et, dans un polyèdre donné, le nombre des diverses espèces de plans de symétrie ne pourra surpasser trois, mais il pourra être égal à trois. Ainsi, par exemple, dans le polyèdre qui aurait pour sommets les sommets d'un hexagone régulier, et deux points situés à égales distances du plan de cet hexagone sur une perpendiculaire élevée par le centre, un plan de symétrie pourrait être ou un plan passant par cette perpendiculaire et par un sommet ou par le milieu d'un des côtés de l'hexagone, ou le plan même de l'hexagone dont il s'agit.

Cela posé, M. Bravais démontre les deux propositions suivantes :

S'il existe dans' un polyèdre deux plans de symétrie, leur intersection sera nécessairement un axe de symétrie.

Un centre de symétrie, un plan de symétrie, et un axe de sjrmétrie d'ordre pair, sont trois éléments tellement liés entre eux, que la présence de deux de ces éléments entraîne toujours la présence du troisième,

D*ailleiirs, M. Bravais appelle axe principal celui qui, clans un polyèdre donné, est parallèle ou perpendiculaire à tous les axes ou plans de symétrie, et désigne, sous le nom de sphéroédriques^ les polyèdres qui offrent plusieurs axes de symétrie, dont aucun n'est un axe principal.

Cela posé, M. Bravais fait voir que les polyèdres, considérés au point de vue de la symétrie, peuvent être divisés en vingt-trois classes, réparties entre six groupes distincts :

Le premier groupe comprend tous les polyèdres asymélriqueSy c'est-à-dire ceux qui ne possèdent ni axes, ni plans, ni cenire de symétrie;

Le deuxième groupe comprend tous les polyèdres symétriques, mais dépourvus d'axes de syméirie;

Le troisième groupe, les polyèdres symétriques pourvus d'un axe principal d'ordre pair;

Le quatrième groupe, les polyèdres symétriques pourvus d*un axe principal d'ordre impair;

I>e cinquième groupe, des polyèdres sphéroédriques à quatre axes ternaires;

Et le sixième groupe, les polyèdres sphéroédriques à dix axes ternaires.

Après avoir étudié les divers genres de symétrie que peuvent offrir, d'une part, les systèmes réticulaires, d'autre part, les polyèdres qui représentent les molécules des corps, et classé les uns et les autres d'après le nombre et la nature de leurs éléments de symétrie, il restait à examiner comment et jusqu'à quel degré la symétrie d'une molécule peut être transmise par la cristallisation au système réticulaire formé par les centres de gravité des diverses molécules dont se compose un cristal. En d'autres termes, il s'agissait de résoudre le problème suivant :

Les éléments de symétrie d'une molécule étant donnés^ déterminer le s/stème cristallin que la réunion de cette molécule à d'autres de même espèce produira au moment de la cristallisation.

M. Bravais observe, à ce sujet, que la cristallisation a pour effet d'amener les diverses molécules à des positions telles, qu'il y ait équilibre, et même un équilibre stable, entre les actions exercées par les unes sur les autres. Cela posé, il fait voir que l'équilibre s'établira plus facilement dans un cristal en voie de formation, si les centres de gravité des molécules se disposent de manière que les «ixes et plans de syniétrie de ces molécules, indéfiniment prolongés, deviennent des axes et plans de symétrie du système réticulaire formé par les centres de gravité. Il se trouve ainsi autorisé à poser la règle suivante :

Parmi les sept systèmes cristallins, les molécules dune substance donnée adopteront celui dont la symétrie ojfre le plus grand nombre d' éléments communs avec la spnétrie propre au polyèdre moléculaire.

A l'académie des sciences ?87

Si plusieurs systèmes cristallins peuvent, en vertu de la règle énoncée, correspondre à une même molécule, ceux qui offriront un plus grand nombre d'élémenls de symétrie seront en général compris parmi les autres comme c«is particuliers; ils seront donc en nombre moindre, et indiqués avec une probabilité incomparablement plus faible. M. Bravais se trouve ainsi amené à énoncer encore lii règle suivante :

Dans le cas ou plusieurs sjstèmes cristallins auraient les mêmes éléments de symétrie tommims avec un même polyèdre moléculaire, la cristallisation s opérera suivant te système de moindre symétrie^ c'est-à-dire suivant le système qui laissera le plus grand nombre de termes indéterminés parmi les six éléments constitutij's de son parallétipipèdc élémentaire.

L'emploi des deux règles générales que nous venons de r;\ppeler permet à M. Bravais, non-seulement d'expliquer les divers phénomènes d'hémiédrie observés par les cristaliograpbes, mais encore de déterminer les lois de ces phénomènes et les circonstances dans lesquelles ils doivent se présenter; et ces lois et ces circonstances sont précisément celles que fournit l'observation elle-même. C'est encore avec le même bonheur, qu'après avoir déduit de ses recherches antérieures sur les systèmes réticulaires, la détermination de ce qu'on appelle h forme cristalline (i), c'est-à-dire du système des faces similaires que présente un cristal, M. Bravais applique son analyse à la réduction du nombre de ces faces, produite par l'hémiédrie. Il fait voir aussi qu'on peut expliquer, par sa théorie, un assez grand nombre de cas de dimorphisme, sans être obligé d'altérer la structure interne des molécules.

En résumé, les Commissaires sont d'avis que le travail soumis à leur examen offre de nouvelles preuves de la sagacité que M. Bravais avait montrée dans ses précédentes recherches, et que ce travail contribue notablement aux progrès de la Cristallographie. Us pensent, en conséquence, que le nouveau Mémoire de M. Bravais est très-digne d'être approuvé par l'Académie, et inséré dans le Recueil des Savants étrangers.

Les conclusions de ce Rapport sont adoptées.

( 1 ) Parmi les ihéorèmes établis à ce sujet par M. Bravais, nous nous bornerons à rappeler le suivant :

« Quand une face de la forme cristalline n*est ni parallèle, ni perpendiculaire à un axe de symé- « Irie, le nombre des faces qui composent la forme est double de la somme

• N,, N3, N4, N,; étant les nombres d axes binaires, ternaires, quaternaires et sénaires que possède » le système. »