Deuxième année, 1891. Paris, F. Alcan

sophique de 1891 contient trois études de ce genre : l'une de M. Renouvier sur la philosophie de la règle et du compas, la seconde de M. Pillon sur Vévolution historique de Vaiomisme, la troisième de M. Dauriac sur le positivisme en psychologie k propos des Principes de psychologie^ de M. William James.

L'article de M. Renouvier, consacré en partie à l'étude et à la critique des principes sur lesquels on prétend de nos jours édifier des géométries différentes de la géométrie d'Euclide, nous inspire sur ces dernières les réflexions suivantes, que nous demandons la permission d'exposer au lecteur.

On dit souvent de notre siècle qu'il est le siècle de la science ; et cela est vrai non seulement parce que la science des siècles précédents lui a été transmise en un tel état qu'elle allait rencontrer, comme d'elle-même et par son développement naturel, les plus merveilleuses applications, mais encore parce qu'il a vu la naissance et le progrès rapide de sciences inconnues ou à peine constituées. Inventeurs, nous l'avons été au sens vulgaire comme au sens le plus élevé du mot ; et ce qui fait la grandeur du siècle qui finit, c'est précisément que l'invention vulgaire, l'invention des machines et des instruments appliqués à la satisfaction de nos besoins individuels et sociaux, s'y est trouvée constamment inspirée, dirigée, dominée, sinon déterminée, par l'invention théorique et désintéressée.

Notre reconnaissance ne s'y est point trompée : elle a élevé des autels à la science, et, entre toutes, à celle qui, par son universelle application à tous les phénomènes donnés dans l'étendue, semble être l'instrument et, qui plus est, l'instrument de précision dont se servent toutes les autres, en même temps qu'elle en est le type et le modèle par le caractère d'absolue certitude de ses démonstrations : nous avons nommé la science mathématique.

Or, tandis que la foulé demeure prosternée et proclame infaillible la science du géomètre, sinon, comme il arrive, le géomètre môme, voici que du fond même du sanctuaire

se sont élevées des voix qui remellent en question la science tout entière.

Quelle que soit la rigueur des démonstrations, inattaquables de l'aveu de tout le monde dès qu'on accepte certains principes, on comprend, en effet, qu'elles ne valent, en un sens, que ce que valent les principes sur lesquels on les fonde, et ce sont ces principes qu'il est venu à l'esprit de certains géomètres, et même des plus grands, de révoquer en doute. Comment cela est possible, une remarque et un exemple vont le faire comprendre.

Commençons par la remarque. Le caractère de la démonstration est d'obliger l'esprit, bien plus, de le contraindre à accepter la vérité d'une proposition quand on a fait la preuve qu'elle est la conséquence nécessaire de deux ou de plusieurs propositions absolument certaines. Mais comme la certitude de celles-ci à leur tour n'a point d'autre fondement qu'une preuve de même genre, il est clair qu'en remontant la série nécessairement finie des propositions démontrées, on ne saurait manquer de rencontrer à l'origine de la démonstration certaines propositions qui s'imposent peut-être à notre acquiescement, mais dont il faut reconnaître qu'elles échappent pourtant à toute démonstration. Tels sont par exemple en géométrie les axiomes, les délinitions, et ce qu'Euclide appelait les demandes ou postulais.

De ces trois sortes de propositions, toutes indémontrables, il est convenu de dire qu'elles sont évidentes ; encore ne sont-elles point évidentes au même titre et, à première vue, le nom de postulat suffirait à le prouver : je demande qu'on m'accorde qu'on ne peut, par un point extérieur à une droite, mener dans le même plan qu'une parallèle à cette droite ; et je ne demande jamais, la demande serait superflue, qu'on m'accorde que le tout est plus grand que la partie. C'est donc que l'acquiescement me paraît en un cas moins assuré qu'en l'autre, puisque j'en suis réduit à le demander dans l'un, tandis que /e suis sûr de l'obtenir dans l'autre. D'où vient cela ? De ce que, dans

le second cas, dans le cas des axiomes, énoncer le sujet de la proposition, c'est déjà, quoi qu'on fasse, énoncer l'attribut, par ce motif très simple que le sens du sujet renferme implicitement le sens de l'attribut ou, comme disent les logiciens, parce que le jugement qui rapporte l'un à l'autre est un iugement analytique. Ce serait donc parler sans savoir ce qu'on dit, ce serait se contredire que de nier un axiome, et s'il n'est pas possible d'en fournir la preuve, il n'est pas plus possible de le contester. — Mais il n'en est plus de même dans le cas des postulats : on me demande d'accorder qu'un prédicat convient à un sujet, parce que premièrement on se déclare incapable de le démontrer, mais aussi en second lieu parce que le prédicat, non contenu dans le sujet, ajouterait à son sens, si on l'en affirmait, une signification qui originairement n'y était point comprise. Un postulat est donc un îugemeni synthétique^ puisqu'on joint au sujet, puisqu'on pose avec lui cuv^ (Oéaiç) et qu'on ne peut l'en extraire par analyse (àva, >.Oai<;), l'attribut en question. Il est possible d'ailleurs qu'un postulat, et, par exemple, le postulat d'Euclide, soit aussi évident qu'un axiome quelconque ; toutefois il ne l'est pas de la même manière, puisqu'on pourrait savoir ce qu'on dit quand on parle (Tune droite menée par un point parallèlement à une autre sans savoir le moins du monde que par ce point on n'en peut mener qu'une. Bref, si, dans les deux cas, je ne puis recourir à la démonstration, du moins j'avais dans le premier en faveur de l'axiome la garantie absolue du principe de contradiction qui me manque dans le second.

Or, et c'est là l'exemple que nous promettions plus haut, contre celui qui refuserait d'accorder ce qu'on lui demande, quelle instance le postulant tiendrait-il en réserve ? Il ne peut exercer contre lui la contrainte ni d'une démonstration, puisqu'il avoue lui-même qu'on ne peut la donner, ni de la certitude dérivée du principe de contradiction, puisque par hypothèse on peut sans se contredire refuser d'acquiescer à la proposition.

Il pouvait donc venir à Tesprit de quelques-uns non seulement de refuser d'accorder à Euclide sa demande, ce qui n'eût pu avoir un autre résultat que d'arrêter d'emblée la suite des développements de la géométrie, mais, dessein beaucoup plus digne de véritables géomètres, de chercher pour leur compte quelles conséquences suivraient d'une proposition qui serait la négation, ou encore, si l'on veut, qui serait la conire-demaride du postulat d'Euclide. « Par un point pris hors d'une droite, ont dit ces géomètres, puisqu'il n'est ni prouvé, ni même nécessaire qu'on ne puisse à cette droite mener qu'une parallèle, supposons au contraire qu'on puisse en mener plus d'une. »

De l'affirmation ou de la négation du postulat d'Euclide assurément ne pouvaient suivre les mêmes conséquences ; assurément encore, dès lors que ce postulat, de l'aveu de tout le monde, n'était ni démontré ni même démontrable, on devait à l'avance s'interdire de faire valoir contre les conséquences, jusqu'alors imprévues, de la négation, les conséquences connues, développées par Euclide et par ses successeurs, de l'affirmation : car au fond elles n'avaient, les unes et les autres, d'autres droits à se faire accepter et même à s'imposer que la rigueur avec laquelle on pouvait les déduire d'une première hypothèse ; et l'hypothèse d'Euclide ne vaut pas plus, en somme, que l'hypothèse contraire, à n'invoquer du moins que le principe de contradiction ou les lois ordinaires de la démonstration. Restait donc une question, et une seule : de la contre-demande peut-on, avec la même rigueur que de la demande, tirer des conséquences vraiment géométriques ?

Or, à cette question, vers 1830, un géomètre russe, Lowatschewski, entreprit de répondre d'une manière décisive, en développant sous le nom de « géométrie imaginaire » les suites d'un théorème déduit directement de la contre-demande. Nous ne pouvons songer à exposer ici l'œuvre de Lowatschewski ; nous voudrions seulement, sur un exemple simple, tenter d'en faire saisir celle des conséquences qui, remettant en question la nature de

l'espace, y remettait du même coup toutes les définitions, partant tous les principes de la géométrie.

En partant de la demande, Euclide établissait que la somme des trois angles d'un triangle rectiligne équivaut à deux droits ; parmi les conséquences auxquelles conduisait le théorème déduit de la contre-demande, Lowatschewski rencontre au contraire celle-ci, qu'en un triangle rectiligne quelconque, cette somme est toujours plus petite que deux droits, bien qu'elle s'approche beaucoup de cette mesure quand les côtés du triangle sont très petits *.

Se peut-il toutefois que le« triangle rectiligne » de Lowatschewski soit de tous points identique au triangle d'Euclide ? Non, sans doute, si la somme des trois angles de l'un est plus petite que la somme des trois angles de l'autre. Ils ont donc à coup sûr quelque chose de commun, par où ils sont tous deux triangles et rectilignes ; mais il faut bien qu'ils aient aussi quelque chose de différent, d'où vient précisément la différence relevée dans la mesure de leurs angles. Ce qu'ils ont de commun, c'est que par leurs côtés, supposés rectilignes, trois points pris dans l'espace se trouvent joints deux à deux, d'où résultent en tout trois angles et trois côtés : quant à leur différence, apparente dans la mesure et la somme des trois angles, il est clair qu'elles ne peuvent provenir que de la forme des côtés ou des lignes qui les déterminent. C'est ainsi, par exemple, que diffèrent l'un de l'autre le triangle qu'on trace à la surface d'une sphère en unissant trois points par des arcs de granid cercle, et le triangle qu'on obtient en unissant ces points par les cordes de ces arcs. Mais de fait s'il arrive que, dans le premier triangle, la somme des trois angles est plus grande que deux droits, nous savons qu'il en faut chercher la raison dans la courbure des côtés du triangle

1. Les conséquences non-euclidiennes de cette proposition ont été récemment déduites de nouveau par M. Gérard, professeur de mathématiques au lycée de Lyon, dans sa remarquable thèse $ur ta géométrie non-euclidienne, (Paris, Gauthier-Villars.)

sphérique. En serait-il donc de même, mutaiis mutandis, dans le cas du triangle de Lowatschewski ? Non, si Ton songe qu'il parle d'un triangle construit à l'aide de trois droites ; oui, si ce qu'il appelle, et qu'en un sens il a le droit d'appeler une droite, est, dans la forme ordinaire de notre représentation, rigoureusement une courbe. Or, c'est précisément à cela que le conduit la position qu'il prend à l'égard d'Euclide.

Passons par un détour pour le faire comprendre. Quand à une droite CD je suppose tangent un cercle de rayon R, si j'éloigne indéfiniment le centre de ce cercle, le point de contact restant le même, la circonférence de ce cercle se rapproche de plus en plus de la droite CD, tellement qu'à la limite on admet d'ordinaire qu'elle devient CD. Supposons cependant avec Bolyaei qu'elle ail pour limite non la droite, mais une courbe, que pour cette raison même on nommerait horicycle ; et supposons, en outre, que cette courbe, par sa révolution autour de la normale élevée au point de contact, engendre une surface qui serait une horisphère ; on pourrait d'autant mieux substituer l'horisphèrc au plan de la géométrie ordinaire que toute propriété entre droites sur un plan est vraie entre horicycles sur une horisphère. Or, à une droite AB, selon Bolyœi, ce qui est parallèle, ce n'est point seulement, comme le croyait Euclide, une droite telle que CD passant par un point P, c'est aussi l'horicycle tangent en P à la droite CD, et c'est, en outre, une multitude infinie de courbes uniformes, tangentes au point de contact, qu'on peut mener entre l'horicycle et la droite CD. Telles sont, au fond, les parallèles de Lowatschewski.

On comprend à présent qu'on en puisse à AB mener un nombre infini. Mais ce qu'on ne comprend plus, c'est qu'on appelle droites des lignes qui sont des courbes et plan une surface qui n'est point un plan. En ce qui regarde cette surface, il va de soi cependant qu'il serait légitime de dire qu'elle est un plan si seulement elle est telle qu'entre deux quelconques de ses points toute ligne définie droite coïn-

04 lÈTUDES d'histoire DES SCIENCES.

cide avec elle dans toute s<m étendue : la surface d'une sphère, à ce compte, serait un plan, si l'on appelait droite le segment d'un grand cercle ; et de môme en serait-il de la surface d'une horisphère, si l'on appelait droite un segment d'horicycle. Toute la question est donc de savoir si 4'on peut définir comme jflroite un arc de grand cercle, un arc d'horicycle, ou même, en général, sous certaines conditions, une courbe quelconque. Et que de fait on le puisse, c'est justement ce que soutiennent les nouveaux géomètres.

Qu'est-ce, en effet, qu'une ligne droite ? — C'est, répond tout d'abord Euclide, une ligne identiquement placée par rapport à ses points : mais, pour de sérieuses raisons que nous nous contentons d'indiquer, nous ne pouvons attacher, même en un sens restreint, comme semble y consentir M. Renouvier (p. 8), le nom de définition à cette proposition. Car que signifie-t-elle, sinon qu'aucun des points d'une droite ne dévie d'une direction unique, et qu'est-ce qu'une direction, sinon la droite elle-même ? Définir la droite comme le faisait Euclide, c'est donc définir par luimôme l'objet à définir. Disons, si nous voulons, que la droite se confond avec la direction, mais ne prétendons point en donner par là même une définition. — La plupart des géomètres définissent la droite une ligne telle qu'entre deux points on n'en peut mener qu'une, en quoi ils sont d'accord au fond avec Euclide, si, comme le montre bien M. Renouvier (p. 9), de la définition prétendue qui vient d'être rappelée, on rapproche cette demande que « deux droites n'enceignent pas un espace ». — Enfin on dit de la droite qu'elle est entre deux points la ligne la plus courte.

De ces trois propositions, quelle que soit celle à laquelle on s'arrête, on peut, à ce que prétendent les nouveaux géomètres, se servir aussi bien pour définir à la surface d'une sphère un arc de grand cercle, que pour définir une droite sur un plan. Qu'oln prenne, par exemple, deux points sur l'océan ; l'arc de grand cercle qui passe par ces deux points marque la direction qui va de l'un à l'autre, est le chemin le plus court pour aller de l'un à l'autre, enfin

est une ligne telle que par ces deux points (sauf le cas particulier où ils sont diamétralement opposés) on n'en peut mener qu'une. De quel droit soutenir que la droite sur le plan est plutôt une droite que lie Test sur une sphère un arc de grand cercle ?

L'exemple, toutefois, suppose une condition : c'est que la ligne à tracer soit strictement assujettie à coïncider par tous ses points avec la surface que Ton considère ; mais, une fois acceptée cette condition unique, ce qui est vrai de Tare de grand cercle tracé entre deux points d'une surface sphérique. Test, sur toutes les surfaces courbes à courbure constante, de toutes les lignes appelées par les géomètres lignes géodésiques, ou lignes les plus courtes qu'on puisse, sur ces surfaces, tracer entre deux points.

Or, si l'on peut concevoir un espace qui soit tel qu'entre deux de ses points infiniment voisins l'élément linéaire qui en mesure la distance réponde à l'intuition de la droite euclidienne, n'en peut-on concevoir d'autres où un tel élément répondrait au contraire, et répondrait toujours, à une géodésique ?

Qu'on suppose maintenant prolongés en tous sens en lignes géodésiques les éléments linéaires issus d'un point donné de l'un de ces espaces et contenus dans l'un de ses éléments superficiels, la courbure de la surface ainsi déterminée sera dite courbure de l'espace en ce point et pour cet élément superficiel. Si l'on suppose, en outré, cette courbure identique en tous les points de l'espace, pour tous ses éléments superficiels, et quel que soit le nombre de ses dimensions, on devra dire alors de cet espace lui-même qu'il a une courbure constante.

Bien que rien ne s'oppose ù priori à l'existence d'espaces à courbure variable, les néo-géomètres, par respect pour le principe de la superposition des figures, condition essentielle de toute démonstration géométrique, s'en sont tenus d'ordinaire à l'étude des espaces à courbure constante qui seuls rendent possible cette superposition ; et de même qu'il existe trois sortes de surfaces de courbure cons-

tante, les surfaces de courbure constante et positive (surfaces sphériques et surfaces applicables sur la sphère), les surfaces de courbure constante et^rvégative (surfaces pseudosphériques de M. Beltrami), enfin les surfaces développables (ou le plan et les surfaces applicables sur un plan), de môme ils ont tenté de construire à côté de la géométrie d'Euclide (géométrie de l'espace plat et sans courbure, ou, comme ils disent, homaloîde), la géométrie d'un espace à courbure constante et positive, ou géométrie sphérique, et la géométrie d'un espace à courbure constante et négative, ou géométrie pseudosphérique. Au fond, comme l'a montré M. Beltrami, cette dernière n'est autre que la géométrie de Lowatschewski, tandis que la géométrie sphérique est l'œuvre de Riemann.

On pourrait donc soutenir, et de fait on soutient, que l'espace ordinaire n'est en somme qu'une espèce d'un genre plus élevé, où il se distinguerait par une différence propre d'un nombre indéfini d'autres espaces possibles.

De quelle nature d'ailleurs est celte différence, il ne faut que deux mots pour le faire comprendre. Si c'est par leur courbure qu'on distingue par exemple un espace sphérique d'un espace pseudosphérique (positive dans l'un, négative dans l'autre), il est clair d'autre part qu'on peut imaginer autant d'espaces sphériques ou pseudosphériques qu'on peut donner de valeurs à leur rayon de courbure. Chaque espace dépend donc de la valeur particulière d'un certain paramètre, qui n'est autre, on le voit, que son rayon de courbure ; et l'espace euclidien, dont la courbure est constamment nulle, n'échappe pas plus qu'un autre à cette condition. La considération d'un paramètre spatial a ainsi pour effet de généraliser la notion de l'espace ; et les différences propres des espèces du genre, de l'espace d'Euclide comme de tous les autres, ne sont rien d'autre en définitive que les valeurs particulières de ce paramètre.

Au-dessus des géométries particulières, celles d'Euclide, de Riemann et de Lowatschewski, il y aurait donc lieu d'admettre l'existence d'une géométrie générale^ reposant,

comme toute géométrie, sur des définitions elles-mêmes plus générales que les définitions des géométries particulières. Telle est par exemple, pour choisir entre toutes la plus essentielle, la définition de la ligne droite : le géomètre qui la définit une ligne telle qu'entre deux points il n'en passe qu'une, définit, sans le savoir, une droite plus générale que la droite euclidienne ; et la preuve en est que la définition convient tout aussi bien à la droite de Biemann et de Lowatschewski qu'à la droite d'Euclide.

Ce qu'il faut ajouter, pour obtenir celles-ci, à la définilion de la droite générale, on le devine sans peine : c'est la différence même qui dans l'espace général spécilie les espaces particuliers ; bref, c'est la valeur du paramètre propre à chacun de ces espaces.

La définition complète de la droite euclidienne comprend donc sans doute cette propriété commune à toutes les droites qu'entre deux points il n'en passe qu'une ^ ; mais elle comprend en outre le paramètre propre à l'espace d'Euclide, manifesté précisément par cette propriété du plan euclidien, que par un point pris hors d'une droite on n'y peut à cette droite mener qu'une parallèle. En un mot, elle comprend le postulat d'Euclide, réuni, sans qu'on l'ait observé jusqu'à nos jours, à la définition de la droite générale «.

Si ces remarques sont justes, il est bon de noter que loin de retrancher du nombre des principes de la géométrie ces jugements synthétiques qui sont les postulats, elles

1. N'oublions pas cependant que de môme que deux points d'une surface sphérique, dans le cas particulier où ils sont diamétrale* ment opposés, peuvent être réunis par une infinité de grands cercles de la sphère, de même dans l'espace à deux dimensions ou dans le plan de Riemann, il existe toujours deux points, mais il n'en existe que deux, entre lesquels on peut mener une intinité de lignes droites. Comme la définition de la droite générale doit comprendre ce cas, il convient de préférer à la définition générale de la droite comme une ligne telle qu'entre deux points il n'en passe qu'une, cette autre par exemple qu'elle est entre deux points la plus courte distance.

2. Cette remarque a été faite par M. CaUnon, dans un article de la Revue philosophique sur les Espaces géométriques, t. XXVII, p. 589.

UANNEQUIN, I. 7