ÉTUDES D-'UISXOIRE DES SCIENCES

tendent à leur donner au contraire parmi eux une place piépondérante. Les comprendre en effet dans la définition des droites respectives de chaque géométrie, c'est faire plus encore que ne faisait Euclide, et c'est rigoureusement faire reposer sur eux, aussi légitimement que sur la droite ellemême, Fédifice tout entier de la géométrie. Peut-être du i même coup serait-ce restituer au postulat d'Euclide la 1 valeur absolue qu'ont tenté de lui enlever les nouveaux i géomètres, si de toutes les droites on pouvait démontrer qu'une seule au fond subsiste, à savoir celle précisément qui entraîne ce postulat et en dehors de laquelle ne saurait se constituer aucune géométrie. Or, tel est, selon nous, le cas privilégié de la droite euclidienne qu'elle reste, chose étrange, non seulement compatible avec ces espaces à courbure constante où l'hypothèse voudrait qu'on ne pût la tracer, mais qu'elle y est en outre constamment postulée et constamment présente comme l'élément sans lequel ils seraient rigoureusement inconcevables pour nous.

J'admets, tant qu'on voudra, qu'à la surface d'une sphère la ligne la plus courte entre deux points donnes, la direction d'un de ces points à l'autre, ou encore la ligne telle qu'entre ces deux points il n'en passe qu'une, est un arc de grand cercle ; mais je ne puis l'admettre qu'à une condition, c'est que ladite ligne soit astreinte à passer tout entière par les points d'une surface définie ; et je demande à mon tour comment serait définie une telle surface, sinon par la ligne droite qui en est le rayon et qui en détermine premièrement la courbure. De même, dans les espaces à courbure constante, ce qui me permet d'admettre ces droites conditionnelles qui ne sont intelligibles que comme géodésiques de certaines surfaces, n'est-ce point la notion précise de ces surfaces, et sous leur paramètre ou rayon de courbure, n'est-ce point en dernière analyse cette droite qui, étant la condition de tout le reste, ne demande en vérité ses propres conditions à nulle autre figure î

La vraie droite générale, quoi qu'on en ait pu dire, est restée en ce sens l'antique droite d'Euclide : et prétendre

L£S NOUVELLES GËOMÉTRIES. 09

qu'elle enveloppe comme celles de Riemann ou de Lowai- 8chewski, outre ce qu'on appelle Vaxiome de la droite^ le paramètre propre à l'espace d'Euclide, c'est oublier trop vite qu'en revanche ce paramètre, quelle qu'en soit la valeur, n'a de sens à son tour que par la conception de la droite euclidienne. Concluons donc déjà qu'elle apparaît d'emblée comme le soutien unique de toute géométrie, ce qui revient à mettre au-dessus de toutes les autres, comme le tout dont celles-ci ne sont que des parties, la vieille géométrie fondée sur la notion de la droite euclidienne, la seule à qui convienne comme à cette droite elle-même le nom de générale.

Contre ces conclusions toutefois, les nouveaux géomètres juraient le droit de s'inscrire si, comme ils le soutiennent, l'espace où nous tentons de construire les figures de la géométrie était par devers soi constitué de telle sorte que, loin de rester maîtres d'y tracer à notre gré des figures quelconques, nous fussions au contraire astreints dans nos tracés à y suivre certaines configurations qui en quelque manière y seraient préétablies. Pour étrange que soit une telle hypothèse, il n'est pas un instant douteux qu'on la retrouve par exemple sous la définition générale des espaces énoncée par Riemann.

Soutenir, en effet, qu'un espace est défini quand entre deux de ses points infiniment voisins l'élément linéaire par lequel on les joint prend une forme spéciale, rectiligne s'il s'agit de l'espace d'Euclide, curviligne s'il s'agit d'espaces différents, n'est-ce point supposer qu'avant qu'il soit tracé, une condition interne et propre à chaque espace détermine avant nous l'élément linéaire et l'oblige à dépendre en somme d'autre chose que de la position des deux points qu'il unit ?

Or, avant le tracé d'un pareil élément, que pourrait être une condition de ce genre, sinon, antérieurement à l'élément lui-môme, l'existence d'une surface avec les points de laquelle il serait par tous ses points tenu de coïncider? Autant dire que le plan préexiste à la droite, la surface

sphérique au grand cercle de la sphère, et que je ne puis tracer de grand cercle ou de droite que sur les plans réels ou les sphères réelles d'espaces dont l'intérieur serait déterminé par de telles surfaces.

Mais si l'espace nous offre des figures toutes faites, et des figures notamment que n'a faites ni construites notre géométrie, moi qui ne puis rien savoir de précis et d'exact que ce que je construis, que saurai-je donc jamais de figures qui échappent à toute construction ? Sais-je seulement que cette sphère est vraiment une sphère si je ne l'ai point décrite, que ce plan est un plan si je ne l'ai point tracé ? Et qu'on dise, si on le peut, comment je décris une sphère ou comment je trace un plan sans la droite euclidienne, élément de celui-ci ou rayon de celle-là !

La condition première pour qu'une géométrie quelconque, qu'elle soit non euclidienne ou qu'elle soit euclidienne, soit vraiment digne de ce nom et même soit possible, c'est donc que l'espace ne contienne par lui-même, avant mes constructions, nulle figure que je n'aie faite, nulle ligne que je n'aie tirée, nul point même que je n'aie moi-même déterminé ; c'est qu'il n'y existe nulle part nulle configuration qui offre à mes figures une résistance quelconque, qui d'avance les affecte de déterminations que je n'y aie point mises ; c'est qu'il soit en un mot strictement homogène, et qu'il laisse le champ libre aux déterminations que je tente d'y introduire. La question essentielle n'est donc point de savoir quelle forme, ou mieux, quelle déformation il impose aux figures que j'y trace, puisqu'à cette condition il ruinerait d'avance toute géométrie, mais quelle figure j'y puis d'abord déterminer qui y devienne, en quelque sorte, l'origine et le principe de tous les autres. Or, pas plus que je ne puis imaginer une sphère ou même une pseudosphère sans la droite qui en est le rayon de courbure, une distance angulaire sans deux droites qui se coupent ou même, en général, une distance quelconque sans la droite qui la mesure, pas plus je ne saurais a\ancer d'un seul pas dans la géométrie qui, selon le mot

de Descartes, est science de la mesure, sans la droite qui porte partout avec elle la possibilité de la mesure avec la distance. Peut-être dirions-nous donc de la droite euclidienne qu'à elle seule convient le nom de droite générale, si entre elle et les pseudo-droites des nouvelles géométries, il existait rien de tel que le rapport logique du genre à ses espèces ; mais il nous paraît mieux de lui donner le nom de droite inconditionnelle, parce que non seulement toutes les géodésiques des surfaces quelconques, mais môme toutes les figures de la géométrie y trouvent leurs conditions, tandis qu'elle n'^ elle-même ses propres conditions en nulle autre figure.

Monsieur,

Candidat à la chaire d'histoire générale des sciences actuellement vacante au Collège de France, je me fais un devoir de vous exposer les idées principales dont je m'inspirerais dans mon enseignement, si j'avais l'honneur d'être nommé titulaire de cette chaire.

Il est d'abord utile de remarquer qu'avant 1891, l'histoire des sciences n'avait jamais été enseignée en France dans aucun établissement d'enseignement supérieur ; en 1891, deux enseignements furent institués presque simultanément, l'un, au commencement de l'année, à la Faculté de médecine de Lyon, qui me fît l'honneur de m'en charger, l'autre à la fin de cette même année, au Collège de France, par la création d'une chaire qui fut confiée à M. Pierre Laffitte. Et tandis que l'histoire de l'art, par exemple, était depuis longtemps constituée par une foule de travaux considérables, l'histoire des sciences préoccupait à peine les historiens et les savants, et, sauf les travaux d'ailleurs très méritoires et très importants de quelques savants isolés,, n'avait pour ainsi dire, dans notre pays, aucune existence réelle. Cet état de choses est d'autant plus étrange que l'histoire, qui trouve son objet dans les œuvres de l'homme,