Récurrence, induction complète ou mathématique

aller du premier au n»^« terme d'une série par énuméraiion ou par un mouvement continu de l'esprit, c'est lier et réunir dans un rapport unique la somme des rapports des jugements séparés, et c'est produire un jugement nouveau, non moins original que les jugemenls précédenls et au fond de même nature, tandis que la conclusion dans un vrai syllogisme ne fait que transférer sur le plus petit extrême, grâce à l'interposition du moyen, une affirmation déjà vraie du moyen, et partant n'ajoute rien à notre connaissance. Le syllogisme plus complexe est donc moins qu'un jugement, parce qu'il n'est que le transfert sur le petit extrême d'un rapport déjà connu, d'une connaissance acquise ; l'énumération, au contraire, qui n'est qu'un jugement, est une somme de rapports (de A à B, de B à C, de C à D, de D à... n), qui constitue comme telle un rapport tout nouveau (rapport unique et direct de A à n) et en définitive une connaissance nouvelle. Le syllogisme est donc un instrument stérile, bon tout au plus pour enseigner aux autres ce que l'on sait déjà, artifice de rhétorique et non pas procédé d'invention, tandis que l'énumération, jugement qui condense en un rapport unique une somme de rapports et qui les organise, produit une connaissance et constitue, avec la déduction dont elle est le développement, un véritable ars inveniendi. Au passage que nous venons de citer, il faut en ajouter un autre de la règle XIV, aussi explicite que le premier : Descaries y insiste sur la valeur démonstrative de la « simple comparaison », du moins lorsqu'il s'agit de la similitude ou de l'égalité des grandeurs, et il conclut avec force que dans tout raisonnement ce n'est que par comparaison que nous connaissons la vérité avec précision : « adeo ut in omni raliocinatione per comparationem tantum veritatem agnoscamus^ ». A l'appui de cette vue, il donne un exemple qui sonne, il est vrai, comme un syllogisme : tout A est B, tout B est C, donc tout A est C ; et il ajoute : « comparantur inter se

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quaesitum et dalum, nempe A et C, secundum hoc quod utrumque sit B » ; mais il sent, plus, à vrai dire, qu'il ne l'explique, entre le procédé comparatif qu'il décrit et le syllogisme une telle différence, qu'il s'empresse de nouveau à marquer sa répugnance pour ce dernier, et recommande au lecteur, comme une chose indispensable, d'eii. rejeter l'usage, pour ne s'attacher en dehors de l'intuition simple (purum unius rei solitariae intuiium) qu'à la comparaison de deux termes ou de plus de deux termes entre eux {omnem cognitionem... haheri per comparationem daorum aut plurium inter se i). '

Enfin nous citerons comme troisième document la fin de cette môme règle XIV : Descartes y rappelle que les mathé-; matiques ne considèrent que deux objets, l'ordre et la mesure. Pour ce qui est de l'ordre, dit-il, et des séries bien ordonnées, les termes y sortent pour ainsi dire les uns de^ autres {unae ad alias releruniur ex se solis), sans qu'il soii nécessaire de faire intervenir un troisième terme ou moyen^. Autrement en est-il de la mesure, qui exige un moyen terme : car si je veux connaître la proportion exacte qui existe entre les grandeurs 2 et 3, je n'y puis parvenir sans considérer un troisième terme 8, à savoir l'unité, com-^ mune mesure des deux grandeurs proposées. La mesure des grandeurs semblerait donc ne pouvoir être accomplie que par un syllogisme, tant s'en faut que le syllogisme! repoussé par Descartes en toute occasion comme formé sinon légitime, du moins utile de raisonnement, puisse être exclu même des mathématiques. Mais ne nous laissons point tromper par une apparence : le moyen terme du syllogisme est une espèce, servant d'intermédiaire entre une espèce plus basse et un genre plus élevé (subsomption) ; et, à vrai dire, il n'y a pas de raisonnement syllogistique qui puisse se faire sans moyen terme, et qui;

1. Reg., XIV, p. 67. « Sed quia... syllogismorum formae nihil juvant, etc. »

2. /d., p. 76 : « Agnosco enim quis sit ordo inter A et b, nuUo alio considerato praeter utrumque extremum. »

conséquemment, n'ait avec précision trois termes, pas un de plus, pas un de moins. Or, dans la mesure des grandeurs, l'unité ne sert point à opérer la subsomption du petit terme sous le grand, et il n'y a, à vrai dire, ni petit terme, ni grand terme, ce qui ôte à l'unité tout pouvoir de jouer, dans cette opération, le rôle d'un véritable moyen terme. Au reste, s'il n'y a de syllogisme vrai que là où il existe un moyen terme et par le moyen terme. Descartes insiste tout le premier sur une raison profonde qui exclut le syllogisme même de la mesure des grandeurs. « Il faut savoir, écrit-il à la suite des passages que nous venons de ^iter, que les grandeurs continues (et mesurables *), grâce au choix d'une unité auxiliaire, peuvent être réduites parfois à la forme des grandeurs numériques {ad multitudinem) et qu'elles le peuvent toujours tout au moins en partie ; or (après cette réduction »), le nombre des unités (multiiudinem unitatum) peut être disposé dans un ordre 3 tel que la difficulté attachée à la connaissance de la mesure ne dépend plus que de la seule inspection de l'ordre », et par conséquent, ajouterons-nous, si nous nous rappelons les conditions de la déduction relative à l'ordre, énoncées par Descartes quelques lignes plus haut, n'exige plus aucun troisième terme, et par conséquent ne dépend au fond d'aucun syllogisme.

Pargny, S iuillet 1905.