Infini et quantité ^ p

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flèche est en mouvement dans l'instant, tout en occupant un espace égal à elle-même. Il y a donc là une échappatoire par où l'adversaire peut sortir. C'est pour la fermer que Zenon a commencé par poser en principe qu'un corps est ou en repos ou en mouvement quand il occupe un espace égal à lui-même. Ces mots \ xivetrat, que M. Renouvier attribue à un copiste inintelligent, ont l'air d'une naïveté : ils cachent un piégea

Il est inutile aussi d'ajouter xaxà tô ïarov, comme le fait Zeller, après tô oepôtievov âv rw vuv. L'argument tiré de l'instant suffit, sans ajouter aucune considération d'espace (quoiqu'on puisse faire le même raisonnement sur le point que sur l'instant).

4° Le Stade. — « Le quatrième argument est relatif à deux séries de points égales, qui se meuvent dans le stade en sens contraire, passant devant une troisième série de points égale, et partant, l'une du milieu du stade, l'autre de l'extrémité, avec une égale vitesse : d'où Zenon conclut que le temps employé sera égal au double do lui-même. » Cet argument est rendu plus clair par une figure que Zeller trace d'après les indications d'Aristote. Soit une ligne de points A* A^ A^ A* supposés immobiles ; soient en outre deux autres séries B^ B^ B* B* et C* C* G=^ C* disposées comme dans la figure I. (Il faudrait ajouter, selon nous, que tous ces points sont conçus comme se touchant sans se confondre.) Admettons maintenant que les deux séries des B et des C se meuvent en sens contraire avec une vitesse égale.

B* et C* arriveront en même temps aux extrémités opposées de la série A (fig. 2). Dans le

1. Cette iaterprétation a l'avantage d'être d'accord avec le texte de Sim- Dlicius (Phy$ 236. b) qui porte aussi : «av fitav rj y.axa to laov eauxcp rj xSc ^'p^sr et avec to'ute l'interprétation de ce commentateur biea supérieure?seloa nous, ù celle de Thémistius. Il est vrai, comme le remar-

Cl C* C^ C*

Fig. i.

Fig. 2.

même temps, dit Zenon, B» aura passé devant tous les C, C^ devant tous les B, et d'autre part B» et G* n'auront passé que devant la moitié des A. Or la série A est égale à chacune des deux autres : les temps sont porportionnels aux espaces : le temps employé par les B et les C à parcourir, et toute la longueur des A, et la moitié de cette longueur, est donc le

double de lui-même ' .

Rien de plus sophistique que ce raisonnement si, comme le dit Zeller, il consiste à supposer que l'espace parcouru par un corps se mesure à la longueur du corps devant lequel il passe, que celui-ci soit, ou non, en repos. Mais cette interprétation ne nous semble pas exacte.

Si, comme nous l'avons admis, Zenon raisonne dans l'hypothèse des indivisibles, nous devons admettre que les points A, B et C sont des éléments absolus de l'espace en soi, et se meuvent dans l'instant, élément absolu du temps en soi. Après le premier instant, B* qui était, je suppose, au-dessous de A*, en ligne droite avec lui, se trouve au-dessous de A^ supposé immédiatement contigu à A*; G*, qui était d'abord au-dessous de A\ se trouve au-dessous de A*. Mais pour que B* et G» occupent leur position actuelle, il faut de toute nécessité qu'à un moment ils se soient trouvés en ligne droite l'un avec l'autre. Gependant leur mouvement s'est accompli dans un instant indivisible. Il faut donc, ou qu'ils ne se soient pas croisés (et alors il n'y a pas de mouvement), ou que, dans rinstant indivisible, deux positions aient été occupées par les deux mobiles : mais alors l'instant n'est plus indivisible. En d'autres termes, il est impossible de concevoir un instant

que Zeller, que Simplicius développe la pensée de Zenon, mais rien n'autorise à supposer qu'il ne Tait pas comprise. Et, malgré la remarque de Schleiermacher (Zeller, t. II, p. 79, trad. Boutroux), le fait que Simplicius a eu entre les mains l'ouvrage de Zenon n'est pas pour diminuer son autorité. M. Dunan a très bien élucidé la question de texte en ce qui concerne cet argument dans son étude sur les arguments de Zenon d'Elée contre le mouvement, p. 10, Paris, Alcan, 1884.

i. On traduit d'ordinaire cyxot par masses, et c'est assurément légitime. Il nous semble pourtant que l'idée exprimée par ce mot est moins celle de masse que celle d'indivisible : si l'on veut, des masses indivisibles et contiguës. C'est pourquoi nous préférons traduire par points, quoique ce mot ne soit pas non plus tout à fait satisfaisant. Le mot ofxoç est employé comme synonyme d'atome par Epicure (ap. Diog. Laert., X, 54), et plus tard par Asclépiade de Bithynie (Sext. Emp., Adv. Math., VIll, 220).

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indivisible tel qu'on ne puisse, non seulement concevoir, mais réaliser par une expérience des plus simples, un mouvement qui divise cet instant. (Et on pourrait en dire autant de l'unité d'espace supposée indivisible : le même élément devrait s'élargir au point de contenir au même instant deux éléments de même dimension.) Dire que l'instant est divisé en deux parties égales, c'est, dans l'hypothèse, dire qu'il est le double de lui-même.

Quelle est la valeur des quatre arguments ainsi interprétés? Si hardie que puisse paraître une telle assertion, nous n'hésitons pas à dire qu'ils sont tous irréprochables. -

Nous ne saurions, sans dépasser démesurément les limites de ce travail, passer en revue toutes les réfutations, toutes les solutions de la difficulté que philosophes et mathématiciens se sont plu à imaginer. Il suffira de rappeler, après bien d'autres, que la plupart des critiques sortent de la question, ou du moins ne la posent pas dans les termes ou Zenon l'a posée. Par exemple, lorsque Aristote, qui a plus tard retiré cette objection, remarque contre la Dichotomie et VAchille que le temps est, comme l'espace, divisible à l'infini, et qu'il n'y a rien d'impossible à franchir des infinis dans un temps infini ; lorsque Leibniz déclare qu'un espace divisible sans fin se passe dans un temps divisible sans fin, ils sont évidemment l'un et l'autre à côté de la question. Zenon sait très bien, sa démonstration même l'exige, que l'espace et le temps se comportent de la même façon, qu'ils sont ensemble, toujours et parallèlement, divisibles à 1 infini. La question est de savoir comment, dans l'un et dans l'autre, cette série de divisions, par définition inépuisable, peut être épuisée, et il faut qu'elle le soit pour que le mouvement se produise. Ce n'est pas répondre que de dire qu'elles s'épuisent simultanément*.

Le mode de réfutation adopté par les mathématiciens

1. Voir sur ce point le lumineux chapitre, déjà cité, de M. Renouvier. Cf. Esquisse d'une classification systématique des doctrines philosophiques, t. I, p. 38.