Pour 9 =r zéro et quelle que soit la valeur de

l'expression (150) donne — = oo.Cela devait être, car

dans ce cas, les courbes décrites par les corpuscules sont des paraboles ; et comme pour celles-ci 6 = oo , nous avons implicitement supposé qu'un nombre infini de corpuscules étaient accumulés sur chaque point de la sphère R. Pour faire disparaître celte sorte d'indétermination, supposons que des corpuscules décrivant des paraboles soient uniformément répartis sur une calotte sphérique, de rayon R'. Quatre d'enir'eux partent des sommets d'un carré a/a^'a/ag' (Fig. 27) tracé sur cette sphère, l'un des côtés a/a^' passant par FO, axe commun des paraboles. Ces corpuscules rencontreront la sphère de rayon R aux points a,, a2,a^, a,, sommets d'un rectangle élémentaire; et si ^ et 5 sont respectivement les surfaces de ce carré, et de ce rectangle dont chacun correspond à un météore, on aura

Or, l'équation générale des paraboles étant

^ ' 1 — cos«

si on la différenlie en considérant ç comme constant, on aura la relation

(153) f sin»ci» = dp,

qui lie la variation dp éprouvée par le paramètre, quand on passe d'une parabole a, a/ à la parabole infiniment voisine a^a^\ avec l'angle d®, formé par les rayons vecteurs aboutissant aux points de rencontre de ces paraboles avec la sphère de rayon f .

De sorte que, en faisant Fa, =R, a,FO=:«, a^Fa, = d».

puis Pa/ = R', a,FO = û/, a^Fa,' = dJ, on aura respectivement

(154) RsinW» = (2p et R'sin»'el»'= dp.

De plus, on voit sur la figure que l'on a

(155) a^a^=zKdc0, a/a/ = R'd»'.

Ensuite les plans des paraboles a^a^\ a^a^' se coupant suivant FO, et les éléments a,a3, a^'a^' étant parallèles entr'eux, on a

(156) a.a^ l a/a^' H a,o \ a^'o' H Rsin» ; R'sin»'.

Des équations (151), (155) et (156), on conclut

s RcURsin»

7' "■ R'd-'R'sin-' '

relation qui, à cause des équations (154) se réduit à

Cette relation étant indépendante de &y on en conclut les conséquences curieuses que voici :

Si la vitesse, par rapport à la Terre, des corpuscules d'un essaim était primitivement nulle, par exemple s'ils parcouraient y autour du Soleil et dans le sens direct, une orbite identique à V orbite terrestre, l'attraction d& notre globe les rapprocherait de telle sorte que, ceux qui étaient régulièrement espacés sur une calotte sphérique de rayon R' seraient toujours régulièrement espacés sur des calottes sphériques appartenant aux diverses sphères de rayon R qu'ils traverseraient. De plus, les surfaces de ces calottes sphériques seraient proportionnelles aux rayons des sphères dont elles font partie.

Puis si Ton remarque que des surfaces de calottes sphériques sont proportionnelles au produit de leur hau-

leur H et H', par les rayons des sphères, R et R', on

RH

aura : i = — -, En rapprochant celle relation de (i57)>

s' R H on conclura que, quels que soient les rayons des sphères auxquels appartiendront les calottes sphériqu^s traversées, toutes ces calottes auront la même hauteur.

95. — Revenons à l'équation (150). Elle exprime lés nombres de rencontres avec la sphère de rayon R, non pas en fonction de Ç, distance zénithale du point de radiation, mais bien en fonction de «. Or, sur la figure 7,

on voit que l'on a

i ayant la valeur donnée par l'équation (30), en fonction de Ç. On pourrait chercher à éliminer » et i entre les équations (30), (150) et (158); mais nous nous contenterons d'emprunter au tableau du n^ 27 les valeurs de Ç -H i = û) qui, substituées dans la formule (150) nous permettront de calculer le tableau suivant :

Vitesses

initiales relatives

des

— - nombres proportionnels aux rencontres, en un temps donné, des trajectoires des corpus-

corpuscules.

cules et du cercle de visibilité, la distance zé-

Rapports

avec celle

de la

Terre.

Valeurs

en

kilomètres.

nithale du point de radiation étant Ç =

Oo

Okm

QO

QO

5km

15kin

30kni

72kra

Si Ton compare les chiffres correspondant aux vitesses kilomètre et 5 kilomètres, à ceux qui se rapportent aux grandes vitesses, on voit que, pour les corpuscules dont les vitesses relatives par rapport à la Terre sofU primitivement faibles, Vattraetion de notre globe augmente considérablement la densité transversale de Vessaim qu'elle traverse, c'est-à-dire, produit un rapprochement trèsnotable dans les trajectoires des corpu^scules qui le composent (*).

96. — Pour mettre en évidence , abstraction faite de celte concentration transversale, la variation qu'éprouvent les nombies des rencontres, par rapport à la distance

{*) Si l'on se reporte au tableau du n<> 15, qui montre que les faibles vitesses sont augmentées, beaucoup plus que les grandes, par rattraction de la Terre, et si Ton se rappelle (no 92) que les écartements des corpuscules sur les trajectoires croissent proportionnellement à ces vitesses, on arrivera à cette condution que, Vattraetion de la Terre allonge Vessaim dans le sens du mouve^ ment et cela d'autant plus que sa vitesse, relativement à la Terre, était primitivement plus faible.

Enfin 4> et 9 étant, comme au numéro 15, les vitesses à la distance R du centre de là Terre étàrorigine, et les sections qui correspondent

à chaque trajectoire étant respectivement — et — r, les volumes qui

n' no

comprennent un même nombre de corpuscules seront, dans les

(^ ^ mêmes circonstances, -r- et — •,. Le rapports des densité^ moyennes

w no

de Te^aim sera inverse de celui de ces rvolumes ; il sera donc

* no*

Passant aux nombres on trouverait, pour Ç := et pour les vitesses relatives ;9 r= j '5k« 15^1» 30»"» 72iun

les rapports des IdensitésN

de l'essaim, à la distance r( 1,90 1,01 1,00 1,^0 ^

du centreiet à l'origine ^

Si Ton multipliait,^{>ar ces coefficients, les nombres de ckaeunedes

zénithale du point de radiation , diminuons propoi lionnelleraent tous les nombres de chaque ligne horiaonlale du tableau précédent , de telle sorte que le chiffre correspondant à ^ = 0o devienne Tunité, et ayons égard, pour la vitesse zéro , à la conséquence de la formule (157), nous formerons le tableau suivant :

Il Les vitesses relatives 1 ; initiales

des corpuscules étant

Le nombre de points lumineux visibles, en un temps donné et sur la sphère R, étant 4 pour Ç = 0, il aura les valeurs suivantes pour Ç r

en fonction

de celle

delà

Terre.

en kilomètres.

Oo

ISkm

IKkm

SOkni

7âkm

Valeurs de cosÇ...

De la comparaison des divers nombres de ce tableau, avec ceux de sa dernière ligne horizontale, on peut tirer la conclusion suivante :

Dès que la vitesse relative initiale, de corpuscules régulièrement répartis dans un essaim y dépasse 5 kilomètres, on

lignes horizontales du tableau du numéro 96 , on obtiendrait un nouveau tableau donnant , pour une densité initiale de Tessaim égale à l'unité, la densité moyenne acquise par cet essaim à la distance R du centre de la Terre ; et Ton en conclurait que, pour les vitesses initiales égales ou supérieures à i5^^ la densité primitive est à peine modifiée , mais qu'elle est accrue pour les faibles vitesses initiale», et d'autant plus que ces vitesses sont- plus faibles^

peut admeUre, sans erreur notable y pourvu que la transparence de l'atmosphère soit la même, que, pour les corpuscules d'une même grosseur, le nombre de ceux qui, dans un temps donné, traversent une calotte sphérique limitée par le cerde de visibilité, sont, comme dans le cas des trajectoires rectilignes et parallèles {n^ 91 ), proportionnels aux cosinus des distances zénithales du point de radiation.

De Texamen des chiffres de la première et de la seconde ligne horizontale du tableau précédent , on conclurait encore :

Que, pour les vitesses relatives initiales moindres que S kilomètres, et à mesure que ceUes-ci tendent vers zéro, les nombres de rencontres avec la sphère de rayon R, que peut voir un observateur, tendent vers l'uniformité , quelle que soit la distance zénithale du point de radiation.

Toutefois, comme nous avons vu précédemment (n® 21) que l'existence permanente de ces essaims à faible vitesse est peu probable, et que d'ailleurs (n® 27) à cause du déplacement du point de radiation dans le ciel on n'a pas dû reconnaître leur existence, nous en ferons abstraction dans ce qui suivra.

§ n. — Loi de la fréquence des trajectoires lumineuses visibles.

97. — La loi du cosinus que nous venons de trouver ne serait applicable à la fréquence des trajectoires lumineuses, que si celles-ci étaient assez courtes pour qu'on pût les considérer comme des points. Voyons comment elle se modifie quand on a égard à la longueur de ces trajectoires.

On a conclu de mesures diverses, qui se rapportent en général, il est vrai, à des météores de première grandeur, que la hauteur est, en moyenne, de 120 kilomètres pour le point d'inflammation et de 80 kilomètres pour le

point d*extinclion. Supposons que, effec(iven)ent, les trajectoires lumineuses de tous les météores de première grandeur soient comprises entre deux surfaces de niveau ayant ces altitudes, 80 et 120 kilomètres, et pour simplifier nos déductions remplaçons, dans l'étendue des cercles de visibilité, ces surfaces de niveau par leurs plans tangents.

Soient (Fig, 28) l'observateur, OZ la verticale du lieu, ab et AB les surfaces de niveau considérées, Oa et OA les distances limites de visibilité des météores lors de leur passage par les plans ab et AB. Même en supposant que réclat intrinsèque des météores soit le même tout le long de leurs trajectoires, OA devra être plus grand que Oa; car, à cause de leur plus grande élévation au-dessus de Thorizon, l'intensité des rayons lumineux qui partent de A est moins diminuée par l'absorption atmosphérique, que celle des rayons parlant de a. Et selon les valeurs des dislances zénithales aOZ, AOZ et l'état de l'atmosphère, le point A pourra être à droile ou à gauche de la verticale de a. Pour simplifier nous supposerons que cette verticale contienne non-seulement ce point A mais encore les extrémités a' des rayons de visibilité tels que Oa' correspondant aux surfaces de niveau comprises entre ab et AB.

Il résultera de là que l'observateur verra , entièrement ou partiellement, tous les météores filants qui brilleront dans l'inlérieur du cylindre ABèa, dont la base est le cercle de visibilité ab. (Nous indiquons par de gros traits rectilignes (*) les parties de trajectoires de ces météores qui sont visibles). Leur nombre est proportionnel à la section droite, 6d, du cylindre dont les géné-

(*) Nous avons vu (n» 74), que la courbure de la trajectoire lumineuse est généralement insensible.

— ilO —

ratrices sonl parallèles à Ad, direction des trajectoires, et qui enveloppe d'ailleurs le premier cylindre AB6a.

Soient ^ cette section droite, et s la section oblique bc déterminée, dans le même cylindre, par le plan afr, section oblique représentée en projection au-dessous de la figure 28. On voit que cette section oblique se compose de deux demi-cercles, ayant des diamètres égaux à ab et séparés par un rectangle dont les côtés horizontaux sont égaux à ez.

Posons ab = i, ka =lz =^ e, et eZz = Ç. On aura

f = HcosÇ,

d'où

^=^-f-e2TgÇ,

Cette équation se rapporte à une seule grandeur de corpuscules. Si l'on somme les équations analogues qui se rapportent à toutes les grandeurs visibles, on aura

(4 59) 2g = '^^ 2i« + sinÇ2eZ.

Faisons , pour ^ = , c'est-à-dire dans le cas de la radiation zénithale, ^ = êo, nous aurons

Et comme s^ et s^o sont respectivement proportionnels aux nombres n et N des météores que comptent, dans le même temps, les observateurs qui voient le point de radiation à des distances Ç et zéro de leur zénith, on aura

En général — sera très-petit ; faisons donc

= siiiM et cos» = 1 ,

la formule

(160) deviendra

— = cosCcos» + sinÇsin» ,

ou bien

- = cos(Ç — »).

98. — Les hypothèses que Ton a faites pour obtenir cette formule diffèrent certainement de la vérité, mais pas assez, cependant, ,pour que la loi de fréquence des météores puisse différer notablement de l'expression à laquelle nous venons d'arriver. Et comme » sera toujours un petit angle 0, nous pouvons admettre que, quand le point de radiation ne sera pas trop voisin de l'horizon, les fréquences seront simplement proportionnelles aux cosinus des distances zénithales,

99. — Il resterait à déterminer », dont la valeur diminuera avec celle de ■-^. Mais nous ne pouvons pas pousser jusqu'aux chiffres la discussion de cette question, parce que l varie, suivant des lois inconnues, avec l'ordre de grandeur des météores et la sérénité du ciel, et nous ignorons aussi quelles lois peut suivre la valeur de e. En effet, nous savons seulement que les météores s'en^

(*) Si l'on n'avait à considérer que les météores de première grandeur, pour lesquels nous adoptions tout à l'heure e = 40^01 et pour lesquels nous avons trouvé (no I) ^ = iOOOkm, on aurait

-= cosÇ + 0,05 sinÇ = cos(Ç — 3o).

flammeni et s éteignent presque subitement; mais nous ignorons si la combustion a lieu dans Tair atmosphérique ou dans une atmosphère d'une nature différente, et si l'extinction a lieu par suite de l'entrée du corpuscule enflammé dans des couches atmosphériques peu propres à entretenir sa combustion (^), ou bien si elle résulte de ce que la matière entière, ou seulement la matière la plus combustible du météore serait entièrement volalisée ou disséminée après un certain parcours dans l'atmos* phère. Il est bon de faire observer, d'ailleurs, que ces deux modes d'extinction pourraient se produire simultanément; le premier pour les gros corpuscules, et le second pour les petits; et alors, tandis que e pourrait être constant pour ceux-là, il serait nécessairement variable pour les autres.

Remarquons, à ce sujet, que si les hauteurs d'inflammation et d'extinction étaient constantes (**) pour les gros météores, les longueurs de leurs trajectoires varieraient en raison inverse du cosinus de la distance zénithale du point de radiation ; et les durées de leurs trajets suivraient la même loi. Cette remarque permettra de vérifier Vhypothèse par de simples mesures chronométriques.

O Cette hypothèse nous paraît peu probable. Pourtant elle nous est suggérée par une circonstance que nous ont présentée, le 14 novembre 1866, les météores de première grandeur : Ceux-ci cessaient brusquement, avant d'avoir achevé leurs courses apparentes, d'émettre la substance qui formait, après leur passage, une traînée phosphorescente persistant pendant quelque temps. Nous avons regretté depuis de n'avoir pas prêté à ce détail du phénomène toute l'attention qu'il mérite peut-être.

(**) C'est un lapsus calami qui nous a fait écrire, à V Académie des sciences {Comptes rendus du 19 novembre 1866) que tous les météores observés avaient présenté cette particularité. Dans notre pensée, ce mot tous s'appliquait aux météores de première grandeur.

Quoi qu'il en soil, sans faire des hypothèses toutes gra-

tuiles sur les valeurs de - nous pouvons tirer quelques

conclusions des formules (160) et (162).

Nous ferons remarquer que, toutes choses égales d'ailleurs, l variera dans le même sens que la transparence de l'atmosphère ; et que, par suite, le facteur de sin^ augmentera à mesure que cette transparence diminuera. Par conséquent la loi de variation de la fréquence des météores, en fonction de la dislance zénithale du point de radiation, différera d'autant plus de celle du cosinus de cet angle, surtout pour les grandes valeurs de celui-ci, que Vatmosphère sera moins pure.

100. — De la formule (162) on pourrait encore être tenté de conclure, que la fréquence relative des météores atteindrait une valeur zéro, c'est-à-dire qu'un observateur ne verrait aucun des météores d'un essaim, quand le point de radiation serait abaissé d'un angle » au-dessous de l'horizon. Mais cette conclusion serait hasardée; car pour nous rendre un compte exact de ce qui se passe vers cette limite, il nous faut tenir compte, ce que nous n'avons pas fait tout à Theure, de la courbure des surfaces de niveau entre lesquelles brillent les trajectoires météoriques.

Pour traiter celte question, supposons que les météores ne puissent briller qu'entre les deux surfaces de niveau AZB et azb (Fig. 29), distantes de la surface de la Terre de H et h. Dans ces conditions, si nous négligeons la courbure de sa trajectoire, le météore qui fournira la plus langue course parcourra la corde AB tangente en 2 à la surface de niveau inférieure. SoitZCA = >; on aura

Zz = H — /i = (r + H)(4 — cosy) = (r + H)2sin'|y,

ou, à cause de la petitesse de y

d'où

2 sin'y ,

(163) Siny = Y ^^^ •

Puis en désignant par û» l'angle AOZ, moitié de Tangle sous lequel l'observateur voit la trajectoire,

Az = (r + H)siny = \/2(H - /i)(r + H),

Az V/2(H — h)(r + H)

(164) Tg« = — = ^

Si, dans ces formules, on fait H =420 kilomètres el ft = 80 kilomètres, on trouve

y = 6o 25', Az = 720km, » = 83« 36'.

Comme nous avons employé les valeurs moyennes de H et /i et non les valeurs extrêmes , et comme nous avons négligé la courbure de la trajectoire, nous pouvons conclure de là que, dans Vhypothèse que nous avons admise, lorsque le point de radiation est dans Vhorizon d'un observateur 0, celui-ci peut voir décrire à une étoile filante une trajectoire embrassant dans le ciel un angle AOB d'environ 470^ et correspondant à une course réelle d'environ 4S00 kilomètres.

401. — Supposons maintenant que l'observateur soit en (y, dans la verticale du point d'extinction A, et soit (VH l'horizontale de la station. La direction AB des corpuscules fera un angle y avec l'horizon, el, par suite, le point de radiation sera abaissé de y au-dessous de l'horizon de C. On aura alors

GosO'CH = -4-«> r + H

d'où, en mettant pour r et H leurs valeurs,

O'CH=llo02'.

Mais nous avons trouvé y = 6o23', d'où ACB = 12° W ; donc le point B sera au-dessous de l'horizon de l'observateur 0'. De là nous conclurons :

Qu*un observateur pourra voir une étoile filante AB, s'élever de l'horizon et s'éteindre à son zénith, quoique le point de radiation soit actuellement au-dessous de Vhorizon de 6^ 2S', angle qui pourrait être plus grand encore y si Von avait employé, pour H et h^ des valeurs extrêmes, et si l'on avait eu égard à la courbure de la trajectoire (*).

Cela ne se rapporte qu'aux corpuscules rasants, qui auront plongé le plus profondément dans F atmosphère et qui ne se seront pas éteints avant d'en sortir, et quoique ces cas doivent être rares, il n'en est pas moins vrai que, dans les stations qui s'écarteront au plus de six à sept degrés du cercle de la Terre pour lequel le point de radiation est à l'horizon, les observateurs pourront voir, à leur zénith, les extrémités de quelques météores rasants.

102. — L'on voit sur les figures 25 et 26, et en ayant égard à la loi de fréquence en fonction de Ç, que le nombre des étoiles rasantes que pourront voir ces observateurs, dans leur cercle de visibilité, sera très-faible en comparaison de celui des étoiles fichantes, que verront les autres observateurs répartis sur l'hémisphère vers lequel

{*) Le cas que nous venons de considérer semble être celui de rétoile filante que le docteur Phipson a vue à Londres, le 13 novembre 1866, à 9^ 20m du soir, s'élever du point de l'horizon au-dessous duquel était placé le point de radiation et dépasser son zénith. Car, d'après les coordonnées astronomiques du point de radiation, on trouve que, à 9'* 20"»^ ce point devait être abaissé de 6" 40' au-dessous de l'horizon.

l'essaim se dirige. El cette remarque, qui peut s'appliquer aussi bien aux météores sporadiques qu'aux météores périodiques, démontre la fausseté de l'opinion de plusieurs avJteurs, qui pensent que la plupart des étoiles fitantes ne font que raser Vatmosphère.

103. — Ce qui précède se rapporte aniquement à la fréquence moyenne des étoiles filantes comprises dans la partie du ciel qui correspond au cercle de visibilité. Mais on peut se demander encore quelles seront, pour un essaim de densité régulière et pour une distance zénithale donnée du point de radiation, les régions du ciel dans lesquelles les étoiles auront la plus grande et la |rfus petite fréquence. Or on voit (Fig. 28), que de tous les rayons visuels partis de la station 0, OA est celui qui rencontre le plus grand nombre de trajectoires lumineuses, tandis que OR, parallèle à la direction de ces trajectoires, n'en rencontre aucune. Nous concluons de là que la région du ciel qui contient le point de radiation sera la plus pauvre en étoiles filantes, et que, au contraire, la région située à l'opposé de ce point, par rapport au zénith, présentera la fréquence apparente la plus grande,

§ m. — Règles pour la diacusalon des fréqaenoes relatives.

104. — En attendant des mesures précises, dont la discussion conduirait probablement à des conclusions importantes, et permettrait au moins de compléter les formules que nous venons d'étudier, nous ne pouvons guère tirer, de ce chapitre, que les règles pratiques que voici :

Les météores d'un essaim seront bien peu fréquents quand le point de radiation sera au-dessous de Vhorizon de l'Ob'-

èervateur; et rarement on en verra quand rabaissement de ce point excédera six à sept degrés (a^s 100 el 102). Puisque, pour une densilé égale d'un essaim et quand le point de radiation est assez distant de l'horizon, la fréquence apparente des météores est sensiblement proportionnelle au cosinus de la dislance zénithale du point de radiation (n^ 98), quand, dans un lieu donné et pour un essaim périodique, on aura compté les nombres n des météores visibles pendant des temps égauX' (de cinq minutes par exemple), qui se succèdent dans une même nuit, on divisera ces nombres par le cosinus de ^, distance zénithale

correspondante du point de radiation. Les quotients — y

exprimeront alors, pourvu que ^ ne soit pas trop voisin de 90 degrés, les nombres que Von eût observés si le point de radiation avait occupé le zénith de la station. Alors si la transparence de V atmosphère est restée constante pendant

la durée des observations , ces quotients j=r-* seront propor-

cos(

tionnels aux densités des parties de Vessaim que la Terre traversait aux mêmes instants (n® 97).

105. — Si l'on applique la même correction à dei? observations contemporaines, faites en des stations assez peu distantes pour que Von puisse y regarder les densités de Vessaim comme identiques, les nombres à radiation zénithale que l'on obtiendra , donneront une sorte Je mesure des états de la sérénité du ciel dam ces diverses stations. Si, en même temps, les observateurs de chacune d'elles ont noté les étoiles fixes de l'ordre le plus faible qu'ils distinguaient à l'œil nu, dans les diverses zones du ciel, la discussion de ces observations comparatives permettra d'obtenir, en fonction de la visibilité des fixes, des coefficients par lesquels on devra multiplier les nombres

horaires à radiation zénithale, pour les ramener au cas d'une sérénité parfaite. Et les nombres ainsi corrigés seront, non pas seulement, comme tout à l'heure, des mesures relatives, mais bien des sortes de mesures absolues des densités de Vessaim.

106. — Les règles précédentes ne sont pas applicables aux observations faites quand le point de radiation est peu distant de rborizon. Pour celles-ci il faudrait diviser les nombres n observés par cos (^ — ») (formule 163) N étant un arc d'un petit nombre de degrés dont il reste à discuter les valeurs, qui varient (nous l'avons vu au n^ 99) avec la nature des météores en même temps qu'avec la transparence de l'atmosphère.

107. — Quand les diverses circonstances qui influent sur la visibilité auront été analysées par la discussion d'observations convenables, et qu'on aura conclu de celle-ci les rayons de visibilité et les fréquences relatives des météores de divers ordres de grandeur, on pourra aborder les questions suivantes, qu'il serait prématuré de chercher à résoudre maintenant :

Conclure, des nombres de météores observés pendant un temps donné, le nombre des corpuscules susceptibles de donner des météores visibles qui se dirigent vers toute la Terre pendant ce même temps ;

Déduire de là l'écartement moyen de ces corpuscules^ ou le volume moyen auquel chacun d'eux correspond.