S('^ = DLA

La hauteur C, dont la marée s'élève à l'embouchure pendant le temps tj ne figure pas explicitement dans cette formule; mais elle y entre implicitement, puisqu'elle contribue à former la surface mouillée S de la section de l'embouchure.

L'embouchure du fleuve à laquelle se rapportent les divers éléments de cette équation est celle qu'indique la disposition topographique du lieu, pour les fleuves dont l'embouchure est libre. C'est toujours la section placée à l'extrémité d'aval des fleuves de celte espèce qui règle l'introduction des eaux de la mer dans le fleuve.

Il n'en est pas de même pour les fleuves dont la barre obstrue l'embouchure. Ainsi que je l'ai déjà fait remarquer (132), la section du lit des fleuves de cette espèce, qui règle l'entrée des eaux de la mer dans le fleuve, se trouve en un certain point sur la longueur de la barre. La section dont il s'agit est ordinairement placée en amont de l'embouchure topographique, et c'est à cette section, considérée comme embouchure effective, que l'on doit rapporter les divers éléments de l'équation précédente.

Sur les uns comme sur les aulres de ces fleuves, l'égalité

Svt x= DLA, entendue comme je viens de le dir%cst la traduction du mouvement général des eaux dans Tensemble du gagnant de la marée fluviale, pendant le temps t. Elle s'accorde, comme on va le voir, avec les mouvements particuliers des eaux, soit dans Favant-flot, soit dans Farrière-flot.

161. Nous avons vu plus haut (158) que les eaux versées par la mer dans le fleuve, pendant la durée de la marée montante, restent conflnées dans la partie postérieure du gagnant de la marée fluviale que j'ai désignée parle nom S Arrière-flot,

L'arrière-flot augmente naturellement de longueur à mesure que la marée monte à l'embouchure.

A un instant quelconque de la marée montante, et pendant un temps donné t^ le volume d'eau introduit de la mer dans le fleuve et représenté dans la formule précédente par l'expression St'^, se place nécessairement à l'extrémité d'aval de l' arrière-flot, sur une certaine longueur près de l'embouchure. Tout le reste de la longueur de l'arrière-flot est occupé par les eaux que la mer a antérieurement versées dans le fleuve.

Pendant le temps t, la face antérieure de l' arrière-flot passe deQIenQT(/^. 24).

En outre, l'arrière-flot, s' avançant ainsi dans le fleuve, refoule une partie des eaux qui, à l'origine du temps t^ composaient l'avantflot et lui donnaient la forme QIJ. Ce refoulement de liquide amène l'avant -flot à prendre la forme QTJ', qu'il aflecte à la fin du temps t.

Voici donc, en définitive, les divers mouvements de liquide qui s'efliectuent dans le gagnant de la marée fluviale pendant le temps t, La partie de l'avant-flot, dont la section verticale est QIRQ', vient former l'accroissement RFJ'J du gagnant sur la longueur de l'avantflot. La mer, d'autre part, verse dans le fleuve un volume d'eau nécessaire d'abord pour remplacer dans l'arrière-flot le volume QIRQ' refoulé dans l'avant-flot, puis pour former l'accroissement

du gagnant sur la longueur de Farrière-flot, dont la section verticale estHHTR.

Comme les volumes ayant pour section QIRQ' et RFJ'J sont égaux d'après ce qui précède, il s'ensuit que le volume d'eau versé par la mer dans le fleuve pendant le temps t est bien égal à l'accroissement total du gagnant, dont la section est HHTJ.

C'est ce qu'exprime l'égalité

S^7=iDLA donnée au numéro précédent.

162. Les divers mouvements de liquide que je viens de décrire sont dus à l'épanchement des eaux de la mer dans l' arrière-flot et à la propagation des ondes élémentaires de la marée fluviale sur toute la longueur du gagnant. Le courant de flot qui assure ce mouvement, quelque compliquée que soit sa constitution, a donc, sur toute la longueur du flot, le caractère de courant d'ondulation*

Et ici se représente l'observation que j'ai déjà faite plusieurs fois (42 et 94) sur la manière dont s'opère, au moyen du courant de flot, le déplacement des différentes parties du liquide dans les mouvements ondulatoires. Ce ne sont pas les molécules d'eau des volumes déplacés qui viennent elles-mêmes former les volumes équivalents dans leur nouvelle position. En chaque point, le volume dont s'accroît le gagnant se réalise au moyen des eaux les plus rapprochées, et l'échange de liquide se fait ainsi de proche en proche, depuis le lieu où s'accroît le gagnant jusqu'à celui d'où proviennent les eaux qui pourvoient à cet accroissement.

Mais, dans ces mouvements de liquide qui s'opèrent de proche en proche, la distinction entre les eaux venant de la mer et existant dans le lit du fleuve à basse mer, se conserve toujours exactement suivant les indications données plus haut.

Tels sont, dans leur ensemble, les mouvements de liquide qui se produisent sur la longueur totale du gagnant de la marée fluviale.

Je vais maintenant examiner les effets produits dans Farrière-flot et dans Favant-flot.

163. Effets produits dans Carrière-flot» — Les considérations qui précèdent établissent que le phénomène de la marée fluviale est plus compliqué dans Farrière-flot que dans Favant-flot. Le courant de flot revêt, en effet, dans Farrière-flot, le double caractère de courant de pente et de courant d'ondulation; tandis qu'il n'agit que comme courant d'ondulation dans Favant-flot.

C'est donc au double point de vue de Fépanchement des eaux de la mer dans le fleuve et de la propagation des ondes élémentaires incessamment développées à Fembouchure pendant la marée montante qu'il faut examiner la constitution de Farrière-flot.

Avantd'abordercette étude, je présenterai sur Fégalité ?>vt=^ DLA du n® 160 quelques observations qui serviront à préciser les questions à résoudre.

Cette équation renferme plusieurs quantités qui sont absolument indépendantes les unes des autres.

Les quantités dont je parle sont, savoir : dans le premier membre de Féquation, la surface S de la section mouillée de Fembouchure, et dans le second membre, le produit des quantités D et L, produit qui représente la superficie horizontale moyenne du flot pendant le temps t que F on considère.

La surface S, en effet, ne dépend que de la largeur de Fembouchure, donnée naturelle et invariable de la question, et des hauteurs dont la marée s'élève à Fembouchure à Forigine et à la fin du temps ^, hauteurs qui résultent uniquement de la marche de la raarée de la mer (*) et restent les mêmes de quelque manière que la marée du fleuve se comporte.

D'autre part, dans la superficie D x L du flot, la distance D résulte de la vitesse avec laquelle la tête du flot se propage, vitesse

(•) Voirj à ce sujet, les observations présentées dans la note du n* 165.

ii2 MARKKS FLUVIALKS. — Cil Al», fil.

qui dépend de la profondeur des basses eaux du fleuve (quand il n'existe pas de ressaut à la tète du flot, comme il faut le supposer en ce moment). La valeur que prend D, au bout d'un temps donné, reste donc la même pour une même profondeur des basses eaux, à quelque hauteur que, pendant ce temps, la marée s'élève à l'embouchure. La largeur moyenne L, de son côté, est un élément naturel qui varie bien, quoique dans des limites restreintes, pour les différentes valeurs successives de D, mais qui est tout à fait indépendante de ce qui se passe à l'embouchure du fleuve et de l'importance de la marée.

11 n'y a donc dans les deux expressions DLA et Svtj dont l'égalité doit se réaliser pendant le temps t, que les quantités v et A, dont les valeurs ne résultent pas nécessairement des dimensions du lit du fleuve et des conditions naturelles de la marée de la mer. Ce sont les seules quantités qui soient susceptibles de varier, suivant les circonstances diverses de l'introduction des eaux de la mer dans le fleuve et de la propagation des ondes élémentaires de la marée fluviale.

La vitesse (^ du courant de flot obéit à des lois différentes, suivant que le courant agit comme courant de pente ou comme courant d'ondulation.

L'accroissement A de hauteur du flot, d'autre part, intéresse en même temps la pente de la surface du flot et la hauteur des ondes élémentaires de la marée fluviale.

Cet accroissement de hauteur entre, par suite, en relation avec la vitesse du courant de flot, soit que l'on considère ce couinant comme courant de pente ou comme courant d'ondulation.

Je ne fais qu'indiquer ici F existence de ces relations, sur lesquelles je donnerai plus loin les explications nécessaires.

Quelles que soient ces relations, la question qui se pose alors est celle de savoir comment les quantités A et i^ doivent se régler, dans farrière-flot, pour rendre égaux les volumes Si>l et DLA, au milieu des circonstances naturelles si variées que présentent les

lits des fleuves et pour les valeurs que prennent S, D et L aux dîfTérentcs époques de la marée.

Je considérerai successivement, dans ce qui va suivre, le phénomène au point de vue de Tépancheraent des eaux de la mer dans rarrière-flot et de la propagation des ondes élémentaires de la marée fluviale.

164. De V épanchement des eaux de la mer dans V arrière-flot. — Je suppose toujours, comme précédemment, que le gagnant de la marée fluviale occupe à un certain moment la position HG {fis- ^''^)^ ^^ 9"'^ Fexpiration du temps t la mer se soit élevée, à l'embouchure, de H en H'.

Fig. 2.5.

Pendant le temps t, un certain volume d'eau s'introduit de la mer dans le fleuve et s'épanche, comme je l'ai dit, dans l' arrièreflot. 11 y élève la surface supérieure du gagnant. Quelle position cette surface occupera-t-elle à la fin du temps t ?

Partons du cas dans lequel l'égalité nécessaire entre le volume d'eau entrant de la mer dans le fleuve et l'accroissement du gagnant sur toute sa longueur, pendant le temps ^, est obtenue au moyen de la position H'J' de la surface supérieure du gagnant, parallèle à HJ. Dans cette hypothèse, l'accroissement du gagnant se fait évidemment avec toute la régularité possible.

Supposons maintenant que les conditions naturelles délit soient telles que la position H'J' de la surface supérieure du gagnant, au bout du temps tj ne procure pas Tégalité nécessaire entre le volume d'eau que la mer peut verser et celui que le fleuve peut recevoir dans ces conditions.

Deux cas peuvent se présenter. Le volume d'eau fourni par la mer serait plus fort que la capacité du lit du fleuve correspondant à la section verticale HJ J'H' de l'accroissement du gagnant, ou il serait plus faible.

Dans les deux cas, il faut que l'un des volumes change de valeur pour devenir égal à l'autre ; ou bien que simultanément le volume trop fort diminue et le volume trop faible augmente, les deux volumes se rapprochant ainsi l'un de l'autre jusqu'à ce qu'ils deviennent égaux.

Ces deux volumes ont pour expression Svt et DLA (160).

L'accroissement A de hauteur du flot dépend de la position que prend la surface supérieure du flot par rapport à HJ, au bout du temps t.

La vitesse v du courant de flot dans la section d'embouchure est aussi influencée par la position de la surface supérieure du flot; car cette position détermine la pente de la surface du flot qui, de son côté, règle la vitesse d'introduction des eaux de la mer dans le fleuve.

C'est donc en définitive des changements qui surviennent dans la position de la surface supérieure du gagnant de la marée fluviale que doivent résulter les modifications de i' et de A ayant pour efl'et d'établir l'égalité entre les volumes Ss^t et DLA, étant données les valeurs de S et D x L, qui conviennent au cas que l'on considère.

165. Avant de continuer, je ferai remarquer que, de quelque manière que la surface supérieure du gagnant doive se placer au bout du temps /, cette surface passera par la ligne horizontale

projetée en H' dans la section de l'embouchure; car c'est là un point donné par la marée de la mer et qui reste le même quel que soit le volume d'eau qui s'introduise de la mer dans le fleuve (*). S'il arrive par conséquent que la surface HT de l'arrière-flot, parallèle à la surface HI, ne satisfasse pas à l'égalité Si^^ = DLA, c'est une autre surface, H'F ou HT", qui se produira; et toute surface, quelle qu'elle soit, qui satisfera à la condition d'égalité voulue, passera par la ligne horizontale projetée verticalement en H'.

166. Cela dit, je reviens à la question précédemment posée, et je supposerai d'abord que la capacité du lit du fleuve correspondant à la courbe instantanée du gagnant de la marée fluviale, qui a dans l'arrière-flot la position HT, soit trop faible pour contenir le volume d'eau qui doit s'introduire de la mer dans le fleuve, pendant le temps t,

La capacité offerte aux eaux venant de la mer, par le lit du

( * ) Je considère ici, comme on le voit, la hauteur de la marée de la mer, vers Fcmbouchure des fleuves, aux différents instants de la marée montante, comme indépendante de la hauteur plus ou moins grande, suivant les circonstances, que prend dans le fleuve le gagnant de la marée qui s'y introduit.

Je crois, en outre, que cette indépendance de la hauteur de la marée, vers l'embouchure, existe en tout état de choses, même quand le lit du fleuve vient à varier, soit en largeur, soit en profondeur.

On a quelquefois exprimé l'opinion contraire, et c'est, je crois, une erreur.

Deux circonstances contribuent à donner à l'onde marée de la mer la hauteur qu'elle atteint en chaque lieu : l'influence des astres, qui a son expression dans le coefGcient de la marée, et la profondeur de la mer.

La première de ces circonstances est évidemment indépendante de ce qui se passe dans les fleuves.

Quant à la seconde, ce sont les grandes profondeurs de la mer, à une certaine distance au large, qui commandent la hauteur et la vitesse de propagation de l'onde marée de la mer, jusque vers les rivages. Les résultats ainsi créés par les grandes profondeurs ne peuvent subir que des changements d'une très minime importance et presque inappréciables, par suite des modifications, toujours relativement très faibles, que produisent dans les dimensions du lit des eaux, près de l'embouchure, soit les apports du fleuve, soit les travaux exécutés dans l'intérêt de la navigation.

Du reste, si de pareils changements pouvaient se produire, cela n'intéresserait pas la question qui nous occupe; car il s'agit de faits qui se passent pendant la durée d'une marée; et ce n'est certainement pas le remplissage plus ou moins complet du lit du fleuve qui peut modifier la hauteur de la marée de la mer à l'embouchure.

146 MARBES FLUVIALES. — GHAP. III.

fleuve, ne peut augmenter que si la surface supérieure du flot se relève et si par suite la quantité A augmente.

D'après ce que nous venons de voir, la surface supérieure HT ne peut se relever qu'en devenant H'F ; la courbe supérieure du gagnant étant assujettie à passer par H'.

Mais un pareil déplacement rend plus faible la pente superficielle de l'arrière-flot. Comme cette pente règle la vitesse d'introduction des eaux de la mer dans le fleuve, il s'ensuit qu'en prenant la position plus élevée H'F, la surface supérieure du flot rend la vitesse p plus faible, et par suite apporte une diminution dans le volume des eaux qui entrent de la mer dans le fleuve pendant le temps t.

Lorsque la surface supérieure de Tarrière-flot passe de la dosition HT à la position HT, il se produit donc un double effet. D'une part, la capacité offerte par le lit du fleuve à l'eau venant de la mer est augmentée; et d'autre part le volume d'eau que le fleuve reçoit de la mer est diminué. Nous avions supposé que, dans la position HT de la surlace supérieure de l'arrière-flot, la capacité DLA du lit du fleuve était trop faible par rapport au volume Svt de l'eau venant de la mer. Donc le relèvement de la surface supérieure de l'arrière-flot rapproche ces deux quantités dissemblables et tend à les égaliser.

Je dis en outre que l'égalité se réalisera nécessairement dans tous les cas; car si la surface supérieure de l'arrière-flot se relevait jusqu'à l'horizontale H'K, il n'entrerait plus rien de la mer dans le fleuve. Le volume d'eau venant de la mer, que nous avons supposé d'abord trop fort relativement à la capacité que le fleuve lui présente, peut ainsi varier de sa valeur primitive à zéro. Il y aura donc toujours une valeur intermédiaire qui s'accordera avec la capacité du lit du fleuve, et la surface supérieure de l'arrière-flot trouvera toujours entre HT et HTC une position qui produira dans le volume d'eau venant de la mer la diminution nécessaire.

Je suppose maintenant que la capacité du lit du fleuve correspondant à la courbe instantanée HT de l'arrière-flot soit plus

grande que le volume d^eau qui, dans ces conditions, entrerait de la mer dans le fleuve pendant le temps t^ il est évident, sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans plus d'explications, que l'égalité entre ces deux quantités s'obtiendra par un certain abaissement de la surface supérieure de l'arrière-flot, par exemple en amenant la courbe instantanée de HT en HT'. Car un pareil abaissement a pour double eflet de diminuer la capacité DLA offerte par le lit du fleuve à F eau de la mer, capacité qui était supposée trop forte, et d'augmenter le volume Svt des eaux venant de la mer, qui était supposé trop faible, la pente superficielle du flot qui règle la valeur de V devenant plus grande quand la surface supérieure du flot s'abaisse en H'F.

Dans ces deux hypothèses, on voit que ç diminue quand A augmente, et réciproquement. La vitesse moyenne p, dans la section d'embouchure, du courant de flot considéré comme courant de pente (104), varie donc en sens contraire de l'augmentation A de la hauteur movenne du flot.

167. En amont de l'embouchure, le courant de flot acquiert des vitesses qui difiièrent en général de v et dépendent des circonstances particulières du lit. Désignons par u la moyenne de ces vitesses.

La vitesse moyenne ii^ considérée comme appartenant à un courant de pente, diminue ou augmente avec la pente superficielle du flot. Elle varie donc, comme la vitesse (^, en sens contraire de l'augmentation A de la hauteur moyenne du flot.

168. De la propagation des ondes élémentaires dans Carrière^ flot. — Examinons maintenant la question au point de vue de la propagation des ondes élémentaires dans F arrière-flot.

De quelque manière que la surface supérieure du flot se comporte, les ondes élémentaires naissent toujours, à l'embouchure, avec la même hauteur, à un instant donné ; et au bout du temps ^,

; , c'est toujours en H' (Jig. 25) que le sommet de Fonde doit se

placer (165).

; Mais, en amont de Fembouchure, il n'en est plus ainsi. Suivant

; que la surface du flot s'élève en HT', ou s'abaisse en H'P, les ondes

i élémentaires acquièrent des hauteurs plus ou moins grandes.

• Or la vitesse du courant auquel donne lieu la propagation des .' ondes élémentaires est en rapport direct avec la hauteur de ces

• ondes. En appelant toujours u la vitesse moyenne du courant de flot, en amont de l'embouchure, la vitesse a, considérée comme appartenant à un courant d'ondulation (104), varie donc dans le même sens que l'augmentation A de la hauteur moyenne du flot.

Il serait sans doute difficile de préciser l'influence que la vitesse moyenne u du courant d'ondulation, en amont de l'embouchure, exerce sur la vitesse i^ de ce courant, à Fembouchure où la hauteur de l'onde élémentaire ne subit pas de changement. Toutefois il est rationnel de penser que l'onde élémentaire de l'embouchure donne lieu à un courant difi<érent suivant que les ondes élémentaires qui les précèdent, prenant plus ou moins de hauteur, déterminent des courants d'ondulation plus ou moins rapides. Dans cette manière de voir, la vitesse v à l'embouchure varierait, comme la vitesse u en amont de Fembouchure, dans le même sens que F augmentation A de la hauteur moyenne du flot.

Rapprochant cette conclusion de celle du n** 166, il arriverait donc que la vitesse v varierait en sens contraire de l'augmentation A de la hauteur moyenne du flot, ou dans le sens de cette augmentation, suivant que Fon considère le courant de flot comme courant de pente ou courant d'ondulation.

Cependant il faut que les relations diff'érentes, qui, au point de vue de l'ondulation et de Fécoulement des eaux s'établissent enti'e V et A, conduisent à une valeur de chacune de ces quantités qui s'accorde en même temps avec le phénomène d'ondulation et celui de l'épanchement des eaux de la mer dans Farrière-flot.

Il doit en être ainsi, car, dans les phénomènes naturels, Fhar-

monie la plus complète s'établit toujours entre les divers éléments qui concourent à former ces phénomènes; et quand la surface supérieure de rarrière-flot se place dans une certaine position, c'est que cette position satisfait à toutes les conditions du problème, aussi bien en ce qui concerne la propagation des ondes élémentaires qu'en ce qui se rapporte à l'épanchement des eaux de la mer dans le fleuve.

Je me borne aux vues générales que je viens d'énoncer sur cette intéressante question. Pour l'approfondir, il faudrait posséder sur la constitution de la vitesse du courant de flot, considéré comme courant d'ondulation, des éléments que la science analytique ne paraît pas avoir encore donnés. Et d'ailleurs le cadre de cet écrit ne comporte pas d'études de cette nature.

Toutefois je présenterai encore quelques observations sur l'accord qui s'établit au moyen des quantités variables (^ et A entre les deux phénomènes d'ondulation et d'épanchement des eaux qui coexistent dans l'arrière- flot de la marée fluviale, quoique les rapports de ces deux quantités soient différents suivant que l'on considère l'un ou l'autre de ces phénomènes.

169. Partons toujours delà position HT de la surface supérieure du flot au bout du temps t (voir la Jig. du n** 164), et supposons que cette position donne au volume Si^t de l'équation du n® 160 une valeur plus forte que celle du volume DLA.

Nous avons vu (166) qu'en considérant la vitesse v comme appartenant au courant de pente, il existe nécessairement une certaine position de la surface supérieure du flot, comprise entre HT et l'horizontale H'K, qui assure l'égalité des deux volumes Sçt et DLA , attendu que la vitesse d'écoulement v^ trop forte dans la position HT de la surface supérieure du flot, décroît à mesure que cette surface se relève et devient nulle quand elle occupe la position horizontale H'K.

Or, en supposant toujours que la surface supérieure du flot passe

150 MARÉES FLUVIALES. — CIlAP. III.

de la position HT à la position horizontale H'K, la vitesse Vj coi^ sidérée comme appartenant au courant d'ondulation, irait sans cesse en augmentant par suite de l'augmentation de hauteur des ondes élémrtitaires (168); et quand la surface du flot arriverait à prendre la position horizontale H'K, la vitesse ç prendrait la plus grande valeur qu'elle puisse acquérir.

Ainsi la vitesse i> subit des changements de natures différentes quand la surface supérieure du flot s'élève de HT en H'K, sui\'ant qu'on la considère comme appartenant à l'épanchement des eaux ou à l'ondulation.

Dans le premier cas, elle passe d'une valeur trop forte à une valeur nulle, et dans le second cas, d'une valeur sans doute trop faible au maximum de valeur qu'elle puisse prendre.

Il y aura donc une certaine position intermédiaire de la surface supérieure du flot qui établira l'égalité entre les deux valeurs qui conviennent à la vitesse v considérée comme appartenant, soit à l'épanchement dçs eaux de la mer dans le fleuve, soit à l'ondulation^ comme il en existe une qui assure l'égalité entre les volumes Si^^etDLA.

D'après les considérations que j'ai présentées plus haut sur l'harmonie qui s'établit dans les phénomènes naturels, on peut affirmer, ce me semble, que la position de la surface supérieure du flot qui assure l'égalité entre les deux valeurs de i? se rapportant, soit à l'épanchement des eaux, soit à l'ondulation, est la même que celle qui assure l'égalité entre les volumes Sçt et DLA.

Ces considérations n'expliquent certainement pas de quelle manière l'accord s'établit entre l'épanchement des eaux de la mer dans le fleuve et la propagation des ondes élémentaires de la marée fluviale. Mais elles montrent au moins comment procède la vitesse du courant de flot pour entrer, avec son double caractère, dans cet accord sur lequel il ne peut pas rester de doute.

170. Ej/^efs produits dans Pavant-Jlot, — Dans l'avant-flot, le

mouvement ondulatoire règne seul (163), et le courant de flot a exclusivement le caractère d'un courant d'ondulation. Ce courant résulte de la propagation des ondes élémentaires incessamment formées à l'embouchure du fleuve pendant la marée montante, ondes qui arrivent dans l'avant-flot après avoir parcouru l'arrièreflot sur toute sa longueur.

Nous avons vu (166) que la courbe instantanée de l'arrière-flot, considérée à un instant donné, occupe, au bout d'un temps /, une position plus ou moins élevée, suivant les circonstances au milieu desquelles les eaux de la mer s'introduisent dans le fleuve.

Si ces circonstances amènent, au bout du temps ^, la surface supérieure de l'arrière-flot à prendre la position HT' (çoir la fig. du n** 164) plus élevée que la courbe HT parallèle à la courbe primitive HI, les ondes élémentaires de la marée fluviale ont toutes alors plus de hauteur et donnent lieu, pour leur propagation, à un courant d'ondulation animé d'une plus grande vitesse (168). Les premières molécules d'eau entrées de la mer dans le fleuve sont alors plus éloignées de l'embouchure que lorsque la surface supérieure de l'arrière-flot avait la position HT. Le plan séparatif de l'arrière-flot et de l'avant-flot est ainsi plus avancé dans le fleuve, et par suite le volume des eaux du fleuve refoulées vers l'amont, pendant le temps ^, est devenu plus considérable.

11 résulte de là que la surface supérieure du gagnant de la marée prend une position plus élevée dans l'avant-flot, aussi bien que dans l'arrière-flot.

Le contraire aurait lieu si la surface supérieure de l'arrière-flot devait occuper, au bout du temps ^, une position HT'' moins élevée que HT. Le plan séparatif de l'arrière-flot et de l'avant-flot serait moins éloigné de l'embouchure; le volume de l'eau du fleuve refoulée vers l'amont serait moindre, et la surface supérieure de l'avant-flot occuperait, au bout du temps ^, une position moins élevée.

Dans l'un et l'autre cas, les courbes instantanées de l'arrière-flot

et de l'avant-flot arrivent à s'accorder à leur point de jonction, se relevant ou s^abaissant simultanément, suivant les circonstances.

Le régime qui s'établit dans l'arrière-flot influe donc sur celui de l'avant-flot; toute modification du premier amenant une modification de même nature du second.

Cette influence de l'arrière-flot sur l'avant-flot a des conséquences importantes, en ce qui concerne la forme de la courbe instantanée sur toute la longueur de l'avant-flot.

Entre autres conséquences je citerai le ressaut, dont j'ai précédemment parlé (141), qui se forme parfois à la tête du flot sur certains fleuves, et qui constitue le mascaret.

Mais c'est une question que je ne fais qu'indiquer en ce moment, devant y revenir, avec tous les développements nécessaires, au Chapitre suivant de ce Mémoire.

Je borne donc ici, pour le moment, ce qui concerne le mouvement des eaux dans la marée fluviale pendant la première période de son évolution.

171. Mouvement des eaux dans la marée fluviale pendant sa seconde période. — La seconde période de la marée fluviale commence (156) au moment où le sommet de l'onde arrive à l'embouchure du fleuve, et finit à celui où l'étalé du flot (145) se produit au même lieu.

Pendant cette période, il s'introduit encore de l'eau de la mer dans le fleuve ; mais le volume de cette eau ne contribue pas seul, comme dans la première période, à former l'accroissement du gagnant de la marée fluviale dans un temps donné. Il s'y ajoute un autre volume, celui dont diminue, dans le temps que l'on considère, le perdant de l'onde marée fluviale, entre le sommet de cette onde et l'embouchure.

D'après cela, la relation qui représente le mouvement des eaux dans la marée fluviale, pendant la seconde période de son évolution, s'établit de la manière suivante :

Considérons Tonde placée à un certain moment de la période qui nous occupe, suivant HSC {fig* 26).

Supposons qu'au bout d'un temps t l'onde vienne prendre la position H'S'C.

Le gagnant s'est accru du volume dont la section verticale est OS'C'C. Mais, comme nous l'avons vu précédemment (159), la partie de l'accroissement du gagnant, comprise entre la ligne CC parcourue par la tête du flot et la ligne JJ' parcourue par l'étalé du jusant, est formée par les eaux que le fleuve amène dans ce lieu pendant le temps t. Le volume de l'accroissement du gagnant auquel il doit être pourvu au moyen d'autres eaux est donc celui dont la section verticale est OSTJ.

Fig. li\.

-mkm^Mmmm^mM

Cette partie de l'accroissement du gagnant est obtenue au moyen : 1** de la diminution du perdant de Tonde entre l'embouchure et le sommet de l'onde, volume dont la section verticale est OSHH' ; 2® du volume d'eau introduit de la mer dans le fleuve pendant le temps /, par la section d'embouchure du fleuve sur une hauteur moyenne entre AH et AH'.

Si nous désignons par :

S la surface moyenne de la section mouillée de l'embouchure

pendant le temps i ; v la vitesse moyenne du courant de flot à Tenibouchure pendant

le temps t\

D la dislance moyenne qui sépare le sommet de Tonde de l'étalé de jusant, pendant le temps t ;

L la largeur moyenne du lit du fleuve sur la distance D ;

A l'augmentation moyenne de la hauteur du gagnant de Tonde pendant le temps t ;

D' la distance moyenne qui sépare le sommet de Tonde de l'embouchure pendant le temps t ;

L' la largeur moyenne du lit du fleuve sur la distance D' ;

A' la hauteur moyenne dont s'abaisse le perdant de Tonde pendant le temps t\

la condition d'égalité ci-dessus indiquée s'exprime de la manière

suivante :

Sr^H-D'L'A' = DLA.

C'est l'équation à laquelle, dans la deuxième période de la marée fluviale, doivent satisfaire les divers éléments de cette marée.

172. Il importe de remarquer que, pendant cette seconde période, l'eau du fleuve est constamment plus élevée que celle de la mer, vers l'embouchure.

Ce n'est donc plus en vertu de l'excès de hauteur des eaux de la mer sur ceUes du fleuve, comme dans la première période de la marée fluviale, que l'eau de la mer s'introduit alors dans le fleuve, mais en vertu des seules nécessités de la propagation de l'onde marée fluviale, et quoique, à cette époque de la marée, la pente superficielle des eaux soit dirigée en sens contraire du courant qui existe encore dans la section d'embouchure.

La vitesse s^ appartient donc alors à un courant d'ondulation (104), et à chaque instant de la deuxième période, elle prend la valeur nécessaire pour que, d'après l'équation ci-dessus, le volume S vt soit égale à la difiiérence des volumes DLA — D'L'A', quelles que soient les valeurs que les conditions naturelles du fleuve et l'importance de la marée donnent aux autres quantités qui entrent dans l'équation.

A mesure qu'on s'éloigne de l'origine de la deuxième période delà marée fluviale, le volume DLA devient moins grand, par suite de la diminution des valeurs successives de D (137); et, d'autre part, le volume D'L'A' devient plus fort, la distance D' qui sépare le sommet de l'onde marée de l'embouchure allant sans cesse en augmentant.

Enfin, à un certain moment, l'égalité s'établit entre les deux volumes DLA et D'L'A'. Alors Sçt devient nul. Comme S conserve toujours une valeur quelconque, la vitesse v doit être nulle. Il n'entre plus d'eau de la mer dans le fleuve , l'étalé de flot se manifeste à l'embouchure, et la deuxième période de la marée fluviale se termine.

173. Mouvement des eaux dans la marée fluviale pendant la troisième période, — C'est au moment dont je viens de parler, , où l'étalé de flot se produit à l'embouchure, que commence la troisième période de la marée fluviale ( 156), et cette période se prolonge jusqu'à ce que l'onde marée disparaisse à la limite de la partie maritime du fleuve.

Considérons l'onde marée fluviale à l'un quelconque des instants de la troisième période, dans la position DSC {fig* 27 ), et supposons

Fig. 27.

.■\^\^\vm\v\\v\\\\\\\\\\\\\\\\^^^^^

qu'au bout d'un temps t la courbe instantanée de l'onde ait pris la position D'S'C, les étales de jusant et de flot, entendues comme je l'ai dit plus haut (145), ayant parcouru, pendant le temps ^, les lignes JJ' et FF.

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Le gagnant s'est accru, pendant le temps f, du volume dont la section verticale est O CCS'. La partie de ce volume, dont la section est CC'J'J, est formée, comme nous l'avons vu (159), par les eaux du fleuve. Par suite, le courant de flot ne doit amener du côté du gagnant de l'onde marée que le volume d'eau dont la section est JJ'S'O.

D'autre part, sur la longueur du perdant où règne le courant de flot, c'est-à-dire du sommet de l'onde à l'étalé de flot, le perdant diminue du volume dont la section verticale est FF'OS.

11 y a nécessairement égalité entre les deux volumes dont les sections sont JJ'S'O et FF'OS, et l'étalé de flot se place de manière que cette condition soit remplie.

Si nous adoptons les notations du numéro précédent, en appliquant les lettres D', L' et A' à la partie du perdant, qui s'étend du "sommet de l'onde à l'étalé de flot, la condition d'égalité ci- dessus indiquée s'exprime de la manière suivante :

D'L'A' z=z DLA.

La longueur D du gagnant de la marée fluviale diminue sans cesse, dans la troisième période, à mesure que l'onde s'avance dans le fleuve (137). Comme lès quantités L et L', A et A' ont ordinairement des valeurs peu diff<érentes les unes des autres, la distance D' du sommet de l'onde à l'étalé de flot doit suivre la longueur D du gagnant de l'onde dans sa diminution progressive, afin que l'égalité ci-dessus subsiste. L'étalé de flot se rapproche donc sans cesse du sommet de l'onde à mesure que l'onde marée s'avance dans le fleuve.

Nous verrons plus loin (176 à 178) ce qui se passe aux derniers instants de l'existence de l'onde marée fluviale.

J'ajouterai seulement ici que le courant de jusant qui règne de l'embouchure du fleuve à l'étalé de flot augmente sans cesse de longueur pendant la troisième période de la marée fluviale, puisque l'étalé de flot s'éloigne alors constamment de l'embouchure. Comme,

pendant ce temps, la longueur du gagnant de Tonde diminue sans cesse, il arrive que moins le gagnant doit demander au perdant pour constituer ses accroissements successifs, et plus le perdant a de longueur.

Cette circonstance est digne de remarque, et nous verrons tout à l'heure qu'elle trouve son explication dans la différence de constitution des courants de flot et de jusant de la marée fluviale.

174. Caractères du courant de flot de la marée fluviale. — D'après ce qui précède, c'est à la propagation de l'onde marée fluviale qu'est exclusivement dû le courant de flot de cette marée pendant ses deuxième et troisième périodes.

Il en est de même, pendant la première période, dans la partie antérieure du gagnant de l'onde marée fluviale que j'ai désignée par le nom d avant-flot (^i^^).

Dans la partie postérieure, ou arrière-flot^ le courant de flot est dû à l'épanchement des eaux de la mer dans le fleuve, en même temps qu'à la propagation des ondes élémentaires de la marée fluviale. Il revêt ainsi un double caractère, agissant en ce lieu comme courant de pente et comme courant d'ondulation ; et nous avons vu (164 à 169) qu'il satisfait alors, avec sa vitesse, aux nécessités des deux phénomènes qui s'unissent dans l'arrière-flot.

Le courant de flot de la marée fluviale a donc exceptionnellement le caractère de courant de pente, pendant la première période de la marée et dans l'arrière-flot. Mais cela n'empêche pas qu'à quelque époque de la marée fluviale qu'on le considère, ce courant a le caractère d'un courant d'ondulation sur toutes les parties du fleuve où il se manifeste.

175. Caractères des courants de jusant de la marée fluviale , — Le jusant de la marée fluviale est autrement constitué.

Il faut d'abord distinguer le courant de jus^t qui se produit à la partie antérieure du gagnant près de la tête du flot, pendant

toute la durée de l'évolution de la marée, de celui qui règne, pendant la troisième période de la marée, depuis l'étalé de flot jusqu'à la mer.

Le premier de ces courants existe pendant toute la durée de l'évolution de l'onde marée. Il n'a ordinairement qu'une faible longueur. Son rôle est d'amener, dans la partie d'amont de l'onde, les eaux que le fleuve débite constamment et qui viennent, dans un temps donné, former la partie de l'accroissement du gagnant de l'onde comprise entre la tête du flot et l'étalé de jusant (159). Les eaux du fleuve, ainsi introduites dans l'onde, s'y meuvent alors en vertu du mouvement ondulatoire qui règle leur vitesse suivant ses nécessités. Le caractère ondulatoire de ce courant ne fait point de doute. Je reviendrai plus loin sur ce sujet (176) en parlant des zones de jusant des marées fluviales.

Le second courant de jusant, celui du perdant de la marée fluviale, a un tout autre caractère.

Ce courant ne règne dans le fleuve que pendant la troisième période de la marée fluviale; mais il y acquiert une grande impor^ tance. S'étendant constamment de Pétale de flot de la marée fluviale jusqu'à la mer, il augmente sans cesse de longueur à mesure que l'onde marée s'avance dans le fleuve, et il finit par occuper seul, pendant quelques instants, la longueur totale de la partie maritime du fleuve (*).

Ces dispositions difi*èrent essentieUement de celles du courant de jusant de la mer, et l'on peut pressentir que, quoique portant le même nom, le jusant du perdant de la marée fluviale ne remplit pas le même rôle que celui de la marée de la mer.

Sur la mer, en efi*et, et par le mouvement de proche en proche que j'ai précédemment décrit (94), le courant de jusant entraîne

( * ) Cela doit s'entendre des fleuves qui, comme ceux de France, n'ont pas assez de longueur, dans leur partie maritime, pour qu'une onde marée y existe encore quand l'onde suivante commence à s'introduire dans le fleuve {voir, à ce sujet, la note du n» 130).

une partie des eaux de la diminution du perdant de l'onde marée, pour former un volume égal de Taccroissement de gagnant de l'onde marée suivante. Ce courant est une partie intégrante de l'onde. Si, par une cause quelconque, le courant de jusant de la mer était modifié, l'onde marée suivante en recevrait une grave perturbation.

Dans les fleuves, il n'en est pas ainsi. Le courant de jusant du perdant de la marée fluviale ne sert pas à la formation de l'onde marée fluviale suivante, sinon dans une proportion très faible, quand l'onde marée suivante commence à pénétrer dans le fleuve. Alors le courant dont nous parlons devient, dans la petite partie de la nouvelle onde qu'il occupe, le courant de jusant du gagnant dont j'ai parlé plus haut. Mais, avant que cet eflet minime se produise, la presque totalité des eaux mises en mouvement par l'onde précédente a déjà été entraînée hors du fleuve par le courant de jusant du perdant de cette onde.

Le courant de jusant du perdant de la marée fluviale n'est pas davantage en rapport avec l'onde marée de la mer. Ce courant rencontre, suivant les circonstances, soit le courant de flot, soit le courant de jusant de l'onde marée de la mer; et qu'il corresponde à l'un ou à l'autre de ces courants, son régime reste toujours le même. D'autre part, le courant de jusant du fleuve serait supprimé, que les courants de marée de la mer n'en recevraient aucune modification (*).

L'eau qu'entraîne le courant de jusant du perdant de la marée fluviale s'écoule évidemment en vertu de la pente qui s'établit à

(') Je n'entends pas dire par là que le courant de jusant s'efTace absolument en arrivant à la mer, et n'y produit plus aucun effet appréciable. Si les effets de cette nature sont très faibles et négligeables pour les fleuves de France, dont le débit de jusant a de médiocres valeurs, il peut en être autrement pour les fleuves à très grands débits, tels que le fleuve des Amazones. Mais les effets du jusant de ce dernier fleuve, que Ton peut apercevoir au large de son embouchure, n'exercent, sans doute, aucune influence sur la forme et la marche de l'onde marée immense qui parcourt l'Atlantique. C'est tout ce que j'ai voulu dire dans le passage auquel cette note se rapporte.

chaque instant entre le sommet de Tonde marée fluviale et la surface libre de la mer, sans qu'aucune nécessité ondulatoire intervienne.

L'eau qui s'écoule ainsi hors du fleuve, par l'efi^et de la pente, est celle que l'onde marée fluviale rejette incessamment, par suite de la diminution progressive de volume qu'elle subit en remontant le fleuve (154). C'est là, sans aucun doute, une simple opération de vidange qui, bien qu'étant la conséquence d'un phénomène d'ondulation, n'emprunte aucun de ses caractères à ce phénomène et s'opère uniquement en vertu de la pente du fleuve.

176. Zones de flot et de jusant de Uonde marée fluviale, — Il existe donc, sur la partie maritime des fleuves, à tous les instants de l'évolution de la marée fluviale, des courants de flot et de jusant ayant difi*érents caractères et diversement répartis sur le fleuve, suivant la position de l'onde marée fluviale.

J'appellerai, comme sur la mer (107), zones de flot et de jusant les parties du fleuve occupées, à un instant donné, par l'un ou l'autre de ces courants.

La longueur de la zone de flot est très variable aux difi'érentes époques de la marée fluviale.

Pendant les deux premières périodes de cette marée (156), c'està-dire jusqu'au moment où l'étalé de flot a lieu à l'embouchure, la zone de flot, limitée à l'aval par l'embouchure et à l'amont par l'étalé de jusant, augmente sans cesse de longueur. Car l'étalé de jusant s'avance alors constamment dans le fleuve, comme la tête du flot qu'elle suit à une distance qui dépend du débit naturel du fleuve et du volume d'eau restant de la marée précédente (130) au moment que l'on considère.

Pendant la troisième période de la marée fluviale, la zone de flot diminue au contraire sans cesse de longueur, jusqu'à ce qu'elle devienne nulle, vers l'amont de la partie maritime du fleuve, en un point dont j'indiquerai tout à l'heure la position.

V celle époque de la marée, la zone de flot est limilée du côté d'amonl par l'élale de jusanl, el du cAté d'aval par l'étalé de flot.

L'étalé de jusant suit la tôle du flot dans sa marche, comme je l'ai dit plus haut. Sa position est déterminée par le volume d'eau que débile le fleuve, et qui vient, à chaque instant, former la partie de l'accroissement du gagnant comprise enlrc la télé du flot et l'élale de jusant (1S9).

Le volume d'eau dont je parle renferme, outre le débit naturel du fleuve, une partie de l'eau restant de la marée précédente (130). Mais ce reste de la marée précédente finit par s'épuiser. Lorsqu'il a disparu, c'est le débit naturel du fleuve qui règle seul la position de l'élale de jusant, et cela arrive pendant une partie plus ou moins grande de la troisième période, suivant l'importance du volume d'eau resté de la marée précédente.

Quand il en est ainsi, comme la largeur du lit du fleuve diminue généralement en remontant, le volume constant débité par le fleuve occupe une longueur de plus en phis grande dans le gagnant de Tonde, à mesure que la marée s'avance dans le fleuve. Par suite, Tétale de jusant s'éloigne de plus en plus alors de la tète du not(').

Telle est la constitution de l'élale de jusant qui limite la zone de flot du côté d'amont.

L'étalé de flot qui limite la zone de flot du coté d'aval se comporte, d'autre part, de la manière suivante :

La position de cette étale sur le perdant de la marée fluviale dépend (173) du volume de la partie de Taccroissement du gagnant, comprise entre le sommet de l'onde elTétale de jusant. Or,

(') Voici quelques faits qui justifient les vues que je \iens d'exposer. Ce sont «les renseignements recueillis, le 19 septembre 1876, sur le temps qui s'est écouK* entre la basse mer et Tétale de jusant, en divers lieux situés vers Tamont de lu partie maritime des fleuves.

Sur la Charente, le retard de l'étalé de jusant sur la basse mer, a été d'environ 3o~' à Taillcbourg et de /lO"*'" à Saintes, située à 11 700'" en amont de Taillcbour^.

Sur l'Adour, le retard de l'étalé de jusant a été d'environ aj"**" à Urt et de 3o'"'*' i I^nnes, situé à i3 .'loo* en amont d'Urt.

la longueur du gagnant de l'onde diminue progressivement, comme nous l'avons vu (137) pendant la durée de la troisième période. L'intervalle compris entre Tétale de (lot et le sommet de l'onde doit donc également diminuer à mesure que l'onde marée s'avance dans le fleuve. La diminution doit même être plus marquée dans les derniers temps de la troisième période, attendu qu'alors, comme je l'ai dit plus haut, l'étalé de jusant s'éloigne ordinairement de la tête du flot et rend par conséquent plus faible la partie de l'accroissement du gagnant à laquelle le perdant doit pourvoir.

Donc, en résumé, pendant la troisième période, la limite d'aval de la zone de flot se rapproche sans cesse du sommet de l'onde ; et il en est ordinairement de même de la limite d'amont, surtout dans le*» derniers temps de l'évolution de la marée.

C'est ce qui occasionne la diminution constante de la zone de flot pendant la troisième période de la marée fluviale, diminution que j'ai signalée plus haut.

La figure du n® 186 donne un exemple de cette diminution de longueur de la zone de flot.

177. Puisque dans les derniers temps de la troisième période, Fétale de jusant s'éloigne de la tête du flot et le sommet de l'onde s'en rapproche, il arrive un moment où l'étalé de jusant vient se confondre avec le sommet de l'onde.

A ce moment, l'étalé de flot, qui se rapprochait sans cesse du sommet de l'onde, vient aussi nécessairement se confondre avec ce sommet, puisque alors le gagnant de l'onde n'a plus rien à demander au perdant.

Le moment que je viens de définir marque donc la fin de Texistence de la zone de flot.

11 importe de remarquer ici que le terme de l'existence de la zone de flot dépend essentiellement du débit du fleuve. Plus ce débit est fort, et plus la distance qui sépare l'étalé de jusant de la têt» du flot est grande, par conséquent plus le moment où Télale

de jusant vient se confondre avec le sommet de Tonde est en avance sur celui où finit l'évolution de l'onde marée fluviale.

C'est ce qui fait que, pendant les crues, le courant de flot ne se manifeste pas sur une certaine longueur vers Tamont de la partie maritime des fleuves ; et c'est encore pour cela que, dans les très grandes crues, l'évolution entière de l'onde marée fluviale s'efiectue sans que le courant de jusant se renverse (139).

178. La zone de jusant de la marée fluviale n'est pas unique, comme la zone de flot, pendant toute l'évolution de cette marée.

11 n'existe qu'une seule zone de jusant tant que durent les deux premières périodes de la marée, et cette zone est en tête de l'onde. Mais pendant la troisième période, il y en a deux : l'une en amont de l'étalé de jusant et l'autre en aval de l'ctale de flot.

Ces deux zones de jusant ont des caractères très difi<érents.

La zone de jusant d'amont appartient au mouvement ondulatoire. Le courant de jusant qui y règne a pour but de pourvoir à une partie de l'accroissement du gagnant de l'onde marée ; et quoique dirigé dans le même sens que le courant du fleuve, en amont do la tête du flot, il se difiercncie de ce dernier courant en ce que sa pente de surface est dirigée en sens contraire de celle du fleuve, au moins sur la plus grande partie de sa longueur.

La zone de jusant d'aval diffère essentiellement de celle d'amont.

L'extrémité d'aval de cette seconde zone de jusant reste constamment fixée à l'embouchure du fleuve, pendant que l'extrémité d'amont, qui est l'étalé de flot, s'avance incessamment dans le fleuve. ' Cette zone augmente donc toujours de longueur, à mesure que Tonde marée remonte le fleuve.

Le courant de jusant qui y règne est simplement un courant de pente, ainsi que je l'ai dit plus haut (175). Il n'a pour fonction que de rejeter à la mer les volumes d'eau qui deviennent incessamment inutiles à la propagation de l'onde marée, par suite de son affaiblissement progressif (154).

I^ zone de jusant d'aval se rapproche de celle d'amont, à mesure qac la zone de flot diminue. Ces deux zones se réunissent enfin au moment que j'ai précédemment défini, où la zone de flot cesse d'exister.

A ce moment le. jusant règne sur toute la longueur de la partie maritime du fleuve. L'onde marée cependant, quoique près de son terme, n'a pas encore pris fin ; et les deux zones de jusant situées l'une en amont, l'autre en aval du sommet de l'onde, ont des caractères diflerents. La zone d'amont conserve son caractère ondulatoire, et celle d'aval continue à faire écouler les eaux abandonnées par l'onde marée, en vertu de la pente du fleuve.

Enfin, quand l'onde marée s'est complètement eflacée, la zon<' de jusant d'amont cesse d'exister, et le courant de jusant qui règne sur toute la longueur de la partie maritime du fleuve est un courant de pente. Cet état dure jusqu'au moment oti l'onde marée suivante commeiice à s'introduire dans le fleuve.

179. Vitesse de propagation de Vonde marée JluKHale, — L'onde marée fluviale est de la nature des ondes de translation (loi). La vitesse de propagation de ses diverses trancbes verticales, qui ne sont autre cliose que les ondes élémentaires de la marée fluviale, est par conséquent donnée par la formule du n^'Si, dans laquelle H représente la profondeur des basses eaux du fleuv<* et h la hauteur de chaque onde élémentaire au-dessus du niveau (h» ces basses eaux.

Dans les fleuves, la profondeur des basses eaux est très variable. Elle ne conserve ordinairement la même valeur que sur de faibles longueurs, et ses variations peuvent, suivant les*circonstances, être dans le même sens, ou en sens contraire de celles de la hauteur des ondes élémentaires.

Les relations variées qui s'établissent ainsi entre H et h sont la cause des difïérences que l'on observe entre les vitesses de propagation des diverses parties de l'onde marée fluviale, et notamment efAve celles du sommet de l'onde et de la tête du flot.

DES ONDES MARÉES OÉniVÉES DANS LE FLEUVES. 105

Elles sont encore, pour les motifs que j'ai exposés au n" 39, la cause des changements qui sumennent presque constamment dans la forme des courbes instantanées des ondes marées fluviales.

A cette cause de modification des vitesses de propagation et des courbes instantanées des ondes marées fluviales, il faut sans doule ajouter les sinuosités elles changements de largeur du lit du fleuve, ainsi que l'intensité et la direction des vents.

480. Parmi les ondes élémentaires de la marée fluviale, il en est une, celle de la tête du flot, qui a un régime particulier.

Sauf le cas dont j'ai précédemment parlé (141), où un ressaut se lorme à la tête du flot, cas que j'examinerai particulièrement au Chapitre suivant, cette première onde élémentaire de la marée fluviale ne dépasse pas la hauteur de basses eaux du fleuve, du moins d'une quantité qui soit appréciable à l'œil.

Les observations nombreuses faites sur la marche de la tête du flot des dlflerents fleuves de France, pendant les marées des 19 et u6 septembre 18-6, ont montré que la vitesse de propagation de la tête du flot s'accorde généralement avec la formule du n® 10, en remplaçant H -+- A de cette formule par la hauteur H des basses eaux. En appelant toujours V la vitesse de propagation de l'onde, et U la vitesse des eaux du fleuve, la formule devient

Cette formule rend compte de l'affaiblissement que subit l'onde marée fluviale dans sa marche, et de sa disparition à la limite de la partie maritime du fleuve.

Le lit des fleuves présente, en effet, les circonstances suivantes. Sauf quelques exceptions, qui s'étendent rarement sur de grandes longueurs, la profondeur des basses eaux du fleuve diminue, et au contraire la pente du fleuve augmente à mesure que l'on considère un point plus éloigné de l'embouchure.

Il résulte de là que la vitesse de propagation de l'onde de la tête

du flot s'atténue sans cesse en remontant le fleuve, puisque ^'^H diminue avec la profondeur H des basses eaux, et que, d'autre part, le terme négatif U de la valeur de V augmente avec la pente du fleuve.

Il doit donc arriver un moment où les valeurs de y/^H et de L deviennent égales. Quand cette circonstance se présente, la vitesse V de propagation de l'onde élémentaire de la tête du flot devient nulle ; ce qui signifie que cette onde cesse d'exister.

L'onde élémentaire suivante devient alors l'onde de la lète du flot.

Mais cette nouvelle onde de la tête du flot disparaît bientùl comme la première, pour la même cause ; et toutes les ondes élé mentaires successives de la marée fluviale viennent ainsi s'évanouii les unes après les autres jusqu'à l'onde qui correspond au sommet de la marée fluviale.

A ce moment, l'onde marée fluviale termine son évolution. Tout mouvement ondulatoire cesse dans le fleuve jusqu'à l'arrivée de l'onde marée suivante.

181 . Je ferai encore remarquer, avant de quitter ce sujet, que les vitesses de propagation de l'onde de la tète du flot sont toujours plus grandes, sur le même fleuve, en morte eau qu'en vive eau, dans la première section du fleuve avoisinant l'embouchure, dont j'ai précédemment parlé (134). Cela résulte de ce que, dans cette partie du fleuve, la profondeur d'eau, à basse mer, est plus grande en morte eau qu'en vive eau, en supposant, bien entendu, que le débit des eaux du fleuve soit le même aux deux époques.

182. Vitesse du courant de flot, — La vitesse du courant de flot de la marée fluviale a, comme nous l'avons vu (174), diflérents caractères, suivant la partie de l'onde et l'époque de sa propagation que l'on considère.

Tant que la marée monte à l'embouchure, la vitesse du courant du flot est, en même temps, celle du courant développé par la

propagation des ondes élémentaires de la marée fluviale, et celle de Técoulement des eaux de la mer dans le fleuve, écoulement qui s'eflectue dans la partie du gagnant de la marée fluviale la plus rapprochée de l'embouchure et que j'ai appelée arrière-Jlot.

En tout autre lieu et à tout autre instant de la marche de l'onde marée fluviale, la vitesse du courant du flot ne résulte que des nécessités du mouvement ondulatoire.

Lorsqu'on veut apprécier la vitesse du courant de flot au point de vue de l'écoulement des eaux de la mer dans le fleuve, on peut le faire par les formules de l'hydraulique, au moyen de la pente superficielle des eaux que l'on obtient par l'obser\'ation.

Lorsqu'on veut apprécier cette vitesse au point de vue de la propagation de l'onde, il faut se rendre compte de l'importance du déplacement horizontal de liquide qui doit se faire de proche en proche, dans le mouvement de propagation de l'onde, pour procurer dans un temps donné, par la section verticale qu'offre le fleuve à cet écoulement, le volume dont le gagnant s'accroît pendant ce temps. C'est la méthode approximative d'appréciation que j'ai précédemment employée (111 à 113) pour déterminer la vitesse du courant du flot de l'onde marée de la mer.

L'accroissement du gagnant de l'onde, dans un temps donné, dépend de la vitesse de propagation de la tête du flot et de la forme des courbes instantanées successives de l'onde.

Sur les fleuves, l'extrême diversité de ces deux éléments de la question ne permettrait pas de représenter, même par une formule approximative, le volume de l'accroissement du gagnant.

Je bornerai donc aux indications qui précèdent ce que j'ai à dire sur la constitution de la vitesse du courant du flot. Mais on pourra reconnaître, en opérant avec des courbes instantanées relevées sur des fleuves dont on connaîtrait les diverses sections, que le procédé d'appréciation dont je viens de parler conduit à des vitesses du courant de flot qui s'accordent assez bien avec celles que donne l'observation.

iG8 MARÉES FLUVIALES. — CllAP. III.

183. La vitesse du courant de flot résulte, comme je Tai dît plus haut, du volume plus ou moins grand que prend l'accroissement du gagnant de l'onde, dans un temps donné, et de la superficie de la section par laquelle se fait, en chaque lieu, le transport de proche en proche de Teau qui vient du perdant vers le gagnant, pour réaliser l'accroissement de ce dernier.

Dans une môme marée, les sections verticales de Tonde varient régulièrement en chaque lieu avec les ordonnées de la courbe instantanée de l'onde, et irrégulièrement d'un lieu à un autre, avec les accidents de la profondeur du lit du fleuve.

C'est ce qui produit dans la vitesse du courant de flot les variations continuelles auxquelles j'ai fait allusion plus haut.

Si l'on considère deux marées d*e hauteurs difi*érentes, le volume de l'accroissement du gagnant, dans un temps donné, est sans doute plus considérable dans la marée la plus forte, à cause de la plus grande vitesse de propagation du sommet de l'onde; mais la superficie des sections d'écoulement de Feau entraînée par le courant de flot augmente en même temps, à cause de la plus grande hauteur des ordonnées des courbes instantanées de l'onde marée. Ces deux éléments qui contribuent à déterminer la vitesse du. courant de flot varient donc dans le même sens. Il en résulte que les vitesses du courant de flot, quoique ordinairement plus grandes en vive eau qu'en morte eau, diflerent moins entre elles, proportionnellement, que ne le font les hauteurs des deux marées.

184. En fait, sur les fleuves où la vitesse du courant de flol prend ses plus grandes valeurs, cette vitesse dans la partie inférieure des fleuves ne paraît pas dépasser 2"" à 2™,3o par seconde en vive eau, et i*° à i"',8o en morte eau.

Sur les fleuves où Ton observe ces vitesses du courant de flot, et aux lieux où elles se produisent, le sommet de l'onde marée se propage avec une vitesse d'environ 10"" par seconde en vive eau ot 8" en morte eau.

DES ONDES MARÉES DÉRIVÉES DANS LES FLEUVES. iG9

Le rapport de la vilesse du courant de flot à celle de la propagation du sommet de l'onde est donc d'environ j.

Ce rapport est par conséquent beaucoup plus fort sur les fleuves que sur la mer. Car même dans les mers de faible profondeur, telles que la Manche, ce rapport ne dépasse pas ^ (67 et 124).

A mesure que Tonde marée s'avance dans le fleuve, la vitesse du courant de flot diminue. Mais la vitesse de propagation du sommet de l'onde diminue en même temps, et le rapport de ces deu\ vitesses conserve toujours les valeurs élevées qu'il a dans la partie inférieure du fleuve.

183. Marche particulière des molécules cVeau clans le courant (lejlot, — Dans l'onde marée fluviale, comme dans celle de la mer, ce ne sont pas les mêmes molécules d*eau qui sont entraînées par le courant de flot pendant toute la durée de l'évolution de l'onde (108). Le courant de flot se mouvant moins vite que l'onde ne se propage, il en résulte que les molécules d'eau entraînées par la zone de flot sont, après un certain temps, dépassées par cette zone.

Chaque molécule d'eau parcourt ainsi, dans le courant de flot de la marée fluviale, comme dans celui de la mer, un certain trajet limité de longueur; après quoi, la molécule cesse d'être entraînée par le courant de flot, et se dirige en sens contraire, vers la mer, comme nous l'avons vu (175), pendant que la zone de flot continue à s'avancer vers l'amont du fleuve.

La longueur de la trajectoire parcourue par une molécule d'eau, dans le courant de flot, dépend, sur les fleuves comme sur les mers, des vitesses relatives du courant de flot et de la propagation de Fonde. Ces vitesses subissent, ainsi que je l'ai dit au numéro précédent, d'incessantes variations qui dépendent de circonstances purement accidentelles. La longueur du trajet d'une molécule d'eau dans le courant de flot varie donc sans cesse, sans que ces variations soient soumises à une loi régulière.

On peut toutefois évaluer approximativement la longueur du

3IAnEES FLUVIALES. — CIIAP. III.

trajet d'une molécules d'eau parlant d'un lieu déterminé, si l'on connaît par l'observation les vitesses du courant de flot, et de la propagation de Fétale de flot qui conviennent en ce lieu.

Cette longueur peut s'établir par des considérations analogues à celles que j'ai précédemment exposées (116) pour l'onde marée de la mer.

186. Trajet cTunc molécule (T eau clans le courant dejlot. — Supposons que la molécule d'eau que l'on considère soit placée onB(yî^. 28). Efle commence à entrer dans le courant de flot 4|uand l'étalé de jusant se produit en B. La courbe instantanée de

la marée fluviale occupe, dans ce moment, la position FS(]1, l'étalé de flot étant en F.

Pendant que la face postérieure de la zone de flot, qui passe par l'étalé de flot, s'avance de la position FG à la position F'B où se trouvait primitivement la molécule -d'eau que l'on considère, cette molécule s'avance jusqu'en un certain point B', dont la position dépend de la valeur que prend en ce lieu la vitesse du courant de flot et du temps qui s'écoule entre les instants où l'étalé de jusant €t l'étalé de flot passent en B.

Quand la molécule d'eau est arrivée en B', la courbe instantanée de la marée fluviale occupe la position F'S'C.

Cependant l'étalé de flot et la molécule d'eau continuent à

«ES ONDES MARÉES DÉRIVÉES DANS LES FLEIVES. i71

s'avancer vers ramonl du fleuve, et, en vertu de sa plus grande vitesse, Tétale de flot finit par rencontrer la molécule. A ce moment, la zone de flot abandonne la molécule d'eau qui est alors entraînée, par le courant de jusant, vers la mer.

Supposons que la rencontre de l'étalé de flot et de la molécule d'eau ait lieu en B''. La ligne BB'' représente alors la longueur du trajet de la molécule d'eau dans le courant de flot. Au moment où la molécule cesse d'être entraînée par ce courant, la courbe instantanée de la marée fluviale occupe la position F'^^C.

187. Clierchons l'expression de la distance BB". Si nous appelons :

ï le temps qui s'écoule entre le passage de l'étalé de jusant et de l'étalé de flot au point B qu'occupait primitivement la molécule? d'eau que l'on considère ;

V la vitesse moyenne de propagation de l'étalé de flot de l'onde marée fluviale pendant le temps T ;

V la vitesse moyenne du courant de flot sur la longueur BB'';

la distance parcourue pendant le temps T par la molécule d'eau qui

part du point B sera

BB'z=Tr.

La distance B'B" à laqueUe la molécule d'eau partant du point B' arec la vitesse ç sera rencontrée par la face postérieure de la zone de flot partant du point B, avec la vitesse V, sera donnée, comme je l'ai dit précédemment (116), par la formule

V — r ou, mettant à la place de BB' sa valeur donnée plus haut,

B'B''=ii.

Le trajet total de la molécule d'eau est, comme nous l'avons vu, BB^^BB^+B^B';

\12 MARKES FI.LVIALKS. — CIIAP. lll.

mettant à la place de BB' et B'B" leurs valeurs indiquées ci-dessus, et réduisant, on obtient

188. La formule précédente donne la longueur du frajet d\mft \

molécule d'eau quelconque du fleuve, dans le courant de flot, quand

on connaît les valeurs de T, V et i' qui conviennent à la partie du

fleuve où le trajet de la molécule s'eflectue.

Elle s'applique par conséquent aux premières molécules d'eau

entrées de la mer dans le fleuve, à Torigine de la marée montante. La figure ci-dessous montre la marche de ces molécules qui,

Fig. ?o.

parties de l'embouchure en B, quand l'étalé de jusant s'y est produite, se trouvent en B' quand Fétale de flot de la marée fluviale a lieu à Tembouchure, et en B" quand elles sont rencontrées par la face postérieure de la zone de flot.

189. Nous avons vu (137) que, à quelques exceptions près, la lonj^ueur du gagnant de Tonde marée fluviale diminue sans cesse à mesure que Tonde s'avance dans le fleuve. Il en est de même de la durée de la marée montante en chaque lieu et des vitesses, soit de la propagation de Tonde, soit du courant de flot.

Tous les éléments de la valeur de BB" diminuent donc en remontant le fleuve. La longueur BB" peut par conséquent subir, suivant

DES ONpKS MARÉRS DKRIVKÈS DANS LES FLEUVES. illl

les circonstances, des modifications en plus ou en moins. Toutefois T diminue d'une manière plus marquée et plus rapide que V et ç, I^s valeurs de BB" diminuent donc ordinairement à mesure que l'onde s'avance vers l'amont du fleuve.

Généralement, ce sont les premières molécules d'eau introduites de la mer dans le fleuve qui parcourent la plus grande distanc<î dans le courant de flot.

190. Limite de la salure des eaux du Jleu\?e, — Les premières molécules d'eau entrées de la mer dans le fleuve étant parvenues au point B'' ci-dessus défini, la zone de flot les abandonne, et elles redescendent alors vers la mer, entraînées par le courant de jusant, tandis que la zone de flot continue de remonter le fleuve, en se propageant alors dans des eaux exclusivement fluviales.

Le point B" marque donc la limite de salure des eaux dans le lit du fleuve.

Cest une limite théorique que Ton obtient ainsi. Elle suppose que tous les filets fluides soient animés de la %itesse movenne du coulant de flot; et, en fait, ces vitesses varient du fond à la surface des eaux, comme des bords au centre du fleuve. Les premières molécules entrées de la mer dans le fleuve ont donc parcouru des trajets plus ou moins longs suivant la position qu'elles occupent, quand elles cessent d'être entraînées vers l'amont. La salure des eaux décroît ainsi progressivement sur une certaine longueur des fleuves.

Toutefois cette décroissance est assez rapide. La partie des fleuves sur laquelle la salure passe de son maximum à des quantités insignifiantes de sel, a en général peu de longueur; et Ton détermine facilement par l'observation le point d'un fleuve que Ton doit considérer comme la limite de la salure des eaux.

C'est ainsi que l'on fixe ordinairement cette limite à Pauillae, sur la Garonne; au Migron, sur la Loire, et à Caudebec, sur la Seine.

ITi MARÉES FLiVIALES. — CIIAP. fil.

191. Ces appréciations s'accordent avec les calculs approximatifs suivants qui s'appli(|ucnt à une marée de vive eau.

En employant pour T, V et ç des valeurs moyennes données par diverses observations, voici les résultats auxquels conduit la formule du n® 187 :

Sur la Gironde

on trouve

Sur la Loire

on trouve

Sur la Seine

on trouve

inr z5oi84-.

Ti^ 19000% V = 5'",5o, i- . i'",3o,

Bir=:3325o'».

T:=^ lagoo",