IV. — Quelques démonstrations mathématiques d' Aristote

Nous trouverons assez souvent chez Aristote, et notamment dans la Physique et le Traité du Ciel^ des démonstrations dont la forme est semblable en apparence à celles des géomètres. L'énoncé général de la proposition est d'abord posé, puis des lettres particulières désignent avec précision telles ou telles grandeurs, pour lesquelles le raisonnement va se faire ; le plus ordinairement il aboutit à une contradiction en règle, qui .permet de conclure par l'absurde. Si Ton

observe^ de près ces démonstrations, on est souvent effrayé de leur naïveté. Comme elles se ressemblent étrangement, il suffira que nous en choisissions deux, — sur le type desquelles sont une foule d'autres.

Voulant établir (1) que le vide n*existe pas, Aristote a déjà dit (nous avons mentionné plus haut ce passage) que la durée d'un mouvement est en raison de la densité du milieu qu'il traverse ; la durée du mouvement dans l'eau, par exemple , est à celle du mouvement dans Tair, comme sont entre elles les densités de l'eau et de Tair. Or, a-t-il ajouté, le vide n'est plus dans aucun rapport avec un milieu, quel qu'il soit, carnen ne saurait être dans un rapport déterminé avec quelque chose. Cet argument ne suffit pas à Aristote pour rejeter le vide ; il veut donner une démonstration en règle. En substance, et pour résumer, car elle est assez longue chez Aristote, voici cette démonstration : soit A un certain milieu traversé dans le temps T\ le vide sera traversé dans un temps plus petit T. B étant un milieu dont la résistance serait à celle de A comme T est kT, B serait aussi traversé dans le temps T ; donc le vide et le plein (B) sont traversés dans le même temps, ce qui est absurde.

Sent-on suffisamment ce qu'il y a d'étrange en une pareille démonstration ? Aristote a posé la proportionnalité des durées aux densités : la conséquence mathématique serait alors que la durée du mouvement à travers le vide est nulle, c'est-à-dire que la traversée est instantanée. Cette idée lui répugnait, et il lui fallait une durée finie pour la traversée du vide ; soit ! Mais alors il devait renoncer à la proportionnalité. Mettre

(1) Phys. A, 8, 215 b, 22—216 a, 3.

dans les prémisses d'un raisonnement à la fois la proportionnalité de deux grandeurs et le fait que Tune des deux est nulle sans que l'autre le soit, c'est introduire dès le début la contradiction ; et prendre ensuite la peine de démontrer lentement et minutieusement qu'on. est conduit à des conséquences absurdes, c'est le comble de la naïveté.

Nous emprunterons l'autre exemple à l'une des innombrables tentatives que fait Aristote pour établir qu'à une grandeur finie ne peut correspondre une grandeur infinie. Soit (i) la démonstration de cette proposition qu'un corps infini ne peut pas avoir un poids fini. P étant le poids du corps infini, P' (plus petit que P) sera le poids d'une partie A de ce corps. Si alors B est un corps fini qui soit à A dans le rapport de P kP' ,B aura pour poids P, à cause de la proportionnalité des poids aux grandeurs, et deux corps, l'un infini, l'autre fini {B), auront le même poids, ce qui est absurde. — On le voit encore ici, l'absurdité de la conclusion n'est pas différente de celle qui est posée dès le début, à savoir la proportionnalité de la grandeur au poids, avec la restriction que l'une pourrait rester finie, l'autre devenant infinie.

La démonstration prend une forme légèrement difl'érente dans la Physique (2), en ce sens que la proportionnalité n'intervient pas nécessairement, et qu'il s'agit d'un mouvement qui peut être inégal. Mais le raisonnement n'en est pas moins étrange. Aristote veut prouver qu'un mouvement fini ne peut jamais exiger un temps infini. En deux mots, voici son argumenta-

(1) Ciel, A, 273 a, <2) Z, 7, 238 a.