V. — L'INPINI DE QUANTITÉ

L'infini est une illusion de la pensée qui, comme le dit Aristote, a de quoi fournir sans fin, qui peut toujours dépasser le terme qu'elle a atteint. Mais existet-il, et comment existe-t-il, dans le monde des réalités concrètes ?

L'univers est limité. Les raisons en sont multiples. Arrêtons-nous seulement sur ces deux démonstrations géométriques que donne le Traité du Ciel (A, 272 a et b), et qui s'appuient sur ce que la rotation du cosmos se termine dans un temps fini.

1° Soit un rayon CAE tournant autour du centre C: si ce rayon est fini, CE, on conçoit très bien que dans sa rotation il s'appuie sur une droite illimitée BB , en parcourt un segment fini E' E'\ puis continue à tourner sans plus rencontrer la droite BB' , Mais s'il est infini et si d'abord il ne rencontre pas BB\ il ne commencera jamais à couper cette droite. Or, la rotation se termine en un temps fini ; cela est contradictoire.

2° Soit un rayon CAE infini rencontrant la ligne illimitée B3' en un point F, jamais, dans sa rotation autour de C, il ne quittera cette droite : ce qui est contradictoire avec la durée finie de la rotation totale.

N'est-il pas permis de dire que ces démonstrations ne sont pas le fait d'un géomètre, habitué aux rotations de lignes, aux variations d'angles, indépendantes de la longueur de l'élément qui tourne ? Soit «, diraitil, l'angle de CA^ avec une direction fixe CX, perpendiculaire à BB\ par exemple ;C«) variant de zéro à 360 degrés, le rayon fait un tour complet. Il rencontre BB' pour les valeurs de « comprises entre 90 et 270 de- !% grés, et pendant la durée de la moitié de la rotation

' totale. Les positions où le rayon est parallèle à BBt

[ marquent le commencement et la fin de la rencontre.

Tout cela reste aussi clair avec un rayon illimité qu'avec un rayon fini. Sans doute il y a quelque difficulté pour l'imagination à saisir un premier et un dernier

point de rencontre ; mais cela ne rend pas plus là rotation impossible, que l'argument de V Achille n'empêche le plus lent d'être atteint par le plus rapide.

Mais laissons là les démonstrations elles-mêmes, et prenons acte de la conclusion d'Aristote. Le monde qui tourne est limité, soit ! Et au delà? — Au delà, Aris-' tote ne croit pas à un milieu plus ou moins fluide ; -comme d'ailleurs il rejette le vide avec la plus grande énergie, et qu'enfin Tespace n'est pour lui que la limite •du contenant d'un corps et n'a de sens que là oil il y a des corps, nous en sommes réduits à la conception d'un univers total limité à la sphère des étoiles fixes, sans qu'il soit permis à Timagination de rien ajouter au delà de ses bornes. — Comme conséquence directe de cette limitation du monde, se trouve posé un maximum pour la grandeur qui croît. Non seulement il n'existe pas de grandeur infinie en acte, mais il n'existe pas une grandeur aussi grande qu'on voudrait; Topération qui consisterait à ajouter sans cesse une grandeur à une grandeur, de façon à réaliser un accroissement continu, ne peut pas se prolonger au delà d'une <îertaine limite ; elle se termine nécessairement : ce qu'Aristote exprime en disant que linfîni de grandeur n'existe même pas en puissance.

Seul existe l'infini que révèle en deux sens différents la divisibilité illimitée d'une grandeur. Un corps quelconque peut être divisé en deux parties, par exemple ; chacune d'elles en deux autres, et ainsi de suite, sans que jamais il doive y avoir une limite, une fin à cette division. C'est là un infini qui existe dans le même sens qu'existe une période de temps, une olympiade, par exemple ; il est comme quelque chose qui s'écoule, qui devient, qui se présente sans cesse sous un aspect

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nouveau. Il a quelque chose d'actuel dans son existence, en ce sens que la division sans fin d'une grandeur est réalisable, comme se réalise un écoulement indéfini. Mais il n'est pourtant pas en acte, en entéléchie, au sens où ce mot comporterait Fachèvement du processus, puisque au contraire la division n'est jamais arrêtée. C'est pourquoi Aristote l'appelle infini en puissance. Les mêmes réflexions s'étendent à l'infini d'addition qui accompagne l'infini de division, car les parties successivement retranchées d'une grandeur forment une somme qui augmente sans cesse, sans jamais atteindre la grandeur elle-même. Cet infini est, comme l'autre, et parallèlement à l'autre, un processus qui se réalise continûment sans s'achever jamais : c'est là le seul infini d'addition qui existe, même en puissance. On voit par où il difi'ère essentiellement de l'infini qui dépasserait toute grandeur. Ici l'addilion est illimitée, mais ne parvient même pas à reconstituer le corps auquel s'est appliquée la division ; au contraire l'addition arbitraire d'une grandeur à une grandeur nous ferait dépasser toute limite, et nous conduirait au delà des dimensions maxima de l'univers, c'est-àdire à des grandeurs non réalisables. — Les infinis qui peuvent être mis en évidence, dans des conditions concrètes déterminées, par la division illimitée d'un corps quelconque, sont en puissance en tant qu'ils sont comme une sorte de matière qui se réalise poursuivant indéfiniment son entéléchie. L'infini de grandeur formé par un accroissement arbitraire n'a pas cette existence matérielle et potentielle, attendu que le processus auquel cette addition donne naissance a une limite déterminée qui l'arrête, et le détruit en tant qu'infini. C'est ainsi que nous entendons le passage de

la Physique, T, 6, 206 a et b, qui aboutit à cette conclusion : oùX d fXYî olov ze âvat dmipov £VT£X£;j£ta (7W|xa ataÔYjTov ovzcù^ (pavepbv ou oùàè ^yvoéjuiet av etvî xaiâ npà(j9cfjiv, aXX' tÇ w<77rep ÊtpvjTat oLVCEorpaixiiévcùç TV? $tatpg(7£t. . , (206 b, 24). — Un peu plus loin Aristote confirme notre explication à l'occasion de l'infini de nombre et de l'infini de grandeur. Il rejette Tinfiniment petit pour le premier (l'unité étant un minimum au-dessous duquel le nombre ne peut descendre), — et l'accepte pour l'autre ; tandis que, d'autre part, il accepte l'infiniment grand numérique, mis en évidence dans la division par le nombre illimité de parties, et rejette l'infiniment grand de la grandeur, comme dépassant le ciel : stvj yàp av Tt zoù oùpcxuoû |X6tÇov (207 b, 20).

Les restrictions apportées à l'infini de grandeur ne seront-elles pas un obstacle pour le géomètre? — Non, répond Aristote. Le mathématicien pourra toujours imaginer pour ses grandeurs les dimensions qu'il voudra: tant qu'il restera dans la fiction pure, dans le domaine de l'abstraction, la multiplication de la grandeur reste à sa fantaisie. C'est là l'infini de la voyjcjsoç, infini purement abstrait et formel, — qui n'a rien de matériel, et par là ne se confond même pas avec l'infini en puissance, celui qui se poursuit réellement, concrètement, sans atteindre jamais Tentéléchie. Quant à la signification réelle des fictions du géomètre, qui leur donnera, malgré tout, le caractère de la science, elle tient à ce qu'on pourra toujours réduire toutes ses grandeurs proportionnellement dans le rapport où devra être réduite la plus grande pour ne pas dépasser les dimensions maxima de l'univers réel. C'est ainsi du

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moins que nous comprenons ces mots d'Aristote : ovx àf atpsîTat S' à X070Ç où5è tolIç /LuaSYjfxaTtxoùç Trjv OscùpioLV^ avatpâv o£!tcû; sîvat to ansipov w(7T£ svspycta Êtyat éTTtTYîV aiî^YîV àç àStsÇtTvjTov ov^eyoLp vvv àéovcai T0î3 Aneipov oùàk /pâvrat, àXXà jmovov etvat o<7y3V àv ^SoyXovTat TY3V itEnspoLaiiévr^v tw ôè iisr^iazcù ixsyéôei TGV aÙTov I(yTt TST/JLT^^ySat Xd^ov Ô7r-/îXtxovoîiv [léyiôoç ÎTtpov (r, 7, 207 b, 27). Le géomètre, dont Timagination ne connaît point de limite, serait-il complètement satisfait de cette consolation 7 Ne craindrait-il pas qu'il n'y eût aucun rapport entre son infini et la grandeur maximum du monde?... Mais peu importe. Laissons de côté pour le moment l'explication d'Aristote, — sauf peut-être à nous en souvenir plus tard.

Ce n'est pas seulement en supprimant Tinfini de grandeur qu'Aristote risque de s'éloigner de l'attitude naturelle du géomètre ; c'est aussi et plus encore peutêtre en refusant Tentéléchie à l'infini additif révélé par la divisibilité. Certes, il reste ainsi strictement placé au point de vue de la rigueur. Les exigences logiques de la démonstration interdisent au mathématicien de faire entrer dans la chaîne des raisonnements une vue intuitive semblable ; et, déjà au temps de Platon, nous avons pu apprécier les efforts faits dans ce sens pour présenter une méthode infinitésimale exempte de toute considération d'infini (1). Mais si c'est dans cette sorte d'enveloppe extérieure, patiemment construite après coup, que certains esprits voient consister la géométrie, ce n'est assurément pas par elle qu'ils se mettent en communion avec les promoteurs des conceptions

(1) Voir notre livre : Les philosophes géomètres de la Grèce^ livre second, introduction; — et notre Rationnel^ VL

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nouvelles, et qu'ils pénètrent jusqu'au îc sources d'où celles-ci sont naturellement sorties. Quelque soit Tarrangement logique et rigoureux d'un Eudoxe, pour la méthode d'exhaustion, ou d'un moderne, pour lesmiéthodes du calcul intégral, ce qu'il y a de primitif dans toute tentative d'épuiser une grandeur par deséléments de plus en plus petits, c'est la vue anticipée d'une sorte de sommation, d'intégration d'une infinité d'éléments^ aboutissant à la grandeur donnée. Les polygones inscrits dont le nombre des côtés augmente indéfiniment nous conduisent au cercle ; les triangles qu'Archimède inscrit dans le segment de parabole épuisent Taire que limite l'arc de courbe. Voilà ce qu'affirme d'abord l'intuition du géomètre. Il n'y a pas de limite qui ne se pose à son esprit comme une limite atteinte, avant qu'une analyse savante ait habilement séparé le processus infini — du terme qui en estla raison. En présence du problème de V Achille, Aristote se contente de répondre que le temps est infini en même temps que l'espace franchi : soit ! Mais il n'est pas de géomètre, si attaché qu'il soit à la forme rigoureuse, qui ne veuille voir se terminer ces deux infinis au point et à l'instant qui se posent comme limites des deux processus. Sans doute il y a, dans cette détermination de l'infini, dans cet accomplissement d'un devenir, une synthèse hardie qui dépasse la logique ; mais elle est naturelle et spontanée dans l'esprit du mathématicien, pour qui elle est loin d'être une exception. Ne peut-on pas dire, en somme, que, pour le géomètre, toute valeur déterminée, tout état précis d'une grandeur est comme la limite de l'infinité d'états antérieurs formant une suite continue? Ne peut-on pas dire que le processus infini est dans toute variation, dans tout changement, et que

les notions quantitatives les plus communes résultent toujours de la synthèse de TaTretpov et du Tispaç (1 ) ? — Or Aristote sent autrement les choses : Tinfini exclut à ses y eux l'achèvement, la détermination ; Vumipov et le népaç ne peuvent se trouver ensemble. Là où il voit l'achèvement, comme dans la grandeur de l'univers, il rejette l'infini ; là où au contraire il aperçoit Tinfîni, il rejette la détermination et l'acte. C'est ainsi que s'expliquent la plupart des raisonnements étranges que nous avons signalés chez lui, sa répugnance à passer de la droite à la circonférence, de Taire d'un rectilign^ à celle d'un cercle, d'un milieu plus ou moins dense au vide absolu, etc.. Il ne sait pas se résoudre à la synthèse qui, au risque de faire passer du même à l'autre, et de les mélanger pour le progrès effectif de la pensée, apporte des éléments non immédiatement réductibles à l'analyse claire et logique du discours.