DES SURFACES ÉLÉMENTAIRE

Voici l'explication de tout ce passage sur les triangles 5. Rappelons-nous que , d'après notre auteur, la terre , l'eau, l'air et le feu ne peuvent être comparés aux éléments vocaux, ni même aux syllabes*. En effet, ce sont ces triangles dont il parle qui peuvent être comparés aux éléments vocaux : ces triangles réunis forment d'autres triangles et des tétragones, qui réunis eux-mêmes forment les angles plans des solides dont les quatre espèces de corps se composent. Ainsi ce sont les triangles les plus simples que

Platon nomme éléments, arotxetcc, et encore il déclare que

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1 V. la note 133 , et Je passage auquel se rapporte , p. 68 a

2 V. note 69 , s 3 . û.

3 Cf. M. Boeckh, De plat, cor p. mmd. fabr. , et les notes de M. Stalihanm sur ce passage du Tintée. •'» <■ • ■

A Sur cetta comparaison, empruntée aux Pythagoriciens, t. la note 55.

ces éléments dérivent eux-mêmes de principes supérieurs, connus seulement de Dieu et de quelques amis de la divinité. Ces principes supérieurs , ce sont les nombres , considérés par les Pythagoriciens comme les principes de toutes choses *. Mais Platon s'arrête aux éléments géométriques,

* il

Tout corps, dit-il, est nécessairement terminé par des plans. — Oui, si Ton considère toute surface courbe comme composée de plans infiniment petits. — Tout plan, ajoutet-il, se décompose en triangles. — Oui, si, lorsqu'il est entouré d'une ligne courbe, on considère cette ligne comme un polygone d'un nombre infini de côtés. — Tout triangle, dit-il encore, peut se décomposer en deux triangles rectangles. — En efTet , abaissez une perpendiculaire du sommet de l'angle droit , ou obtus, s'il y en a, sinon, du sommet de l'un quelconque des trois angles, sur le côté opposé : le triangle sera divisé en deux triangles rectangles. Ces triangles ne peuvent être que de deux espèces.

, 1* Celui de la première espèce a, dit Platon , de chaque côté une portion égale d'un angle droit divisé par des côtés égaux. Voyez la figure (Zj) de la planche I, h la fin de ce volume.

Par exemple dans le triangle ABC , rectangle en A , les angles ABC et ACB sont chacun la moitié des angles droits DBC et ÈCB , qui sont divisés parles côtés AB et AC,

1 V. note W.

HOTES StJH LE TIMEI.

égaux entre eux. C'est là une manière, il est vrai un peu détournée, de dire que le triangle rectangle ABC est en même temps isoscèle et a par conséquent deux angles égaux entre eux.

2° Le triangle rectangle de la seconde espèce, dit Platon , a des deux côtés des portions inégales d'un angle droit divisé par des côtés inégaux. Voyez la figure (5) de la planche I , à la fin de ce volume.

C'est encore là une manière un peu détournée de dire que le triangle FGH , rectangle en F , est en même temps scalène.

S iv.

Le triangle rectangle isoscèle n'a, dit Platon, qu'une seule nature. — C'est-à-dire que tous les triangles rectangles isoscèles sont semblables entre eux. Au contraire la forme des triangles rectangles scalènes peut varier à l'infini par le changement des proportions de leurs angles aigus et de leurs côtés.

Mais Platon ajoute que la plus belle espèce de ces triangles rectangles scalènes est celle dont le triangle équilatéral se compose lui troisième i, c'est-à-dire l'espèce dont deux triangles réunis forment un troisième triangle qui est équilatéral; et il conclut en disant que les éléments véritables sont : 1° le triangle rectangle isoscèle , 2° le triangle rectangle scalène dans lequel le carré du grand côté est triple du carré du petit , ou , comme il dit un plus loin , dans lequel

l'hypoténuse est double du petit côté. Plus loin il ajoute aussi

1 Pour ce qui concerne cette expression ix tptTOû, cf. Banquet, p. 213 *, et G or g., p. 500 a. M. Bœckh , de plat. corp. mund. fabr.,p. XXII, a tort de traduire ces mots par- ceux-ci : Ex tertlft patppqê. M. Cousin fait dire à PJaton que le plus beau de ces triangles est ceu\i qui a ie* trois côtés égaux. Or un triangle qui aurait le* trois côlOs égaux ne serait pas un triangle rectangle, ni surtout un triangle rectangle scalène , et c'est parmi les triangles rectangles scalènes, que Platon ndique l'espèce qui lui semble la plus belle.

wLOMKTRIE CORPUSCULAIRE. 2S7

que six de ces triangles rectangles scalènes , réunis ensemble d'une certaine manière, forment un triangle équilatéral. Il s'agit donc de démontrer que toutes ces propriétés appartiennent à une même espèce de triangle rectangle scalène, qui est la plus belle suivant Platon.

Commençons par diviser un triangle équilatéral en six triangles rectangles scalènes égaux entre eux. Voyez la figure (6) de la planche I , à la fin de ce volume.

Pour cela, des sommets des trois angles du triangle équilatéral ABC, j'abaisse des perpendiculaires AE, BF, CD, sur les trois côtés opposés. Ces perpendiculaires tombent sur les milieux de ces côtés et divisent chacun des trois angles en deux parties égales. Car chacune, par exemple AE, divise le triangle équilatéral en deux triangles qui sont évidemment égaux, puisque, par construction^ ils ont un côté commun, chacun un angle droit, et chacun un autre angle et un autre côté égaux à un angle et à un côté de l'autre triangle. Donc le troisième angle BAE et le troisième côté BE sont égaux au troisième angle CAEet au troisième côté CE. En outre ces perpendiculaires se rencontrent toutes trois en un même point de l'intérieur du triangle équilatéral. En effet du point O , où se rencontrent les perpendiculaires BF et CD, tirez une ligne OA au sommet du troisième angle A : les triangles DOB et FOC sont égaux, puisque DB = FC , que l'angle ODB = OFC, et que l'angle DBO=FOC ; donc DO=FO. De plus AD = AF, et l'angle ADO = AFO; donc les deux triangles ADO et AFO sont égaux; donc l'angle DAO =FAO; donc la ligne OA est précisément celle qui divise l'angle A en deux parties égales , et qui par conséquent , prolongée jusqu'en E, est perpendiculaire sur le milieu de BC. Il est donc clair que les six triangles rectangles scalènes BOD, DO A, AOF, FOC, COE, EOB, sont tous égaux entre eux.

Platon dit que si l'on réunit deux de ces triangles, par exemple BOD et BOE , suivant la diagonale , c'est-à-dire suivant l'hypoténuse BO , qui devient la diagonale du quadrilatère * ODBE, et qu'on répète ce rapprochement trois fois, de maniéré

que toutes les diagonales et tous tes petits côtés concourent en un même point, il en résulte un triangle èquilatéral composé de siw ftiangles rectangles scalenes. C'est en effet ce qui a lieu pour le triangle ABC composé de trois tétragones semblables et égaux à ODBE.

Maintenant voici les propriétés caractéristiques de ces triangles rectangles scalènes :

l' L'hypoténuse est double du petit côté , comme le dit Platon. En effet, par exemple dans le triangle DO A, élevez la perpendiculaire HG sur le milieu de l'hypoténuse AO, et tracez la ligne GO. Les triangles GOH et G AH sont égaux; donc l'angle GOH = G AH = OAF; donc GO est parallèle à A F , et par conséquent perpendiculaire sur BF. Les angles GOH et AOF réunis valent un angle droit; les angles GOD et DOB réunis valent de même un angle droit : or l'angle AODrzDOB, d'après l'égalité des six triangles ; donc l'angle GOH=GOD; d'ailleurs les deux triangles GOH et GOD sont rectangles et ils ont le côté GO commun; donc ils sont égaux; donc OH = DO; donc l'hypoténuse AO du triangle DOA est double du petit côté DO.

2° De là il résulte que, si l'on prend pour unité le petit côté, l'hypoténuse étant 2 d'après la démonstration précédente, le grand côté sera vT, c'est-à-dire que le carré du petit côté étant i, et celui de l'hypoténuse étant 4, celui du grand côté sera 3, puique le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés*. Donc le carré du plus grand des deux côtés est triple du carré du plus petit, comme Platon le dit en effet ».

Z* L'angle opposé au petit côté est le tiers d'un angle droit, puisqu'il est la moitié de l'angle du triangle équila-

1 Cette proposition naît été découverte, dit-on, par Pythagore. V. Diogène de Laërte , liv. 8 , chap. 1 , sect. 11 , $ 12.

2 M. Cousin, omettant les mots importants xorrà Sûvaaiv, qui en termes de mathématiques signifient au carré, fait dire à Platon une chose fausse , savoir qu'an des côtés de ce triangle rectangle

est trois fois plus grand que le plus petit. Cette manière de traduire a C mMlTlilX „1 la,gSCr Ci0ire qU ° 06 °* lé com P*'« ™ P»u» Petit

CÉoMMTBIfi CORPUSCULAIRE. 239

téral, et par conséquent l'angle opposé au grand côté est égal aux deux tiers d'un angle droit, puisque ces deux angles réunis doivent valoir ensemble un angle droit.

L'un quelconque de ces trois caractères suffit pour déterminer la forme de ce triangle. Platon le désigne d'abord par le second caractère , ensuite par le premier. Dans le traité attribué à Timée de Locres i, il est désigné par le troisième caractère.

Une seule chose reste encore à démontrer : c'est que deux de ces triangles unis ensemble en forment un troisième qui est èquilatéral. Sur le côté AF du triangle AOF par exemple, construisez un triangle AIF rectangle en F et égal au triangle AOF. Puisque les deux angles adjacents AFO et AFI sont droits , Oï est une ligne droite. D'ailleurs FI = FO, et d'après la première propriété ci-dessus, FO= i/ a AO= </ 3 AI. Donc le triangle AOI est èquilatéral.

De là on doit conclure que de même le triangle èquilatéral ABC peut être considéré comme composé de deux triangles rectangles scalènes, par exemple AEB et AEC, semblables aux six dont il vient d'être question et jouissant par conséquent des trois mêmes propriétés. Mais c'est à la divi- , sion en six triangles que Platon s'arrête, parce qu'elle ne peut s'opérer que d'une seule manière, tandis qu'il y a trois manières d'opérer la division en deux triangles, et parce qu'il veut arriver aux éléments les plus simples.

NOTE LXVH.

dbs trois corpuscules élémentaires formes avec l'élément scalène.

Si.

Dans la note précédente , je me suis abstenu de parler d'une partie du passage auquel elle se rapporte, parce que

cette partie concerne, non les triaugles élémentaires, mais les quatre espèces de corps solides , leur composition et leurs transformations. Dans toute cette théorie , qui me reste à expliquer en réunissant les deux passages qui la concernent, Platon suppose tacitement deux propositions que voici : 1° Les quatre corps solides se composent uniquement des surfaces planes ci-dessus décrites ; 2° ils ne peuvent être divisés que suivant les jointures des triangles qui sont les éléments de ces surfaces. Ces deux propositions, empruntées par Platon aux Pythagoriciens 1 , ont été combattues par AristoteS, qui lui reproche d'avoir supposé dans le Timée que les corps se composent de plans, et qui déclare qu'au contraire les corps se composent évidemment de solides et que tant de plans que l'on voudra ne formeront jamais une épaisseur quelconque. Aristote reproche en outre à Platon d'avoir considéré comme indivisibles les triangles primitifs dont ces plans se composent3, tandis que toute grandeur est nécessairement divisible : il comprend dans une même réfutation l'indivisibilité des atomes de Démocrite et celle des triangles de Platon. Au second reproche, Platon aurait pu répondre que mathématiquement toute grandeur est en effet divisible, mais quepAysiquement la division de ces triangles ne peut avoir lieu, parce qu'ils ne sont soumis à l'action d'aucune force capable de l'opérer 4. Quant au premier reproche, il ne me semble pas aussi facile qu'Alexandre d'Aphrodisie et Simplicius 5

1 V. Simplicius , Sur le traité Du ciel, t. 139 , 140, 141, p. 510, col. 1- 511, col. 1, Brandis ; et Proclus , Sur Euclide , II, p. 06. Cf. le Philolaàs de M. Bœckh, p. 154 et suiv. , et l'ouvrage de Tiedetnann, Griechenlands erste Philosopher* , p. 418 et 437.

3 Du ciel, III, 1, p. 298, col. 1, 1. 33— p. 300, col. 1, 1.10; De la généra* tlon et de la corruption, p. 315, col. 2, 1. 24— p. 317, col. 1,1. 31; Phy$, , VI, 1, p. 231, col. 1 -p. 232 , col. 1; Des lignas indiv. , p. 968-972 , Bekker.

3 Cette même opinion fut soutenue par les Platoniciens Xénocrate et Diodore. V. Slobée , Ed. phys. , p. 33 , Canter.

4 Sur la notion de la substance corporelle et de sa divisibilité, V. la cote 22, $ 6.

5 V. Simplicius , Sur te traité Du ciel , f. 142 , p. 511 , col. 1 , 1. 45— col. 2 , 1. 7 , Bran dis.

l'ont prétendu, et que M. Stallbaum et M. Cousin paraissent le croire, de justifier entièrement Platon sur ce point. En effet, les surfaces planes qu'il considère sontelles de vraies surfaces sans épaisseur ? Alors sa proposition est inadmissible, comme le dit Aristotc. Chacune de ces surfaces planes doit-elle au contraire être considérée en réalité comme un solide dont la surface plane qu'il décrit soit la principale base , et tel que la réunion de ces solides, fort mal nommés plans, ne laisse aucun vide au centre du solide total ? D'abord on devrait alors reprocher à Platon de ne s'être pas exprimé d'une manière intelligible, mais d'ailleurs les transformations qu'il indique seraient impossibles dans cette hypothèse, ainsi qu'il sera démontré*. Dans cette hypothèse, comme dans la première , Platon aurait donc commis une erreur évidente. Mais il y a une troisième manière d'interpréter ses paroles. Si chacune des figures planes qu'il décrit est supposée avoir quelque épaisseur, comme les triangles d*or dont il a parlé plus hauts, ou comme des feuilles minces d'un métal quelconque , taillées suivant les figures qu'il décrit, et si l'on suppose ces feuilles réunies de manière à présenter l'apparence extérieure des quatre corps solides dont il parle, mais à laisser l'intérieur complètement vide, toutes les transformations indiquées s'expliquent parfaitement. Seulement on doit lui reprocher, si telle a été sa pensée, de s'être exprimé d'une manière peu exacte en nommant plans de vrais solides, et en nommant solidfg de simples enveloppes; mais surtout on doit remarquer que la dissolution de ces enveloppes vides et leur recomposition en d'autres enveloppes n'est pas aisée à concilier avec la négation du vide, que nous trouvons plus loin dans ce même dialogue 3.

Cependant cette troisième interprétation me semble être

5 V. note 73, S 2.

3 V. notes 78 , 90, ICI ( S 2 ].

la seule d'après laquelle cette théorie de Platon puisse s'expliquer. Nous considérerons donc les triangles et les carrés de Platon comme des feuilles minces de matière corporelle.

Dès lors il est évident que les enveloppes solides formées de l'élément scalène se composent chacune d'un certain nombre de ces triangles, et qu'elles se composent d'un nombre six fois moindre de triangles équilatéraux six fois plus grands que chacun d'eux*.

Le premier solide , d'après la définition que Platon en donne, est produit par la réunion de quatre triangles équilatéraux formant trois à trois des angles solides. C'est le tétraèdre régulier, pyramide dont la base et les côtés sont quatre triangles équilatéraux égaux entre eux. Platon ajoute que chacun des quatre angles solides de ce polyèdre suit immédiatement la formation de l'angle plan le plus obtus, c'est-

dire offre une grandeur immédiatement supérieure. En efTet un angle plan obtus peut approcher indéfiniment d'égaler deux droits; or deux droits sont la somme des trois angles plans de chaque angle solide.

Ce solide, ou plutôt cette enveloppe solide formée de quatre triangles équilatéraux, se compose évidemment de vingt «quatre éléments scalènes.

Platon dit que ce même solide divise en parties égales et semblables toute la surface de la sphère dans laquelle il

1 Sur les formes des polyèdres décrits ici par Platon, outre les explicitions données dans ln suite de cette note, v. Théon de Smyrne, p. 352, Bouillaud; les Tlicol. arithm. % p. 20; Galien , Des op. d'Uippocr. et de Plat., liv. 1, t. 1, p. 321 , Bâlc; Ncinesius, De nat. hom. , V, p. 161, Math. , Apulée, Philos. II, De dogm Plat., p. 41, Vulc. ; et Al ci nous , Jntr. à la doctr. plat. , c. 13. Cf. Wyttenbach, sur le Phêdon, p. 304 et suiv. , M. Bœckh, De plat. corp. munit. fabr. t les notes de M. Stallbaum, et celles de M. Liudau dans son édition du Timée , Leipx., 1828.

est inscrit : c'est là une propriété commune à tous Les polyèdres réguliers.

" Le second solide est , d'après la définition donnée par Platon , Voctaedre régulier, dont toutes les faces sont des triangles équ ilatéraux, et dont tous les angles solides, au nom-' bre de six, sont semblables et composés chacun de quatre angles plans égaux. On peut le considérer comme formé par la réunion , base contre base , de deux pyramides à base carrée et à faces triangulaires équilatérales ; et il y a trois manières de diviser ainsi cet octaèdre en deux pyramides, puisque les six angles solides sont les angles au sommet de six pyramides égales , unies deux à deux par la base.

Ce polyèdre régulier se compose évidemment de quarante-huit éléments scalènes , pourvu qu'on se souvienne toujours que c'est une simple enveloppe solide.

. •/ § iv.

Le troisième solide est évidemment , d'après sa définition , Vicosaldre régulier. Ce polyèdre présente vingt bases triangulaires équilatérales, qui forment douze angles solides composés chacun de cinq angles plans, et par conséquent formés par la réunion en un même point des sommets des cinq bases triangulaires. Donc si chaque base ne contribuait à former qu'un seul angle solide, il en faudrait soixante pour les douze angles. Mais comme chacun de ces triangles a trois sommets semblables et semblablement placés dans le polyèdre, il est clair que vingt triangles équi latéraux suffisent.

On peut considérer dans ce polyèdre douze pyramides égales, dont chacune a pour base un pentagone régulier; mais chacune de ces pyramides a deux faces latérales communes avec chacune des cinq pyramides qui ont leurs

sommets aux cinq angles de sa base , de sorte que le solide ne peut se diviser en un nombre entier et déterminé de pyramides entières et séparées. Mais supposez que vous détachiez de cette enveloppe Tune de ces pyramides creuses et sans base solide dont elle présente la surface extérieure , et que vous fassiez en sorte que les cinq triangles équilatéraux dont les bases sont appliquées sur les cinq côtés du périmètre pentagone formé à la base de la pyramide par les bases des cinq triangles solides dont elle se compose y demeurent attachés, tandis que les cinq triangles qui non t que leurs sommets autour de cette base resteront attachés à celle de la pyramide opposée; alors toute l'enveloppe solide , décrite par Platon , se trouve divisée en deux parties égales, dont chacune se compose de dix triangles équilatéraux ; savoir de cinq réunis par . leurs sommets et formant l'angle solide au sommet d'une pyramide , et de cinq autres qui ont leurs bases sur les côtés de celle de la pyramide, mais qui, au lieu de se réunir par leurs sommets , s'écartent assez pour recevoir entre eux les triangles placés serablablement autour de la base de l'autre pyramide. L'enveloppe solide totale se compose donc de vingt triangles équilatéraux , et par conséquent de

Le rôle de l'élément scalène fut rempli , dit Platon , quand il eut servi à former ces trois solides. — En effet, avec des triangles équilatéraux produits chacun parla réunion de six éléments scalènes, on ne peut faire que des angles solides formés de trois, de quatre ou de cinq triangles chacun. Si l'on voulait mettre six triangles, l'angle solide se réduirait à un plan, puisque, chaque angle des triangles équilatéraux valant les deux tiers d'un angle droit , six valent quatre angles droite.