En partant de la relation

(11) d-i=^ — -r^ — - =A-iH-- — — A -+-...,

^ ' log(n-A) 2 12

Lagrange obtient directement la formule de quadrature

(12) l.J'ydx = j:y+ly-^\y^±^^y-....

Laplace (Méc. céL, t. IV, p. 206) y arrive par un détour. Il commence par démontrer la relation

qu'il obtient en intégrant la formule d'interpolation de Newton, et qui s'écrirait directement

log(i-hA)

puis il en déduit la formule (12) par une sommation (SA = i). En introduisant des limites, cette formule devient

(lO If r^^=S-~(A7«-A^o)+^(A2^«-Aî^o)-....

Mais les différences Ay,,, A-^«, . . . sont incommodes parce

qu'elles renferment des ordonnées situées en dehors des limites d'intégration; il y a lieu de recourir à une transformation par différences ascendantes, en posant

Iog(i-+-A) = — log^i- y^r^)' Il en résulte

et l'on voit que les deux premiers termes sont les mêmes que dans (11), mais que les suivants sont transformés de façon que A^ devient =b A^j. On trouve ainsi

C'est la formule que Laplace recommande comme « la plus simple et la plus commode ».

49. Jusqu'ici nous avons fait usage des différences ordinaires A. Pour introduire les différences médianes D, on peut se servir des relations (i), (2), (3); mais, pour unifier la notation, il faut diviser

par y/i 4- { D^ les développements où figurent D^^* (o) ou D-*(^). En ne considérant que. les opérations D, on aurait

D = 62 — e i =2Sh|d,

(16) { 2 V^n- l D2 = e2 V e'^'^ = 2Gh I d,

d = log(i -H I D2 + M) = 2 log ( J D + v/i-f-iD2),

\d = argSh |D = argCh v/îTfD^.

S'il s'agit des différences successives, il faut distinguer entre D" (o) et D''(^). On aura

id*2« = [2argSh|D]^2«, v/n-iD2

d=^2« =, ' [2 argSh J D]^^-",

(i8)arg(4) { v/i + iD2

di(2«+i) =: [2 argSh 1^ D]^(2«+i).

On retrouve ainsi, sous une autre forme, les relations très simples que M. Tisserand a indiquées dans une Note Sur un point du calcul des différences {Comptes rendus, 28 mars 1870). Les développements s'exécutent sans difficulté. Les formules connues, relatives aux fonctions hyperboliques, donnent

2argShiD=D--^D3-i--LD5--4T:D7-H..., ° ^ 24 640 7168

(2argShiD)2 = D^ — — D*-h — D^— -^ Ds-h. . .,

2 argSh|D ^P.p3^ I p,. p,^ S/n-iD» 6 3o 140

<l^I|M£ti = D-. - -L D + il D3 - J^ m -H . . . , 4/, 4 iD2 '^ 7^^ 60480

et ainsi de suite. On tire de là, par exemple,

A^(o) = D(o)-|Da(o)+^D»(o)-..., ij 7t/^ = D-i(/i-hi)-D-i(i)+^[D(/i + i)-D(i)]-...,

Les D à exposants négatifs sont des sommes qui s'obtiennent en prolongeant le tableau des différences vers la gauche; ce sont les quantités désignées par '/} "ft • • • dans les Mémoires d'Encke sur les quadratures mécaniques (Jahrbuch, 1837 et 1862), où ce sujet est traité avec tous les détails qu'il comporte.

50. On arrive aux mêmes résultats en partant des formules de Stirling (n'' 8), développées suivant les puissances de ^, la pre-

mière pour l'argument (o)

-f- — ^ ( D3- i D5-H -^ D^-.. . ) et la seconde pour l'argument {{)

(20) ( + - (d2- a D*+ #$■ D«-...)+ -^ fD3 1 D«+...)

Les coefficients des puissances de t représentent évidemment des dérivées.

Nous écrirons maintenant /i à la place de t.

Pour obtenir les expressions de d-', relatives k yn=/{nh)^ que nous désignerons par d-'(/i), il suffit de differentier ou d'intégrer les formules de Stirling par rapport à n. Nous pourrions également les établir à l'aide des notations symboliques, en remarquant que

/ d(/i) = E«d(o)=e«*ïd(o),

d(/i)-4-d(— /i) A A/ \ ^ = Gh/id.d(o),

= Sh/id.d(o),

D = 2Sh-, ]\I = Shd.

Les fonctions hyperboliques Ch/zd et Sh/id étant exprimées par

Shd et Sli -) on trouve d'abord

Chnô = i-\ D* H ^^ — — — ^ D* +

Shnd = M AH-Ai D^-hn ., , ^ D*-H... .

On a ensuite, en divisant par le facteur de réduction y/i + {-D'^ la série des différences d'ordre impair,

d(/i) + d(-/i) /^ ^ /i* . \ 2ArgSh|D

'^ \ 1.2 / y/i^lD2

puis, en omettant le facteur de réduction dans le cas des diffcrences d'ordre pair, et remplaçant M par ^ - ^

où les D se rapportent à l'argument (o).

Nous n'insisterons pas davantage sur la démonstration des formules de ce genre, que l'on trouve longuement développées dans les Mémoires d'Encke et de Hansen {Relationen zwisclien Summen und Differenzen), Oppoizer, à son tour, a traité ce sujet dans le premier Chapitre du tome II de son Traité des Orbites {Différentiation et intégration numériques). Les formules prennent beaucoup de place, et elles sont d'ailleurs suffisamment connues.

52. Des formules de quadrature d'un aspect très différent sont celles où figurent, non plus les différences successives des ordonnées, mais les ordonnées elles-mêmes, et dont la plus simple est la formule des trapèzes. A cette catégorie appartiennent les formules de Cotes, qui supposent des ordonnées équidistantes ; celles de Gauss, qui sont moins commodes, mais qui permettent d'atteindre une précision double^ celles de Jacobi et celles de M. Tchébjchef, à coefficients égaux, etc. En dehors des Mémoires de Gauss, de Jacobi, AeT!c\iéhyc\\Qi {Journal de Mathé m,, 1873), on peut consulter ceux de Clausen et de Minding {Journal de Crelle, t. VI), Christoffel (/ètrf., t. LV), Mehler (/6tV/., t. LXIII), Encke {Jahrbuch, i863), Schellbach (1877), ^^ "^ travail plus récent de M. B. Baillaud (1881). J'ai résumé la plupart de ces tra-

vaux dans mon Etude sur les formules d^ approximation qui servent à calculer la valeur numérique d'une intégrale définie {Journal de Matliém., 1880; voir aussi Comptes rendus, 8 mars et 19 avril 1880, 16 juillet i883, et une Note de M. Callandreau, ibid.y 3 mai 1880). Il faut enfin citer les recherches de M. Stieltjes (Ann. de l'École Norm., 1884), de M. A. Markoff (/J/aM. Ann., 1884), de M. J. Derujts {BulL de l'Acad. de Belg., 1886). On trouvera aussi quelques remarques intéressantes dans le Rapport de M. Merrifield.

Je voudrais seulement, pour terminer, indiquer en quelques mots le parti qu'on peut tirer des formules (24) et (aS) du n^ 6, en supposant les ordonnées distribuées d'une manière symétrique. Soient donc y^^ j^^ y\, ^21 JK07 • • • les ordonnées correspondant aux arguments o, ±: a, li: 6, . . . , et posons

yO = ^Oy = ^i, — <T2) • • • »

ri - y\ > yt—y'i ^

T7. — ^1» TT — *^î» ••••

Les formules en question pourront s'écrire

y z= <Jq-\-Ox.X -\- <:'q,x^-\- 81 ,x{x^— a2)

^ = (Ti-t- Oi.a? -f- ci', {x^ — a2)-h Oj ,x{x^ — a-)

^ aj {x^ — «2) (ar2 — 62 ) + o'[,x{x^ — a^){x^ — b^)^ . . , ,

^, Qg — Qi Oi Qa

Oj — Oj Ôi Oj O3

1 c2 — a2 (a2— 62)(a2 c2) (62 — a2)(62 — c2) ^c2 — a2)(c2 — 62) et d'une manière analogue

, <Sy CTo , ^2 ^i

et ainsi de suite.

L'intégration donne les formules de quadrature pour intervalles

inégaux

i£ r^^ = -o+5^i-H(i-Ç).SH-(i-

dont la première suppose un nombre impair, et la seconde un nombre pair d'ordonnées. Pour avoir des intervalles égaux, il suffît de faire, dans la première formule, b = 2a, c = ia, . . ., et dans la seconde b = ia, c ^= 5a, .... En faisant encore, dans

la première, a = — pour 2/2 + 1 ordonnées, et dans la seconde,

a = pour 2 n ordonnées, de sorte que les ordonnées se trouvent distribuées d'une manière uniforme entre les limites de l'intétégrale, on obtient les formules de Cotes. Si, enfin, nous prenons pour a, 6, c, ... les racines de l'équation P„ = o, où P„ est un polynôme de Legendre, nous avons la formule de quadrature de Gauss, car alors, en vertu d'un théorème connu, un certain nombre de coefficients de la formule s'annulent, et il en résulte que le degré de précision 2n — i s'obtient avec n ordonnées.

53. Avec les coordonnées équidistantes j^o? y\ ? y\ > ^2» y^^ • • • correspondant aux arguments o, ± a, ± ia, ... (dont aucun ne coïncide avec 271), on peut encore construire une formule d'interpolation qui mérite d'être mentionnée. Elle se compose d'expressions analogues aux fonctions symétriques D" du n** 2, où Xq, Xij X2, Xs, ... sont remplacés par les cosinus i, cosa, cos2ûr, cos3a, ... de sorte qu'elles prennent la forme