Les relations équivalentes (7) <i-^' r

conduisent immédiatement à la formule sommatoire de Maclaurin ou d'Euler (') sous ses deux formes. La première donne, en désignant par j-',^', ... les dérivées ^> ~Tî^ " ' '

ou bien

ce qu'on peut écrire

(8) ri-ro = -(yi"HX)--(rî-yo)+ — (ri^-n^)--...

La seconde donne <

ou bien

iyVrf^=2^+ij.-Ay+

et l'on voit que la formule d'Euler est à deux fins : elle peut servir de formule sommatoire (pour trouver 7^ j ou de formule de quadrature (pour trouver j ydx\. Mais il faut la compléter, soit en ajoutant une constante d'intégration C, soit en introduisant deux

(*) On peut consulter, sur cette formule, un Mémoire de Malmsten (1847), o" bien J. Tannery, Introduction à la Théorie des fonctions d'une variable, p. '352-363.

limiles, ce qui donne

(9) lf"''ydx=S-^^ (^;yj+^(y»^™j— ..,

S étant la somme définie par l'expression (5). Le premier terme de la formule d'Euler est donc le second membre de la formule des trapèzes.

Si, au lieu des relations (7), nous avions utilisé la suivante

nous aurions trouvé la formule de Boole

(10) A^ = J(y,+yo)-2(7'i+y;)+^(r^i+7î)-.-.,

puisque (2 + ^)yo=y^ -hyo-