CO

donne * »

Krx 6,45 (6,45 — 3,22)3,22x60, (2)

. pour la quantité d’action transmise à la roue pendant une minute , (r désignant l’ouverture de la vanne).

■ ^ Représentant ensuite par jr, la quantité d’action que consomme, dans une minute, la machine manœuvrant à vide, quand le châssis fait go oscillations par minute ^ M. Woisard suppose que, sans erreur , sensible , x peut désigner la quantité d’acüon consommée j quand le châssis fait 87 oscillations^ et que l’on ‘a ‘ «; -tt''

*^xM5(M5-—3,22)3,22x6o=|4x.

Dans la deuxième expérience , où il avait fait manœuvrer la machine en sciant du bois , le châssis faisait 91 oscillations par minute^ et s' étant l’ouverture de vanne, on avait, pour la quantité d’action transmbe à la roue pendant une minute,

Ry X 6 , 4 i ( 6 , 4 i — 3,37)3,37x60. ( 4 )

Dans la troisième expérience, il avait trouvé, avec le frein de Prony, et le châssis faisant go oscillations, pour la quantité d’action consommée en une minute, par le travail , une valeur de 7960 kilogranunes élevés à un mètre. Et comme la quantité ( 4 ) est égale non - seulement à la quantité d’action consommée par la machine , mais encore à celle consommée par le travail , il a donc l’équation

Rj' X 6 , 4 1 ( 6 , 4 1 — 3,37)3,37 X 6o = ^^-t- 7960. ( 5 )

Divisant l’équation ( 5 ) par l’équation ( 3 ), il trouve

j'^ 6 , 4 i (6,4i— 3 , 37) 3,37 7 9iJ-H 7960 x9a

f (6,45(6,45 — 3 ,a 2 ) 3 ,aa) 87X " ^ ^

Il admet encore que les surfaces s et s' sont entre elles comme les ouvertures de vanne ou représentées par <

Substituant celte valeur dans l’équatîon (6), il trouve enfin ar= la 148. (7)

Ainsi, pour faire marcher la machine à vide, de manière que le châssis fasse 90 oscillation» par minute,' il faut dépenser, par

minute, une quantité d’action ^le à celle qui est nécessaire, pour élever, à un métré de hauteur, un poids de la 14S kilogrammes.

Dans les deux dernières expériences , la masse d’eau , dépensée , par minute, était la même, ainsi que la vitesse V ; et il pense que les vitesses v sont trop peu différentes pour que l’on ait besoin de tenir compte de la différence qui existe entre les quantités d’action transmises à la roue. Il suppose en conséquence l’identité de ces quanütés , et il égale entre elles les quantités d’action consommées. Si l’on désigne donc par jr la quantité d’action consommée par le sciage dans la seconde expérience, on aura l’équation

Remplaçant x par sa valeur Urée de l’équation (7), on aura encore la valeur

pour la quantité d’action consonuuée par le travail des quatre la- ^ mes; et la valeur 2016^“ pour celle d’une seule lame, quand celte lame débite du chêne sec de o, 3 1 5 d’épaisseur, que le châssis fait 90 oscillations par minute, et que le chariot avance de i,i 58 millimètres à chaque oscillation du châssis.

102 . Si l’on veut connaître la quantité d’action consommée par le sciage d’un mètre carré , on remarquera que la surface , débitée pendant i 5 minutes , a été de 4 x o, 3 i 5 x 1,567 carrés, que

la quantité d’action consommée dans le même temps a été 1 5 x 8095, et que par conséquent la quantité d’action , consommée par le sciage d’un mètre carré, es.t,^ï-«i

. ~ 61 5 oo

c’est-à-dire, de 61 5 oo kilogrammes élevés à un mètre.

103- Tel est le résumé succinct de la méthode donnée par M. Woisard, et (jue nous n’avons altérée en rien. Mais on a pu s’apercevoir que la première erreur de cette formule provient de ce qu’il fait varier la quantité d’action consommée par la machine se mouvant seule comme la simple vitesse au lieu de la faire varier comme le carré de la vitesse , cette erreur lui est commune avec presque tous les mécaniciens, quoique Borda ne la partage pas dans son travail sur la résistance de l’air. £n faisant cette correction la formule ( 6 ) devient

/ ( 6, 41(6,41—3,37)3,37 1 (. 9 lyx ^^^ g 6 ox{goy f (6,45(6,45 — 3,22)3,333 ’

et donne pourx, la valeiu- i53o8, assez différente de celle 12148 .

De même l’équation ( 8 ) donne ^ = 83o2.

Et la force consommée par le sciage d’un mètre carré sera 6807 1 kilogrammes élevés à un mètre.

Comme la résistance, que l’air oppose au mouvement de la machine, augmente comme le carré de la vitesse, elle sera comprise dans la quantité d’acüon consommée par la machine , et on n’a pas besoin d’y avoir égard 5 d’ailleurs la résistance de l’air est une petite fraction de la résistance totale.

Malgré cette rectification , l’équation ( 8 ) se fondant sur l’identité de deux quantités d'action transmises à la roue, donnera lieu à de grandes erreurs dans la plupart des cas , et il importe d’y subsdtuer une autre méthode.

De la quantité (Faction consommée par la roue tournant seule et de celle utilisée.

i 04. Dans les expériences faites avec le frein , pour obtenir la force totale utilisée par le récepteur, il faut ajouter à la force donnée

par le frein , celle consommëe par le frottement de la roue se mouvant seule ; quoique nous ayons vu , que , d’après le principe d’homogénéité, une roue tournant seule dépensait une quantité d’action qui augmentait comme le carré de la vitesse ; la détermination du coéfficient de la force consommée par le frottement n’est pas d’une exécution facile, car elle dépend du rapport de la force utilisée par le récepteur à la force consommée. Ainsi, le rapport de la force utilisée par le récepteur à la force consommée, et le coéfficient du frottement dépendent l’un de l’autre , et nous jettent dans un cercle vicieux qui, si l’on négligeait l’un des'deux, pour faciliter la détermination de l’autre, pourrait conduire souvent à des conclusions qui s’écarteraient beaucoup de la vérité.

1 05. Nous nous proposons à présent de montrer comment , par une méthode de substitutions et de rectifications successives , et en partant de suppositions faites, pour ainsi dire, à volonté, on peut être ramené à déterminer le véritable coéfficient de la force consommée par le frottement, et le rapport exact de la force utilisée à la force dépensée dans le cas du maximum d’effet.

Avant que d’entrer en matière, nous avertirons que, dans nos premiers calculs, noirs avions fait le coéfficent de la contracrtion égal à o,63 ^ mais que des raisons particulières nous ont engagé à les refaire et à nous servir du coéfficient o,6C, qui se raj>proche davantage des dernières expériences faites à ce sujet.

Pour faire la première supposition relative au coéfficient de la force consommée par le frottement, nous avons divisé la résistance, provenant du frottement rapporté au centre d’action ou d'impulsion , par le double du coéfficient de la gravité. Le coéfficient ainsi obtenu est loin du véritable, puisqu’il donne une force, consommée par le frottement, contenue dans la sixième colonne du quatrième tableau, environ dix fois moindre que la quantité d’action réduite, dépensée par le moteur. Cependant celle valeur de la

force, consommée par le frottement, ajoutée à la force reçue par le récepteur et indiquée par le frein , donne 0,447^ pour le rapport de la force totale utilisée à la force dépensée.

Pour obtenir une première rectification, nous diviserons la force dépensée réduite, contenue dans la huitième colonne du quatrième tableau, par le carré de la vitesse de la roue^ ce qui nous donnera les nombres contenus dans la neuvième colonne. Multipliant encore ces nombres par 0,447^ 5 rapport de la force utilisée à la force dépensée, nous aurons les nombres contenus dans la treiîdème colonne, qui exprimeront les coéfBciens du frottement déduits de la force utilisée. La di.xième colonne contient les coéflficiens du frottement divisés par "xg et déduits directement de la tliéorie des frottemens. Ces coéfïlciens sont loin d’étre proportionnels à ceux de la treizième colonne, ce qui ne doit pas paraître étonnant puisque nous n'avons pas eu égard au frottement engendré par la pression lie la force motrice , qui est assez considérable ^ et que le coursier circulaire, pris depuis son origine jusqu’au point qui se trouve dans la même verticale que l’axe , forme un arc de quarante-trois d^és.

Pour en tenu- compte, nous multiplierons la force utilisée par le sinus de quarante-trois degrés , et par le rayon du tourillon , et nous diviserons ce double produit par le double du produit du rayon du centre d’action et du coéfficient de la gravité ^ en ajoutant ce coéfHcient à celui provenant du poids de la roue , on aura une quantité qui , prise pour diviseur du coéfficient réel de la quantité d’action réduite et dépensée par la roue, donnera des quotiens qui pourront être regardés comme identiques , et auront pour moyenne 45688. Ces résultats sont contenus dans les cinq premières colonnes de la suite du quatrième tableau.

En nous servant de ce quotient pour multiplier le coéfficient de la somme du frottement, rapporté au centre d’action, et divisé par 2g , nous aurons une quantité qui , multipliée par le carré de

la vitesse du centre d'action , nous donnera une quantité d'action , qui, ajoutée à celle founiie par le frein, exprimera la force, totale utilisée par la roue. Divisant cette dernière par la quantité d’action dépensée , nous aurons les rapports de la dixiéme colonne du cinquième tableau, qui ont pour moyenne 0,4981.

Nous servant de ce nouveau rapport de force utilisée, poiu rectifier le coéfficient de la force consonunée par la roue tomnant toute seide, nous trouvons le quotient moyen 0,5169, qui, employé pour rectifier à son tour le rapport de la force utilisée à la force dépensée, donne le rapport moyen 0,5078.

106 . Cherchons à découvrir à présent ce qu’exprime le quotient moyen 0,5169, noius n’avions pas divisé par ig la somme du frottement provenant et du poids de la roue et de la pression de la force motrice, au lieu du quotient 0,6169 ci-dessus, nous aurions trouvé 5 , 1 69 divisé par ig^ ou o,a 635 5 et même cette quantité différerait très-peu d’un quart si, au lieu de prendre pour le coéfficient du frottement deux quinzièmes, quantité moyenne entre un septième et un huitième assignés par Coulomb, nous avions choisi quatre vingt-neuvièmes ; ainsi en adoptant ce dernier coélBcient du frottement, nous pourrons dire cpie la quantité d’action , consommée par notre roue allant à vide, est le quart de celle obtenue en multipliant le frottement total rapporté au centre d’action de la roue par le carré de la vitesse de ce même centre d’action. Par l’adoption de ce coéfficient du frottement, le rapport 0,6078 de la force utilisée à la force dépensée deviendra un peu plus petit et s’approchera beaucoup de celui o, 5 o ; et on pourra dire que dans notre roue la force utilisée est la moitié de celle dépensée.

107 . La force vive déterminée par le produit du coéfficient du frottement rapporté au centre d’impulsion, et du carré de la vitesse de ce même centre est quadruple ici de la force consommée par le frottement. Si l’on ne peut avoir recours à l’expérience pour

connaître le véritable rapport, ce qui est d’ailleurs impossible toutes les fois qu’il s’agit d’un projet, on pourra prendre le rapport précédent, quand il faudra calculer la force consommée par les froltemens dans des cas où les centres d’impulsion et les centres d’action, des engrenages et les masses inertes qui composent les organes , pourront être censés être situés d’une manière semblable à celle ci-dessus. Dans la suite que nous ferons à cet ouvrage, nous donnerons des règles mieux définies et plus claires pour calculer directement ce coéfHcient du frottement, et satisfaire à la plus . grande partie des questions que l’on peut se proposer à son égard. ,

108. Si, dans nos expériences sur le frein, on réduit les rapports de force utilisée pour les ramener au cas du maximum d’effet, on aura un peu moins d’exactitude qu’auparavant. Mais la différence sera peu considérable, et ne devra pas étonner, vu la difficulté des expériences de ce genre , et l’irrégularité de notre arbre.

Au reste, on peut conclure des rapports des erreurs, qu’en faisant les expériences avec le frein de M. Prony, on sera presque toujours sûr que le résultat obtenu ne différera pas du véritable , de plus d’un dix-septième, et que cette précision augmentera avec le nombre des expériences.

De la quantité d’action consommée par la scierie se mouvant seule sans scier du bois.

109. Pour trouver la quantité d’action consommée par la scierie

se mouvant seule sans scier du bois, nous observerons que la vitesse des différens organes de la machine, à l’exception du récepteur, est proportionnelle, non à la vitesse du centre d’impulsion de la roue motrice , mais à la vitesse angulaire de cette roue. Quoique ces deux espèces de proportkmnabtés ne soient pas très-différentes entre elles, il vaut mieux pourtant les distinguer, et séparer la quantité d’action consommée par la roue seule de celle consommée par le reste de la machine. lo*

^ 1 0 . Les huitième et neuvième colonnes du septième tableau contiennent les résistances ou pressions de la force motrice et du poids de la roue rapportées au centre d'impulsion ^ et nous avons vu, cpi’en miütipliant la somme de ces dernières, par le carré de la vitesse du centre d’impulsion , on obtient une force quadruple de celle consommée par le frottement , qui est contenue dans la dixième colonne. Retranchant à présent les résultats de celte dernière colonne, de la force utilisée réduite, contenue dans la septième colonne , nous aurons la force consommée par le reste de la * machine. Cette dernière force, divisée par le carré de la vitesse angulaire mesurée pendant une seconde, donne les résultats contenus dans la dernière colonne, et qui sont les coéfïîciens d’homogénéité de la force consommée par le reste de la machine.

\\ \ . Dans notre tableau, les expériences, faites dans le mois de septembre, présentent sur-tout, dans le commencement, des coélïiciens d’homogénéité très-forts. La raison en est toute simple, et provient du renouvellement récent de tous les allurhons de la roue dentée, et de ce que la machine avait fonctionné très-peu à cause de la sécheresse et du manque d’eau. Aussi , nous a-t-il fallu attendre, au mois d’octobre, pour continuer nos expériences; alors les coélïiciens ont peu varié, et on peut les regarder comme constans et égaux à 898.

112 - Le frottement occasionné par la force motrice , ayant peu influé sur les résultats; et la différence^ entre les rapports des vitesses du centre d’impiüsion et des vitesses angulaires, n’étant pas trop considérable; nous avions supposé les vitesses de tous les oi^anes , proportionnelles aux vitesses du centre d’impulsion ; de cette manière le coélïicient d’homogénéité de toute la machine se mouvant seule .s’est trouvé 9,08 , et l’eiretu- moyenne même n'a pas augmenté sensiblement.

1 1 La lanterne de la scierie a 1 5 fuseaux et la roue a 48 dents.

ce qui donne un rapport de vitesse 3,2; voyons, par aperçu, , quelle pourrait être l’influence, sur la force utilisée par le travail, si nons prenions un rapport de vitesse plus considérable , par exemple , dix fois plus grand. Le poids de la roue hydraulique occasionne, à l’endroit des tourillons, un frottement d’environ 480,8, qui multiplié par 0,072 diamètre des tourillons, et divisé par 3 , 8 o diamètre moyen du centre d’impulsion, donne pour le frottement rapporté au centre d’impulsion 9, 1 1 ^ le quart de cette dernière quantité (99) donnera le coélficient 2,28 de la force consommée par le frottement de la roue toute seule, sans y comprendre celui provenant de la pression de la force motrice. Cette quantité 2,28 ôtéé de celle 9,08 donnera 6,8 pour le coélficient de la force consommée par les frottemens du reste de la machine, à l’exception du récepteur; et pom' le coefficient de la force consommée par la force vive perdue, à cause des chocs et des à-coups des düTérens organes entre eux. Si on voulait à présent, que la scie eût une vitesse double, on pourrait l’obtenir de deux manières : ou en communiquant à l’arbre de la roue , une vitesse double, ou bien en co;iservant à cette dernière la même vitesse , mais en doublant celle de la lanterne. Dans le premier cas de «•cttc nouvelle disposition, la force consommée par les frottemens serait quadruple de celle consommée par la disposition primitive ou égale à 36 , 3 a ; dans le second cas où l’on ne changerait pas la vitesse de la roue hydraulique, le frottement de cette dernière ne consommerait qu’une force équivalente à 2,28; mais la force, consommée par le reste de la machine, serait égale à quatre fois 6,8 ou à 27,2; ce qui donnerait 29,48 pour la totalité du coéfficient de la force consommée par le frottement de la machine dans le second cas , en supposant que la situation respective des masses inertes qui composent les différens organes, n’est pas altérée par cette nouvelle disposition. Ainsi, quand la vitesse, avec laquelle la scie doit opérer , sera fixée , il y aura de l’avantage à diminuer

la vitesse des organes les plus éloignés de l’opérateur , et à accroître la rapidité de ceux qui en sont les plus rapprochés.

114. M. Navier attribue, à la force vive perdue par les chocs et les à-coups de la scierie, pour diminuer la force utilisée, une plus glande influence qu’à la force consommée par les frottemens. Eài rendant compte des données de Belidor, relatives à la scierie de la Fère (pag. 5io), il évalue la quantité d’action, transmise au récepteur, égale à 34a kilogammes élevés à un mètre; la quantité,’ utilisée par le travail, à ii4, la quantité de force, consommée par les frottemens, au huitième de la quantité d'action transmise, ce qui donne 43 ; et les 1 85 kilogrammes restans , il les attribue à la force vive perdue par les à-coups et les changemens brusques de vitesse. Ainsi il fait la perte de force vive occasionnée par les chocs et les variations de vitesse, quintuple dfe la force consommée par les frottemens. La machine que nous avons examinée, est, à peu de chose près, la même que celle décrite par Bélidor, et ne peut pas être en meilleur état, parce que les différens organes et les différentes pièces qui la composent, sont vieux et usés et ont besoin d’être renouvelés au plus tôt ; c’est ce qui a été dit au ministère dans le projet que la commission a exécuté. Nous savons déjà que le coéfficient de la force, consommée par le frottement de la roue se mouvant seule, est égal à a,a8; et qu’il ne reste que 6,8. pour le coélBcient de la force, consommée par les frottemens du reste de la machine, et le coéfficient de la force vive perdue à cause des chocs et des variations de vitesse instantanées.

Le poids de la lanterne avec son arbre est de 348,5 1 kilogrammes ; les deux quin7Jèmes donneront le frottement rapporté à la circonférence des tourillons , ou 46>47 i umltipliant ce dernier nombre par 0,07 diamètre des tourillons, et divisant par o,633 diamètre du centre des fuseaux de la lanterne, nous trouverons 5, i4, pour le frottement rapporté au centre des fuseaux. En supposant que

les différentes masses inertes aient dans la lanterne une situation aussi favorable que celle de la roue hydraulique, nous aurons, en divisant 5,-i4 par quatre , pour le coéfficient de la force consommée par le frottement de la lanmrne, rapporté au centre d’action des fuseaux. Pour ramener ce coéfficient, à ce qu’il serait , s’il était rapporté au centre d’impulsion de la roue , il faut le multiplier par o,g5 rayon du rouet, et le diviser par 1,90 rayon moyen •du centre d’impulsion; et on aura ainsi, 3,17 pour le coéfficient de la somme des frottemens de la roue hydraulique et de la lanterne. Ainsi les frottemens de la roue hydraulique et de la lanterne consomment seuls une force qui est plus que le tiers de celle non utilisée par le travail , quoique transmise à la roue. Si à présent, nous tenions compte de celle consommée par les frottemens des tourillons de la^naniyelle, et de la bielle; par les frottemens du châssis de la scie et des autres organes de la machine ; par les frottemens des dents du rouet contre les fuseaiuc de la lanterne; et si nous considérions , en outre , la décomposition de force occasionnée par la direction oblique de la bielle par rapport à celle du châssis ; on n’hésitera pas à pen^r que la perte de force vive , occasionnée par les à-coups , bien loin d’étre quintuple de la perte de force consommée par les frottemens, est même inférieure à cette dernière.

De la force consommée par le sciage du bois.

115. Pour trouver la force consommée par le sciage du bois, on suppose ordinairement que la force, consommée par les frottemens des différens oi^anes de la machine, reste le même, soit que la machine manoeuvre à vide , soit qu’elle manœuvre en sciant du bois: supposition que l’on peut admettre sans grande erreur ; car dans l'instant où la scie est élevée , c’est comme si elle manoeuvrait à

vide 5 et la force, dépensée par le sciage, ne se fait sentir, sur les frottemens, que lors 'de la descente. Ainsi, en retranchant de la force totale utilisée par le récepteur, celle consommée par les frottemens delà machine comme.si elle manœuvrait à vide, il restera la force utilisée et consommée par le travail du sciage. Pour savoir si cette force, consommée par le sciage, suit la proportion de la simple vitesse ou du carré de la vitesse, représentons-nous une scie horizontale telle que celles qui sont communément en usage pour scier la pierre , et où la scie n’agit pour opérer son travail que par son propre poids. L’homme qui la conduit, ne fait en donnant à la lame de scie un mouvement horizontal, que promener le même point de la lame de scie sur divers points de la pierre soumise au sciage. La descente de la lame de scie est proportionnelle à l’espace parcouru par im point quelconque de cette lame, ainsi elle est proportionnelle à sa vitesse. Si la pierre soumise à l’expérience était très-tendre , et que le sciage ne fût que l’effet de la descente verticate de la scie , on pourrait la regarder comme entièrement semblable à l’action d’un poids, qui, facilité- par la pesanteur, ferait mouvoir un treuil \ et elle serait par conséquent proportionnelle à la simple vitesse. Ce raisonnement ne parait pas concluant d’abord, parce que l’on voit, au premier aperçu, que la lame de scie n’opère en descendant que par le moyen du mouvement horizontal^ et que le mouvement horizontal ne peut opérer, à son tour le sciage, que par le concours du mouvement vertical. Si ces deux mouvemens , epu n’ont pas des directions opposées, mais seulement des directions transversales, concouraient également au sciage, et suivaient indentiquement les mêmes lois, tout serait prouvé ; car la lame de scie , pour opérer le sciage , consommerait alors une quantité d’action proportionnelle à la simple vitesse. Quoique les deux mouvemens de la lame de scie soient également nécessaires à l’exécu^on du sciage, ils sont, par l’effet de leurs ♦' .

différentes directions, indépendantes Tune de Tautre, et ne dépendent entièrement que de la qualité et de la dureté de la pierre ou de la matière à diviser. Ainsi , par le principe d^homogénéité et de similitude, ces deux mouvemens suivent exactement les mêmes lois.

i {6. La force, consommée par le sciage du bois, qui était de Tonne coupé au commencement de Tannée, se trouve dans la dixième colonne du neuvième tableau. En divisant ces résultats par la vitesse angulaire , nous aurons les coélEciens dliomogénéité contenus dans la onzième colonne , qui seraient identiques et conformes à la théorie que nous venons d'exposer, si Tépaisseur du bois n'avait pas varié. Comme il n'y a aucun doute que les forces consommées ne croissent comme les épaisseurs du bois, on aura, en divisant par les épaisseurs , les résultats de la onzième colonne , des coéfBciens d'homogénéité qui correspondront avec l'espace parcouru par le chariot, pendant un tour de roue, et avec un arbre d'orme qui serait de Tépaisseur d'un mètre. Le coélBcient ainsi déterminé aura une valeur de 1 3o4 qui exprimera la quantité d'action consommée pendant un tour de roue, et dont Terreur moyenne ne sera pas tout-à-fait égale à un neuvième. Le chariot s’avançant, à chaque tour de roue, de 8 millimètres, la force consommée pour scier un mètre carré , sera égale à 1 3o4 multiplié par i ooo , et divisé par huit, ou à i63ooo kilogrammes élevés à un mètre. Cette quantité paraîtra très-considérable, mais cela n'étonnera plus, quand on saura que le trait de scie, fait par nos lames, est de huit millimètres, tandis que, dans les scieries ordinaires , avec les lames de scie de commerce, ce trait n’a que trois à quatre millimètres d’épaisseur. C’est Tépaisseur ordinaire du trait dans la scierie de M. de Nicéville, pour laquelle, M. Woisard, en sciant un mètre carré de chêne sec, a trouvé qu’il était nécessaire d’employer une force équivalente à 6i5oo kilogrammes élevés à un mètre ^ quantité qui doit être même portée

à 63 o 7 I , quand on fait, à sa méthode , les rectifications nécessaires. Le chêne présentant moins de résistance que l’orme, on trouvera que cette dernière évaluation ne diffère pas beaucoup de la nôtre, qui donnerait, pour un trait de scie de l’épaisseur de trois millimètres et demi, une consommation de force égale à kilo-

grammes élevés à un mètre.

i i 7- Nous remarquerons ici que, pour faire des expériences exactes sur differentes scieries et differentes lames , il vaudrait mieux prendre , pour point de comparaison , le poids de la sciure ; et cette dernière modification ne changerait rien à l’importance et à la bonté de la surface carrée qui pourrait servir de terme de comparaison , toutes les fois que l’épaisseur du trait resterait la même.

1 1 8. Si , au lieu de supposer la vitesse desdifférens organes delà machine et la vitesse du chariot proportionnelles à la vitesse angulaire du récepteur, nous les avions supposées proportionnelles à la vitesse du centre d’impression de la roue hydraulique, il aurait fallu prendre g,o8 pour le coéfficient d’homogénéité de la force consommée par la machine, et on aurait trouvé que 1 16,4 serait la valeur du coéfBcient d’homogénéité de la quantité d’action consommée par le sciage, et que l’exactitude ainsi obtenue, serait toute aussi grande, quoique l’on eût négligé de tenir compte de la pression occasionnée par la force motrice. Mais il serait assez long et assez difficile d’y avoir égard ; comme les pressions provenant de la force motrice et de la résistance agissent presque toujours en sens opposés, il se fait ordinairement une espèce de compensation, non-seulement pour un seul organe, mais aussi pour tous les autres^ et la négligence de cette cause n’entraîne pas dans une grande inexactitude , sur-tout si les organes de la machine sont un peu multipliés.

1 19. La force, consommée par le travail, proportionnelle à la simple vitesse, se rencontre aussi dans d’autres machines, mais souvent par une cause differente, analogue à celle d’une roue hydraulique par rapport à un courant.

Remarques générales sur les scieries.

\ 20 ' Nous nous sommes trop étendus sur le sujet des scieries pour ne pas faire ici un résiuné succinct de ce que nous avons déjà vu, rassembler plusieurs remarques intéressantes, et présenter plusieurs rapproohemens. qui pourront être utiles à ceux qui voudront établir des scieries ou d'’autres machines analogues.

M. Hassenfratz, dans son traité de fart de la charpente, assure que les hommes exercent un effort de 1 3 kilogrammes , qu'ils parcourent, à chaq\ie coup, un espace de o,8, et donnent 5 o coups par minute, avec une durée de travail de douze heures. Ainsi, 1 3 X 0,8 X 5 o X 6o' X 1 2 , donne la quantité d’action journalière égale à 376000 kilogrammes élevés à un mètre. D’après Bélidor, un homme peut produire en une minute, dans du chêne vert, un liait de scié dont la surface est de o,oo 586 mètres carrés;; et d'après M. Uassenfratz, cette surface est de 0,006 mètres carrés, ce qui n’en diffère pas sensiblement. D’après ce qui précède, les scieurs de long dépensent, par minute, une quantité d’action égale à 5 ao kilogrammes^ et l’exécuüon d’un trait de scie d’un mètie de surface exige 86667 kilogrammes : évaluation qui est plus considérable que celle que nous avons trouvée. M. Navier la réduit à moitié, en se fondant sui- ce que les scies, employées par les scieurs de long, ne pèsent que 6,5 kilogrammes^ mais en rapprochant ces données de celles trouvées par M. Woisard et par nous, l’estimation de la force dépensée donnée par M. Navier devrait être portée à moitié en sus environ; et, au lieu d’être équivalente à 360 kilogrammes, elle devrait l’être à 38 o kilogrammes. , ’

Bélidor a reconnu que ti-ois hommes, appliqués à une scie, deux en' bas et un en haut, peuvent scier 130 pieds carrés d’une pièce de bois de chêne vert en 1 3 heures , travail d’une journée ; chacim

de ces hommes scie donc 4 j 32 mètres carrés par jour, et en les multipliant par 63333 force donnée par les expériences de M. Woisard, il résulte que l’action, produite par chaque ouvrier, est de 267265, environ moitié en sus de celle donnée par M. Navier.

Cette donnée peut être très-utile pour évaluer la quantité d’action dépensée par le sciage de différens matériaux^ ainsi, d’après M. Mo— risot , un trait de scie d’une toise cannée, fait dans la pierre de roche , exigeant 72 heures du travail d’un ouvrier, donne par minute une surface de 0,0008795 mètres carrés 5 et puisque l’ouvrier fournit par minute ime quantité d’action de 38 o kilogrammes élevés à un mètre, l’exécution d’un trait de scie d’un mètre carré, dans cette

pierre exigera une quantité d’action de ou de 4 3 2040

kilogrammes élevés à un mètre.

421 . J’ajouterai ici, d’après M. Morisot, le nombre d’heures nécessaires au sciage d’une toise carrée des matériaux suivans :

Lambourde (pierre calcaire des environs de Paris , fort b«m tendre, d’un grain grossier, pesanteur spécifique 1,6)....

Pierre franche (pierre calcaire moyennement dure,

d'un grain égal, pesanteur spécifique 2,2)

Pierre de roche (pierre calcaire assez: dure et un peu coquilleusc , dont la pesanteur spécifique est 2,3) 72.

Liais (pierre calcaire d’un grain plus égal et plus fin

€pie la roche, pesanteur spécifique 2,4) 67.

AlbàU'c des Pyrénées (le plus tendre des marbres).... 56 .

Marbre blanc statuaire 72.

Granit gris de Normandie 5 o 4 .

Granit gris des Vosges 700.

Porphyre rouge et vert ** 77 -

Autre table de la dureté des pierres pour résister au sciage d'après Rondelet.

Pierre de Liais

Marbre blanc veiné

Id. bleu turquin

Granit gris de Normandie

Jd. autre qualité

Granit de Bretagne

Granit gris des Vosges

Jd. feuille morte , id

Id. vert id.,..

D’après Bélidor, en comparant la quantité du chêne vert sciée dans un certain temps, à celle du chêne parfaitement sec, on

trouve 0,67

Du bois blanc vert i,4o

Du bois blanc dur i,a4

i 22. L’orme exigeant pour le sciage d’un mètre carré de surface avec un trait de scie de 8 millimètres d’épaisseur , une force de i63ooo kilogrammes élevés à un mètre ; cette même surface avec un trait de scie d’un millimètre n’exigera que ioS-jB. D’après les données de MM. d’Hassenfratz, Navier et Woisard, le chêne moyennement vert, n’exigera que les onze douzièmes de cette force, ou seulement 18677 kilogrammes élevés à un mètre. Dans le cas de l’orme, la force consommée par chaque tour de roue, sera le huitième de i3o4 ou 164 , et dans le second cas celui du chêne que 1 5o ; les quantités de force précédentes varieront dans le même rapport que le nombre des millimètres contenus dans le trait de scie. Le nombre des tours de roue, nécessaires au sciage d’un mètre

carré, sera laS, quand l’épaisseur de l’arbre ou de la pièce de bois , soumise au sciage , sera d’un mèlre. Ce nombre de tours est, en raison inverse de l’épaisseur, en supposant que le pied de biche et la roue à crémaillère ne font avancer le chariot constamment que de la même quantité de huit millimètres par tour de roue. Nous avons vu que le travail d’un scieur de long est équivalent à 38 o kilogrammes par minute; et qu’il faut environ , au scieur de long , 53,6 minutes pour le sciage d’un mètre carré d’orme , et 4g pour celui d’un mèlre carré de chêne moyennement vert. La scierie de l’arsenal faisant environ i8 tours par minute, elle fera , dans le même temps , environ 738 fois plus d’ouvrage rpi’un scieur de long.

^ 23 . Le temps que la scie ordinaire à mouvement alternatif emploie à mon 1er, est à peu près égal à celui qu’elle met à descendre, et est entièrement perdu pour le sciage. La scie circulaire , ayant un .sciage continu, ne consomme que la moitié du temps; mais ce n’rst pas le seul avantage dont elle jouit .sur celle à mouvement alternatif, et qui lui feront mériter la préférence toutes les fois que l’épaisseur des pièces à scier pourra le permettre.

i”. Le chariot, portant la pièce à scier, devant presser continuellement et d’une manière constante contre la lame de scie , pourra être mu indépendamment de la s< le au moyen d’un conlro-poids ; ce qui aura l’avantage inappréciable de laire avancer la pièce de bois, en raison delà dureté du bois; avantage que les scieurs de long possédaient seuls ; a®, les organes de la scie n’ayant pas iin lourd châssis à soulever, pourront être réduits au moindre poids, de manière à diminuer le plus possible la pression e.vercée sur les axes et la force consommée par les frottemens. Les scies circidairea>« employées par M. Roguin, de 12 à 18 pouces de diamètre, font 700 tours par minute; et celles de 18 à 3o pouces de diamètre font 5 oo tours par minute, et scient des madriers de 8 à 9 pouces d'épaisseur.

Trottver la vitesse de la rtrne ou Pouverture la plus favorable

pour donner le nuudmum de force utilisée par le travaiL

II est tout naturel de comparer la quantité d'action dépensée par le moteur à celle économisée par le récepteur ou utilisée pour le travail. II est aussi très-simple de regarder comme la meilleure, la disposition qpii donne le rapport le plus grand.

i 24. Nous avons vu que dans beaucoup de machines , la force consommée par le frottement des diiférens organes de la machine croissait comme le carré de la vitesse , tandis que celle consommée par le travail ne croissait que comme la simple vitesse. La différence de ces deux lois fait d’abord conclure , au premier aperçu , que le maximum de quantité d’action reçue par le récepteur, n’a pas lieu dans les mênaies circonstances que celles qui donnent le maximum de la quantité utilisée pour le travail. Ce dernier s’obtient avec une vitesse de moteur moindre que dans le premier cas , et il est aussi le plus important pour les praticiens et les entrepreneurs. On pourrait chercher à le déduire des données générales, et à en représenter les principales circonstances par des formules^ mais on serait peut-être amené à des calculs incompréhensibles à la plupart des lecteurs , et dont les résultats seraient dans la plupart des cas plus curieux qu’utiles. Nous laisserons ces soins à d’autres, et nous ferons voir, comment, par des interpolations et des moyennes aritliméüques, on peut parvenir au même but : celui de dresser une tal>le, qui fasse connaître ces maximum dans la plupart des cas, et qui même donne ensuite, par la comparaison des différens résultats , des règles approximatives assez générales pour guider le praticien dans toutes les questions qu’il peut se proposer ou avoir besoin de résoudre.

\ 25. Supposons qu’il s’agit d’une usine mue par une roue de

4 mètres de diamètre et construite à aubes courbes suivant le système de M. le capitaine du génie Poncelet. Supposons en outre que cette roue utilise dans le cas du maximum d'ellet 6o pour cent de la force motrice^ que la longueur de la base du pertuis soit 0,70, et le coéfïiciênt de la contraction 0,67^ que Ton ait en outre 10 pour le coefficient de la force consommée par la machine marchant à vide , et ao pour celui de la force consommée par le travail , et une chute de a mètres.

D'après ces données nous construirons d'abord une première table subsidiaire (tableau 10*), qui fera connaître, pour chaque vitesse de la circonférence extérieure , portée dans la première colonne , la force consommée par la machine, inscrite dans la seconde, et celle utilisée poiu* le travail , contenue dans la troisième colonne ; enfin la quatrième colonne et la dernière donneront la force totale consommée par la machine et par le travail.

Le second tableau subsidiaire (tableau 1 1 ‘) fera connaître, pour chaque ouverture de vanne contenue dans la première colonne, la vitesse moyenne de l'eau, sortant du pertuis, inscrite dans la seconde colonne^ la troisième colonne et la quatrième contiendront l'une la force motrice consommée, et l'autre la force motrice utilisée, dans le cas où le récepteur aurait la vitesse du maximum.

Quand la circonférence extériem-e de la roue hydraulique a une vitesse de deux mètres , le dixième tableau donne une force consommée totale utilisée par le récepteur de 80; il faut trouver au moyen de la onzième table, quelle est l'ouverture de vanne, capable de donner cette quantité d'action 80 utilisée par le récepteur. Voyons d’abord si o,oa 5 ne sera pas cette ouverture. Le centre d’impression aura pour rayon deux mètres moins la moitié de o,oa 5 ou 1,9875*, multipliant la vitesse de la circonférence extérieure par le rapport de i ,987 5 à a,ooo on aura la vitesse moyenne 1,9875 du centre d’impression.

Le rapport de la vitesse moyenne du centre d’impression à la

vitesse moyenne de l’eau 6 ,a 44 o, 3 i 83 , en nous servant de

la formule 4(i — f')’" pour réduire la force utilisée dans le cas du maximum à la force utilisée réduite du cas particulier considéré, nous aurons 4 ^ 0 j 3 i 83 x 0,681^ = 0,86^95 et o,86'j95 multiplié par 87,3 force utilisée par la roue et donnée par le 1 1 tableau donnera 75,765 pour la force réduite utilisée par la roue hydraulique. Paient le même calcul avec l’ouverture de vanne o,o 3 o, la vitesse du centre d’impression sera i ,q 85 5 et nous aurons pour réduire la force utilisée 104,6, dans le cas du maximum, à celle du cas considéré, au lieu de 0,8679, seulement 0,8677. Ainsi l’on voit que la différence est très-petite, et que cette observation servira dans beaucoup de cas à abréger les opérations. La force utilisée réduite .sera, en conséquence de cette valeur, égale à 90,7805 et l’ouverture de vanne cherchée, sera donc comprise entre celle o,oa 5 et celle o,o3o5 pour la déterminer plus exactement, il faut remarquer que la différence entre 80 et 76,765 est 4,^35 5 et que celle entre 76,765 et 90,78 est 15,0165 rapport de ces deux différences est 0,38 1 1 , et 0,3811 multiplié par o,oo 5 donne 0,00 1415 par conséquent l’ouverture de vanne cherchée est 0,03641. Si l’on croyait que cette première valeur ne fût pas assez approchée, on referait les mêmes opérations en se servant des ouvertures de vanne 0,03641 et o,oa 5 comme l’on s’est servi de ( 5 elles 0,036 et o,o 3 o , et on aurait ime valeur pins exacte. Mais dans la plupart des cas une première opération suffira. Pour avoir la force consommée avec l’ouverture de vanne 0,03641, on multipliera la différence de i 4 S ,5 à 174 , 3 ou 38,8 par 0,381 1 , et on aura 8,60 à ajouter à 143,65 ce qui donnera la quantité d’action consommée égale à i 53 , 6 o 5 et divisant enfin 4 <> par 1 53,60, on aura 0,3604 pour le rapport de la force utilisée par le travail à celle totale, ét'consojnmée par le récepteur.

126 . £n continuant de la même manière pour dîautres vitesses de la circonférepcé extérieure de la roue hydraulique, on dressera le

la'. tableau qiii donnera les rapports des quantités (Taction utilisée par le travail , dans le cas où Ton se servira dVne roue hydraulirquc ù ailes courbes , et où Ton aura en outre les dontiées suivantes :

mn

o,6o Rapport de la force consommée à cdlé utilisée "paj le récepteur.

0,^0 Mètres base du pcrtuîs.

0,67 Coéflîcient de la contraction.

I O Coéfficlent de la force consommée par la machine, ao Celui de la force consommée par le travail. ^

•1 Mètres hauteur de la chute. '

127 . Ce 12'. tableau fait voir que le rapport maximum de la force utilisée par le travail est o,26o5 , ce qui arrive quand la vitesse de la circonférence extérieure de la roue hydraulique est comprise entre 2,0 et 2,1 ; et que le rapport des vitesses de la roue et de Teau motrice est de o ,33 environ ^ ainsi ce rapport est bien inférieur à celui o, 5 o qui donne le maximum de la force utilisée et reçue par le récepteur d’après la théorie.

\ 28 . En opérant de même pour d’autres coéffîciens d’homogénéité ou d’autres hauteurs de chute , nous arriverons à dresser le i 3 *. tableau qui donne les différens maximum pour tous les cas que peut présenter une roue à aubes courbes utilisant 60 pour cent de la force motrice. Nous ajouterons en outre que la base du permis a 0,70 mètres de largeur, et que le coéfficient de la contraction est supposé de 0,67. •'

Le i 3 ‘. tableau donne pour chacpie hauteur de chute et chaque coéfficient d’homogénéité, la vitesse moyenne de la roue, et céUe de son centre d’impulsion; la quantité d’action consommée par la machine èt celle consommée par le travail; le rappoM-de la force utilisée par le travail à la force dépensée par<l» >limteur;tet enfin le rapport de la vitesse moyenne d« centre >dHaipulsioD dé .la roue à la vitesse moyenne de l’eau motrice^

Avec la même hauteur de chute, si on laisse constant le rapport du coefficient de la force consommée par la macliine au coéfficient de la force utilisée par le travail, on voit que la vitesse movenne de la circonférence extérieure de la roue reste constant ^ et c[ue le rapport de la force utilisée par le travail à la force totale dépensée, s’il n’est pas constant , du moins varie très-peu.

Ce tableau fournirait plusieurs remarques intéressantes, mais comme ce ne serait que des' analogies qui ne présenteraient rien d’officiel, c’est-à-dire aucun de ces caractères qu’impriment onli- . nairement les démonstrations géométriques , nous les négligerons , quoiqu’elles pussent faciliter les applications du tableau précédent aux cas nombreux de la pratique. D’ailleurs chaque mamiracturier, en dressant un tableau semblable pour son usine, pourra les faire aisément lui-même. Nous nous contenterons de faire une seule remarque qui nous a frappé par l’exactitude qu’elle présente.

130. Si , dans le tableau précédent , on divise, par la somme des deux coéfficiens d’homogénéité , la force totale dépensée par le moteur et avec la même hauteur de chute , on trouvera une quantité constante dont l’erreur moyenne sera o,oi54- Cette quantité constante varie à la vérité, avec chaque hauteur de chute , mais elle est

pour la chute de a mètres de 5,36a

de I mètre 3,634

de 0,5 a , 367

Si les hauteurs de chute croissent en progression géométrique dont la raison est a, les constantes ci-dessus paraissent croître aussi en progression géométrique, dont la raison est et donner une exactitude aussi grande que la précédente.

131. Si la même remarque se vérifiait pour les tableaux dressés d’une manière semblable par d’autres personnes, voici comment on pourrait procéder pour obtenir les quantités différentes correspondantes à des cas non compris dans le tableau quoiqu’inlermédiaires :

la*

oa chercherait d'abord par interpolation <piel est le coefficient de la quantité d'action motrice dépensée pour la chute considérée. En multipliant ensuite ce coéfficient par la somme des deux coédiciens d'homogénéité , on obtiendrait , en totalité , la quantité d’action motrice dépensée. Le ii*. tableau fci ait connaître en conséquence l'ouverture de vanne qui donnerait cette force motrice dépensée. A présent désignons par r le rayon extérieur de la roue hydraulique , par v la vitesse de la circonférence extérieure de la roue , par a la grandeur de l'ouverture de la vanne , et par m,n les deux coéfficiens d'homogénéité , et enûn par D la quantité de force motrice dépensée; nous aiuons l'équation

mv’-t- nv = D — v v ,

ou

mv-*-n = D/V — v — -j — - — y

qui donnera la valeur de v ;

3 (DVr (ar — a) — anr’)

^ (ar — ’

et connaissant cette quantité , la recherche des autres quantités ne présentera plus aucune difficulté et s'effectuera facilement.