SA P
dans lesquelles : ,
P exprime le poids moteur. ■**
P le poids primitif qui est tout au plus suffisant pour
produire une vitesse insensible.
b l’accroissement successif du poids moteur.
' *V la vitesse correspondante au poids total P.
V l’accroissement de vitesse correspondant à un ao-
croissement h dans le poids moteur.
n le nombre des petits poids b , ajouté au poids pri-
mitif pour produire la totalité du poids moteiu*.
< ittiuized by G< "igie
La quantité d'action motrice étant PV, on aiuâ une' quantité d'action qui sera exprimée par
v"(p-+-no)
et comme if' exprime xme puissance quelconque de la Vitesse , les deux membres de cette < équation . ne seront plus homogènes; et, * elle sera aussi absmde que la comparaison , ' d'Un choc avec une^ pression , ou , d'une quantité de mouvement avec .une .quantité d'action. •
38- Ainsi ces essais faits avec ime trop petite vitesse , et sur lesquels différentes causes imprévues et inaper^es ont pu influer, ne méritent aucune considération , et ne peuvent conti-edire notre' théorie et tous les faits précédens qui la confirment. Au reste , le lecteur nepourra conserver aucun doute après, le passage suivant de Giulomb , qui se trouve à la suite de ses remarques celte même '
expérience : « Mais il faut prévenir que l'on ne pourra regarder
une pareille formule {celle qui représenterait les essais précédens) que comme un à-peu-près , qui ne doit déterminer les lois des frot— temens relativement à la vitesse , que pendant les premières, heures où l’on soumet le traîneau aux expériences; qu’enstiite les Gott^. mens ne croissent plus dans une aussi grande proportion relativement aux vitesses ; qu’il arrive même que la vitesse cesse en entier d’avoir de rinfluence sur le frottement, après que le mouvement d’ime très-petite surface a été continué pendant long-temps sous de très- , grandes pressions. » Il faut entendre ici par frottement, le coéf- • ficient du frottement.
59. Nous avons déjà vu (aa) qu’il fallait distinguer 1a résistance qui provient de l’adhésion de celle engendrée par le frottement. La première ne se fait apercevoir que lorsque l’on veut sortir les corps de l'état du repos pour leur donner du mouvement , mais lorsque le mouvement est régulier, la résistance pro-
Tenant de Fadhiésion à disparu , et U ne reste plus d'autre résistance ({ue celle provenant du frottement. Ainsi j la force d'adhésion devant croître, jusqu’à une certaine limite , par l’effet du repos , et ne pouvant suivre les lois des frottemens , voyons, si ce ne serait pas elle , qui aurait occasionné les anomalies , que l’on remarque dans les essais que nous venons de rapporter. *
40- Prenons les expériences sur le frottement du bois de chêne, dont l’enduit était posé depuis huit jours, et avec lequel Coulomb avait fait plus de 5o opérations sans le renouveler. Le traîneau, dans cha^e expérience , avait parcouru toute la longuem* du madrier ; *par là, l’enduit s’était répandu paiv-toat d’une manière très-uniforme; il paraissait hqmogèhe , mais sa consistance avait changé , et il avait perdu beaucoup son onctuo*sité. L’accroissement du frottement relativement au temps de repos se faisait ^è$-lentement, et on pou- • vait espérer d’avoir ime loi suivie dans les opérations. Le traîneau ay'a& denji de longueur, et la surface de contact était
aussi ‘de 4 pieds et demi.
Trentième expérience de Coulomb. Le traîneau était chargé,
son poids compris de 58 1 o livres;
et en lui imprimant une vitesse insensible , on trou- ^ • vait qu’il continuait à se mouvoir sousqne traction de 5oa liv. Après un rppos de *a minutes, la traction étaitde . 790 • ...; 4 866
a6 io36
Après 16 heures.de repos « .... i535
41 . On voit que ces deux suites approchent beaucoup de celles représentées par les deux équations;
t={Uj"
dans lesquelles :
t désigne le temps, que l’on a laissé reposer le corps, avant de faire l’expérience. • •
a te temps , que l’on a laissé reposer le corps , avant de
faire la première expérience.
q l’accroissement du temps, que l’on a laissé reposer le
corps, dans chaque expérience successive.
P la totalité du poids moteur à un instant quelconque.
A le poids primitif trouvé dans la première expérience. .
h l’accroissement successif du poids dans les différentes
expériences. ' . , ’ • *
n le nombre d’intervalles de temps égaux h <7. * »
Dans cet exemple, quand </ est exprimé par 2, A' a pour valeur 81. L’on voit ainsi la grande analogie qui existe entre ce cas , et c^ui ^ où Coulomb s’est occupé «lu frottement des métaux, contre les • bois ^ ce «pii confirme la conjecture «jue nous avons émise , Vptè l’adhésion n’est pas étrangère aux causes qui ont ^oduit les'anomalies trouvées par cet observateur. ‘
42 . Les expériences, «jue Coulomb a faites sur les cordes , prou- . vent (jue leur^ frottemens suivent la même loi que 'ceux des autres corps, et qu’ils croissent comme les ‘carrés des vitesses. Ainsi, loi-squ’on aura une machine construite, il Sera très-facile de connaître par un petit nombre d’observations, quelle est dans tous les cas, la force consommée -par la machine marchant à vide.
43. Mais il faut bien faire attention de ne pas confondre les frottemens des cordes avec leuf roideur et leur. adhésion.
Ainsi, si les cordes ne sont pas laissées en rCposJ et «ju’on éprouve de nouveau leur roideur, on la trouvera quelquefois d’un tiers plus petite. Elle est plus sensible avec les gros.ses cxirdes et avec les neuves, «ju’avec les petites, avec les petits rouleaux, qu’avec les gros. Elle ne reprend sa limite qu’au bout d’un repos de 5 à 6 minutes.
Ainsi , dans un mouvement alternatif, tel que celui des sonnettes, la roideur de la corde serait moindre que celle assignée ordinairement; et il r»isulte de cette observation, que les parties de la corde pliée, ne se redressent que lentement. Malgré ses expériences, Coulomb a commis Terreur de faire la force consommée par le frottement , proportionnelle à la simple vitesse , au lieu de la faire proportionnelle au carré de la vitesse. SHl avait attendu, pour faire ses expériences , que le mouvement fût devenu r^ulier et uniforme; et s'il avait voulu calculer la force motrice consommée, il aurait bientôt reconnu son erreur. Il est vraisemblable, que la manière peu claire et même embrouillée, que Ton a employée jusqu’ici pour calculer les diSérens effets des machines, n’a pas peu contribué à Tempéchcr de tirer une conclusion si facile, et, qui se présente si naturellement à l’esprit, après que Ton a assimilé le frottement à la force de la pesanteur ou à la résistance de Tair. Si en se contentant de faire le frottement proportionnel à la vitesse , il l’avait pour- ‘ tant multiplié par l’espace parcouru, il aurait encore rencontré juste; et cette manière de considérer le frottement n’aurait eu que l’inconvénient de l’assimiler à l’action d’un poids moteur, ce qui n’est pas vrai; car ce dernier peut acquérir la vitesse par luiméme , tandis que la force vive consommée par le premier, ne peut avoir qu’une vitesse transmise par un autre corps,
De quelques cas où la force consommée par les frottemens ne suit que la simple vitesse , au lieu du carré de la vitesse.
44. Nous allons parcourir quelques cas particuliers où la force, consommée par les frottemens, ne varie que comme la simple vitesse, au lieu de suivre la loi du carré de la vitesse, que nous avons assignée jusqu’ici ; mais ces cas, au lieu de contredire la règle géné-
taie, ne font que la confirmer^ conune nous le montrerons , en les exam inant es uns après les autres.
. Des véhicules à roues. <
• • i ! t ’■> 1 ( ». iluailxiK
45. Pour examiner ce qui ^se passe dans un véhicule à iroues^ supposons un corps , posé sur un i plan ^ et mis enioutre., en laouvemeut, avec une vitesse unitoniic. parallèlement à ce plan. Si, dans la direction de la puissaucc, et entrci celte' dernière et le corps en mouvement, nous plaçons un dynamomètre; ce dernier' indi> quera une pression proportionnelle à la vitesse du corps en mou-' vement, ce qui est une conséquence immédiate de la loi du frottement, en raison du carré de la vitesse. •
Supposons à présent, que le plan, qui porte le corps, soit luimême mis en mouvement avec la même vitesse que le plan ; alors la puissance au lieu d'avoir à faire un effort proportionnel au earré de sa vitesse, n'aura plus qu'à exercer un effort proportionnel à la simple vitesse ; et le dynamomètre , au lieu d'indiquer une pres-^ sion proportionnelle à la vitesse, indiquera ' une pression constante et indépendante de cette vitesse. Ce cas est exactement (Fig. 4) celui de l'essieu d'une voiture, glissant dans l'intérieur de la boite amb de la roue ADB ; on voit que le corps mis en mouvement est l'essieu, le plan mobile est un élément de l’intérieur de la boite, qui a la même vitesse que la voiture. En effet, lorsqu’elle commence à être mise en mouvement, au rayon de la roue, qui d’abord appuyait sur le tenain, en succède un second, un troisième, etc. et par conséquent le centre de gravité du fardeau et de la voiture est toujours soutenu ; en sorte que l'on doit considérer la voiture , comme un corps, que l'on fait glisser sur un plan incliné, qui est, pour aûwi dire, le dévçlofg^meot de la roue. L'angle de ce plan incliné est donné par la tangente commune à
l’essieu et k la boîte, ou par le rapport du frottement. Ainsi la force qui servira à vaincre le frottement de l’essieu dans la boltq de la roue, sera dans le rapport de lu circonférence de la boite à la circonférence de la roue , ou dans le rapport de leurs rayons.
La même chose a lieu quand l’essieu est fixé aux deux roues et qu’il est mobile avec elles. Dans tous ces cas , si la vitesse est unil'orme , on aura la force consommée par les froltemcns, seulement proportionnelle à la simple vitesse.
46. Mais , pour cela, il faut que la voiture marche sur un terrain uni, et qu’elle ne rencontre aucun obstacle, autrement son mouvement ne serait phrs un mouvement uniforme, mais une succession de mouvemeiis uniformément accélérés', et alors les raisonnemens ci-dessus ne lui seraient plus applicables. Au reste ces raisonnemens ^ sont confirmés par les expériences que fit Rumfort avec sa voitme, pesant , tout compris , 1 060 kilogrammes. Sur le même terrain , et quelle que fût l’allm e de ses chevaux, il trouva toujouisquc le dynamomètre indiquait une résistance constante. Les différentes espèces de chemins éprouvés furent: l’accottçment en terre de la route de Versailles , la chaussée en empierrement de S‘.-Cloud , une partie de route sablonneuse , une autre partie de route très-sablonneuse.
De la manivelle.
47 . Le frottement, qui s’exerce au contact de la bielle AB (Fig. 5) avec le tourillon BD de la manivelle BC, présente le même phénomène que celui des brancards d’une voiture, reposant siu un essieu mobile avec les roues auxcpielles il est fixé ; et il croît , comme lui , dans le simple rapport dfe la vitesse. £n effet , C étant le centre 6 xe du mouvement de la manivelle , et BE un arc de cercle décrit de ce centre, et passant par le centre du tourillon BD, cet arc représentera l’espace parcouru par le bras de U manivelle. et de la bielle,
et sera proportionnel à la vitesse. Pendant une révolution entière de la manivelle, chaque point de la circonférence de son tourillon, viendra se mettre en contact avec le point D de la bielle; et ce mouvement sera semblable à celui d'une voiture , reposant sur le tourillon d’un essieu mobile et se mouvant, en même temps que les roues, qui sont fixées avec lui , et qui ont un rayon égal à celui BC de la manivelle. Ce raisonnement suffit, pour prouver que le frottement, occasionné par le contact de la bielle avec le tourillon de la manivelle , est proportionnel à la simple vitesse , et non au carré de la vitesse.
Du rouleau.
48. Soit (Fig. 6) un corps DB mu au moyen d’un rouleau AC reposant sui' le plan AA'; au commencement du mouvement, le corps DB est en arrière du rouleau , et son point de contact, avec le rouleau AC , se trouve au point B ; après que le rouleau a fait une révolution , il se trouve avoir repris la même situation , quoique transporté, en avant de sa première station, à une distance AA' égale à sa circonférence. De même, le plateau DB, au lieu de reposer sur le rouleau par l’intermédiaire du point B, a , pour point de contact, avec ce dernier, le point D, situé à une distance DB du point B, égale à la circonférence du rouleau, ou, égale à AA'; ainsi, le plateau se trouve avoir parcouru un espace double de celui parcouru par le centre du rouleau; l’espace parcouru par le coi*ps étant proportionnel à la vitesse, les frottemens , que le plateau éprouve poiu se mouvoir, ne croissent que comme la simple vitesse.
Det roues l^drauliques à aubes.
49. II existe plusieurs espèces de roues hydrauliques : les plus en usage sont celles à pots , où l’eau agit par son poids ; et celles
à auhes, oùTeau agit en dessous par l’excès de force, qu’elle possède*, sur la force acquise par la roue. Ces dernières , dont nous nous proposons de donner ici la théorie , ont été appelées , par les au- • teuJS, roues mues par le choc de l’eau, parce qu’ils croyaient que l’eau agissait contie les aubes continuellement par le choc. Cette dénomination parait être impropre ; si , comme nous le pensons, il n’y a effectivement choc que dans le premier instant où l’eau atteint les aubes 5 et si , quand le mouvement de la roue est devenu uniforme, il n’y a plus qu’une simple impulsion déterminée par la différence relative de la vitesse de la roue et de la vitesse du fluide.
En effet, si, quand le mouvement est devenu uniforme, on partage, par la pensée, à partir de la roue, l’eau, qui est près d’atteindre les aubes , en tranches parallèles à ces aubes \ on s’apercevra que les tranches qui sont près de la roue , n’ont qu’une vitesse peu différente de celle de cette roue 5 mais que cette vitesse s’accroit , à mesure qu’elles s’en éloignent, jusqu’à celles qui situées, à une certaine distance, possèdent toute la vitesse du courant. Les différentes tranches de l’eau motrice ne perdent, que successivement, leur excès de force contre la roue ; de manière que l’action de l’eau motrice se communique à la roue, par des tranches de liquide , cpii ont déjà perdu une partie de leur action propre ^ mais qui transmettent l’action des autres tranches, à peu près, comme le font la plupart des corps qui composent les différentes parties ou les différens organes des machines.
50 . Les roues à anbes peuvent donc être assimilées à un plan vertical , se mouvant en ligne droite, et recevant continuellement la pression de Feau motrice^ et c’est ce cpie nous tâcherons de prouver dans la théorie (pie nous allons exposer.
51 , La quantité d’eau restant la même, Newton qui s'occupa le premier de cette question , trouva que la quantité de force reçue par la roue croissait comme le carré de la vitesse du fluide.
52 . Paient, mémoires de l’académie des sciences 1704, observa le premier, que lorsqu’une roue à palettes était mise en mou-
. veulent par l’action d’un courant , la vitesse avec laquelle ces palettes étaient choquées , était la diflerence de la vitesse du coiuant, et de celle du centre d’impression ou d’impulsion delà roue. Mais il crut que c’était au carré de cette difTérence que l’impidsion était proportionnelle. Parent chercha ensuite l’expression générale de l’effet de la machine, c’est-à-dire, le produit du poids, qu’elle élevait, par la vitesse de ce poids , et trouva , que cette expression était un maximum, lorsque la vitesse du centre d'impulsion des aubes de la roue était égale au tiers de la vitesse du courant. Nous donnerons plus bas l’équation de Parent, d’après M. Navier, et ' nous tàclierons de montrer bien clairement en quoi consiste son erreur qui a été pai tagée par Pitot, Bélidor, Maclaurin et Albert Euler, et généralement par tous les mécaniciens,
53. Dans les mémoires de l’académie des sciences année 1767, Borda remarque, que, lorsque le mouvement est parvenu à l’uniformité, l’action instantanée du fluide sur les palettes, fait équilibre à l’action de la gravité sur le poids P ; ou ce qui est la même chose , que la quantité d’action, que le fluide perd à chaque instant, dans le plan du mouvement de la roue , fait équilibre avec la quantité d’action que l’action de la gravité donne, au poids P, dans le même instant.
En ne considérant qu’une seule palette de la roue , soumise à l’action de la force du choc , Parent et ses prédécesseurs trouvaient, en appelant V la vitesse de l'eau, et v celle de la palette , que le choc était proportionnel à (V — cl comme l’effet est nécessairement proj)ortionnel à la vitesse des palettes , multipliée par la force du choc, ils avaient représenté l’effet de la roue par v(V — y) ; d’où ils déduisaient, pour le maximum, a; égale jV. Mais, continue Borda, dans le mouvement dont il s’agit , il làllait observer que l’action de
Teau ne s^exerce pax conb e une palette isolée , mais contre plusieurs palettes k la fois ; et que ces palettes fermant tout le passage du petit canal, et ôtant au fluide la vitesse qu’il a de plus qu’elles, la quantité d’action perdue par le fluide, et par conséquent le choc qu’éprouvent les palettes, n’est plus proportionnel au carré de la différence des vitesses du fluide et des palettes, mais seulement, à la différence de ces vitesses. D’où il suit que l’effet est représenté parv(V — et non par v(V — v)’; et cherchant le maximum de v(V — v), on trouve V égale V.
54. Dans ces raisonnemens , que nous avons reproduits presque textuellement, on ne voit pas trop la différence que produit, sur les effets de la roue , la distinction entre le mouvement d’une palette isolée et le mouvement simultané de plusieui's palettes. Pour nous, la seule différence que nous puissions faire entre ces deux cas, c’est que si , dans le premier , les palettes sont assez écartées pour permettre de n’en considérer qu’une seule, il serait k ciaindre que le mouvement de la roue ne fût pas aussi régulier que dans le second cas.
55. Cette réfutation, qui n’est pas très-claire, n’a pas empêché M. Navier de conclure [Note ((la) pag. 33^, dernier alinéa], que personne n’avait encore remarqué que les solutions de Parent et de Borda étaient exactes toutes deux , et convenaient à deux cas differens: l’une, pour les roues mues dans un courant indéfini , et l’autre, pour les roues mues dans un coursier^ et que c’était prorbablement faute d’avoir fait cette remarque, que M. Girard avait cru, rpie les résultats de Borda et les expériences de Sméaton s’accordaient avec une théorie de Don-Georges Juan 5 d’après laquelle la résistance, dans les fluides indéfinis, serait proportionnelle k la vitesse. Les expériences, que Bossut a faites avec ime roue en petit, prouvent que le rapport des vitesses de la roue et de l’eau motrice, qui donne le maximum d’effet, est le même, soit que la roue
soit mue dans un coursier ou dans un courant Indéfini ; et 4{m «gale f , le même que celui donné par Sméaton.
56- Quand une roue à aulnes, supposée sans pesanteur et sans frottement , est mue par l'eau , et soulève un poids au moyen d'une corde qui s’enroule autour d’un arbre : d’après les lois de l’homogénéité , lorsque le mouvement est devenu uniforme , le poids soulevé, quoique sollicité sans cesse par l'action delà pesanteur, doit être censé en équilibre avec l’impulsion de l’eau contre les aubes. Or, le poids soulevé, sollicité continuellement par l’action de la pesanteur, devant être considéré comme exprimant une quantité de mouvement , ne peut être en équilibre et avoir sa force retardatrice neutralisée cpie par ime quantité de mouvement, c’est-àdire, que par une masse mue avec ime vitesse constante. La masse, en mouvement , qui lui est opposée , est Ici proportionnelle à la quantité du fiuide fournie, dans un temps déterminé, et multipliée par la différence relative de la vitesse de la roue à la vitesse du fluide. Ainsi , en désignant par P le poids soulevé , par V la vitesse du fluide, par v celle de la roue , et enfin par M la masse de l’eau dépensée dans une seconde, on aura
P = MCV— v),
et en multipliant ensuite, par v, les deux membres de cette équation, nous aurons la quantité d’action, déterminée par le poids, exprimée par l’équation
Pv = M(Vv)v. (<»)
57. M. Navier [Note (d!a), pag. 387] raisonne de la manière suivante, et remarque , que , pour la roue contenue dans un coursier, la masse du fluide, qui agit sur elle à chaque instant, est déterminée par la dépense de l’orifice qui lui fournit l’eau, et est àl)Solument indépendante de la vitesse de cette roue. Or, la masse du fluide
étant constante, la force d’impulsion ne dépend plus que de la vitesse relative, avec laquelle l’impulsion s’effectue, c’est-à-dire, qu’elle demeure proportionnelle à V — v ; et la quantité d’action reste proportionnelle à (V — v)v. Mais, dans un fluide indéfini, la masse du fluide, qui agit, à chaque instant, sur les aubes, est variable et proportionnelle à la vitesse relative^ en sorte que la force du choc est proportionnelle au carré (V— v)“ de cette vitesse, et la quantité d’action à (V — vjv. Ainsi, comme nous l’avons déjà dit, il distingue dans les roues à aubes deux cas: celui où la roue se meut dans un coursier , et celui où elle se meut dans un courant indéfini. Dans le premier cas, il emploie la formule précédente due à Borda; et dans le second , il applique la formule de Parent.
58. Pour faire voir l’erreur du raisonnement qui sert de base à cette distinction, remarquons que, dans le cas d’un courant indéfini, le mouvement de la roue hydraulique est aussi r^ulier et aussi tmiforme que dans le cas d’un coursier ; et que la masse de l’eau , qui vient agir contre les aubes d’une roue hydratilique mue dans un courant indéfini, n’est pas moins invariable , ni moins constante, que dans le cas, où la roue à aubes se meut dans un coursier.
D’ailleurs, si l’on faisait, comme Parent et M. Navier, dans un cornant indéfini :
P = MCV— v)‘,
et
Pv = M (V — v)’ V.
On aurait en substituant pour v, la quantité maximum d’effet les deux valeurs
