Chapitre Deuxième
Des courants d'air permanents et horizontanx.
§ 7. Isobares. Gradient.
Pendant le mouvement de Pair de nouvelles forces agissent et les surfaces de niveau du § 6 ne sont plus des surfaces d'égale pression. Considérons une surface d'égale pression ou une surface isobare pendant le mouvement, cette surface coupe les surfaces de niveau dans des lignes qu'on appelle isobares. Ici nous nous occuperons principalement des isobares à la surface de la terre.
En considérant la variation de la pression dans un point par Tunité de longueur, nous^ concevons que la variation suivant l'isobare est nulle et qu'elle a sa valeur maximum suivant
la direction normale à l'isobare. On trouvera la variation de la pression suivant une direction quelconque en projetant la variation maximum dans cette direction, ce qui est géométriquement représenté par un cercle dont le diamètre est ]a variation maximum. Voir la figure, oii n représente l'isobare, OJV la variation maximum et OP la variation de la^ pression suivant la direction P.
Dans la météorologie nous allons appeler le gradient la variation de la pression normale à l'isobare, exprimée en millimètres de mercure par un degré de méridien moyen. Soient G le gradient, dp l'accroissement infiniment petit de la pression, dn l'accroissement infiniment petit de la normale et |x une constante, on a
dn
La direction du gradient est désignée par le rumb du compas où se trouve la moindre pression. D'après la théorie des fluides il est évident que la grandeur -^ G représente la force
produite par la variation de la pression agissant par l'unité de masse. Cette force qui agit suivant la direction où la pression diminue, doit être ajoutée aux forces extérieures. On verra plus tard que le gradient est une gi-andeur petite et même dans les cyclones il ne dépasse pas les lOO"". La pesanteur g équivaut à la surface de la terre à un gradient égal à 10570"-.
§ 8. Forces qui agissent pendant le mouvement.
Pendant le mouvement de Fair il y a deux forces nouvelles qui agissent, savoir l'action de la rotation de la terre et le frottement entre les molécules de Pair et entre celles-ci et la surface de la terre. L'action de la rotation de la terre produit proprement dit deux forces, la force centrifuge, laquelle avec Tattraction de la terre produit la résultante g^ et la force dite centrifuge composée. Cette force que nous appellerons déviatoire, est perpendiculaire à la triyectoire de la particule d'air et dirigée à droite dans Thémisphère boréal et à gauche dans Thémisphère austral.
En désignant par v la vitesse de Tair, par o la vitesse angulaire de la terre et par B la latitude, on a
la force déviatoire = 2 o sin O. r. (1)
La vitesse est exprimée en mètres par seconde et
La force déviatoire de la rotation de la terre se trouve en considérant le mouvement d'un point relativement à la terre supposée en repos. Si l'on n'introduit pas cette force dans tous les problèmes dynamiques embrassant des mouvements relatifs à la terre, c'est parce que cette force déviatoire est très-faible en même temps que les trajectoires ne s'étendent pas à des distances considérables. Les courants d'air au contraire parcourent de grandes parties de la surface de la terre et les forces qui les produisent sont très-faibles. On peut donc s'attendre à ce que la force déviatoire de la rotation de la terre joue un rôle important dans les problèmes de la météorologie. Ajoutons que cette force étant perpendiculaire à la trajectoire n'influe point sur la vitesse du courant, mais tend seulement à en changer la direction.
Le frottement est au contraire une force qui tend à diminuer la vitesse. La théorie <;omplète du frottement entre les molécules d'air est très-compliquée et sera développée dans la deuxième partie . de nos études. Ici nous admettons que le frottement est une force tangentielle et opposée au mouvement. Quant à sa grandeur nous supposons qu'elle est proportionnelle à la vitesse, et en désignant par k le coefficient du frottement nous posons
la force de frottement == k, v. (2)
La théorie complète montre que la valeur de k dépend de la hauteur du courant, ^uand la hauteur du courant augmente, la valeur de k diminue, ce qui est conforme à ce que nous connaissons du coefficient du frottement de l'eau dans les canaux découverts. Pour des 'Canaux très-larges le coefficient du frottement est en raison inverse de la hauteur du courant.
En étudiant le mouvement d'une particule d'air il faut ajouter aux forces extérieures la force . tangentielle et la force centrifuge produites par le mouvement. En désignant par s le <;hemin parcouru et par R le rayon de courbure de la trajectoire, on a
la force tangentielle ^=^ — ^— (3)
la force centrifuge = -^ (4)
Ajoutons que les courants horizontaux se meuvent suivant la surface de la terre qui est normale à la pesanteur; par conséquent nous négligeons Faction de la pesanteur dans les problèmes suivants et les forces agissantes seront la force du gradient, la force déviataire de la rotation de la terre, la force du frottemeiit, la force tangentielle du mouvement et la force centrifuge du mouvement.
§ 9. Mouvement horizontal rectiligne et uniforme.
Quand le mouvement est uniforme et rectiligne, la force tangentielle et la force centrifuge disparaissent et nous allons établir l'équilibre entre la force du gradient, la force du frottement et la force déviatoire de la rotation de la terre.
Désignons par a Tangle entre le gradient et la trajectoire et décomposons les forces suivant la trajectoire ^jB et perpendiculairement à sa direction, nous aurons
fa
— (rCOsa = tv
— C sin a= 2 o sin ©• v
Par division nous obtiendrons
. 2(0 sin 8
tanga = - — , --
9a>sùwfi V
Dans rhémisphère boréal la latitude 6 est positive et
dans l'hémisphère austral est négative. L^angle a a le
même signe que et par conséquent le vent a dévié à droite dans Thémisphère boréal et
à gauche dans Thémisphère austral. Le rapport entre la vitesse et le gradient se trouve par
l'équation (1)
V tJLCOsa
Par les formules (3) et (4) on peut déterminer la direction et la vitesse du vent : par construction on trouve leurs valeurs de la manière suivante. Soit OB la direction du gradient et prenons deux distances OB et OA dans le rapport
OB: 0A^2(ù:k.
Décrivons un cercle avec le rayon OB et menons une
perpendiculaire AL à 0A\ faisons l'arc BD égal à la
latitude et menons DN parallèle k BO, nous aurons l'angle
AON=oi. En décrivant un demi-cercle avec le diamètre
OC^'—^j la corde OM sera égale à la vitesse v. p tc
Nous appelons l'angle a défini par l'équation (3) Vangle de déviation normale.
Tableau di
i rang]
le de déviation normale.
Coefficient du frottement Jk<=
Latitude
Quant au rapport entre la vitesse et le gradient, il dépend de la densité de Tair. En supposant la température égale à 0^ et la pression égale à 760<"", la densité p est égale à 0.13184, et on trouve les valeurs suivantes pour la latitude de 45^:
En supposant la température égale à 20^ et la pression égale à 740"", la valeur de -tt
sera augmentée dans le rapport de 1 à 1.102; en supposant la température égale à — 10° et
la pression égale à 770"", la valeur de -g- sera diminuée dans le rapport de 1 à 0.951.
A Faide du dernier tableau nous avons calculé le tableau suivant à la latitude de 45°^ les vitesses étant toujours exprimées en mètres par seconde. L'échelle de la force du vent est celle employée jusqu'ici dans plusieurs systèmes météorologiques de l'Europe; les nombres y ont la signification suivante: 0=» calme, 1= faible, 2 = modéré, 3 «assez fort, 4=.fort, 5-= trèsfort ou tempête, et 6 « ouragan. Les valeurs du coefficient du frottement sont les limites extrêmes que nous avons trouvées parles calculs préalables, savoir pour la mer et pour une surface irrégulière de la terre.
Force du vent
Vitesse
Gradient
Echelle 0-
mètres
ma
ma
§ 10. Gourants d'air horizontaux aux isobares rectilignes. La latitude est
supposée constante.
Quand un courant d'air permanent parcourt des isobares rectilignes, la masse d'air qui passe perpendiculairement aux isobares, doit être constante dans Tunité de temps. £n désignant par ^ Tangle entre le gradient et la tangente de la trajectoire, réquation de continuité s'écrit:
V, cos ^ =^ constante. (1)
Décomposons les cinq forces (voir § 8) suivant la tangente et la normale, nous aurons:
ÉrCOS^
hv + v-^ as
•Î-- ff sin iji = 2 o sin V -f- -^
En différentiant l'équation (1) on trouve
dî;==f?tang^d4' et en introduisant la valeur du rayon de courbure
R ^ ds on trouvera
^ G^ sin \i> = V (20 sine — t; ^j
Ces deux équations se transforment dans les suivantes:
a .- , , /, , 2<.>sin8 . ,\ -*^ 6r :*= ftr cos ^]> ( 1 H T — tang ^j
6r cos 4^ *» V ( t + v tang ^ ^ 1
= A; sin J> — 2 o sin 9 cos ç 4- -
cos ^ ds
En introduisant
où X est la distance suivant le gradient, l'équation (7) peut s'écrire
v cos ^ d (tang^>) ^ tang4> | ^^^^^^
k dx
L'intégrale générale de cette équation est
, aosinO , ^ tang ^ = — T h Ce
hx
vcosd;.
OÙ C est la constante arbitraire. Dans la nature il faut poser C= 0, parce que l'angle ^ ne varie pas jusqu'à l'inâni avec les valeurs croissantes de x. Alors on a
tang4>==
a^si nO k
= tang a
En substituant cette valeur de ^ dans l'équation (1) on verra que la vitesse devient constante et, par conséquent, d'après l'équation (2) le gradient devient également constant, pourvu qu'on suppose la densité p donstante, et dans ce cas les isobares sont équidistantes. Si Ton veut considérer la variation de la densité p, on introduit
dp = — \ï.Gdx et à l'aide de la formule (20) du § 5 on peut calculer la pression p. En général on peut introduire une valeur moyenne de la densité et la regarder comme constante.
§ 11. Action de la variation de la latitude sur les courants d'air horizontaux
aux isobares rectilignes.
Désignons par y l'angle entre le gradient et le méridien, la latitude 6 s'exprime par l'équation suivante
e = eo-t-Xa? (1)
