Chapitre Cinquième
Du frottement intérieur.
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§ 21. Courants d'air horizontaux de petite étendue.
D'abord nous allons regarder des courants horizontaux assez petits pour que nous puissions négliger Teffet de la rotation de la terre; nous supposons la densité constante. Soient <fig. 1) AB ^\, CD deux plans horizontaux qui renferment la masse d'air; supposons que le
Fig. 7. plan CD soit fixe et que le plan ^ jB se meuve avec une vitesse
9 uniforme F. Le mouvement de Fair aura donc lieu en couches horizontales de vitesses différentes: suivant AB \9^ vitesse de h/ l'air soit u^ et suivant C D la vitesse soit zéro. En posant l'hypothèse que le frottement intérieur ou la viscosité soit proportion- ^ nelle à la différence des vitesses de deux couches, on conclut que la vitesse décroit proportionnellement à la distance z du plan AB, Soit la distance des deux plans A, l'accroissement de vitesse par unité de longueur sera
,® et on trouvera la vitesse u à la distance z par la formule
u = îjj- (A-r) « tio - *'^^- ^. (1)
Le frottement intérieur par unité de surface que nous désignons par F. sera égal à un coefficient K multiplié par l'accroissement de vitesse et par conséquent
Le plan ^ J? se meut avec la vitesse F et l'air suivant ^J3 se meut avec la vitesse Uq\ la résistance entre l'air et le plan A B est proportionnelle à la différence V — t^^ et au coefficient de frottement f entre l'air et le plan ; par conséquent on peut écrire :
De ces équations on trouve
fV ""'^ ..K (4)
Dans le cas précédent la pression a été supposée constante. Nous allons regarder le cas où le courant d'air horizontal a un gradient; la vitesse horizontale u dépend seulement de la distance z et la vitesse verticale est zéro. L'accroissement de la vitesse par unité de longueur est ^j^ et le frottement intérieur est égal h K-j-- Regardons un parallélipipède dont l'épaisseur soit dz et dont la face soit l'unité, la résultante des frottements des deux faces sera
^ {K^j et la masse de l'élément sera pd^. La force résultante du frottement intérieur par
unité de masse sera donc ^^ "^ et cette force agit dans le même sens que la force du gra-
dient. L'équation de l'équilibre s'écrit
p p dz^
Le mouvement vertical étant zéro, le gradient vertical H disparaîtra et par conséquent la pression est indépendante de la hauteur z. On conclut donc que le gradient horizontal G est indépendant de z et constant. Par intégration de l'équation (5) on trouvera
-^du
dz
C — IJ.G z.
Pour déterminer la constante C on remarque que le frottement intérieur disparaît à une certaine valeur de z que nous désignons par h; en même temps la vitesse a sa valeur maximum U. Il est évident que le frottement est égal à zéro à la couche dont la vitesse est un maximum, parceque la vitesse décroît également de chaque côté et par conséquent la •dififérence entre les vitesses des deux couches est égale a zéro. En choisissant l'origine des
coordonnées à la distance h de la surface de la terre, on aura la constante C égale à zéro et par intégration de Téquation (6) on trouvera
Fig. s.
ILo
TT l^ ^ s
Soit la vitesse de l'air à la surface de la terre u^, on aura en posant z = h,
La limite supérieure d'un courant horizontal libre se trouve en posant w = o, et soit la
■valeur correspondante de ;2r = H, on a
'^-v-llw
De l'équation (6) on tire que le frottement à la distance z est égal à }^G z; à la surface de la terre le frottement intérieur est égal à lxG/^• le frottement entre la surface de la terre et l'air est égal \\ fuQ et par conséquent on trouve
Il Gh^= fuQ
-ou
? pA-"^"«-
Ici k désigne le coefficient du frottement ordinaire que nous avons introduit dans nos j)roblèmes antérieurs et on a
Cette équation montre que le coefficient du frottement k est inversement proportionne) à la hauteur du courant mesuré de la surface de la terre à la couche de la vitesse maximum.
Par des expériences sur la viscosité de l'air Clerk- Maxwell a trouvé la valeur de K à 0° égale à 0.001878. En introduisant cette valeur dans Téquation (7) on aura
Des expériences sur le mouvement des liquides montrent que les inégalités du fond produisent de petits tourbillons qui jouent un rôle important pour la loi de la vitesse. On est porté à poser la formule suivante
M»= V^ — OMG' zl (13>
La valeur 0.04 est tirée des expériences sur le mouvement de Peau dans des canaux.
§ 22. Courants d'air horizontaux de grande étendue.
Nous allons regarder un courant d'air horizontal qui se meut sur une partie de la surface de la terre assez grande pour qu'on ne puisse pas négliger l'effet de la rotation de la terre. La force déviatoire de la rotation de la terre est. pour le mouvement horizontal, normale à la trajectoire du vent et sa valeur est exprimée par 2 u sin 9. U, où o désigne la vitesse angulaire de la terre, la latitude et U la vitesse horizontale du vent.
Supposons que le mouvement du courant d'air soit uniforme, alors la vitesse et le gradient seront constants; les forces agissantes seront la force déviatoire de la rotation de la terre, la force du gradient et le frottement. Dans le cas spécial où le courant d'air se meut suivant une surface sans frottement, l'équilibre aura lieu entre la force déviatoire de la rotation de la terre et la force du gradient; par conséquent les deux forces doivent être opposées et leur direction doit tomber suivant la même droite. On aura alors
*^- G = 2 G) sin e U. (1>
La force déviatoire de la rotation de la terre étant normale à la trajectoire du vent,, on conclut que dans le cas où le frottemetU est zérOy le courant est normal au gradient^ c'est à dire que le vent se meut suivant Visobarc.
Le rapport entre la vitesse du vent et le gradient est exprimé par
[', = ^ : 2 G> sin H. (2>
Soit la presson 760*", la température 0® et la tension de la vapeur d'eau 0, on aura
U ^ 6.304 (? ~ sin e
et pour e =« 10<> 20° 30» 40° 50° 60° 70°
^ = 36.6 18.6 12.7 9.9 8.31 7.31 6.77 Nous avons supposé que la force du frottement, à la surface de la terre, est opposée
au mouvement de la particule d'air. Dans ce cas la trajectoire formera un angle aigu avec la ^direction du gradient. Le frottement ayant sa plus grande valeur k la surface de la terre et diminuant avec la hauteur, la vitesse de Pair et en même temps Tangle de déviation doivent augmenter avec la hauteur, ce que montrent aussi les observations.
A la couche qui sépare le courant inférieur du courant supérieur dans les systèmes de vent que nous avons considérés dans le chapitre précédent, le gradient doit être zéro et par conséquent la vitesse de l'air nulle. Ainsi la vitesse de l'air augmente avec la hauteur dans la partie rapprochée de la terre tandis qu'elle diminue vers zéro dans la partie rapprochée de la couche intermédiaire entre les deux courants. La vitesse de l'air doit par conséquent attein- -dre son maximum à une certaine hauteur.
Comme la force résultante du frottement intérieur ne tombe pas nécessairement dans la direction opposée au mouvement, la direction du mouvement de l'air dans la couche à vitesse maximum reste indécise. Probablement elle ne s^écarte pas sensiblement de la direction perpendiculaire au gradient.
Comment se rangent la vitesse et la direction du mouvement dans les diflférentes couches d'un courant? Voilà un problème à peine soluble dans Pétat actuel de notre connaissance -des lois que suit le frottement, et en Tabsence d'observations précises sur les gradients et les mouvements des couches supérieures de l'atmosphère.
§ 23. Courant d'air tournant.
Nous allons regarder une masse d'air tournante autour d'un axe vertical par suite du •mouvement de l'air environnant. L'air extérieur se meut à trajectoires circulaires et à vitesse constante et produit par le frottement intérieur une rotation de la masse d*air intérieure. Nous avons donc une masse d'air limitée par un cylindre, dont la vitesse est donnée et qui tourne autour d'un axe vertical par le frottement intérieur. La vitesse tangentielle U est une fonction de la distance r de l'axe, les isobares sont des cercles concentriques et le gradient tombe suivant le rayon. Les forces agissantes sont la force du gradient, la force centrifuge et la force déviatoire de la terre, lesquelles tombent suivant le rayon, et entin la force du frottement in- ^térieur qui agit suivant la tangente. Nous négligeons le frottement de la surface de la terre, de sorte que la vitesse est indépendante de la hauteur. La résultante des frottements intérieurs sur un élément agit tangentiellement et doit être égale à zéro, parce qu'il n'existe aucune force tangentielle pour établir l'équilibre; il en résulte que le frottement intérieur suivant une surface cylindrique doit être constant. Divisons la masse d'air tournante en tranches cylindriques qui tournent à vitesses différentes. Le frottement intérieur est dû à la différence de la vitesse Z7, mais en même temps le rayon r varie et avec celui-ci la surface frottante; il faut ^onc poser le frottement proportionnel k la variation du produit de la vitesse et de la surface irottante, divisée par Paccroissement du volume. On trouvera donc
j = û « constante (1 )
rdr
Par intégration on trouve
rf7= Jar' + b. (2)
Ici a et 6 désignent deux constantes qu'on peut déterminer de la manière suivante.
Soit la vitesse donnée de Fair extérieur 0^ à la distance rp et supposons la vitesse de la masse intérieure égale a zéro à la distance r^, on trouve
Il est bien probable que le rayon r^ dans la nature est égal à zéro, et Ton aura alors:
Le courant d'air tourne avec une vitesse angulaire constante. (Voir le § 14).
Pour déterminer le gradient et la pression nous distinguons deux cas sur Vhémisphère boréal.
1® Rotation contre le soleil.
Dans les cyclones de Themisphère boréal la rotation a lieu contre le soleil, le gradient est dirigé vers le centre, la force centrifuge et la force déviatoire de la rotation de la terre sont dirigées en dehors. On a donc
^ G = '^^ + 2 G> sin H (7 (5)
En posant ji G =- -,^- et en introduisant la valeur de U donnée par Téquation (4), on trouve par intégration, p^ étant la pression au centre, où Î7 = 0,
^ "" ^° =^{U' + 2iù sin e Ur). (6)
2® Rotation avec le soleil.
Dans les anticyclones de Thémisphère boréal la rotation a lieu avec le soleil; le gradient et la force centrifuge sont dirigés en dehors et la force déviatoire de la rotation de la terre est dirigée vers le centre. On aura donc
^ G ---2 G) sine U— ' (7)
^° ""'- = J (2 « sin e (/r - U^. (8)
L*équation (7) exige que la vitesse angulaire soit moindre que 2 o sin 9, parce que le gradient doit être positif.
