Chapitre Sixième

Systèmes de yent permanents.

§ 24. Systèmes permanents du premier ordre.

Dans la nature les tornados et les trombes représentent des exemples de cyclones du premier ordre, mais les observations météorologiques sur ces phénomènes étant très-éparses ne suffisent pas pour nous montrer les changements de pression et de vitesse qui y ont lieu. Nous ne pouvons pas encore par l'analyse mathématique construire un système de vent complet. Cependant nous allons considérer quelques cas simples qui montrent des analogies avec les systèmes de la nature et nous chercherons à en déduire des applications.

Dans les équations générales du § 19 nous négligeons les composantes X^, ¥q, Zq, X^

et r^ et nous regardons la densité comme constante. Les équations se mettent sous la forme,

1 dp du du du

p dx dx dy dz

1 dp dv dv dv , ,,.

g dy dx dy dz '^ ^ ^

. 1 dp dw dw dw

^ du , dv , dw ,^.

""-Tx + d^ + Tz (2>

En regardant le cas spécial, où on a

dw dv du dw dv du

dy djs dz dx dx dy

les équations (1) se réduisent à une seule. Désignons la vitesse absolue par F, on a

et ^~dp = —VdV — gdz (3)

et par suite

i>=l^o + i?(Fo»-F') + (7?(-^o-^). (4)

Ici Pq désigne la pression pour F= F^ et z^^z^.

Nous désignons la distance de Torigine des coordonnées par R et sa projection horizontale par r, la vitesse horizontale par C7, et par conséquent on a

x^ + y^ + z^ = r^'\-z^ = JR»

Premier exemple.

Les trajectoires sont des droites dirigées vers un centre fixe (fig. 9).

Nous prenons le centre fixe dans Torigine des coordonnées et mettons les équations des trajectoires sous la forme

X,, î/n Zt, jRn V

yo *o '"'0 Le calcul montre que ces équations satisfont aux

conditions que nous avons introduites ci-dessus. En

posant le temps < = 0, on a lî = B^» ^'^^ Ton conclut

que toutes les particules d'air se trouvent d'abord sur la surface d'une sphère dont le rayon est iî^. En dififérentiant x, y et -? par rapport à t et en introduisant w, v et %c (voir le § 19

équation (8)) et en éliminant les constantes arbitraires, on aura

u V xc V V a

X y z r K B} Pour a < 0, l'air afflue au centre et pour a > 0, l'air sort du centre. Dans un plan horizontal (z = constante) le gradient G se trouve par l'équation (3), en

{x dr

remarquant que ^ = ;>j » iî* = r' 4- ^r^. . . .

^ VdY p 2a»r [1 ' dr {JL ' JR* *

Mettons un plan horizontal à la distance z =^ — A = -2*0, et étudions les phénomènes

suivant ce plan, lequel peut représenter la surface de la terre.

Désignons la vitesse absolue au point A par Fq, nous aurons

nous trouverons

Posons r^=^^h

Il A (1 + 1»)»

Désignons par Po' la pression à un point assez éloigné pour qu'on puisse regarder la vitesse Y comme zéro, ( ^ =■ pj d'après l'équation (6)] nous poserons

On voit facilement que toutes ces formules dépendent seulement de deux constantes

ou paramètres, savoir la hauteur h et la vitesse maximum Vg. On peut changer le dernier paramètre et regarder la dépression D^ comme le second paramètre. La fonction de U nous

montre que la vitesse horizontale a une valeur maximum Uq pour Ç^ 1/ ; la distance r^ du point A au point oit Î7 a sa valeur maximum, est

Le gradient G a sa valeur maximum (?„ pour 1= l/ 5 6^

p H^y 5 2 F"o' ^'^ [JL '216 ■ h Or nous choisissons D^, exprimée en millimètres de hauteur de mercure et r^ exprimée en degrés du méridien comme les paramètres du système et ainsi nous pouvons établir les formules suivantes, en introduisant une valeur moyenne de p (0.1318 à la température de 0", la pression de 760"" et l'air sec).

La vitesse horizontale maximum f/^ = }/'30.éD^.

Le gradient horizontal maximum

La distance de & au point A La hauteur du centre absolu h =

La vitesse absolue maximum Vg = 2.6 Vg.

A l'aide des formules précédentes nous avons calculé le tableai la différence barométrique.

suivant, où D désigne

riYg

Vie. 10.

Dans la fig. 10 n

avons construit, d'après ce " -' ^ ^ J tableau, la courbe de la vitesse, la courbe du gra-

dient et la courbe de la pression qui déterminent le système des isobares. On peut comparer notre système de vent à la moitié inférieure d'un système de cyclone de la nature: probablement dans la nature le gradient maximum tombe au même point que ™ la vitesse maximum. La dépression D^ qui dépend

de l'état physique de l'air détermine la vitesse maximum ; le gradient maximum dépend de la dépression et de ta distance r^ laquelle dans la nature représente probablement le rayon du courant vertical. Le rayon r^ dépend de la hauteur du courant vertical. Enfin, il faut remarquer que

ilans notre exemple la vitesse verticale est très-grande; la vitesse Vq au point A représente la vitesse verticale à ce point. Mais d'un autre côté dans les systèmes de vent de la nature le mouvement de Tair diffère beaucoup du mouvement de Tair dans notre cas, parce que la surface •de la terre force les particules d'air à suivre des trajectoires d'une forme différente.

Deuxième exemple.

Les trajectoires sont parallèles à un plan vertical et passent par une droite horizontale (fig. 9).

Nous prenons le plan X Z parallèle aux trajectoires et Taxe Y comme la droite horizontale. L'ordonnée y disparaît et nous posons

u = V, x = r et R^^x^ + z\ Mettons les équations des trajectoires sous la forme

X z R \f 2at

En posant f«o, on a R^R^; par conséquent les particules d'air se trouvent d'abord à la surface d'un cylindre dont le rayon est Rq, En différentiant par rapport à f et en éliminant les constantes on trouvera

Pour a < 0, l'air afflue vers l'axe et pour a > o, l'air sort de Taxe. Le gradient G dans

un plan horizontal se trouve par la formule

a=. ^ ^P = p VdV p a^x .

\i.ax\kdx\i.R*

Menons un plan horizontal à la distance z=»Zq = — h, et étudions les phénomènes suivant ce plan.

Posons ï^o = y- et ^ — -T- et Do *■ I ? ^o'»

on aura m=«-,->-^ F.; (?- ^ ' ^

1+^' ^' ?- h (1+fV

La vitesse horizontale a un maximum Uq pour ^ = 1 et ti^ =* 1 Vq, Le gradient hori-

3 1/3 p F ' zontal a un maximum G. pour f — j/i et G. = i o a * h' ^" choisissant D^ exprimée

en millimètres et la distance de l'axe Xq = A, où la vitesse horizontale a son maximum, exprimée en degrés du méridien comme les paramètres, on trouvera:

La vitesse horizontale maximum T^ = |/51.5 D^.

Le gradient horizontal maximum G^= 0.G5 ^•

La distance de G, k l'axe verticale x^ = 0.58 x^. La hauteur de l'axe horizontale h =» Xq,

La vitesse absolue maximum F^ ■=» 2 Uq.

A Taide des formules précédentes nous avons calculé le tableau suivant où D désigne la différence barométrique.

Daprès ce tableau on peut construire les courbes de la vitesse, du gradient, de la pression et le système des isobares et l'on trouvera un système de courbes analogues aux courbes de la fig. 10.

On peut comparer le dernier système de vent à la moitié inférieure d'un système d'alizés du premier ordre de la nature et nous pouvons faire les mêmes remarques que sur le premier exemple.

§ 25. Système d'alizés du second ordre.

Les systèmes d'alizés ont mathématbiquement parlant une longueur infinie. Dans la nature la longueur est limitée, mais nous pouvons négliger les perturbations produites par les limites latérales. Suivant la surface de la terre le système d'alizés présente deux courants horizontaux qui affluent des deux côtés au minimum barométrique situé suivant une droite. Nous distinguons deux moitiés de chaque côté du minimum barométrique et chaque moitié a sa partie intérieure, dont la largeur soit r^, et sa partie extérieure. Le courant horizontal se meut dans Y\g, 11. la partie extérieure approximativement k hauteur constante et dans

la partie inférieure à hauteur croissante. Par conséquent la vitesse horizontale a sa valeur maximum U^ a la distance r^ du minimum barométrique.

Désignons la hauteur du courant extérieur par h et l'angle entre la vitesse maximum et le gradient par ^qî ^^ quantité d'air qui entre >-- j par unité de longueur est représentée par Uq cos «^^o *• Dans la par-

tie intérieure le courant se transforme peu ii peu en un courant vertical, dont la vitesse soit w^ et par conséquent on a la condition

tVQ Vq = Uq cos +0 /*. (1)

Il est probable que dans la nature le rapport— est assez petit pour qu'on puisse né-

gliger la vitesse verticale et la dépression verticale qui en résulte. Nous allons donc considérer les courants horizontaux à vitesse constante ou variable.

La latitude est constante.

Nous avons déjà traité dans le § 10 les systèmes d*alizés aux isobares rectilignes et à

vitesse constante. Maintenant nous posons

(7 cos «i^ = r^ + c X (2)

où la distance x tombe suivant le gradient.

En différentiant cette équation et en introduisant la valeur de C/ et de d f/ au lieu de V ti dv dans les équations (2) et (3) du § 10, on aura

"^ Gcos^= f/(fc + c + C7 sin ^ jj'l^). (3)

Si l'on élimine G de ces équations, on aura l'équation

G sin ^ = (7(2 6) sin e — C; cos <^ ^'^")- (4)

= (A; + r) sin iJ> — 2 g> sin 9 cos ^ + V ^

au lieu de laquelle on peut écrire

^^ ^'t' iT , rf(tang'i) ft . i^ /7 , NX , /-x

T =: j^cos ^ - , *^ = 2 G) sin O — (A; + c) tang J^. (5)

cos^da: ^ dx vi/or \/

On voit qu'on peut satisfaire à cette équation en posant le dernier terme égal à zéro. Alors on a

2osin0

L'angle de déviation 'it devient constant, et le premier terme de l'équation (5) devient aussi zéro. Les équations (3) et (4) se transforment en

'^ Gf cos il> = (fc + c) 6' \

* 6r sin ^ = 2 w sin • i; \

L'angle de déviation normal étant exprimé par la formule

. 2(0 sin 8

tang a = , - »

on aura

. , 2 G) sin 9 tang a ,^.

f/ ÎJL cos ^ ji sin^ ^^ G "" ? /c + c "" ?" 2 G) sin 9 ^^^

De ces équations on conclut: que V angle de d(h)iation ^ est constant pour un vent à vitesse variable et à isobares rcctilif/nes, mais qu'il diffère de Vangle normal a. Le rapport entre la vitesse et le gradient reste constant et s'exprime par la même fonction de la latitude et de l'angle de déviation que pour les vents à vitesse constante.

Le gradient croît proportionnellement à la vitesse et par conséquent îi la distance x. Il s'ensuit que la dépression entre deux isobares se trouve en multipliant la distance par la moyenne des gradients correspondants.

Quand c>0, le vent court à vitesse croissante et l'angle de déviation est moindre que l'angle normal. Quand c < 0, le vent court à vitesse décroissante et Pangle de déviation est plus grand que Fangle normal.

Si nous regardons une station située sur la côte de la mer et que nous remarquions que le coefficient de frottement est plus grand sur la terre que sur la mer, nous devons nous attendre à ce que les vents de mer, à une telle station, aient un angle de déviation plus grand que l'angle de déviation des vents de terre.

Considérons un système d'alizés oii Ton peut représenter la courbe des vitesses approximativement par deux droites (fig. 12). La courbe des gradients sera aussi représentée par

j,.^ deux droites et on aura, en posant le gradient maximum égal

à Gq, la dépression totale

Do = Go ^0. (9)

Dans la nature la vitesse est représentée par une courbe,

et au point où C/= Uq, la variation de la vitesse est zéro.

Par conséquent l'angle de déviation est égal à l'angle normal a pour la vitesse maximum.

En choisissant Do et r^ comme les paramètres du système on aura

le gradient maximum Gq

la vitesse maximum Uq = - — .-

Dans la voisinage de l'équateur on peut, avec p = 0.1199, a = et /: = 0.00002, poser Vq = 51 -^- Supposons que le système d'alizés ait une largeur de 2 r^ = 20® et que la dépression totale soit 2™", on trouvera G^ = 0.2"'" et U^ «= 10'.

La latitude est variable.

Nous employons les mêmes significations que dans le § 11, mais nous regardons seulement le cas où le gradient tombe suivant le méridien. Prenons l'origine à l'équateur, et posons

Ici le signe plus désigne que le gradient est dirigé vers le Nord et le signe moins que le gradient est dirigé vers le Sud. En supposant que la vitesse soit exprimée par l'équation '(2), on retrouve les équations (3) et (4).

En éliminant G de ces équations on aura

/7cos ^ '^ ^^^"^' ^'^^- = 2 G) sin e - (/; + c) tang +. (11)

En introduisant au lieu de sin 9, on voit que Téquation (11) est satisfaite par

tang + = -^.^"^-(e-e). (12)

I Car, en différentiant l'équation (12), on a

d(tang^) 2 G) dS 2c>a

dx k -f- 2 c dx k + 2 c

En substituant cette valeur et la valeur de U cos ^ d'après Téquation (2) on a

^Cq + Icx = a Cq + c e == (A + 2 r) e — Çc + c) ( ~ s)

\Cq = (k+ c) t

d'où 6-^-.

k + C En éliminant , des équations (3) et (4) on trouve le gradient

G = -^ U cos ']f{k + c + 2(0 9 tang ij;) (14)'

Le rayon de courbure de la trajectoire se trouve par l'équation

P ds dx

d^ cos ^ d «j»

De réquation (12) on tire

d'J; ___2« dB__ 2oX cos'^» (J-^ "~ A + 2 c rf X "" Â; + 2 c et on a ainsi

2 w A cos' 4* Il est évident que, pour chaque côté du point de la vitesse maximum, c change de signe et que dans la nature l'équation c = doit avoir lieu pour ce point.

Dans un système d'alizés on a deux courants horizontaux, Tun suivant la surface dela terre et l'autre dans les couches supérieures. Quant au dernier nous pouvons faire valoir les mêmes équations que pour le premier, mais faute d'observations le coefficient de frottement reste inconnu pour les couches supérieures. En négligeant la dépression verticale E, la somme des deux dépressions horizontales Dq k la surface de la terre et D aux couches supérieures, est égale à la différence de poids des colonnes d'air (voir le §20 (12)). On peut approximativement calculer cette différence par l'équation (4) du § 17. Pour fixer les idées nous supposons que l'air au point A ait la température virtuelle T^ = 298^ et le coefficient m = 6, si un courant ascendant a lieu. Au point B l'air calme a la température virtuelle Tq' =^ 294^ et le coefficient m' = 7. Si nous supposons que l'air se meuve de B jusqu'à ^ et y ascende, on trou-

vera par les formules du § 16 (6) que le courant ascendant a une hauteur de 4918"> et que la différence de poids des colonnes d'air est de 3.1""". Posons 2)0 = 2"" et 2)= 1.1""". Si l'étendue du système de vent B A est de 20^ on trouvera par les formules (10) Uq = lO*. Le temps qu'exige le courant pour se mouvoir de B h A, est exprimé en heures

9 " ' i Uo ' 3600

Si maintenant l'air de JB en 123 heures peut obtenir Tétat physique appartenant à l'air

de A, le système de vent a lieu, et, comme on voit, les paramètres du système sont déterminés

par rétat physique de l'air et de la surface de la terre. Si nous posons la distance B A = IQ\

nous aurons Dq= 12.5" et le temps = 103 heures, mais alors l'air de B arrivera à -4 avec une

température plus basse que la température de A et par conséquent la dépression diminuera et

le système de vent ne pourra être permanent.

§ 26. Système de cyclone du second ordre.

Nous avons déjà dans les §§ 12 et 13 traité les cyclones du second ordre par rapport au mouvement suivant la surface de la terre. Nous avons supposé que le courant horizontal ait une hauteur constante h dans la partie extérieure et que la vitesse horizontale croisse dans cette partie vers le centre et atteigne sa valeur maximum Uo à la distance r^ du centre des isobares. Puis le courant entre dans la partie intérieure où sa vitesse décroît en même temps que le mouvement se transforme peu à peu en un mouvement vertical. Soit la vitesse verticale moyenne Wq et l'angle entre le gradient et la vitesse maximum ^q, on a la condition pour que la même masse d'air passe du courant horizontal au courant vertical

= 2 7c r^ A Uq cos 4'o

• rJ Wr

'^0 = — Uo cos 4'o-

Dans les cvclones du second ordre le rapport — est probablement assez petit pour

qu'on puisse négliger la vitesse verticale et la dépression verticale i' qui appartiennent au mouvement accéléré du courant vertical.

Fj?- 13. La rotation du mouvement cyclonique est déterminée

par la force déviatoire de la rotation de la terre r(fig. 13). Nous avons supposé que le système de cyclone ait un minimum barométrique à la surface de la terre et un maximum barométrique aux couches supérieures. Il s'ensuit que la rotation aux couches supérieures est opposée à celle à la surface de la terre. Le courant vertical intermédiaire qui combine les deux courants horizontaux est par conséquent rectiligne. Les phénomènes sont inverses aux anticyclones. Cependant le peu que nous sachions sur les mouvements

des nuages de cirri semble indiquer que les axes de rotation du courant inférieur et du courant

supérieur ne tombent pas dans la même droite verticale.

Comme paramètres du système de cyclone on peut choisir la dépression Dq et le rayon

r^, lesquels dépendent de l'état physique de Tair. Approximativement on peut établir les relations suivantes entre la vitesse maximum Uq et le gradient Gq. Supposons que l^i courbe du gradient (fig. 14) se compose d'une droite et d'une courbe de l'équation

Fig. 14.

D'après le § 12 on a

et a'

[X " " cos a [j.

Dans la partie intérieure, la dépression est égale à

r r= r.. r zzz r

^0 ^0 jq6

fdp-^f^'rdr^^iGof]

et dans la partie extérieure, la dép/ession est égale à

r=:ro r = Tq

En négligeant le terme (-" ) on a, en remarquant que

Go =

la dépression totale entre le centre et le point avec le rayon r,

D, = a (i + log. nat. (;-)) + ^^;.

Si le rayon r désigne le rayon d'action du système, on peut le déterminer en donnant dans l'équation

à f/ une valeur conventionnellement faible. Dans les cyclones violentes nous posons r=i^ mètres par seconde. Il semble que le rapport de r^f:r tombe entre 2 et 10.

Le temps qu'exige une particule d'air pour parcourir la partie extérieure, c'est-à-dire pour aller d'un point à la distance r à un point h la distance r^, se trouve par la formule

J U ^ J iCOS 'i/n Z7n ^n cos Oft J

2 f '0 cos ij^„

(ar->

A l'aide des formules précédentes nous avons calculé les tableaux suivants. Dans la 6'^*^ colonne h est exprimée en kilomètres et ?r^ en mètres. On trouve la valeur de Lq par tâtonnement.

Cycl

one des

zones tem

pérées.

hearei

Cyclone de la zone tropique.