Vr-r

A l'aide de l'équation (3) on calculera facilement la variation de la pression dans les cyclones inscrites aux tableaux du § 26.

L'équation (2) n'a lieu que pour les premiers moments. Si le courant vertical est continuellement alimenté par un air hétérogène, le changement de la pression dépend aussi de l'humidité de l'air. D'après le § 5 l'air humide a pendant l'ascension une température moyenne plus haute que l'air sec. Si nous regardons approximativement t et t' comme des températures moyennes, nous déduisons la conclusion que l'air remplissant est plus froid et plus sec que l'air alimentaire. Si donc l'air entrant dans une cyclone immobile change son état physique et devient plus froid et plus sec, la dépression horizontale diminue peu à peu et la -cyclone se détruit après un certain temps.

Fig. 16.

§ 28. Système de vent instantané.

Nous allons regarder une colonne d'air de la hauteur l qui a été échauffée de sorte que la pression p au bout supérieur surpasse la

f' pression p* du dehors. L'air commence à sortir de la colonne et en même temps l'air entre au bout inférieur, mais la densité de Pair remplissant la hauteur z a une valeur p différente de la valeur p' de l'air de l'atmosphère calme et par conséquent le poids de la colonne diminue de sorte que la pression p^ à la surface de la terre décroit et produit une dépression Po —p^. La pression p^ diminue en même temps que

fg la vitesse verticale w du courant augmente jusqu'à une limite qui corres-

pond à la valeur maximum de la vitesse verticale, et dès ce moment le mouvement permanent a lieu. Approximativement nous pouvons négliger la variation de la densité due à la

pesanteur et nous posons la force qui produit le mouvement ascendant égale à ^^ ^j ' L'équa-

tion du mouvement se met sous la forme

H'^-'-fi"-'- <■>

La différence i)q — p est égale aux poids de la colonne d'air -ar à la densité p et de la colonne Z — r à la densité p'; par suite on a

En introduisant cette valeur on aura

De l'équation (1) on tire que la vitesse verticale croît jusqu'au moment où la pression a gagné la valeur

A ce moment la colonne est remplie de l'air de la densité p, ir = Z et le mouvement est permanent. En posant approximativement p' = p, on trouvera

et par suite

Po -P0-9I (?' - ?). (3>

d z En introduisant w «= , "^» l'équation (2) donnera par intégration

z^l{\—coi-U) (4>

«,=y^o'-yo

désigne la vitesse maximum.

La durée du courant jusqu'au moment où le mouvement permanent commence soit t^^ et on aura

En désignant par t et t' les températures moyennes de la colonne du courant et de la colonne de l'atmosphère calme, on peut poser approximativement

p^ 273 + T p ^îiTS-f-r

L'équation (5) se met donc sous la forme

Soit l = 1000™, T — t' = 6^ 273 + t' = 290, on trouvera Wq = 14.2» et la durée ^o = U0\ Le mouvement permanent a lieu autant que Tair alimentaire reste inaltéré. Supposons qu' après un certain temps t, l'air affluent suivant la surface de la terre entre au bout inférieur ^vec la densité p^ alors la colonne sera peu à peu remplie de l'air à cette densité en même temps que la vitesse décroît jusqu'à zéro, la pression Pq augmente jusqu'à p^' et le mouvement cesse.

La durée du mouvement permanent dépend de la quantité de Pair qui peut alimenter le courant. Si par exemple le système peut être regardé comme une cyclone radiale, on aura, en désignant par r^ le rayon du courant vertical, par r le rayon de l'air alimentaire, par h sa hauteur, et par t^ la durée

Si, au contraire, l'air alimentaire peut être regardé comme une couche dont la longueur est très grande comparée à la largeur, on peut s'imaginer que le système de vent consiste en une série de systèmes instantanés, de sorte que la cyclone se meut suivant la ligne moyenne ou centrale de la couche alimentaire (tornados, coups de grêle). Soit la largeur L et la vitesse de propagation TT, on aura

Lh W =Tzr\ îVo

et par suite

5 Tn" IVo Lh

Le temps t pendant lequel la cyclone passe par un point, est donné par l'équation:

2ro

Soit ro = 200'», h = 100", L «= 1200", on trouve W= 14.9" et t = 27-.

Fijr. 17.

§ 29. Vent de mer et vent de terre.

Nous regardons les vents de mer et les vents de terre comme des alizés variables du second ordre. Le vent de mer appartient au système d'alizés et le vent de terre au système

de contre-alizés. Pendant le jour la terre s'échauffe plus fort que la mer et par conséquent la pression p au bout supérieur de la colonne d'air augmente et surpasse la pression p*\ l'air sort de la colonne et en même temps la pression pa diminue, parceque le poids de la colonne diminue, et produit un courant horizontal qui est le vent de mer. Approximativement on peut négliger le temps nécessaire pour remplir la colonne de Pair de mer et Ton peut regarder la dépression po' — Po comme une fonction des températures.

Pendant la nuit la terre se refroidit plus fort que la mer, la pression p diminue en même temps que le poids de la colonne d'air augmente et un système de contre-alizés a lieu avec une dépression po — Po'»

La dépression qui dépend de réchauffement inégal de la mer et de la terre est une fonction du temps et de l'endroit et doit être déterminée par des observations. La dépression produit un courant horizontal qui commence avec une vitesse égale à zéro; successivement la dépression augmente, la vitesse croit et le courant s'étend de plus en plus jusqu'au moment où la dépression atteint sa valeur maximum. Puis la dépression et la vitesse du courant décroissent simultanément jusqu'au moment où le courant cesse.

Regardons le courant horizontal à un temps quelconque et désignons sa vitesse maximum qui a lieu près de la- côte, par I/o, sa longueur suivant le gradient par x, et la dépression en millimètres par Do, il est évident que Do est une fonction de Z7o, de x et du temps. Approximativement nous posons

"760- ^" = P ^" et en introduisant une valeur moyenne de p on aura

Si l'on suppose que la courbe du gradient puisse être représentée par deux droites et en exprimant x en degrés du méridien, on a

Do = i 6?o X, (2)

Le gradient Go se détermine par la vitesse Un par les formules connues

L^o l^. cos a

2osin8.

tang a = j^— ,

. 2 Uo cos a ...

par conséquent on a x = r (3)

Soit par exemple e •=: 30*», k = 0.00004, on a a = 61*>.25 et Go : £/o *= 0.09. Posons Do «= 0.5»", on aura Un environ de 7", Go = 0.63 et x= 1*>.6.

§ 30. Systèmes de vent mobiles.

Quand le minimum ou le maximum barométrique change de position suivant la surface de la terre, le système de vent est dit mobile. Le transport du minimum ou du maximum barométrique est accompagné du transport du courant vertical ascendant ou descendant, et la cause en est due à l'hétérogénéité de l'air qui entre au minimum barométrique soit à la surface de la terre soit aux couches supérieures. L'air alimentaire entrant produit un courant vertical nouveau en même temps que l'air remplissant supprime le courant existant, et par conséquent le courant vertical se meut devant le minimum barométrique et produit son trans-

port. Quand le minimum barométrique est situé aux couches supérieures, son transport est accompagné par le transport du maximum barométrique à la surface de la terre et inversement.

Dans un système de vent mobile la pression à un point quelconque varie avec le temps et cette variation de la pression est intimement liée à la vitesse de propagation du minimum barométrique ou de Tespace calme.

Soient x et y les coordonnées d'un point quelconque, ^ et tt] les coordonnées de l'origine mobile qui représente le minimum barométrique, on peut généralement poser la pression

En diflférentiant on aura

dt d^ dt * dr^ dt

Fi?:. 18. Désignons la vitesse de propagation par W et son angle avec

l'axe X par p, le gradient par G et l'angle de la direction de

celui-ci avec l'axe de X par (x, nous avons

dp d§ dp d-ri [dp!

T7cos? = ^f; dt

Wsin?^

dri.

.y dp dp. ^ . dp

a6rcosa=— 3^ = -y^ï uLGsina== j-

dx aj ^ dy

dp dr^

En substituant ces valeurs on aura

Désignons l'angle entre G et W par y et soit S la variation totale de la pression à un point quelconque (exprimée en millimètres par heure) et 5o la variation de la pression, si le système est immobile, on a

dp ^ 10333 1 d t *"■ 760 ' 3600"

760 3600 Substituant ces valeurs on aura

8 = 8o + 0.0324 G TTcos y. (3)

Si la pression reste invariable à l'origine mobile, on a

8<, == et par suite

6 = 0.0324 G W cos y. (4)

Au bord antérieur d'une cyclone l'angle y > tu et par conséquent h est négative et la pression décroît; au bord postérieur y <: x et la pression augmente.

Exemple, Regardons une cyclone mobile dont la pression du centre est constante et dont la vitesse de propagation est assez petite pour qu'on puisse considérer le mouvement du système comme un transport géométrique des isobares; enfin nous supposons que le rayon d'action soit assez grand et la vitesse maximum assez petite pour qu'on puisse appliquer le même rapport entre le gradient et la vitesse qu'au mouvement rectiligne. A la station A on

Fi?. 19.

a observé la vitesse Uj ■= 12" et la variation de la pression 8j « — O.ô""", à la station Jî on a observé U^ = 8" et ^2 = — 0.4""'. Posons la latitude nioyenne égale à 60" et le coefficient du frottement h = 0.00006, on aura Tangle normal a =. 64.^0 et le rapport G: f/ = 0.15. Par l'équation (4) on trouvera en substituant Gi = l.S""" et G^ = l.a"", W^ cosyi = — 8.0- et TTj COS72 = — 10.3». Soient ^ ET; et JB U^ les directions des vitesses, c'est à dire les directions v^raies des courants d'air, lesquelles sont différentes des directions observées par les girouettes, à cause des valeurs différentes du frottement dans le sein du courant d'air et à la surface de la terre (voir § 34), et faisons < U^AC^<U^B C=cl, le point d'intersection C est l'origine mobile où l'endroit du minimum barométrique. Menons Ca==» TTcosy^ et Ci = TTcos-fj et construisons un cercle par les trois points a, b et C, le diamètre Cd représente la vitesse de propagation W en direction et en grandeur.

Fig. 20.

§ 31. Vitesse de propagation d'une cyclone.

Comme nous venons de l'expliquer, le mouvement du minimum barométrique est dû à l'hétérogénéité de l'air. Au bord antérieur de la cyclone l'air alimentaire, dont la température

soit T^ entre et produit un abaissement de la pression que nous désignons par \. Au bord postérieur de la cyclone l'air remplissant dont la température soit Tj, entre et produit un accroissement de la pression dont la va)eur soit 82. L'air de la partie centrale de la cyclone a la température T et on a Tj > r > Tj. D'après l'équation (4) du § 27 nous posons

£n désignant la variation de la pression au centre par ho et en supposant que cette variation ait lieu à tous les points, on peut substituer successivement dans les équations (3) du § 30 Y = 7c et Y = 0; alors on aura

»i — 5o — 0.0324 Go W (3)

^j = 80 + 0.0324 Go W, En éliminant entre ces 4 équations on trouvera

Uo COS 'l>o

T7— 2.78;;" cos'J^o

Cto

Si Ton a ^ = a ("^i "*" '^2)» ^^ pression au centre reste constante ; si t est plus grande que la moyenne de t, et t^, la pression au centre augmente, et si t est moindre que la moyenne, la pression au centre diminue.

Posons par exemple: Uo = 30'", ^o = 7:2.% ro =« 4^ Go = 6.5""», t^ — t, = 10®, on a TT environ 10".

Pour Uo = 50*", +0 == 74^.7, r^ = 0.^1, G^ = 246»'", Tj — t^ = 2S ou a PT environ S".

Dans les cyclones des zones tempérées le rayon r^ est généralement assez grand pour qu'on puisse approximativement calculer le rapport Uo : Go par les formules déduites des isobares rectilignes. Dans ce cas la grandeur 2.78 7=^ cos 4^0 dépend de la latitude O et du coef-

Cto

licient du frottement k. En désignant cette grandeur par JB on a W=B—^ *'

La valeur de J3 est donnée dans le tableau que voici

Je = 0.00002 00004 0.00006 0.00008

Fig. 21.

Quant à la direction de la propagation d'un minimum barométrique, elle dépend de la trajectoire de Pair alimentaire. Soit c c' la direction de la vitesse de propagation W^ le minimum barométrique se meut de c à c' dans un temps infiniment petit dt\ en même temps une particule de Tair alimentaire se meut de a à a' avec la vitesse U. Menons ch^^c* a\ a' 6 4= ce', a' d J a c, 6 c J a c et 6 /*4= « c.

Posons c c' = d <j, aa' =^ dSf ca=^r, & a* = r + d r, < c' c a = 9, < c a a' «= ^, on a <ac6« — ^9, eas= — dr

ad^=»ae — bf a'd=^be + a'f.

En substituant les valeurs de ces grandeurs on trouvera cos ^ d 5 = — dr — cos 9 d a sin ij; d 5 = — r rf 9 + sin 9 De ces équations on tirera en substituant

d5= Udt et rfj= Wdt

da) dG)

d r L'cos <i i •{• Wcof, 9 rdt? "" Usia t — I-Vsinç

et par suite Vsiu'iidr — Urcos <^à<f= W(/(»-sinç.) (8)

Supposons qu'on ait Ur cos<^ constante et que l'angle >^ soit constant égal h. a. comme aux cyclones permanentes, on aura par intégration en déterminant les constantes arbitraires de sorte que 9 = pour r = r^,

t/„rocosa I tang a log. nat (*--) — 9 I ™ Wrsin 9. (9)

Par cette équation on peut déterminer l'angle 9 que l'air alimentaire parcourt pour arriver au bord intérieur de la cyclone.

Les équations que nous venons de développer s'appliquent aussi à l'anticyclone en considérant les couches supérieures où le minimum barométrique a lieu.

Premier exemple

Par l'équation (9) on calculera pour a = 40"

Ce cas s'applique aux cyclones qui se meuvent à peu près parallèles à la couche alimentaire et où l'air alimentaire parcourt un angle très petit pour arriver à la partie intérieure.

Sur l'hémisphère boréal le vent dévie à droite et tourne autour du centre contre Pj jj le soleil et par conséquent la cyclone

se meut autour de la couche alimentaire avec le soleil. Voir flg. 22. Sur l'bémispbère austral le phénomène est inverse.

Quand la cyclone passe par un point, la température augmente d'abord et pendant le passage du centre elle s'abaisse (voir la fig. 23). Les isothermes moyennes ou normales ne s'écartant en général pas beaucoup de la direction des parallèles du globe terrestre, on doit s'attendre à ce que la cyclone se trouve au sud de l'air remplissant et au nord de l'air alimentaire et qu'ainsi elle se meuve en général de l'Ouest à l'Est.

Deuxième exemple. Posons — = 10 et o «200".

Nous trouverons par l'équation (9)

pour a = 40" 45" 50" 55"

■i Dans ce cas-là la cyclone se meut aussi à peu près paral-

lèlement h la couche alimentaire, niais l'air alimentaire parais- **■ court environ une (lemï-révolution pour arriver h. j^ la partie intérieure. Sur l'hémisphère boréal la cyclone se meut donc autour de la couche alimentaire contre le soleil et inversement sur l'hémisphère austral. Quand la cyclone passe par un point, la température s'abaisse d'abord et puis augmente et pendant le passage du centre elle s'abaisse de nouveau pour augmenter enfin (voir la fig. 25), Les cyclones des régions intertropiques, au moins quelques-unes décrites par les météorologistes des Indes orientales, semblent appartenir à la dernière classe. D'alleurs les observations thermo- S métriques et hygrométriques dans les cyclones des basses latitudes sont malheureusement trop rares T\g. se. encore pour qu'il soit possible de déterminer la position de la couche alimentaire et la grandeur wf de l'arc parcouru par l'air alimentaire avant qu'il commence à ascendre dans la partie antérieure du cercle intérieur.

§ 33. Isobares d'une cyclone variable.

Nous distinguons trois cas.

1" Cyclone immobile.

Les isobares d'une cyclone immobile sont des cercles concentriques qui changent de grandeurs en même temps que le minimum barométrique varie. Les courbes d'égale variation de pression sont par conséquent aussi des cercles concentriques. La variation de la pression Sn est une fonction de la distance r. On peut approximativement déterminer la variation en calculant deux . cyclones dont les paramètres sont différents. Par exemple supposons que le rayon r„ soit le

même et que la vitesse maximum Un diminue pendant un certain temps. Far les formules des^ §§ 13 et 14 nous avons calculé les tableaux suivants, en posant 6 = bO" et il-=O.OOOlO.

Première cyclone U G b—hn

Seconde cyclone C a h—\

Of ,

Supposons que le rayon d'action de ces cyclones soit environ de 30" et qu'à cette distance la pression absolue soit de TOO""". La pression au centre h^ est donc dans la premièrecyclone de 722.13-" et dans la seconde de (24.40—, et l'accroissement de la pression au centre est de S.S?"* en même temps que la vitesse maximum a diminué de 1°. En ajoutant b^ à b — bo on trouvera la pression b et par suite on calculera l'accroissement de la pression à chaque distance r. Supposons que le changement ait lieu pendant 4 heures, on trouvera la variation \ en divisant les accroissements par 4.

o.oa

En construisant une courbe \ = f(r) on déterminera facilement la distance r pour ^o = 0, I, 0.2 etc., et on peut construire les courbes d'égale variation (voir la tig. 26),

1" Cyclone mobile à pression constante au centre. Quiind la pression au centre reste constante, la variation de la pression est déterminée par l'équation (4) du § 30 et on a- S — 0.0324 G WcoSY.

Supposons que la vitesse de propagation W soit constante. En posant T = q on a S

^^0, c'est à dire, la courbe de variation nulle est une droite qui passe par le centre et qm est perpendiculaire à la direction de la propagation du centre.

En posant •)' = et y = ir, et de plus G = Gg on obtient les valeurs maxima de 8, lesquelles par conséquent tombent à deux points à la distance r^ du centre suivant la trajec- .toire de la cyclone.

Les courbes d'égale variation se déterminent en général par l'équation G cos T = constante.

On construira facilement ces courbes à l'aide de la courbe du gradient.

Dans la partie intérieure, on a l'équation

Fig. 87.

et les courbes d'égale variation se mettent sous la forme

r cos 7 = const.

Elles représentent des droites perpendiculaires à la direction de la propagation.

A l'aide des valeurs de G inscrites dans le tableau précédent nous avons construit^ pour toutes les 0.2"'°, les courbes de la fig. 27, en supposant W— 10".

Si Ton veut construire les courbes d'égale variation de pression pour un temps quel^ conque, on peut construire les deux systèmes d'isobares par rapport aux temps donnés et puis déterminer graphiquement les courbes d'égale variation. II est évident qu'en choisissant deux instants assez éloignés pour que la distance des centres excède le diamètre d'action 2r, les courbes d'égale variation et les isobares elles-mêmes sont identiques, et que les variations maxima sont les centres des deux systèmes d'isobares.

3° Cyclone mobile à pression variable au centre.

Quand la pression au centre varie, la variation de la pression se détermine par l'équation (3) du § 30 et on a

h^\ + 0.0324 G W cos y.

La variation \ qui est une fonction de r, se détermine comme nous avons montré dans le premier cas où le système reste immobile. Posons TF— 10" et introduisons les valeurs de G et de h^ inscrites dans le tableau du premier cas, nous trouverons

A l'aide de ce tableau nous avons construit pour toutes les 0.2"" les courbes d'égale variation de la fig. 28.

>'if[, 88.

On peut aussi déterminer les courbes d'égale variation en construisant les deux systèmes d'isobares aux instants donnés.

§ 33. Isothermes des systèmes de vent.

Les systèmes de vent permanents exigent une température uniforme de l'air qui entre au minimum barométrique. En supposant que la température de l'air varie avec la pression à cause de la surface de la terre, il est évident qu'une cyclone permanente doit avoir des isothermes circuJaires autour de son centre. En outre, le système d'isothermes doit être permanent lui-même.

Si nous regardons une cyclone variable et immobile, les isothermes doivent être circulaires autour du minimum barométrique, mais elles peuvent varier avec le temps, de sorte que

les courbes d'égale variation de température soient des cercles concentriques autour du centre de la cyclone.

Dans le cas général où les isothermes ont d'abord une situation quelconque, le système de vent est mobile, et la trajectoire du minimum barométrique dépend de la situation des isothermes avant que le mouvement commence.

Les isothermes suivant la surface de la terre appartiennent aux particules d'air qui se meuvent sans vitesse verticale. Les trajectoires des particules d'air qui restent toujours à la surface de la terre se mettent sous la forme

y = yo + 9(0

«n prenant Taxe de X et de Y suivant la surface de la terre et en désignant le temps par t. Soit Péquation des isothermes pour le temps ^ = 0,

Si nous supposons que les particules d'air maintiennent leurs températures pendant le mouvement, on détermine les équations des isothermes à un moment quelconque en éliminant Xq et yo entre les équations (1) et (2)

Si au contraire la température d'une particule d*air varie, soit parce que la pression change sa valeur soit par ce que la surface de la terre produit un échauffement ou un refroidissement, on est obligé de regarder la température dépendante du temps en même temps que la particule se meut. Le problème sera très-compliqué et sa solution peut être effectuée approximativement par la méthode graphique en construisant les trajectoires des particules d'air et en y poursuivant les variations de la température dues à la pression et à la surface de la terre.

Premier exemple. Les trajectoires soient des droites parallèles à a6 (fig. 29) et la vitesse soit constante. Leurs équations se mettent sous la forme

X'^XQ+at; y^Vo + bt,

Supposons que les isothermes au temps zéro soient des droites parallèles î\ l'axe T, leurs équations se mettent sous la forme

En éliminant x^ on aura

x^f{^) + at, équation qui représente une série de droites parallèles à Taxe Y. On conclut donc qu'une isotherme mn se meut parallèle à elle même.

Deuxième exemple. Les trajectoires soient des spirales logarithmiques représentées par les équations

Fijç. 29.

ç = Ço — tang a log. nat. (y ^ *

dans lesquelles nous avons

dr dt

— a = r C/cos 0.

Fig. 30.

Supposons que les isothernies pour le temps zéro soient des droites parallèles à l'axe X, L'équation d'une isotherme ab (lig. 30) se met sous la forme

ro sin 9o = /(t).

En éliminant r^^ et Çq nous trouverons

Fig. SI.

sin (9 + i tang a log. nat. -^, ^l ^ J = yS + iat

Regardons la cyclone du § 32, où l'on a a = 48°. La valeur de a est l/rcosa, et en introduisant des heures et des degrés du méridien on aura

a=150.cos48''.-«-«X/^;x^ = 3.Q5.

Pour l'isotherme ab /(t)«12® et nous avons calculé sa position au bout de 2, 4 et G heures. Au lieu de déterminer le mouvement des isothermes on peut étudier la variation de la température et construire des courbes d'égale variation. Dans un temps assez court le centre de la cyclone passe de (/ h, O*' (fig. 31) et nous regardons la position moyenne 0. Une particule d'air parcourt le chemin o6 = efe.et nous supposons qu'elle maintienne sa température. Alors la température au point b sera changée et l'accroissement de la température dx sera égale à la différence de la température entre les isothermes qui passent par a et par b. Appelons la variation de la température pour un degré du roéiidien mesurée perpendiculairement à l'isotherme suivant la direction où la température diminue, le gradient thermométrique. Soit ac la direction du gradient thermométrique J, et menons b c [a c, la température est la même en 6 et en c et

a c l'accroissement de la température de a à 6 est de J q* En introduisant ac^=^ds cos y et la

valeur de 1^ on a

dz = —g J cos y ds.

Désignons la variation de la température par heure par i, on a

En remarquant que £/«="» on trouvera

i = 0.0324 JJ7cos y.

L'angle y dépend de l'angle y entre le gradient thermométrique et l'axe et on a

Par conséquent on trouvera

i = 0.0324 J (7 cos (9 + q^ — y). (3)

A l'aide de cette équation' on peut construire des courbes d'égale variation de température. En supposant y constante on aura pour i = 0,

9 = — i|» 4- Y = constante.

La courbe de variation nulle est une droite qui passe par le centre de la cyclone. Il est évident qu'il existe une relation entre la vitesse de propagation W et le gradient thermométrique J. Selon l'équation (6) du § 31 on a

W = 2.78 ^^cos^o -"-'"'

La valeur moyenne du gradient thermométrique (voir la fig. 20) est approximativement : et par suite

On a donc dans les exemples page 31

Troisième exemple. Les isothermes soient des droites parallèles. Regardons une cyclone et distinguons la partie intérieure où Ton a Î7 — C/j r et la partie extérieure où l'on a Z7r = iw. En substituant ces valeurs dans l'équation (3) on trouvera pour la partie intérieure

Fifc. 32.

ce qui représente une droite a 6 à la distance c de Porigine , et l'angle entre l'axe X et la perpendiculaire c • est — y.

Pour la partie extérieure on trouvera