jq

oÂÙ

Négligeable.

o.ooa

laérn.

Zéro.

Idem,

Nappe limite.

C) h^ ordonnée do poiiildi; faite.

!**) 6 ordonnée de In pliui grande prorondeur.

('- Xu ebscitse du poiitl dr pins (rmndr prufoiid

piir.

Les figures 33, pi. IX, reproduisent les traits principaux des courbes du tableau D.

On y observe notamment comment, à mesure que la pente hydraulique augmente, le point de faite et le point de profondeur maxima sMcartent progressivement du milieu de la nappe totale. On voit en même temps décroître rapidement le volume de la nappe du contreversant, qui devient à peu près négligeable dès que cette pente s^élèvc à 0,60 ou 0,70.

Le terme z agit donc comme une pente, bien que son augmentation puisse être plutôt reffet d'une diminution du terme S que celui d'un accroissement réel de la pente géométrique.

2* cas. e= a^. — Nappe limite. — L'équation (36) devient, dans ce cas :

équation qui donne par fintégration :

log nep {S — y) + > ^^, = — log nep y -[" const.

On déterminera la constante par la condition que pour a; = a , y = o , y == ~ 00 eï yj' = — ^^a (équation 3 «5).

On trouvera finalement :

log nep

J»fl ~ ^-i/"

A Torigine on devrait avoir a?= o, y' = e= aJ, mais le logarithme devient imaginaire. On a donc nécessairement b^ = o. L ordonnée maxima de la courbe se trouvera en faisant y =" o , ce 4|ui donne :

log nep ^ «= — 1 , d'où ^ =« - «s 0,368. LVquation (35) donne ensuite pour Tabscisse du point de plus grande profondeur :

18. Happe permanente d'aiflenrement coulant sur un fond incliné. — 3« cas.

Happe à un seul versant. — Dans ce cas, le radical 4 /l — P de l'équation (36 bis) est

réel, réqnation (36) peut encore être intégrée, mais le résultat est différent de celui qne nous avons précédemment obtenu.

En analysant ce résultat, on reconnaît que, dans ce cas, il pourrait y avoir une nappe à profil rectîligne si le fond de la nappe avait une longueur indéfinie, ce qui nrlut Texistence d'une source.

Cest ce qu'on peut démontrer directement de la manière suivante ((ig. 3 A, pi. X). Soient :

Oor, le fond imperméable;

MN, une section quelconque;

y =^ û>j, IVquation de In nappe.

L'équation (35) donne, en y faiBant y'=»^x, y -«^^ et en sopprimaot le facteur commua x :

Cette équation a deux racines réelles :

Il y a donc deux nappes possibles à profil rectiligne. ^écoulement peut se faire avec une nappe plus profonde et une pente moindre, c'est la nappe ^, ou avec une nappe moins profonde et une pente plus forte, c'est la nappe (e — ^).

Dans rëquation (36) décomposons la fraction rationnelle du premier membre en fractions simples. Nous arriverons à Téquation suivante t

On peut intégrer immédiatement, et Ton trouve : (^7) -7^1<>giiep((p~y')+^f^lognep(e-^9-y) = lognepi+consL

On peut poser :

{u^ bis) ^ '

n étant un nombre positif quelconque, et Ton aura :

Pour déterminer la constante, nous considérerons le point de plus grande profondeur, pour lequel on a :

y«o y«ft ^.==5î- Supprimant les logarithmes, nous trouverons finalement Téquation suivante :

Remplaçant dans cette équation y par sa valeur tirée de Téquation (35), (m aura une équation qui ne contiendra plus que x et y. C'est Téquation de la courbé de la nappe.

Pratiquement il est plus simple de considérer y' comme variable; Téqaation (&8) donne la valeur de y, et Téquation (35) donne ensuite la valeur de x.

--^••( 55 )*«4' — Od en tire :

Faisant d'abord y'=»— co, ce qui correspond au point terminai A de la nappe du versant, l'équation {U8) donne :

A mesure que y diminue en valeur absolue, y augmente. Pour y'^^o, point de plus grande profondeur, on retrouve la valeur y=b. Puis, à mesure que y s'approche de la valeur y' = <p, la valeur de y va en diminuant* ¥3le s^annuie pour y ^^.

C'est le sommet de la nappe , car Téquation ( /19) donne alors :

ar«»o

// n'y a pas de cantreversant.

Ces résidtats sont reproduits sur le tracé Vtl de la figure 33, pi. IX.

Dans le cas limite déjà considéré où e« 9^, on a ^ =«= -1 la nappe est tangente à Torigine à la biasectrice de Tangle d^inclinaison du fond.

Pour avoir la longueur de la nappe, il faut chercher la limite du produit yy' lorsque y tend vers — 00, et l'égaler à — S^a (équation 35).

On trouve ainsi :

Ordonnée de la plus grande profondeur. — L'équation (69 bis) peut s'écrire :

(kqbiê) b S / (p \n

èa t — ^\«— Ç/

Lorsqu'il s'agit de nappes à un seul versant, le rapport z varie de 1 & -('^* ^^^^ ces conditions, il est difficile de représenter graphiquement les variations de l'ordonnée de plus grande profondeur en fonction de z.

Nous prendrons ici pour argument Vin verse de £, qui varie de 1 à zéro, lorsque z Tarie de 1 à -|-oo«

Employant encore un angle auxiliaire û), nous poserons :

(bo) ~ = - = sinc.;,

et comme nous avons posé (équations /i6, /17 bis) :

nous aurons :

— - ^laniî - ;

= (taiig^y;

1 1 — cos«

n s CM 0»

Portant ces valeurs dans l'équalion (Aq it$), on trouvera

Au moyen de cette formule facile à calculer par logarithmes, on pourra obtenir Tordonnée de plus grande profondeur i, en fonction de la longueur de la nappe.

Les équations précédentes nous ont permis de calculer le profil de nappe correspondant à 2=i,5o (fig. 33, profil VII).

Comparé aux profils des nappes à deux versants, ce dernier est beaucoup plus mince. Il commence en pointe, affecte une direction presque rectiligne jusqu'au point de plus grande profondeur et s^abaisse ensuite rapidement par un Irac^ courbe jusqu'au point terminal, position de Tunique source de la nappe, point où la tangente est verticale.

Volume de la nappe. — Durée de formation. — La formule && est applicable à Tëvaluation du volume de la nappe. Mais ici (q=o. La formule se réduit à :

(53) y^^s^u^^su.

z étant plus grand que Tunité, on voit que le volume diminue rapidement & mesura que la pente hydraulique augmente. Les nappeê à un seul versant ne présentent donc pas la stabilité et la constance du débit qui appartiennent aux nappes à deux versants.

On a , pour le débit de la source unique :

Divisant V par q^ on aura ce que nous avons appelé la durée de formation de la nappe, en supposant que le service de la source soit interrompu. Ce temps est ici :

Cetle dernière formule fait ressortir nettement Tinstabilité des nappes pour lesquelles la pente du fond est grande, lorsque en même temps le terrain est très perméable.

19. Nappes de remous. — Nappe du 2* genre ou concave et nappe du 3« genre ou convexe. — L'étude que nous venons de faire s'applique aux nappes qui

aboutissent à une source sur le versant. Ce sont les plus communes et les plus intéressantes, mais la formule fondamentale (36) :

renferme encore d'autres solotions. Si le dénominateur du premier membre est positif, il est éûdent que y" est négatif et que la nappe est à profil convexe par le haut.

Cela arrive nécessairement pour toutes les nappes à deux versants. Celles-là ne peuvent jamais aToir un profil concave.

Pour les nappes à un seul versant , cela arrive aussi nécessairement lorsque y n'est pas compris entre les deux racines de Téqus^on :

que nous avons appelées ^ et (e — (p), et qu'il est, ou plus petit que la plus petite ^ de ces deux racines, ou plus grand que la plus grande {e — (p).

Les nappes que nous avons étudiées au paragraphe i8, dont le faite a une ordonnée mille et qui possèdent une source unique située sur le versant, sont du premier genre. Dans ces nappes, la tangente y' est toujours moindre que (p.

Nous appellerons nappes du 3* genre celles dans lesquelles la tangente y est toujours plus grande que (e — <p). Celles-là sont encore déforme convexe.

Le deuxième genre comprendra les nappes intermédiaires, dans lesquelles la tangente y' est comprise entre ^ et (e — ^). Pour ces nappes, y* 'est toujours positif ; ce sont des nappes concaves ^ et par conséquent sans sources.

Nappes du 3^ genre, convexes, à deux versants et une seule source située sur le contreversant. — On a , dans ce cas:

On trouve, pour l'intégrale de l'équation (36), en suivant la même marche que ci-dessus :

C étant une constante, nécessairemjent positive.

Comme l'ordonnée y ne peut pas être négative, on en conclut que y' est loujours supérieur à (e — Çi).

Cette nappe a nnfaîu qui correspond à :

Ap]^lant comme d'habitude b^ Tordonnée au faîte, ou aura :

telle e»i l'équation de la nappe.

Du cAté des x positifii) y va «a diminuant et tend Ten (« — ^)^ Yaleur ao^eflaous de laquelle il ne peut pas descendre; il ne Tatteint qu'à Tinfini. L'ordonnée de la nappe augmente indéfiniment.

Du côté des xx négatifs, la nappe s'abaisse. A mesure que y' augmente indéfiniment, y tend vers zéro. 71 y a donc une source de contreœrsant.

Lorsque y' tend Yors Tinfiid, le produit yy' tend vers :

et l'équation (35) donne, pour ia distanw de la aouree va fatte :

Avec les deux équations (87, 58) on peut construire ia courbe 3 représentée dans la figure 3/i étâ, pL X.

Nappât du 2^ genre, à pro&l concaTe, sans aonrce. — On a, dans ce cas :

et réquStion k laquelle on parvient par Tintégration de Téquation (36) est la suivante :

C étant une constante positive.

y' ne peut varier qu'entre ^ et (e — (p). Pour :

y^^^ y=ïéro, x— 0 ;

y'="« — ^, y=oo, j:=4-oo.

On pourra déterminer la constante en fonction de la hauteur que prend la nappe pour y'= -, et on aura, en appelant b^ cette hauteur :

C'est l'équation de la nappe.

Ce qui caractérise les nappes des 3* et 3* genres, c'est que, du côté du versant, leur hauteur va en croissant indéfiniment. Cette circonstance exige que leur niveau soil soutenu du côté du versant par une autre nappe qui leur fait suite ou par un réservoir d'eau tel que le serait une rivière ou la mer.

C'est la hauteur de cette retenue qui détermine la forme de la nappe et le genre auquel elle appartient.

C'est ee qu'on iroit sur U figure 3& Ur, où Ton â repréteuté lai profils de nappes coDstmites avec les données suivantes :

Pente e=o",02.

^«o^ooS (terrain perméable).

On suppose la nappe retenue par Teau d'un r^ervotr établi à i.56o mètres de distance du faite.

Les eaux descendant k la cote zéro, on a une nappe à un seul tersant du i*^ genre, tracé 1 , dont la source est située au bord du réservoir.

Les eaux s'élevant à la cote lo^'yâo, on a une nappe du 3* genre, tracé s, concave et semblable aux courbes de remous de gonflement de ta figure 1 1 , pi. IV.

Les eaux sVIevaot à la cole 39"',&8, on a une nappe du 3* genre convexe, tracé 3, ayant une hauteur au faite de 5 mètres et donnant naissance à une source située sur le contreversant à 187 mètres de distance du faite.

Les nappes du a"" genre se rencontrent quelquefois. On en trouvera un exemple dans l'étude que nous ferons des captages de la ville de Liège.

Les nappes du 3' genre doivent être plus rares, bien qu'elles soient suseeptibies de se produire dans les terrains qui versent directement leurs eaux dans la mer.

Quoique, dans ce cas, les nappes aient eflectivement deux versants, comme elles n ont pas de source du côté du versant, nous continuerons à appeler nappei à un seul vergant toutes celles pour lesquelles on a :

20. Pente hydraulique. — Ainsi qu'on a pu le voir par l'analyse qui précède, c'est le rapport z ou /~| qui règle la nature et la forme des nappes aquifères, doù résulte la proposition suivante :

Proposition. Tant que le rapport -^ est infirieur à Xy h nappe est à deux versants; ^U est supérieur à i^ la nappe est à un seul versant.

Ce rapport contient au numérateur le terme e qui représente l'influence de la gravité sur l'écoulement des eaux, c'est ia pente du fond.

Au dénominateur, le terme S représente une double ioAuence. On se rappelle qu'on a posé (équation 33) :

-est l'apport pluvial, la quantité d'eau qui parvient à la nappe par seconde et par mplre carré.

- est un coefficient proportionnel à la résistance du sol au mouvement des eaux.

— M.( 60 > Le terne ^ repré$mte Ame à la fois Finfiuênce miiiorohgique et tinfluenee géologique,

H est remarquable qu'un seul terme -^ suffise à représenter ces influences multiples.

-^ est vraiment la pente effective de la nappe. C*est pourquoi nous proposons de lui

donner ie nom de pente hydraulique, par opposition à la pente du fond, qui est la pente géométrique du sol.

La transformation des nappes à deux versants en nappes à un seul versant, ou réciproquement, peut se faire par ie changement de la pente e ou par celle du coefficient S seulement.

Pour préciser, reprenons Texempie numérique cité au paragraphe i5. Nous avions supposé une nappe en ellipse avec les données suivantes :

m==o,io |!X= 10.000 ; L»:!ia=:^/i.ooo mètres.

Nous avions trouvé, pour l'ordonnée maxima : 6 s=5o mètres, et, pour la durée de formation : 3o ans.

Daos cet exemple, on a, pour le coeflBcient d'apport pluvial, caractéristique du terrain (équation 34 bis) :

Nous avions trouvé, pour la durée de formation do la nappe en ellipse : Remplaçant b par sa valeur a^et a par -, ce temps peut encore s'exprimer par :

Si Ton rapproche cette formule de celle qui a été trouvée plus haut pour la nappe à un seul versant (équation 53) :

on voit que les durées de formation pour une nappe en ellipse et pour une nap|)e à un seul versant de même débit permanent sont entre elles comme - est à -* Si la pente du sol, supposée d'abord nulle, est égale à o,o5, on trouve :

fl X 0,095

La nappe est une nappe limite, et la durée de formation est de i9 ans i/a. Si cette pente est égale à o,io, on trouve z ;= â , et la durée de formation s'abaisse h 6 ans i/&. Mais si, tout en ayant la pente de o,o5, au lieu d'avoir affaire à un

massif de terrain peu perméable ^ on a un massif de gros gravier pour lequel m>=o,3o , f£^9oo ; dana ce cas, £= lo et la durée de formation s'abaisse à 3 mois»

Une pareille nappe ne peut avoir qu'une existence intermittente. On en observe de semblables dans beoncoup de terrains.

De ce qui précède nous pouvons conclure que, dans les nappes à deux versanis, la source principale, celle du versant, a un débit relativement uniforme. Le débit de la source du contreversant est beaucoup plus instable.

I^s sources des nappes à un seul versant ont un débit encore plus instable, et co débit peut même n'être que temporaire, lorsque la pente du fond imperméable est forte ou que le terrain est très perméable.

Ces aperçus, mis en évidence par la théorie, sont conformes aux faits observés.

21. Tableaux numériques E, F et graphiques S5, 36, pour la construction des profils des nappes à deux versants ou à un seul versant. — Les formules qui donnent les ordonnées d'une nappe à deux versants ou à un seul versant renferment des logarithmes et aussi des arcs-tangentes. Leur emploi est un peu laborieux.

D'un autre côté, il est indispensable de pouvoir tracer les profits des nappes dans certains problèmes concernant les captages.

Nous avons donc cru devoir calculer et dresser des tableaux numériques et des graphiques pour faciliter l'application de la théorie.

Ces tableaux sont au nombre de deux : E et F.

i' Le tableau £ donne les constantes numériques des nappes, c'est-à-dire les coordonnées des points principaux d'une nappe, \e faîte et \e pinnt de pbu grande jnihfondeur.

â° Le tableau F donne les coordonnées de divers points quelconques, en nombre suffisant pour pouvoir tracer assez exactement le profil d'une nappe.

Rappelons que les coordonnées sont obliques. L'axe des xx est dirigé suivant le fond imperméable, et l'origine des abscisses est située au pied de la verticale du point de faite.

L'axe des jfy est vertical.

1' CongtOHUê numériques. Tableau E. (Fig. 36, pi. XL) — Les formules employ(fo8 pour les nappes à deux versants sont les suivantes :

(6i) logncpj^=« — (* + fii>jtangci;.

<^'^) lognepj-=— (-— ûiUangû).

(63) lognep5^î^==(^--û;)tangw.

' 6^) log nep -^ =s — Dûi lang û>.

^ "'*) log nep __ -=» TT tang cj.

— M^ 63 )>ti"

Au moyen de ces équations cm a caicalé les valeur» suivantes, en regaxd desquelles nous plaçons les désignations que nous leur avons données , et qui noua serviront par la suHe :

qui sont indispensables pour trouver le profil d'une nappe, et aussi les quantité :

AetB=è'

qui seront employées dans certains problèmes « aux chapitres v» vi, vu» vm. Le tableau Ë s'applique aux douze valeurs de z ou sin &; ;

z^o,oo — o,o5 — 0,10 — 0,30 — o,3o — o,fto — o,5o — 0,60 — 0,70 — 0,80

— 0,90 — t,oo.

Tavlsau ë.

constantes numeriques dbs nappes \ deux versants.

Bott

o,5oo

tvOOO