V.4LE0I
a,oa55
o,sii8
— o,oi56
— o,oi54
-o,oi36
o,ooi5
^ o,ooi3
lU'l
liuari.
kSi
.iH>0'i
ifir^S
t,Gi69
1,39/iâ
o.6«ft9
o,9to9
Uooo
io,ilo
5,MB
i3,9io
Enfin, nous avons rapporté iesconrbes ainsi calcnlées anr dn papier quadrille, en
prenant anirormément AD ^= a = 0,100 millimètres (pi. XIII).
L ordonnée OD = sa a élé prise proportionnelle h In pente hydraulique z.
Pour z = 0,1 :
0D=io"*,oo5
On a pris pour unité lordonnéc au faite Bq. Elle est cotée 1,00. Il en résulte que
pour avoir en un point quelconque déterminé par son abscisse ( - ) la vraie valeur
du rapport It-)', il faut multiplier l'ordonnée de la courbe du graphique par un coef-
iicieut G qui résulte du calcul suivant. On a :
OD ea èa e az et comme on a pris :
OD = o,o&z, on a :
OB = o,o25y.
Le coefficient G, par lequel il faut multiplier OB pour obtenir 1, est donc ^al à :
Ge coefficient est inscrit sous chaque profil.
Mais il y a un moyen plus pratique d'obtenir la valeur du rapport (j-\ pour une
abscisse quelconque ( -l) c^st d'opérer au moyen d'une échelle de proportion, que
nous avons rapportée sur le graphique 36 (pi. XIII), avec le titre
Échelle des
Gette échelle est construite de manière qu'à l'abscisse 1 décimètre correspond, pour chaque valeur de z, une ordonnée égale à l'ordonnée au faite de chaque profil de nappe*.
Si on prend au compas, sur la courbe z = o,3o par exemple, l'ordonnée correspondant à -*i- 0,63 et qu'on la rapporte sur l'échelle de manière que les deux pointes du
compas portent sur la base et sur la ligne inclinée cotée o,3o, on trouvera que l'insertion se produit exactement pour le point qui a pour abscisse 1,07. On a ainsi, pour la courbe o,3o :
G) -0.63 (fj=i,07.
L'échelle des ordonnées permet donc de résoudre ce problème qui se présente dans Tétude des captages :
Étant donnée une nappe par son ordonnée au faite (g, $a longueur de versant a, sa pente hydraulique z, trouver V ordonnée de la nappe correspondante à un point quelconque^ d^aimiêK je.
22. Crues et décrues des nappes aqnifères. — Les lois qui président aux crues et aux déemes des nappes aquîfëres lorsque rintensilë des apports pluviaax devient plus grande ou plus petite que celle qui est nécessaire pour entretenir les nappes dans leur état permanent, sont très complexes, et les équations, en général, ne peuvent pas être intégrées.
Pourtant nous avons pu mettre en évidence un certain nombre de propriétés dont Tapplication est utile dans la pratique.
Les montées des nappes, les baisses en temps de sécheresse surtout, sont le meilleur critérium de leur stabilité, et ce sont des phénomènes Faciles à observer par le nireau des puits.
Rappelons Téquation de continuité qui, dans le cas des nappes rylindriques, se réduit à (équation d&) :
Lorsque l'apport pluvial est égal à celui qui entretient ta nappe à Féiat permanent, on a :
C'est cette loi que noua avons appliquée, dans Tétude des nappes permanentes. Lorsqu^il n'y a pas d'apport pluvial, c'est-à-dire quand H^^o, la nappe devient ce que nous appellerons une nappe de sichereue; on a alors :
S*ii n'^est pas possible de calculer exactement tes variations qu'éprouvent en crue ou en décrue tous les points d^nne nappe, nous pouvons du moins formuler une proposition rigoureuse concernant le mouvement du point principal, du faite de là nappe, pour le cas où lefinâ mperméable est konz4mtal; c'est la suivante :
Paoposition L Dom une nappe à fond hmzonialy en crue ou en décrue, le relèvement qu'épnmve le point deftàte dans Funité de tempe e$t égal à Vex^s de la hauteur^ de Vapport pluvial réel sur celle de T apport pluvial qui serait nécessaire pour entretenir la nappe permanente dont ce point serait le poini défaite, ces hauteurs étant prises dans le terrain perméable,
Cest-à-dire que, dans l'équation de continuité (67), on aurait pour le point de faite :
(«9) i-'-' {iy~
Pour démontrer cette proposition, il faut se rendre compte de la forme du profil et de la courbe du débit dans une nappe en crue ou en décrue.
Dans une nappe permanente ABA' ((ig, 38, pi. XIV tracé pointillé), qui aurait pour point de faite le point B, la courbe des débits se compose de deux droites OP, OP', dont Tequation est (S i&) :
y = — S^x ou y = hx.
Si nous considérons une nappe de crue dont le point B sérail le point de faiti?.
cette nappe n aéces8aireiiieût un débit plus grand qoe le débit de ia nappe permanente; par conséquent, les pentes de celte nappe dana le voiainage des aounoes sont plua grandes que celles de la nappe permanente « la nappe est gwJUe par rapport k la nappe permanente. Son tracé fmehf^ celui de cette dernière,
La courbe des débits est représentée par les arcs OC, OC, qui sont plua^efas que les droites du régime permanent.
Aux points de sources, Tordonnée est constamment nulle, et Ton a :
Par conséquent, Téquation (67 ) donne, pour ces points :
Telle est Tinclinaison de la courbe des débits en C et C.
Si Ton est en décrae, la nappe qui se forme a néeessairemcnt un débit plus faible que celui de la nappe permanente qui aurait le même point de faite. Elle a donc des ordonnées plus petites que cette dernière. Les courbes des débits sont deux arcs OD, OD' situés au-dessous des droites de la nappe permanente. Si Ton est dans le cas de la sëefaeresse abaolne, H est égal à xéro, et Ton a pour iea points de sources :
c'est-à-dire que la courbe des débits a un maximum et que sa tangente est horixon-» taie en ces points D, D'.
La proposition que noua avons en vu9 équivaut à dire que les arcs de la oourbe des débits tels que OG, OD, sont tangents, en 0, à ia droite OP du r<%ii)ae permanent
En effet, Téquation du dtfbit :
donne, en prenanl la dérivée par rapport è s :
M (2)— 7Kë)+(l)1-
Lorsqu'il s'agit du point de faite, 00 a : et Téqualion (70) se réduit k :
Puisque la tangente est nulle, le terme (^^j représente Tinverse du rayon d< courbure de la nappe au point de faite, de sorte que Téquation peut s'écrire :
(7.) m-ii-
Je dis que les rayonf de ooiMPbure eu faite sont lei méoiec poor iea trois aaf^pes. En efiSat, si la nappe de crue qui enTeloppeles d^ux autres av^it ua rayon de eour-
bure plus grand, Téquation (71) démontre que, pour cette nappe, rinclinaison (^ )
de la courbe des débits sur l'axe des xx serait moindre que pour les deux autres. Par conséquent, les deux courbes des débits OC, OD se croiseraient comme l'indique la figure 38 Us et se couperaient en un point E. Il y aurait toute une zone de la nappe OF, où la courbe des débits en temps de sécheresse aurait des oitdennées plus grandes que
ia courbe des débits en teiiip« 4e crue» et où par conséquept iea débits seraient plus
grands en temps de sécheresse qu'en temp$ de crue, ce qui est absurde.
On pourrait faire le même raisonnement entre la courbe de crue et la courbe de la nappe permanente. Les trois courbes sont i^écessairement superposées d^ps Tordre suivant : celle de la sécheresse en bas, celle de crue en haut, celle de la pâppe permanente entre les deux. Mais comme les courbures des trois nappes, si elles différent Tune de l'autre , indiquent nécessairement uq ordre inverse , il demeure établi que ces courbures sont égales et que les trois courbes sont osculatrices.
On a donc au faite :
h étant l'apport pluvial capable d'entretenir la nappe permanente qui aurait pour faite le faite qu'elle possède effectivement au moment considéré.
CoROLLAiRB I. Au faîte J^une nappe, fapp^ fhfmd se partage en deux parts :
La premiire, h, s^écoule vers les sources;
La deuxième, (H — k), s*inanpore à la n(^iip0 dont elle exhausse le nheau.
Dans une nappe de sécheresse, U s^écoule vers les sources une hauteur h et la nappe s^abaisse
précisément de la hauteur — correspondant à ce débit. Ces conséquences sont évidentes.
Corollaire II. La règle indiquée par la proposition I peut être appliquée proiiaiiffneni,
non H¥immt aif^fstftê^ mm mion à tme zom mf^ itendm i^ port ei fonibrei du/atie,
La proposition I réault* de 00 qua dans ia fermole (70) appliquée aufiilla» la tangente (^) disparaît parce qu'elle est nulle; il est évident que cette propriété est encore pratiquement applicable à la zopo où le terme
dx)
est négligeable par rapport au terme i!.
Or celte zone est très étendue. En effet, dans une nappe en ellipse, on a pour le faite :
La zone où la tangente ( ^ j est beaucoup plus petite que - est relativement grande, Hinsi qa^on peut le constater sur les profils de* nappes que bous afona représentés.
Dans une iitippe permanente à deux rersaiits à fond incliné, le faite de la nappe de crue et le faite de la nappe permanente ne coïncident pas nécessairement « mais quand les différences ne sont pas très grandes , on peut encore appliquer la proposition I.
On a au faite :
y élant une constante namérique donnée par le tableau Ë»
Corollaire III. Dans vne nappe de $échere$te 9Ut ftnid hmxmoal, fet kauiêurê de la
nappe au totnmH décroissent en raison inverse du temps y en vertu de la/ormule V == — -r- — •
Soit y l'ordonnée variable du faite.
Quand il ny a pas d'apport pluvial, on a H«=ao, et la deuxième équation (69) donne pour le faite (équation Zk Us) :
d'où:
Int^[rantet déterminant la constante, par la condition que la nappe ait une ordonnée au fatte égale à i, à Torigine du temps, on trouve :
Nous poserons :
Nous aurons finalement :
b fia»
qui nous donne la loi de variation de hauteur du faite d'une nappe en ellipse pendant la sécheresse.
Au paragraphe iB, nous avons appelé durée dejormaiion d'une nappe le temps qui serait nécessaire pour constituer son volume, si le service des sources tkait interrompu. Sa valeur pour l'ellipse est :
Il est facile de voir que le coefficient a est en raison inverse de la durée de formation. On a :
(75) «=ir
Avec cette modification, Tëquation (7/1) peut s'écrire :
(76) y^ Tj
•+4N ce qui démontre que k temps nieesêoire pour produire un abaissemeni de la nappe di'une
fraetion donnée eit proportitnmel à la durée deformadon de cette nofpe. Si ce temps t ëtait égal à N,on aurait pour Tordonnëe finale :
== o,56oi.
CoitOLLAïus lY. Dwfu WM nttfpe de crue iurfond Witonlo/, les hauteurs de la nappe au semmet crciieenl euimmt une loi repré$entée par Véquati<m ci-apris (81 ou 83).
H étant lapport pluvial réel;
h étant l'apport pluvial de la nappe permanente de même faite, on a^ diaprés Téquation (69) :
Séparant les variables, il vient :
Posons
k étant désormais relatif à Torigine du temps. On poorra écrire :
Intégrant et déterminant la constante par la condition que pour t=^o, y = A, on
trouvera :
'c-|-yc— 6\ art
Or:
(78) HnepC-i^l^)
Divisant par b haut et bas, et rappelant la valeur de h : on aura pour ce rapport que nous appellerons n :
Il étant une quantité plus petite que Tunité^
Nous appelleroas K it quantité i
/o \ ac a /fta'H / H y (80) = à /î=L-=2i / - = Ç.
Nous IrouveroDS finalemeDt :
); et ^ étant des quantitéa donnéf^ par lag formulai (79)1(^0).
Dans la plupart des circonstances, ia formule (81) peut ae simplifior, I^ç terme ^t est presque toujours assez petit pour qu'on puisse développer les exponentielles en série en s'arrétant au deuxiëioe terme; on a alora :
soit, en remplaçant y et Ç par leurs valeurs et après simplifications :
(Sait*)
■nl V?^*)"l
a étant le coefficient de Téquation 78.
Nous avons reconnu que cette forknul» eat beaucoup moins exacte que la suivante qui concorde d'une manière très satisfaisante avec la formule (81), dans la limite des
applicationa, pour l#a valauro de t voiaiim de i^ro ;
\-Trs-)-
Cette formule peut encore se mettre apas la forme :
analogue à la formule (7&), que noi^s avons trouvée pour rabaissement dune nappe on cas de sécheresse, sauf que le coefficient positif et constant a est remplacé par un coefficient a variable avec le temps et pris négativement. Ce coefficient a pour valeur :
Lorsque la crue dure peu de temps, on peut négliger le terme en eU du dénominateur, et prendre simplement :
(86) a' = (^— ija.
- -4-f»( 75 )tti--
Si, dans les formules (83), (8/i), on fait H^o, on retombe dans le cas de la sécheresse, et on retrouve la formule (7&)*
Si-r--»i9cas du régime permanent, elles donnent y=«i, c'est-à-dire que Tor-
donnée au faite est invariable, ainsi que cela doit âtre.
La formule (Si) démontre que la hauteur maxima ou minima que puisse prendre rordonnëe au faite dans une crue ou une décrue est égale à :
La montée ou la baisse limites sont donc égales en nieur absolue i ;
CoBOLLAiRC V. Lonqu'une nappe permanente àfmd nuMnéf Aifatliê*iin vtrêèmt a^ mn» hauteur ouf (Aie (q, une pente de fond e, décroît parce qu^eUe ne reçoit plus d^ apport plumai ^ la bouse du faite s'effectue^ au débuts comme cette fune nappe eti eBip$e ayant pour longueur de
versant Aa, pour hauteur au faite (&o H )' ^ ^^ ^ ^^^' ^ cœfficiênJfe plm peHie'que
F unité y dont la valeur ne dépend que de la pente hydrauUque z de la nappe permanente.
La recherche de la montée ou de la baisse d'une nappe à fond incliné, en crue ou en décrue, est un problème à peu près inabordable au calcul. Mais, en se restreignant à Tétude des variations du faite, on peut assez facilement trouver la loi de ces varialions au début de la crue o^ de U décrue. Ce qui complique le phénomèn.e, c'est q)i*en même temps que le faite se déplace verticalement, il se déplace horizontalement, dans le 8en« do versant si la nappe est en crue, daps le sens contraire si la nappa est en décrue.
Rapportons la nappe à des axes rectangulaires passant, Taxe vertical par le fatte, Taxe horizontal par le point de source du versant.
On a pour le débit dans un^ section quelconque d'une nappe coulant sur la pente e :
Rappelons que l'équation de continuité (67) donne jn^médiatement la vitesse du déplacement vertical du faite :
Pour déterminer la variation heeizmitaU du fettè que nous appelUronb Je, reiÉarqaons qu'au faite on a :
(^) ^^ ^°^ fonction de deux variables, du temps l et de TabBcifliM x. Au bout d'un temps infiniment petit dt, le faite se sera transporté en un point dont Tabscisse est ia, et la valeur de la fonction f^jaura augmenté de sa différentielle totale. Puisque
par hypothèse ce nouveau point est un faite, ia nouvelle valeur de la fonction f ^ ) est
encore égale à zéro et, par conséquent, la diSerentieile totale est elle-même égale à zéro. On a donc :
Dans le deuxième terme, on peut intervertir la différentiation, et Ton a :
J/Jy\ £/dy\
soit, en raison de Téquatiim (88) :
Par suite, Tëquation (89) peut s'écrire :
D'où Ton tira :
{tl\
les dérivées du numérateur et du dénominateur se rapportent au faite.
Telle est la valeur de la vitesse du déplacement hùrizontal du faite, pour une nappe quelconque.
Pour une nappe permanente qui entre en crue <m en décrue^ U déplacement du faite est êeulement vertical.
En eflfet, pour une nappe permanente, on a :
« jjkj dq m jK^ d^
^ ft dx fi da^
Par conséquent, le numérateur de Téquation (90) est égal n zéro, et U déplacement horizontal du faîte ett nul.
Considérons maintenant le cas où la nappe s'abaisse par suite de sécheresse, et supposons que la période de sécheresse soit assez courte pour qu'on puisse considérer le déplacement du faite comme seulement vertical, la longueur du versant restant constante.
Faisant Hn*»o dans réquation(88) et remi^açaAt ( ^ ) par sa valeur au faite ~<î^ il vient :
Nous prendrons désormais pour axe des xx le fond incliné de la nappe. Appelons y l'ordonnée au faite i un moment donné. Nous avons posé au paragraphe s 1 :
è=y, d'où ^=^,
y élaot la constante fournie par le tableau E et le graphiq^ie 35 (pi. XI). La formole (91) nous donne en remplaçant i :
y est une quantité qui dépend de la pente hydraulique z de la nappe suivant une loi compliquée. Comme les variations que nous étudions ici sont supposées peu importantes, nous prendrons le développement de y réduit aux deux premiers termes, et nous poserons :
(93) y«A-Bz,
A et B étant denx constantes qui figurent au tableau Ë. B est égal à la différentielle ( X ) P^^'' ^^ point de la courbe y qoi se rapporte à z. On a successivement :
Combinant ces équations avec la précédente , on obtient facilement :
Portant celte valeur dans Téquation (99), et séparant les variables, elle donne :
rv dy dl
Cette équation est de même forme que Téqualion (71 bis) que nous avions trouvée pour le cas d'une nappe en ellipse; seulement :
y-| remplace y.
(9««») \K + — remplace fc.
\a remplace a.
Cest-à-dire que Pabamement ia faîte de la nappe à fmd ineHni se faii cmmme celui irnie nappe en eUqpse dont les axes auraient les valeurs ei-dessus, ce qui démontre le corollaire V,
On peut écrire immédiatement, d'après Téqualion (7&), le résultat auquel conduit fint^ration :
Ben .Ci , Bcfl "^ a
a ayant ici la taleur suivfmte t
fi A* a»
L'observation de rabaissement de Teau dans les puits situés sur les faites en cas de sécheresse est un des meilleurs critériums de Tétude d^ nappes, au point de vue hydrttUliqtie. (Teôt la formule (96) qui devra être appliquée dans «e cas.
La figure Sg, |pL XIV, reprësentè Yeû phases què traterée suce6m?em«nt ufie nappe en baisse. Le faite B descend progressivement le long d'une courbe BA' qui dMVUtit au terminus amont de la nappe, et celleM)i prtttd successivement les formes 1, a, 3, ft, 5,6. Dans la position 7, la nappe est limite, elle n'a plus qu'un versant.
Si la baisse continue , la poîtite qui termine la Mfpê à famont deacebd prôgreasivement sur le fond imperméable en se rapproebasl de im aoooip du v«rsant» Quand elle Ta atteint, il n'y a plus de nappe. C'est ainsi que les sources aimi^t.au tarissement. Les déplacements horizontaux du faite ne présentent pas d'intérêt pr^îque. Ils seraient généralement impossibles à constater.
Cas tCune crue* — L'étude du déplacement du faite d'une nappe à fond incliné en
cas de crue se ferait comme celle du corollaire IV at conduirait aux mêmes résultats ,
à la condition de remplacer les lettres y, 6, a, par leurs valeurs indiquées plus haut
(95 bis).
33. Nappe de décrue en temps de sécheresse (fond horizontal). — Les phénomènes qui aecompagnent la baitae des nappes en tianps éa sédheraase prAJeatent un intérêt capital pour la question des sources. Il importe donc d'étudier d'aussi près que possible ce qui se passe dans cette circonstance.
Soit ÂBA' une nappe de sécheresse , symétrique par rapport à un axe vertical OB (fig. 4o,pLXIV).
Prenons pour a&es des coordonnées les deux.li^es OA» OB.
Soient t le temps écoulé depuis le commencement de la baisse \
q , le débit de la nappe dans une section quelconque MN , lequel est fonction de deux variables, l'abscisse x et le temps t.
Posons d'abord les équations du problème, il y a deux inconnues , q ei y. Il nous faut donc deux équations.
On a pour le débit (équation 95) :
(98) t—-Mîy
La deuxième équation sera Téquation de cootinoité (dA)> qui dans le cas de ia sécheresse ) se réduit a :
Différentions (98) par rapport à x :
Éliminant f ^ j entre (99) et (100), on obtiendra Téquation diff^rcntielte du profil de la nappe :
(■»•) KS)+(g)-KI)-
L'intégrale générale de cette équation aux dérivées partielles nous parait fort dif- Gcile, sinon impossible à trouver, mais on peut arriver à une solution de la manière suivante.
Nappe à baisse proportionnelle des ordonnées. — En y réfléchissant, il semble que dans une nappe symétrique rabaissement des ordonnées doit pouvoir se faire fropwiùmneUement, de manière que la nappe conserve dans la baisse une forme semblable à elle-même.
En d'antres termes, on aurait :
Y étant une fonction de x et T étant une fonction du temps qui est égale à 1 à l'origine pour ^=0.
Ainsi que nous le verrons, cette origine n'est pas le commencement de la période de sécheresse, car retlipse de la nappe permanente ne petit pas ëAtitrfkIre à fdquation (ioa).
Différen tiens Téquation (lo^) :
^*^^) w^ts^' V»/"fii?« U/'^""Ti"sr"
Remplaçant dans Téquation (loi) y et ses dérivées partielles par les valeurs ci-dessus, nous aurons :
T étant une fonction du temps et Y une fonction de x seulement, on doit avoir :
n- *- constante «=« a ,
doù, en int^[rantet en se rappelant que la fonction T doit être égale à 1 quand 1 = 0:
(io5) T«=i+flrf.
On a donc :
^ i+aV ^ f*(i+«<)
Si Ion compare la valeur de Tordonnée y à i'éqtt«tieA'(7A) que noua avons trouvée dans Télude de rabaissement du faite d'une nappe de sécheresse, on voit que b étant l'ordonnée de ce faite à l'origine du temps^ On a, d'après l'équation (78) :
Pour résoudre le problème, il reste k intëgrer Tëquation (io&), qui devient :
Posons :
2;ëlant une nouvelle variable, doù, en différentiant
Y a*Y , (dYy ^ dH
Substituant dans (108), il vient :
d^z 9cia r
Ou, en remplaçant a par sa valeur 107 et multipliant par ils :
dt dhi j s /" j
Hd?'^ — ^^'^-
Intégrant de 0 à s, en remarquant que pour x=^ 0 on a :
on trouve :
dz
D'où :
dz
Nous changerons encore d'inconnue auxiliaire, et nous poserons :
« = tt^
u étant égal à -?;
dz s= ^udu* L'^uation précédente donnera :
(109) <lr = — ai/-— =L=-
Telle esl Téquaiion différenliclle de la nappe à bai$$€$ proporUoimeUes des ordonnées.
Lmi^ralion du bindiae du second membre est impossible sous forme finie, mais u eUnt nécessairement plus petit que i , on peut développer en série la quantité
Et Ton trouve :
Effectaant la multiplication par u, et intégrant, on déterminera la constante par la condition que pour a?= o, u-» i. On obtiendra la formule suivante :
<"«) -a= V« b^' -" )+iS-^+i:î'8 + J-
Faisant x = a, 1» = o, cette équation donne :
qui doit être une identité, ainsi que le calcul le démontre.
Retranchant Tune de l'autre les deux équations (1 10) (1 1 1), on a finalement l'équation de la courbe affectée par la nappe :
Cette formule permet de construire point par point la courbe 6 de la figure &i, pi. XV. On a tracé sur la même figure Tellipse ayant les mêmes axes, et Ion constate que les deux courbes diffèrent très peu, mais la nappe de Téquation (113) est enveloppée par Tellipse.
LorsquW construit la courbe 6, point par point, au moyen de sou équation différentielle (109), en donnant à du des valeurs finies successives, et qu^on construit par le même moyen Tellipse au moyen de son équation différentielle :
on reconnaît facilement que les deux courbes s'écartent de plus en plus , à mesure qu'on donne k u des valeurs plus grandes. La différence [dx — dx') est toujours positive. Par conséquent le faite de la nappe représentée par Téqualion différentielle (109) est situé au delà du faite de la nappe cherchée, à une distance a^ du point de source. Celte longueur a^ peut être considérée comme la valeur de la constante arbitraire que fournirait l'intégration de l'équation (109), si elle était possible. Il résulte de là que pour que Téquatiou (109) conduise à trouver x = a pour tt<= 1, il faut multiplier
le deuxième membre par un coefficient f-j. L'équation devient : i «. 1 a* /3 udu
La valeur du rapport f - j noti8 sera donnée par la eomparaison des aires des deux
courbes ayaut pour bases a et a^,
Volume d'eau contenu dans la nappe à baisses proportionnelles. - Ce volume est ëgal à :
V^mj yrfx = mè| udx.
Soit, d'après IMquation (i i3) :
L'intégration peut se faire immédiatement, et Ton trouve :
On peut aussi obtenir directement la valeur de ce volume au moyen de la série (i i s). On a :
V' = mi I xdu^nuib 1 du — i,2a5 du(— + -^+ ) »
= mabx 0,7604
volume moindre que celui de la nappe en ellipse, qui serait mabXo.'jSbtx
On peut maintenant calculer le rapport - et le volume V :
doù
(âi6) - — 0,9311.,
Débit des sources de la nappe à baisses proportionnelles. — La deuxième équation (106) nous donne le débit de cette nappe en un point quelconque. Remplaç^int
dans cette formule Y et f ^j par leurs valeurs en fonction de u, et ayant %ard aux
équations (t i3) et (t 1 6), on trouve facilement pour le débit de la nappe en un point quelconque dont l'ordonnée est hu :
(117) Éf «- — T^, — -v/i— w*.
Faisant u =^ o, on aura le débit de Ihine des deux souroes t
Celte formule démontre que le débii de la nappe de sécheresse à baisses proportiofmettes n'est que les o^yGoâ du débit de là nappe permanente qui auraà la même ordonnée au fatie.
ih. Débit, êtt cas de sécheresse, des sovrces d'une ntppe prtmitiTement aa régime permanent. — Considérons une nappe permanente en ellipse, et supposons que rapport pluvial qui entretient le régime permanent cesse brusquement. La nappe baissera , et la baisse du faite s'effectuera suivant la même loi que celle du faite dans la nappe à baisses proportionnelles, c'estrà-dire en vertu de la formule (7^) :
y 1 + af *
Mais les ordonnées autres que celles du faite baisseront plus rapidemenl. On a en effet pour un p<Hnt quelconque, d'aprëa U proposition I, équation (68) ;
dt m dx
Au début de la période de sécheresse, la nappe a la forme d'une ellipse, et pour un point quelconque :
Et par suite :
u dx u
dt m
La baisse est la même pour toutes les ordonnées. Dans la nappe à baisses proportionnelles on a :
dy h
-/=— -lu.
di m
La baisse est proportionnelle à la hauteur de chaque ordonnée. Elle est par conséquent la même que pour Tellipse, au faite, mais moindre que pour Tellipse sur les autres ordonnées, et la différence est d'autant plus grande qu^on considère un point plus rapproché de la source. Par conséquent Tellipse se déprime sur les reins et la nappe réelle tend vers la forme de la nappe à baisses proportionnelles, ou nappe théorique. Le débit de la nappe réelle est plus grand au début que celui de la nappe (héorique dans la proportion de 1 à o,76o&, mais le débit de la première nappe diminue plus rapidement que celui de la deuxième. La nappe théorique est donc un état limite, vers lequel tend la nappe réelle sans pouvoir raltbindre. On peut considérer toutefois qu'elle s'en rapproche assez pour qu'on puisse calculer par interpolation le débit de la nappe réelle dans une jAase intermédiaire dont il faudrait 6xer la limite.
On y parviendra par la considération du volume d'eau disparu, et on admettra que la nappe réelle aura pris sensiblement la forme et par suite le débit de la nappe théorique, lorsqu'elle aura le même volume. Cette condition va nous fournir l'équation qui nous donnera la durée de la phase intermédiaire.
Soit Ij la durée de cette phase.
Le volume de la nappe permanente au commencement de la sécheresse est celui (Tune ellipse.
ff
Au bout du temps t^, le volume de la nappe théorique est donné par lo fcM^mule (i i (î;, dikua laquelle il faut remplacer :
Le volume d'eau perdu par la nappe réelle pendant le temps t^ est donc :
(..9) -'G-Tf^>
Ce volume d'eau a été débité par la source de la nappe réelle. Ce débit ne noos est pas connu; nous savons seulement que, d'après notre hypothèse, il passe pendant le temps fj, de sa valeur primitive,
fta
à la valeur donnée par l'équation (118) :
mb* 0,7606
Nous admettrons que le coefficient du numérateur varie proportionnellement an temps t écoulé depuis le commencement de la sécheresse, de sorte que le débit à l'instant t a pour valeur :
^ fia (i+«0'
Le volume débité par la source de 0 à /^ s'obtiendra en prenant l'intégrale | ^qdi. On trouve facilement :
Egalant ce volume total débité par la source à la dimiuution de volume éprouvée par la nappe, formule (119), et remarquant que Ton a :
Mb* ,
on arrivera finalement à Te'quation très simple :
(lai) 0,8955 (af|) — lognep(i -\-at^)^o,
dette équation, résolue par tatonneuient, admet pour racine : (taa) a/, = o,a/io,
rhiflre presque identique à o^aSgS. Celle valeur, transportée dans la forinule (ibo), donne la formule suivante :
Cette formule approximative exprime le débit en temps de sécheresse, au bout du temps t, itme source qui fonctionnerait à T origine du temps au régime permanent.
Remarques. — i"" On remarquera que si ai n'est pas une trop grande fraction, on peut poser avec assez d'exactitude :
de sorte que pour des variations limitées, la fraction qui mesure la diminution relative du débit d^une source pendant une période de sécheresse est égale à 3 fois la fraction qui mesure rabaissement relatif du fotte de la nappe.
9" La valeur du temps t ne doit pas dépasser celle qui résulte de la valeur 1 99. Transportée dans (i93), cette dernière devient :
de sorte que toutes les frns que la source éprouve par la sécheresse une diminution de débit qui dépasse OyâgS, soit 5op, loo, la nappe réelle peut être considérée comme nappe à baisse proportumnneUe y et c'est la formule (i i8) qui doit être appliquée au calcul de ce débit.
3*" La valeur du temps limite f, est plus facile à Interpréter quand on Texprime en fonction de la durée déformation N de la nappe, S i 5. On a, équation 39 :
Par conséquent :
En France, la durée de la sécheresse ne dépassant guère quatre mois, on voit que pour les nappes dont la durée de formation dépasse treize mois, c'est la formule (t 93) qui est applicable et la diminution de débit de la source n'atteint pas 5ô p. loo.
Extension de ces résultats aux nappes à fond incliné. — Tous les résultats qui viennent d'être trouvés se rapportent aux nappes d'affleurement à fond imperméable horizontal. Il nous parait possible de les étendre , avec moins d'exactitude , il est vrai , aux nappes sur fond incliné.
Nous avons vu au paragraphe 99, corollaire V, que la loi de l'abaissement de
Tordonnée du faite en crue ou en décrue peut âtïe étendue à oee nappés, en changeant dans les formules :
a en Aa.
Dans ces conditions, la nappe sur fond incliné se (;onl^orte comihe tihe nappe sur fond horizontal, dont Tellipse aurait à Torigine pour petit axe et pour grand axe les longueurs données par les formules (i aS).
Si les nappes de décrue conservaient la forme de nappes permanentes, on aurait, pour V apport pluvial par mètre carré, à Tinstant t :
Pour la nappe sur fond horizontal, en appelant S' son coefficient d'absorption
(ta 5 bis) m J^;2 m
Et pour la nappe sur fond incliné :
A«fl«
En raison de Téquation (9/1) :
ces deux apports par mètire earré sont égaux.
Par conséquent, les débits de la nappe permanente sur fond incliné et de la nappe permanente sur fond horizontal seraient entre eux dans le rapport des longueurs do leurs versants, c'est-à-dire dans le rapport :
de a à Aa ou de 1 à A.
Cette propriété se conserve pendant toute la décrue. En même temps, lès deux nappes qui se réalisent à chaque instant pendant cette décrue ont toujours le même faite. Il est rationnel d'admettre que leurs débits totaux restent toujours dans le même rapport que celui des nappes permanentes qui aaraieat même faite et même kNttguettr de versant que les nappes de décrue.
On obtiendra donc le itini de la êàvrce du V9r$mî de>ia nappe êurfond indiiU pendant la sécheresse en multipliant le débit de sécheresse de la source de la nappe sur fond
horizontal par -, ce qui donne pour le débit en question : . . ^ i
(tQ6) mV'^ . ; (i-al)
' ^ AM (î +«!)''
a ayant la Yaieur suif ttilte :
ftÀ««'
Si, aa lieu d'une source de versant, on voulait considérer une source de contreversant, on calculerait son débit en multipliant le 9* membre de la formule (196)
■ ~^)» BMA ii <«0t bien .évident que le résultat obleou serait peu exacte pour
peu que la durée du temps t fût un peu longue, parce que, dans ce cas, Huftnettèl! exercée par la rétfO^dMton horizontale du fette j>ott1r4it d«t«ftif ft^nstUe.
La formule (i!i6),dédoito dSioe as^milatioA logique, m»to non Pig^uk«èti^, ûdH ttre d'autant plus près de fexaetfttide que la Happe mil» fend incliné a Ufté pente hydraulique moins forte. , »
Cette formule n'est applicable qd'Allk Mppeé à iteux teAâlitÈf; '
2à. Circonstances qui influent sur le débit des soiM^ces en Uoips de sAchoresse; stabilité des grandes sourcas. — lie coeiticient «joue un rdle prépondérant dauA les effets produits par la sécheresse.
L'abaissement des ordonnées d'une nappé et la diminution du d^lt de fta ftOUrce sont en raison directe de la grandeur de ce coefficient.
Pour apprécier les circonstances ((tki lufluetiit mt ced phénomènes, il faut exprimer a au moyen des éléments essentiels qui, à eux seuls, stiffiseat pour earabtëriser la nappe permanente.
Ces éléments sont :
A, la hauteur de l'apport pluvial.permanent par seconde;
a, la longueur du versant;
m, fi, les coefficients de porosité et de résistance au mouvement.
La hauteur de la nappe h n'est qu'utte conséquence de ce& données essentielles. Le coefficient a peut s'exprimer au moyen de ces données. On a :
d'un autre côté, équation (SA) \
Éliminant ft, on a :
*t, .»• Cl *
Cette formule démontre que a est en raiinn inteiM delir rscine oarrëe du coeiTk)ient de porosité, et aussi du coefficient de résistance du soL II semble qu'il y ait là deux conditions contradictoires, puisque ordinairement ces deux coefficients varient en sens contraire l'un de l*autre. La formule indique qu'au point de vue de la stabilité des sources, ces deux propriétés, porosité et résistance du SQl,.se compensent dans une rertaine mesure, et cela est conforme aux faits naturels puisqu'il existe des sources d'une stabilittf^ relative dans tous les terfsins.
Cependant il est ëvident que Tinfluence du terme [â est prépondtfraute, car ce terme varie dans des limites très étendues, de sorte qu'on peut dire que :
La perméabUiti du sol coniribue à Vinstabilité des sources.
Le coefficient a est en raison directe de la racine carrée de Tapporl pluvial , ce qui veut dire que les sources qui fournissent le plus grand débit par mètre carré de bassin sont aussi les plus instables.
Cela s'explique parce que la privation de toute alimentation produit une perturbation relativement plus grande dans le débit des sources lai^ment alimentées en temps ordinaire.
Enfin, d'aprèa la formule (i 38), le coefficient a est en raison inverse de i'ëtendue du versant qui alimente une souitse, ce qoi conduit à cette propriété très importante :
Toutes choses égales d'ailleurs , une source est Sautant phu stable en temps de séckeresse que son bassin est plus étendu. Cela démontre la stabilité des grandes sources.
Cette propriété conduit à des conséquences pratiques, notamment à la suivante '.
Si une ville a à opter entre Talimentation au moyen de la dérivation de plusieurs s<>urce8 de moyenne importance et falimentaftion au moyen d'une grande source, toutes choses égales d'ailleurs, c'est cette dernière solution qu'elle devra préférer.
AppUcaAon numérique, — Pour donner une idée des chiffres auxquels conduisent les calculs précédents, pour les effets produits par la sécheresse sur les nappes et leurs sources, nous les appliquerons à divers cas hypothétiques.
i"" Terrain de sabie très fin :
On trouve :
' "^ fi 30,000 '
a.ooo y 10* o,i5x 10.000 lo** '
N=T--»&3o,ooo.ooo*« i3,3 ans;
tj = o,3o5N = h ans.
Au bout de quatre mois de sécheresse :
t=i io.5oo.ooo', alB=s 0,0196.
Ordonnée maxima :
Débit de la source :
Le débit au bout de quatre mois de sécheresse n'est réduit que de h p. 100.
s"" Le même terrain, mais avec une longueur de versant de 900 mètres seulement
a = -^; N«=487 jours; (j=i48 jours;
a/ = o,i96; fc' = o,836 ft; ç' = o,563ç.
La sécheresse réduit le débit de près de moitié.
3* Mêmes valeurs de kj a qu'au paragraphe 9**, mais en supposant un terrain de graviers pour lequel :
m=0,30 fX = 200.
On trouve :
a = — Kr^'X-r — —r;
N= 1 /i 4 jours ; /, == ft 3 jours.
Au bout de quatre mois de sécheresse :
at = 0,565 ; b' = o,&o8 b;
Dans ce cas, le débit est réduit des 7/10" du débit permanent.
26. Happa de crue, dans le cas d'un fond horisontal. — Examinons maintenant le cas général d'une nappe à fond horiiontal qui entre en crue par Teffet d'un apport pluvial constant H, par mètre carré et par seconde, différent de celui qui caractérise le régime permanent, et que nous avons désigné par A.
Ce cas embrasse dans sa généralité tous les cas de crue ou de décrue.
Si H dépasse &, on a une crue; si H est inférieur à &, on a une décrue.
CTest par Tobservation des montées ou des abaissements du faite et par celle des variations de débit des sources quon peut déterminer les éléments des nappes, L'étnde des crues et des décrues offre donc un grand intérêt.
Dans tout ce qui va suivre, nous raisonnerons comme s'il s'agissait d'une crue.
Nous connaissons déjà la loi du relèvement du faite de la nappe. Il s'effectue conformément à réquation (81 ou 8/1). On a, dans ce cas, pour l'ordonnée, à l'instant t :
formule où :
La recherche de la forme de la nappe de crue qui se produit dans le cas d'un apport pluvial constant est pratiquement insoluble.
Cas d'une nappe de crae à montées proportionnelles. — Pour parvenir à un r&altat approximatif, nous supposerons que la montée de la nappe s'effectue propoiv lionnellement sur toutes ses ordonnées, de sorte qu'on puisse poser, comme nous Tavons déjà fait au paragraphe 38 pour la nappe de sécheresse :
Y étant une fonction de x seulement,
Tétant ane fonction du temps r, qui est égale à 1 à Torigine du temps.
Soit Pj ta hititeui* de l'apport piuviid par seconde et pat^ mètre earré, à Tinstant U
Nous aurons d après rëquation (67) pour une section quelconque :
En raison de (i3i), on a :
/dy\ YrfY
Porlant ces valeurs dans (i3d), on trouve Téquation :
(1 34) YY' 4. Y'2 = - £ F J2 - |szY(2) •
Pour que le deuxième membre soit une fonction de x^ comme le premier, il fnul
qu'on ait :
pjt^ = constante « P,
dit . M
-^ « constante «= — /S.
D'où Ton déduit :.
P ëtant rapport pluvial à Torigine du temps, il faut prendre (1 — /3r) au lieu de (1 4-/3<)9 parce que dans lliypo thèse d'une crue, l'ordonnée y croit avec le temps.
Remarquons tout de suite que si nous appelons h^ l'apport pluvial qui entretiendrait le r^ime permanent de la nappe dont l'ordonnée au faite serait :
b 0-130' cet apport &, a pour valeur :
Par conséquent ie rapport ( t^\ eat oonstaatquel que foit k. temps t etégid au rapport 7 observé au oommèkioement de la erue.
L'hypothèse qu^l est nécessaire de faire pour pouvoir intégrer féquation (13&), c'est que l'apport pluvial, au lieu d^étre constant, doit être croissant avec le temps conformément à l'équation (i35).
Moyennant cette hypothèse, Téquation (i3&) devient :
(i36) Yr + Y'2^-^£P + /z/3Y.
.( 91 )*«• - Pour Vint^rer, posoni i
ou:
YY , h* dz 9 dx
jetant TordoDaée au faite, à Torigine du lemps. Sabstituant dans (i36), on a :
dz ,
Multipliant par -r- et intégrant, il vient :
dx
/dty ûftP , 8f»(3 2 , .
On déterminera la constante par ia condition que pour
Y=fc, z=i, ;g: = o, etonpœera:
il viendra :
Posons maintenant :
d'où
et Téquation précédente deviendra après quelques transfertnatioDB .
(.40) , "^^ é? y^ÇlK.
On voit que i'éqottton (i4o) peut être int^ée comuo réqualion ((09) par ie dérdoppement en 0èria<da i«dw«i« en obdngeaat
» I ii'i" • • t ' '
quantité qui est toujours plus petite que Tunité. Mais auparavant il importe de déterminer la valeur du radical du 9* membre. '
Pour y parvenir, nous eiprimerons la valeur de ^ au faite. (3n a en ce poiut ((^ipiation 69) :
&i étant la hauteur de l'apport pluvial qui entretiendrait une nappe permanente ayant même ordonnée au faite que la nappe considérée.
Or, à rinslant (, l'ordonnée au faite est égale à (équation lag) :
on a donc pour l'apport pluvial à f instant t :
D'un autre côté, i'équalion (i33) donne :
La parenthèse du deuxième membre peut se calculer au moyen de l'équation (i&o) :
/du\ 1 Ufi^{6-i)a* r ii^F^)
Prenant la dérivée par rapport à â? et remplaçant dans le deuxième membre i-^\ par sa valeur, tirée de la même relation, on trouve :
Ht»
On a donc :
^^ dq «.*« afi^(«-i)
\djt) "' U ^a^\B-tJ'
dx fMi'(i - jSO* 3ft
Pour :r = o, 11== t, point de faite, les valeurs {\h\){\h^) de (~) doivent être égsilcs, ce qui exige la relation suivante :
Appelant h l'apport pluvial du régime permanent à l'origiDe du temps et a le coeificient de l'équation (73) au même moment, et remplaçant B par sa valeur (1 37), on tirera facilement de l'équation (1 &3) les relations suivantes :
(l44) V aP-fc'
Profll de la nappe à montées proportionnelles. — En tenant compte des relii< tioDs(i&&), Téquation différentielle (i^o) donnera, parie défeloppement en sërie:
Développant ies binômes (0 — «). . . et intégrant, on trouve :
i.3.5 i r^ ^ 3g» II' 1^ ^ «"1
—4— •■'•••«■la
La loi de formation des termes est facile à apercevoir. Nous avons calculé sommairement cette formule
pour 0=:i,6o, d, 3, ce qui correspoud
P aux rapports : r^ = 1 6 , A , 3 ,
et nous avons rapporté ies résultats sur la figure /i i, pi. XV, Les abscisses sont égales
à -, les ordonnées à |, de sorte que les axes de la courbe sont tons les denx égaux à
Funité.
Sur le même graphique figurent la nappe du régime permanent t *= 1 1 qui est représentée par le cerde de rayon égal à i, et la nappe de sécheresse, qui correspond au cas de P=o. Cette dernière est une sorte d'ellipse déprimée. On peut constater, au contraire, que les nappes de crues sont des sortes d'ellipses renflées, à pentes augmentées à Taval, ce qui explique l'augmentation de leurs débits.
Le renflement de la courbe est d'autant plus prononcé que le coefficient relatif de
p l'apport pluvial -r est plus grand.
Ainsi la courbe a, qui correspond au cas où l'apport pluvial initial P est égal ù i6 fois celui du r^ime permanent, enveloppe celles qui correspondent aux cas de
A mesure que ce rapport r augmente, la nappe se renfle de plus en plus. A la
limite, lorsque d = ~9 r- est infini, la nappe consiste dans le contour carré wconserit au
cercfc.
Voici comment s'explique ce résultat singulier (fig. ^9 , pi. XIV) :
Si 0est voisin de -, la série de la formule (iA5) donne des longueurs CD, CD',
C'D\.., qui augmentent indéfiniment lorj^que u approche de l'unité, la courbe s'éloigne
à rinflai, mais cèa longueurs pour être eoovefties ea ahacksBQ doivedi 4ire mollipliées par le faetour :
qui lend lui-même vers z<^ro lorsque 6 se rapproche de la valeur -• Les abscisses de
grandeurs finies deviennent égales à zéro et fournissent la ligne verticale AE.'Les abscisses de grandeur infinie fournissent des points compris entre les points E et B sur rhorizontale EF.
La courbe finale est représentée par ie contour carré AEB.
Le contour carré est donc Iç profil limite vers lequel tendent les nappes produites par des apports pluviaux de plus en plus intenses.
L équation différentielle (i&o) conduit k des remarques seaatiaWes à celles que nous avons faites sur Téquation (log) de la nappe de sécheresse. L'équatmt (l&o) donne :
{ibii) ' d^= ^' '^ "^"
'sF^
Si Ton construit point par point, au moyen de cette équation, la courbe de la nappe et si Ton èonstruit en même temps Tellipse de m^tote montée ,
on reconnaît que lés deux courbes s'écartent Tune do Paaftre à BMpiire qnW donne \uàm valeur» pins gMnd/99< La diffiireofie {ix — àal) pri^ en valeor absolue est d'abord négative. La nappe de Téquation (i&6) enveloppe Tellipse et son faite est situé en deçà du fatte de la nappe cherchée à une distance a^ du point de source moindre que a. Cette longueur peut être considérée comme la valeur de la constante arbitraire que foiirnirait Tintégration de Téquation ( i&6) si elle était possible.
Il résulte de là que pour que Téquation (i&6) coiiduise à trouver jp^^ a, pour»<= t,
il faut multiplier le deuxième membre par un coefficient i — j plus grand que i. L'équation devient : *
La valeur du rapport {^\ nous sera donnée par la comparaison des aires des deux
courbes ayant pour bases m et a^ ou en d'autres termes par la comparaison du volume des deux nappes.
Volume d*eau contenu dans la nappe à montées proportionnelles. — Ce vo* lume est égal à :
V^ml ydx=^ — ^- ( udx.
—«.( 95 )^soit, d'après (1&7) 2
