COEFFICIENT
DO DéllT
( EqoaUoi»
ihS et t54.)
9,3 6si
OBSERVATIONS
SMerme.
IMcnras.
Nappe per«um«nte.
Crues.
Les valeurs des coeflicients peuvent être calculées par ioterpolalioQ proportionnelle entre deux valeurs consécutives du tableau.
Débit de la nappe à montées proportionnelles. — Ou a pour le débit de la nappe, eu un point quelconque, à Tinstant t, en tenant compte de Téquation (i3i) :
soit, en remplaçant Y par sa valeur bu et tirant u(-£\ do (1&7) :
* Ita (1— (Sx)* a
Celte Formule donne le débit dans la seclion dont lordonnée est u.
On aura le débit d'une source en faisant dans cette formule tt = o. Il y a avantage
à remplacer le terme en 0 par sa valeur en fonction de ( r), qui a une signification
plus concrète, équation (16 4).
On trouve ainsi :
\'i), étant le coefficient de la formule i53 dont la valeur numérique est donnée par la troisième colonne du tableau G.
Ce facteur V Dp exprime le rapport du débit de la source pendant la crue au débit qu^ aurait la source iune nappe permanente ayant même ordonnée au faite.
Quand la nappe est en décrue, ce rapport est plus petit que 1. Il diminue a peu
pH'S proportionnellement de i à 0,760 , lorsque ( r ) s'abaisse de 1, cas du régime permanent, à zéro, cas de la sécheresse.
Quand la nappe est en crue, le rapport v^Dp est plus grand que i.U croit beaucoup
r ) et atteint la valeur a, 665 lorsque t-= 16. Sous le climat de Paris et dans les conditions moyennes, le rapport r= 16 correspond à peu près à une pluie de o m. 099 par jour. Une pluie de cette intensité ne âe maintient pas longtemps. Ce premier aperçu permet donc de dire que les sources qui présentent un débit de crue égal âpres de trois fois leur débit moyen doivent être assez rares,
27. Répartition des eaux pluviales entre la nappe et la source en temps de crue. — Il est intéressant de se rendre compte de la manière dont se fait la répartition des eaux pluviales dans le cas où la montée se fait proportionnellement sur toutes les ordonnées.
Dans la formule (iB&) du débit et dans la formule (i5o) du volume, remplaçons les quantités en a et b par leurs valeurs en fonction des hauteurs de pluie..
On a :
— ;==A; mb = -; -— 1 =•:.
fia* un a
IntroduigaDt ces quantités dans les formules, le volume débité par la source peadant la période de temps de zéro à ( sera exprimé par (équation 1 54) :
Le volume d'eau emmagasiné dans la nappe, entre o el ^, sera égal h (équation i5o) :
Enfin, rapport pluvial pendant ce même temps aura pour valeur (équation i35) :
P . aP ^
La somme des deux premiers volumes est évidemment égale au troisième. Supprimant le facteur commun, on a la répartition suivante :
Débit de la source h y^Dp.
(i55) l Volume emmagasiné par la nappe P — h\^D^
dont le total est égal à l'apport pluvial P
Ainsi que nous le verrons, cette répartition doit être considérée comme celle qui tend à s'établir lorsque la pluie se prolonge, et elle est plus ou moins réalisée en pratique.
38. Débit d'une source en crue dans le cas d'un apport pluvial constant.
— Considérons une nappe à fond horizontal , au moment où elle est au régime permanent et où elle a la forme d'une ellipse. A ce moment, l'apport pluvial est ^1 à h par seconde, et le débit de U source est aussi égal k h par mètre carré de son bassin alimentaire. Les pertes compensent les apports.
Supposons qu'à un instant donné l'apport pluvial devienne égal à H par seconde ^ H étant invariable avec le temps.
Le débit delà source, qui était égal à k par m^ augmentera peu à peu d'une manière
continue, mais il restera inférieur au débit&v^ qui caractérise la nappe «i montées proportionnelles. La nappe s'incorporera des volumes d'eau plus considérables que
ceux qu'elle retiendrait ai la source avait le débit h \^.
Pour se rendre compte de la manière différente dont sont affectées les deux nappes
par le nouvel apport pluvial, il suffit de calculer les vitesses de montées ( •— j pour chacune d'dles au début de la crue.
L'équation de continuité donne :
\ùj m m\dxj'
Four l'eilipse, (^r ) ^^ constant et égal i A, on a :
La vitesse de montée au début est égale pour tous les points de la nappe. Pour la nappe à montées proportionnelles, il est facile de voir qu'on a :
c'esi-à-dire qu'au faite, où u = i, la vitesse de montée est la même que pour la nappe en ellipse, étant supposé un apport pluvial égal à lorigine; mais cette vitesse va en décroissant proportionnellement à la hauteur des ordonnées, depuis le faite jusqu'à la source.
(ietle comparaison explique que, par suite de la crue, Tellipse se renfle et tend vers la forme de la nappe à montées proportionnelles. Nous pouvons admettre qu elle l'atteindra sensiblement au bout d'un temps ty
L'ordonnée de la nappe réelle de crue a pour valeur, à Tinstant t (équation 83) :
A TiiiGni elle tend v«r8 un maximum :
limite y^^K/j^
el le débit de la source tend également vers un maximum (équation 87) :
limite q = — -p ■=^ Hrt.
' fia h
C'est-a-dire qu'au bout d'un temps infini, la nappe de crue devient la nappe |>er* manealB, correspondant à Tapporl pluvial H, et la nappe a la forme d'une ellipse.
La crue siq^|iosée pff<ttiongée indéfiniment comprend donc deux phases :
Dans la première phase , la nappe réelle , qui à Torigine <&i temps avait la forme d'une ellipse de hauteur &, le rmifle et tend vers la forme de la nappe théorique.
Dans la deuxième phase, la forme de la nappe se déprime , bien que celle-ci continua
à augmenter de volume, et cette forme tend vers celle d'une ellipse de hauteur i %/--•« hauteur que la nappe n'atteint qu à Tinfini. ^
Il y a donc un moment où la forme de la nappe se rapproche davantage de celle d'une nappe théorique.
( jj étant l'apport pluvial relatif de la nappe à montées proportionnelles au bout
du temps t^ , posons la condition qu'au bout de ce temps t^ , l'apport pluvial tolal reçu par la nappe à montées proportionnelles soit égal à l'apport pluvial total reçu par la nappe à apport pluvial constant. Tenant compte de l'équation (i35), nous écrirons :
D'où, en remplaçant /S par sa valeur {ililt) :
On a aussi :
(1B7 bis)
C'est-à-dire qu'à l'instant t^, les deux nappes considérées ont même ordonnée au Fnltc cl même apport pluvial total depuis l'instant zéro.
Le débit de la nappe supposée assimilée à une nappe théorique à ce moment aura pour valeur (équation i5&) :
Cette formule se compose de trois facteurs. Le produit des deux premiers représente le débit d'une nappe permanente de même hauteur que la nappe réelle. Le ti^oisième facteur v/D^ représente le coefficient de correction par lequel il faut multiplier le débit de la nappe permanente pour obtenir le débit de la nappe théorique. Dans l'ignorance où nous sommes de la manière dont le débit progresse de <=^ o à t = ti, nous admettrons que le coeilicient de correction croît proportionnellemeul au temps. Un aura donc, pour l'expression du débit à un instant ( :
Pour déterminer le temps t^ nous exprimerons que la somme du volume tolal V débité par la source de t à (^ et du volume V emmagasiné par la nappi' est égale au volume V de l'apport pluvial total reçu par la nappe durant le mémo temps.
Pour déterminer le volume débité par la source de o à t^, nous multiplierons le deuxième membre de l'équation (1 69) par di^ et nous intégrerons de o à (p
Nous prendrons pour inconnue la quantité :
(iGo) x^{^j-i)at^.
Nous remarqaerons qu'on peut écrire :
— = na, (ta
AGq de simplifier et de faire disparaître les facteurs commuas a, nous multiplierons les trois expressions \\ V, V par r- ou — r; moyennant ces conditions, nous trouve-
rons :
(iCi)
mab
qdt mab
(y r(vD;+.)]^
[(vb;-.)(ï-.)(3!-,)
Pour avoir le volume emmagasiné par la nappe pendant la crue de o à f,, nous calculerons le volume de la nappe à Tinstant t^ et nous en retrancherons le volume de Tellipse du régime permanent au temps zéro.
Le premier de ces volumes est donne par la formule (i5o), à la condition de remplacer la valeur de lordonnëe au faite :
par
valeur donnée par Téquation (167 bis). On remarquera que la parenthèse qui figure dans la formule (i5o) nW autre chose que S,. On trouve, en remplaçant al par sa valeur ( 160), en fonction de x :
ab
P étant détermine par Tëquation (1 57).
Enfm, rapport pluvial total reçu par la nappe de o i t^ est égal à :
Hat,,
quantité qui, multipliée par{-^|et en y remplaçant ot, par sa valeur tirée de (160), devient :
Uëquation à résoudre est donc :
Nous avons résolu cette équation pour 8 valeurs du rapport (j ) « savoir : (^Wo; o,to; 0,3o; 0,70; a; 4; 8; 16;
et nous avons trouvé les résultats qui sont contenus dans le tableau suivant :
VALEUR de
VALEUR
DK .T.
(£4]tialion 16A.)
VALEUR de
VALEUR de
zëro
~o,io35
o,ia38
it0«7
o,5oo6
l,liSI
On voit que le coefficient (^'— — ) difi^re peu de Tunité et qu'on peut pratiquement le prendre égal à Tunité. On obtient alors pour Téquation (iBg) :
n^JK(?-0^
Telle est la formule approximative du dAit de Cmie des sources d'une nappe coukml sur un fond horizontal, au bout du temps t compté depuis k ùommeneement d'une crue causée par
apport plumai relatif Ij-j constant.
Cette formule s'applique au cas d'une crue caractérisée par-7>' 1 aussi bien quVi
H une décrue pour laquelle on a : -^ <: 1 .
Elle s^appiique au cas de ac nègaUf, eVst-à-dire au cas d'une crue ou d'une décrue antérieure au retour de la nappe à l'état pêrmaneni, aussi bien qu'au cas de x poikifi c est-à-dire au cas d'une crue ou d'une décrue postérieure à l'état permanent.
Nous avons calculé une table numérique des valeurs du facteur de h dans ia for-
(iiiA*\ — ) dans la formule (i65). Cette table a été traduite
en un graphique (fig. 319, pi. LXXIX), qui donne une première indication des courbes du débit.
Remarquée. — 1° Si ai n'est pas une trop grande fraction, les équations (i56) et (i65) donnent approximativement :
de sorte que, dans les circonstances ordinaires, la fraction qui mesure Taugmentation ou la diminution relative du débit est égale à trois fois celle qui ifiesure Texhaassément ou l'abaissement relatif du faite.
a"" Si l'on considère une période de crues pendant laquelle l'apport pluvial relatif
passe par des valeurs diverses et est égal À une moyenne (-A pour Tenaernble de la
période, on aura une valeur suffisamment exacte de la valeur du débit à la fin de la
période, en portant dans la formule (i65) la valeur moyenne (-7) de l'apport relatif.
Ce procédé aura d'autant plus de chance d'être exact que la période de temps considérée sera plus longue, parée qu'alors les irrégularités de l'apport pluvial ne seront qu'une fraction peu importante de l'ensemble.
Extension de la formule (165) aux nappes coulant sur fond incliné. — On {)ourra appliquer les formules (i56)et(i65) aux nappes coulant sur un fond imperméable incliné, à la condition de faire les changements indiqués sous le numéro (95 bis).
Voici les résultats :
Ces formules donnent Vordonnée au faite et le débit de la source du versant dans une nappe sur fond incliné en erue ou en déorue. On aura U âUnt de la source au comUrwersaitit en multipliant par ( ^ j le résultat
donné par la deuxième formule (167). Mais, suivant une remarque déjà faite plus haut, \^ débit ainsi obtenu sera peu exact si la pente hydraulique de la nappe est forte et si la période de temps considérée est longue , en raison du déplacement horizontal du faite dont les formules ne tiennent pas compte.
S'il s'agit d'une crue, la formule (166) évalue par excis le débit du versant et par défaut celui du contreversant. C'est le contraire en cas de décrue.
Volume d'eau emmagasiné par suite d'une crue. — Ce volume est la diiïérence entre l'apport pluvial et le débit de la source pendant le temps t; c'est donc :
V* --= Uai
Uintégrale du second membre peut se calculer au moyen de la formule (i65). Si la fraction ( -r— ij at est assez petite, on peut avoir recours à la formule simplifiée du débit ( i65 bis), qu'on peut intégrer immédiatement, et Ton a, dans ce cas :
♦ni*
On remarquera que — ^ n'est autre cbose que l'apport pluvial h du régime permanent. La formule pourra donc s'écrire :
Donc, ftu début d'une crue déterminée par un apport phnial égal à H par seconde, une hauteur h prise sur F apport pluvial fm àla source et la hauteur restante (H — h) sHneorpore à la nappe; mais à mesure que la crue se développe y le débit de la source augmente, et la fraction de la pluie qui est emmagasinée dans la nappe diminue,
29. FQrmole définitive de Tordonnée au faite et du débit d'une source en crue, dans le cas d'un apport pluvial constant (fond horiiontal). — D'après la manière dont elle a été obtenue, la formule (i65) ne peut être appliquée que dans les limites correspondantes à la valeur :
c'esl-à-dire dans les limites suivantes :
= zéro, 0,10, o,3o, 0,70, 2,00, 4,00, 8,00, 16,00. a/j = o,24o, o»596, 0,900, 0,168, 0,137, '^j^oSî 0,071, 0,049.
Ces limites sont beaucoup trop restreintes pour les applications pratiques.
La formule du débit (i65) ne doit être considérée que comme une première approximation.
Pour résoudre le problème complètement, il faut revenir à la formule exacte (81), qui donne l'ordonnée d'une nappe en crue. En remplaçant dans cette formule ^ par
sa valeur (80), et appelant C le rapport^, on a :
(168) y^-bC; ^^^ = \'"Ve"^^Vr^j'
~^{ 105 ).t^^ ;r, y et H ayant les significations suivantes :
v'fl + t
H écrit pour ( -r )•
Pour ne pas retarder notre exposé, nous avons reporté dans ia note A la théorie de ia formule du débit.
Nous établissons, dans cette note, que la formule qui donne le débit d^une source en crue est très sensiblement la suivante :
(.69) î = ,oF; F = C^(t+<^).
Dans ces formules, q^ représente le débit permanent de la source ( — j; n un
nombre positif dont la valeur dépend de la valeur de H; e la base des logarithmes népériens.
Pour jr = zéro, c'est-à-dire à Torigine du temps, on a :
Cest-a-dire que la courbe définitive du débit (169) est tangente à la courbe de Téquation de première approximation (i65), laquelle, nous Tavons vu, est à peu près exacte dans le voisinage de 2: = zéro.
Lorsque x tend vers Tinfini, F tend vers C^, c'est-à-dire vers H, ce qui doit être, puisque la courbe de crue tend indéfiniment vers la forme de Tellipse du régime permanent correspondant à un apport pluvial égal à H.
On trouvera à la fin du chapitre ix, deux tables numériques (Y et Z) des valeurs de C et de F données par les formules (168) et (169), pour les diverses valeurs de H et de a; quon rencontre dans les applications usuelles. Les graphiques C (pi. LXXX) et F (pi. LXXXI), qui sont la traduction des tableaux, donneront un moyen de résoudre facilement les problèmes pratiques.
La formule (169) ne s'applique qu'au cas où x est positif, c'est-à-dire au cas où la crue ou la décrue se produisent postérieurement au passage de la nappe par le régime permanent.
Le cas où la crue ou la décrue se produisent antérieurement, se déduit du précédent par des considérations qui sont exposées dans la note A.
Extension des formules (168) et (169) aux sources de nappes coulant sur un fond incliné. — En faisant dans les formules (168) et(i69) les changements indiqués sous le numéro (96 i»), on pourra étendre Tapplication de ces formules aux nappes eottiant sur un fond incliné.
Les remarques faites plus haut (page io3), à l'occasion de l'application de la formule (1 65) au cas qui nous occupe sont encore ici applicables.
30. Montées et baisses des faites des nappes. Influence prolongée des années pluvieuses. — Considérons une nappe qui reçoit un apport pluvial H par seconde , pendant un certain temps t, et qui ensuite ne reçoit aucun apport pendant un temps {'.
H Appelons n = -r\e rapport de Tappori pluvial H à Tapport du régime permanent h.
Pour que la nappe revienne exactement à sa forme du régime permanent au bout de la période considérée, il faut qu'on ait :
Cette égalité a lieu nécessairement quand on considère un temps très court. Nous savons, en effet, d'après la proposition I du paragraphe 39 (p, 69), que Ton a, pour la montée du faite d'une nappe en crue :
et, pour la baif^e de ce faite en temps de sécheresse :
Si Ton a H=^nA, on voit que la durée de la montée dy sera :
dti= ? — ,
et que la durée d'une baisae égale sera :
Ce dernier élément de temps est égal à (n— 1) fois le premier. Par conséquent, si Ton considère des temps très courts, quelle que soit la répartition des pluies, la nappe revient après chaque période à son niveau permanent, pourvu que chaque pluie d'une
intensité nk et d'une durée -soit suivie d'une sécheresae de durée •
Il fi
Mais il n'en est plus de mAme lorsque cette condition n'est pas remplie.
Si Ton considère une crue d'une durée Jinie - , la nappe ne reviendra pas à son
niveau permanent, au bout d'un temps de sécheresse. Elle le dépassera et
descendra plus bas.
Pour le démon^r, il faut reprendre les équations du paragraphe 99 qui se rapportent aux variations du faite de la nappe.
Une nappe de hauteur h venant à monter prend, à un instant t, une hauteur y. Après avoir atteint un certain maximum, à la cessation de fàpport pluvial, «lie baisse et repasse par la même haateur y.
A la montée, on avait, pour la durée du temps nécessaire pour produire une montée dy (équation 76 bis) :
j mdy mày m dy
ni œ= *"» ■■■ «— ■ «ses: é»mm~—mmmmim^ CSSS ^^ mm^^-^^i^^
n-X E-ht *--?^
(to' b* h*
A la décrue, on aura, pour ie temps nécessaire à une baisse de mÂnae hauteur dy :
m dg
dt"^ y*
Comme on a i <:y, le rapport ci-dessus est moindre que {n— t).
Gonsëquemment la répartition des pluies influe sur la position d'équilibre du faite d^une nappe.
Si les pluies sont très également réparties et n'atteignent pas de grands maximums, le faite de ta nappe à la fin de cbftqae période de crue et décrue oœupe la posiUon du r^me pêrmtnent.
Si les pluies sont rares, mais arrivent par grandes ondées, la hauteur moyenne du fatte de la nappa h ta fin de eiiaque période sera mf-^Mif du sommet de T^lipse qui correspondrait au régime permanent ealenté diaprés Tapport piuriâi moyen.
Ces dr^Nistanees s'expliquent parfaitement par U figure &3 , pi. XV.
AB figurant ta durée d*nne p<^iode de temps, AS ie temps de ta crue, EB le temps de la dëeme, tes ordonnées figurent les montées dn fatte.
Si AG est la tangente i la coûthe de montée k l'origine, la tangmite à la courbe de décrue au niveau AB est nécessairement parallèle à BC. En efiet, ces lignes AC, BC, font avec llioritontaie des angles dont tes tangentes sont dans te rapport de (n — i ) jii .
La Cfmrbe de montée est concave vers le Ims, la courbe de baisse est au contraire convexe vers le bas. H en résulte que ces courbes doivent nécessairement présenter les dispositions de la figure, et que ta courI)e de décrue doit descendre en B', au-dessous de riiorizontate AB.
Dans les périodes suivantes , les points atteints par la crue D', D*" baisseront pro« gressivement de même que les points B\ B" atteints par la décrue. Ces derniers approcheront peu à peu d'une position de régime normal qui sera située au-dessoua de celle qui correspondrait au régime permanent.
Pratiquement, et dans les conditions ordinaires, nous pensons que la nappe moyenne dISère 1res peu de la nappe permanente. II n'y a de différences sensibles que dans les années de pluies exceptionnelles. Il peut arriver que les pluies d'un hiver dépassent de moitié, et quelquefois davantage, l'intensité des pluies moyennes. Dans ce cas, la durée de la décrue peut être fort longue et se faire sentir pendant plusieurs années. Il est important de le démontrer. Cette durée est donnée parla formule (79) :
qu'on peut écrire :
Lie terme ^ peut s'exprimer en fonction de la durée de formation de la nappe (é«{uatioa Sa) et il est égal ù :
— ou 1,97 ]\.
~v*.( 108 )^4..- On aura donc, pour la dorée dd la décrue :
Exemple. Supposons N ^= 90 ans; b = lo mètres.
Admettons que la nappe a reçu, durant un mois, un apport pluvial de o m. iT) de hauteur qui y occupait une hauteur de 1 m. 5o. On aura, pour la durée de la décrue :
(« 1,37 X ao ans x— V- = 3,3o années,
c'estrà-dire 3 années et 3 mois.
11 y a des nappes dont la durée de formation dépasse 90 ans, qni ont plus de 10 mètres de hauteur et dans lesquelles un apport pluvial exceptionnel peut déterminer une montée de plus de t m, 60.
On pourrait, dans certains cas, trouver^ pour la durée dune décrue, une dizaine d'années, et Texpérience confirme ces prévisions.
Ainsi se trouve parfaitement expliquée Finflumce prolongée det année» phnjieuêei.
Gomme nous Tavons déjà dit, le$ nappes aqmftre$ /imctionnent à regard dês source» comme les volants à F égard des madimes motrices. EUes emmagasinent Us eaux pbtoiale» en excès , eUes les restituent peu à peu et régularisent ain»i le jeu irrégulier de» cli$nat» et des saiêons.
31. Circonstancea qui influent sur les crues des sources. — En examinant la formide (i65) du débit d'une source en temps de crue, on reconnaît que, de même que pour la baisse des nappes en temps de sécheresse, c'est le coefficient a qui mesure la sensibilité de la source aux effets d'une crue.
Les considérations du paragraphe 9 5 peuvent donc être appliquées ici et fournissent les conclusions suivantes :
Pour un apport plumai donné H, une source éprouvera une augmentation de débit senei-
bkment proportimnelle au rapport ( -r — 1 ).
Le volume ffeau emmagasiné est sensiblement proportionnel au même rapport l-r — il.
Toutes choses ^ales, d'ailleurs, /mit unité de surface, le débit iune source en crue augmente d^ autant plus que le terrain est phts perméable; d'autant plus que le bassin de la source est plus peut
Les sources stables en temps de sécheresse sont aussi des sources stables en temps de crue.
Les grandes sources sont donc moins sensibles aux crues que les petites.
Notre théorie permet de préciser à l'avance, sans qu'il soit nécessaire de prolonger l'observation, quelles sont les nappes qui remplissent le mieux ces conditions. Ci; sont celles pour lesquelles le coefficient a atteint les plus petites valeurs.
32. Extension aux nappes à fond incliné, de la théorie des crues Bt des décrues. — La complication des équations des nappes à fond incliné ne permet pas de faire, pour ces nappes, une étude détaillée des effets produits par les crues et les décrues, comme nous l'avons fait pour les nappes à fond horizontal.
Mais il est évident que les propriétés fondamentales que nous avons établies pour CCS dernières s'appliquent aussi aux autres.
Tout d^abord il y a une propriété qui leur est commune. Ce sont les varialtons des hauteurs du faite,
Nous avons tu par )e corollaire V du paragraphe ûù (p. 76) que les formules qui expriment ces variations sont semblables à celles qui concernent les nappes à fond horizontal.
Or les variations de hauteur du faite jouent un rôle prépondérant dans les variations de forme et de débit des nappes.
On peut donc considérer comme établi que les lois que nous avons établies sur les crues et décrues des nappés ont un caractère général. Leur application sera d^autant plus près de Texactilude que la pent« hydraulique des nappes sera moindre.
Il faut seulement se rappeler que les crues et décrues déterminent, dans les nappes sur fond incliné, un déplacement horizontal du faite qui est négligeable dans les circonstances ordinaires de la pratique à Tégard de la source du versant, mais qui ne serait pas négligeable à Tégard d'une source du contreversani, si la pente hydraulique de la nappe était grande.
32 bis. Crues et décrues des nappes à un seul versant. — La théorie que nous venons de développer concernant les crues et les décrues des nappes à deux versants , repose sur la connaissance des déplacements verticaux du faite.
Il en résulte que cette théorie tombe en défaut, quand il s'agit d'une nappe à un seul versant, puisque, dans ce cas, il n'y a plus de faite. Nous n'avons pu trouver pour ce cas spécial, beaucoup plus rare dans les applications que celui des nappes à deux versants, mais cependant possible, une solution déduite de considérations un peu rigoureuses. Nous avons pu seulement établir une formule qui donne une limite inférieure des variations du débit.
Soient h l'apport pluvial par seconde et par mètre carré du régime permanent: h = —P ;
H rapport pluvial uniforme dans la période considérée de zéro à l'instant /. Nous admettrons que cet apport pluvial n'est ni assez intense, ni assez prolongé pour convertir la nappe à un versant en nappe à deux versants :
9q le débit é^ la source unique dans le régime permanent;
Yq le volume d'eau contenu dans la nappe, pendant ce même régime;
q le débit de la source h l'instant t;
L la longueur du versant unique.
On a, d'après les formules (3&) el (ôa) :
Sous rinfluence de l'apport pluvial H, la nappe change de forme et tend vers celle de la nappe du régime permanent qui correspondrait à un apport pluvial égal à H. Elle aurait alors pour débit et pour volume :
Nou& admeitroD^ : i*" que ia nappe à un versant parlant du régime penuanent à apport A peut atteindre la forme de la nappe permanente à apport H, au bout d'un temps jîpiî t^\ a"" que dans cette phase, le débit de la nappe croit proportionnellement au temps. Nous poserons donc :
(170 Ai») q^q,{i+Mt).
M étant un coefficient à déterminer, nous calculerons le temps t^ en exprimant que le débit de la source pendant le temps (p augmenté du volume d'eau emmagasiné dans la nappe, est égal à l'apport pluvial total, ce qui donne facilement Téquation :
(«±*)m-(H-A)i^' = HLv On tire de cette équation :
Exprimant que le débit (170 bis) est égal à HL lorsque t = tyy ok dëfcurminera le coefficient M , et Ton aura finalement pour la formule plus ou moins appr^xm^tm du débit en crue JFune nappe à un seul versant :
L'hypothèse que nous avons faite pour parvenir k cette formule consiste, en définitive, à supposer que la courbe des débits de la source en fonction dn temps est nae ligne droite. Or, il n'en est pas ainsi. Pour les nappes à deux yersants, nous avons vu que cette courbe est concave vers le bas pour les crues, concave vers le haut pour les décrues. Il en est de même ici.
Conséquemment , le coefficient *y ?^' multiplie ( dans la formule (170 ter) est
inférieur à sa valeur réelle. Cette formule donnera les débits des crues par dtfemt, et les débits des décrues par excès. L'expérience seule pourrait indiquer dans quelle mesure ce coefficient devrait être majoré.
Ce qu'il coovient de retenir de l'analyse ci*desstts, c'est que le coefficiettt qui influence
une crue ou une décrue a pour expression -j-^
On a :
Ici la pente hydraulique est plus grande que i.
Pour une nappe à deux versants, le coefficient qui iuRue sur les crues est le terme a (équation 73), qui peut s'écrire :
a = — -L fui' fia
Pour deux nappes de même longueur, a«-L, et placées dans des terrains de même perméabilité, on voit que le coefficient déterminant l'importance des crues a une plus grande valeur pour la nappe à un seul versant que pour la nappe à deux versants.
