DES NAPPES DE THALWEG RÉGULIÈRES
33. Considérations générales sur les nappes de thalweg. — Jusque présent, aous avons étudié le mouvement des eaux dans les nappes qui reçoivent dirsctement les eaux de pluies et qui reposent sor un fond imperméaUe horiionial ou incliné dont les affleurements sont visibles. Ces nappes ont deux sources ou deux lignes de sources à leur affleurement, une sur le versant, Tautre sur le contreversant, cette dernière disparaissant dans les nappes à un seul versant
Mais il arrive fréquemment que la couche imperméable est située à une certaine profondeur au-dessous du thalweg, et n*a plus d'affleurement dans la région considérée. Dans ce cas, les sources on lignes de sources sont situées dans le thalweg lui-même.
Cest ce qu indique la figure 4&, pi. XIV, en SS'. Cependant f existence de ces sources n'est pas nécessaire. Il faut, pour qu elles existenti que la nappe aquif%re soit assez bien alimentée et asses puissante pour dominer rherizontale AN qui passe par le fond du thalweg.
Cela tient à ce que, en même temps que la nappe déverse ses eaux dans le thalweg, elle coule sur le fond imperméable qui lui sert de base, lequel a souvent une certaine inclinaison dans le sens de la vallée (fig. /i/i a).
Le mouvement des eaux se décompose donc en deux mouvements composants :
1° Un mouvement transversal de convergence vers le thalweg;
a** Un mouvement de progression suivant la pente de la vallée.
Si ce dernier mouvement est suffisamment développé, il peut suffire h absorber le débit des eaux météoriques et, dans ce cas, la surface de la nappe aquifëre s^abaisse audessous de rhorizontale AN du fond du thalweg. Si le profil transversal du fond est horizontiil, la nappe se réduit à un courant à profil transversal horizontal NN.
Nous verrons plus loin quelles sont les conditions nécessaires pour qu^il y ait une source ou une ligne de sources dans le thalweg, et quel est son débit.
Nous appelons nappe$ de ^kalwég rigulièrêê celles dans lesquelles la ligne des sources est parallèle an fond imperméable (fig. 71, pi. XXI).
3&. ConiidératioBS théoriques snr le mouvement des eaux dans l'ensemble d'nne nappe de thalweg (fig. /i5, pi. XiV). — Nous appellerons nappe tupérimun la partie de la nappe OBA qui domine le thalweg et nappe ù^lhieure ou emUtenappe la partie de la nappe AOCD qui est située au*dessous de rborisontale menée par le fond du thalweg.
S'il y a une nappe supérieure qui déverse ses eaux dans le thalweg, on peut établir que la contrenappe épanche aussi ses eaux dans le thalweg et que le débit de la source est la somme des débits de ces deux parties de la nappe totale.
Cette proposition est la conséquence de plusieurs autres.
I. Le limg de la verticale BC du peint de partage des eaux, la pression suit la loi hydroeiaùqur, — En effet la vitesse des eaux étant nulle dans la section du point de partage
des eaux, les fllets liquides ne sont pas soumis à d'autre force que la pesanteur; donc la pression le long de la verticale BC suit la loi hydrostatique.
II. Dana la partie inférieure de la nappe, il ne peut pas exister de parties ou Veau soit immobile. — Soient FËA la ligne qui limite les filets liquides en mouvement, E un point de cette ligne. Menons par E Torthogonale des filets liquides, elle aboutira à un point N de la surface de la nappe supérieure. Le niveau piézométrique du point E sera en N.
D'autre part, considérons un point E', infiniment voisin du point Ë, mais en dehors de la zone des Mets en mouvement. Le point E' étant immobile, ce point a le même niveau piézométrique que le point G appartenant au fond et qui est situé sur la même verticale que lui , mais ce dernier point a le même niveau piézométrique que le point G situé sur la verticale GB. Gonséquemment le niveau piézométrique du point E' est en B, au sommet de la nappe. On aurait donc deux points infini* ment voisins £ et E' qui auraient des niveaux piézométriques N et B différant d*unc quantité finie, ce qui est impossible. C. q,f. d.
Un raisonnement semblable démontrerait encore la proposition dans le cas où Ton supposerait que la masse liquide en mouvement dans la nappe inférieure comprend toute la surface, à l'exception d'un segment curviligne tel que ADG (fig. àfi, pi. XVI). Soient deux points H, F, appartenant au haut et au bas du segment; HM, FN, les orthogonales passant par ces points. Les deux poinis en question ont leurs niveaux piézométriques en M et en N, et la différence de ces niveaux est une quantité finie. D'autre part, si Ton considère deux points H', F', infiniment voisins des précédents et appartenant à la zone immobile, ces deux points ont le même niveau piézométrique; donc ce niveau différerait de Tun ou de l'autre des niveaux des points H, F, dont ils sont infiniment voisins, ce qui est impossible. C. q,f, d.
Donc les filets liquides en mouvement comprennent toute l'étendue de la nappe supérieure et inférieure.
35. Cas d*une nappe de thalweg sur fond imperméable horizontal. — Forme des filets liquides. — Hypothèse fondamentale. — Si Ton se reporte à la figure 3i, qui montre la forme des filets liquides dans le cas d'une nappe d'affleurement, on peut se rendre compte de la forme qu'affectent les filets liquides dans le œs d'une nappe de thalweg. La figure /17, pi. XVI, en donne le tracé approximatif.
On y a supposé deux nappes symétriques BA, B'Â, émergeant dans le même tbalweg. Le thalweg est ici supposé concentré en un point, de sorte qu'aux abords de ce point, le calcul doit donner une vitesse infinie, et les filets sont tangents à la verticale AD. Cette fiction disparaîtrait, bien entendu, si l'on assignait au thalweg des dimensions finies, comme cela a lieu dans la nature.
Si l'on se propose de déterminer la forme de la nappe, on ne peut pas se servir de la théorie simplifiée du paragraphe 10. Celte théorie est ici en défaut. En effet, si on prend pour axe des x le fond imperméable de la nappe, la ii"" équation (B), paragraphe 10 bis, donne, pour la composante verticale de la vitesse des filets liquides, une fonction linéaire en y :
-^ étant une foncliou de x seulement. Celte fouclion ne peut s'annuler qu'une fois.
lorsque y varie de zéro à 4- ^- Or, dans ie cas de la figure 67, une secLion verticale UN rencontre des filets liquides dont la vitesse verticale w est égale à zéro au fond et devient encore égale à zéro dans TinteVieur de la nappe. La formule linéaire ci-dessus ne pourrait donc pas la représenter.
Il faudrait recourir à la théorie exacte (note B) et le problème nous parait fort difficile à résoudre.
On simplifie considérablement la question, en admettant que le fond imperméable est constitué par une courbe dmt les ordonnées soient à celles de la surface Ubre dans un japport deK à i.
En prenant pour axe des x Thorizontale passant par la source du thalweg, et appliquant la théorie simplifiée du paragraphe 10, on a :
Vitesse horizontale des filets :
1 dy (idx"*
dobit :
La nappe étant supposée alimentée uniformément, on écrira que le débit est égal à -^^r, ce qui donnera Téquation différentielle de la surface libre :
Intégrant et déterminant la constante, par la condition qu^au faite, pour;r^= o, on ail y =«= 6, on trouvera :
é<|uation d'une nappe en ellipse correspondant h un coefficient d'absorption égal ù :
nA+k
Dans ce cas, la vitesse verticale des filets liquides ne s'annule qu'une (bis, dans la hauteur totale de la nappe, et elle peut être représentée par la U^ formule B (p. 35). On peut aussi écrire l'équation différentielle des filets liquides, mais son intégration [Kiralt impossible. Les filets liquides ont à peu près la forme de la figure &8, pi. XVI.
L'hypothèse simplificative que nous avons faite revient, en définitive, à négliger finfluence du terrain perméable en forme de triangle curviligne ADG sur le mouvement des filets liquides. Kn diminuant ainsi la section dY'coulement des eaux, on 'It^termine un exhaussement de la surface libre de la nappe.
Si Ton se donne : i"* la longueur du versant a, 3° la hauteur totale de la nappe ^au faîte A ( 1 -f- K), le débit est déterminé.
Lu nappe à fond elliptique B4C, fig. &8. débite moins que la nappe à fond borizontal BADG.
Notre hypothèse conduit donc à trouver un d^it moindre que le débit récL
rrroBs sut r.KS sources. 8
+f.( lia )
Il faut remarquer qu'en supprimaat le triante ADC, on supprime la réMstanee due au mouvement d'ascension verticale des filets liquides, laquelle dépense du travail sans produire d^eifet utile au point de vue du débit II est probable que le débit réel ne difi^re pas beaucoup du débit qui résulte de Thypothëse que nous avons faite.
Le débit de la nappe de thalweg se répartit donc de la manière suivante :
Nappe supérieure :
Nappe inférieure :
Nappe complète :
m du H— il.
En réalité, la nappe supérieur-e, au lieu de débiter le débit total, ne débite quuuo fraction égale à
de ce débit, la nappe inférieure débitant la fraction
Le débit par mètre carré de bassin étant -S^^^ la nappe supérieure ne débite que j-jT, par mètre carré de bassin^ la fraction
étant débitée par la nappe inférieure.
Dans les calculs relatifs à la partie supérieure de la nappe, il faut donc adopler,
pour le coefieient toffori plmnal, non le coefficient - S\ mais bien le coeiiicieul :
S doit être remplacé par —==, en se souvenant que K est toujours le rapport de la
hmUeur de la tontrmappe à tvèsmde mMxiima de Ut tuppt mpiriewn.
Le débit total de la source du kbalweg par mètre courant , pour une nappe €m ellipse, est ainsi égal à :
en appelant B ta hauteur de la eoAtrenappe.
L'hypothèse que nous avons admise parait rationnelle. On peut ajouter qu elle a été vérifiée ])ar Texpérience sur des galeries de filtrage. (Expëriences sur la Tiltralion à Lyon, Clavenad, ingénieur des ponts et chaussëes, Annales des ponts et chaussées de i8go.)
Hypothèse fondamentale. — Noua admettrons donc que, dans tous les cas, c'est-à-dire en crue et eo décrue, le débit de la nappe de thalweg est égal au débit que donnerait la nappe supérieure considérée seule, multipUé par le coefficient ( i -|-K), K étant le rapport de la hauteur de la contrenappe à V ordonnée maxima de la nappe supérieure.
Lorsqu'il s agira de nappe sur fond incliné, nous admettrons encore que le rapport K est déterminé par le rapport de la hauteur de la e&i$lfefiappe à Fordonnée maxima de la nappe supiriewre.
il est éfident, d'tiileiin, que eette hypothèse a des limites d^dpplication. On pressont que si la hauténr de la tiappe infërietire ëtêit très grande par rapport k la hauteur de la nappé supériecrre, Terreur commise pourrait devenir assez grande. Nous verrons aussi que Thypothëse pourra être en défaut lorsque la nappe B'A(fig. £7), qui émerge dans le thalweg, du cAté opposé à la nappe considérée, différera notablement de ceHe-«i comme puissance de débit, de sorte que les conditions de symétrie que nous avons supposées ne seraient pas remplies.
La pratique indiquera les limitea d^application et la théorie nous en fournira même quelques exemples (S 61).
3l). CruêS et décnias des nappa» de thalweg. — Montées ou baisses da faite. — Formules du débit.
1* Cas d'une nappe à fond horizontal. — Montée du faite. — Pour parvenir a la formule qui donne la montée du faite d'une nappe de thalweg, nous n'aurons qu'à suivre ta méthode qui noua a servi pour démontrer le coroHaire IV (p. 7 3).
Soient £ Tordonnée de la nappe supérieure du régime permanent à Tioslant {»=o;
y, Tordonnée k Tinstant t;
p, la hauteur de la contrenappe;
K', le coefficient variable*;
k, le coefficient?;
H, rapport ploviai de la crue par mèlr« carré et par seconde;
h , rapport pluvial da régime permanent ;
h\ rapport pluvial qui entretiendrait le régime permanent avec lordonnéc y;
âe=— ;, le coefficient de féquatlon (78).
L'équation de contiouité (69) appliquée à Tinstant ( noua donne :
\dt/ m m'
On a, d'après rhypothèae fbadamentale rebtive à la répartition du débit dans une oappe de thalweg s
donc :
dy H dt m
d'où, en séparant les variables :
ày
Si on remplaçait K' par sa valeur ( - t, on aurait une équation immédiatement in-
tégrable; mais le résultat serait d'un maniement ditScile pour l'extension de celle théorie aux na{)pes à fond incliné. Il vaut mieux avoir recours à la méthode de fausse position, supposer d'abord K' constant et égal à K. Dans la plupart des circonstances, cette simplification sera suffisamment exacte. Si on en reconnaît la n^essité^on modifiera la valeur de K dans un deuxième essai.
Le grand avantage de ce procédé consiste en ce que l'intégration de l'équation (173) peut se faire immédiatement. Cette équation ne diffère de l'équation (76 bis) que par le changement de
"' ^*° (tTk)'
de sorte qu'on peut écrire ioimédiatement le résultat de l'intégration, c'«st*a dire la formule exacte (81), ou la formule simplifiée (83). Il suffit Jy changer a en — ; ou
Toutes les considérations développées dans la note A pour déduire le débit des nappes de la formule fondamentale (8t)qui donne la valeur de l'ordonnée au faite sont applicables ici.
Par conséquent, les formules (i65), (166), (167), (168), (tSg) et les graphiques correspondants C et F, qui donnent pour une nappe en crue ou en décrue, soit l'ordonnée au faite, soit le débit, sont applicables aux nappes de thalweg comme aux nappes d'affleurement, à la seule condition de changer «en (1 4^ K)a.
a*» Cas d^une nappe de thalweg à fond incliné, — Rappelons que, d'après le corollaire V (page 75), une nappe d'affleurement à fond incliné en crue a la même montée du faite
qu'une nappé à fond horizontal qui aurait une ordonnée au faite égale à (^0 + — )
et une longueur de versant égale à Aa, A et B étant des coefficients qui ne dépendent que de la valeur de la pente hydraulique de la nappe à fond incliné et dont les valeurs numériques sont données par les colonnes 9 et 10 du tableau E et par le graphique 36 (pi. XIII). Poui* avoir la formule de l'ordonnée au faite de la nappe de thalvveg à fond incliné et le débit de la source, il suffit de faire les changements (96 bis) dans la formule (168) et, en outre, de remplacer a par (i +K)a.
— w.( 117 )*^^ Le coefficient a de la formule (97) est donc rempiftcé par :
(•74) («+K). ou iki-^-
Il est souvent utile de mettre ce coefficient sous une autre forme. S' étant le cooffirient d'absorption afférent à la nappe supérieure, considérée comme nappe d'allleurement, on a (équation laB hi$) :
