NOTIONS ACTUELLES. - PRINCIPES ET EXPÉRIENCES
1. FormuleB fondamentaleB. — Théorie de Dapait. — Les principes de la théorie du mouvement de l'eau à travers les terrains perméables ont été posés par Dupuit, dans un mémoire présenté à TAcadémie des sciences en 1867.
Darcy, dans son ouvrage {Fontaines de Dijon) ^ a cité diverses expériences qui avaient pour but de chercher les lois de l'écoulement à fravers les terrains perméables et qui ont confirmé les principes posés par Dupuit.
Tous les terrains perméables se composent de particules solides juxtaposées, qui laissent entre elles des vides. Lorsque Teau pénètre dans de pareils terrains, elle circule à travers ces interstices comme à travers des tuyaux de diamètres très petits. Elle éprouve dans son mouvement une résistance de même nature que celle qu'elle rencontre dans son écoulement dans les tuyaux de conduite.
Si Ton considère un filet liquide en particulier, on voit que le chemin qu'il parcourt est plus ou moins sinueux, mais qu'en définitive on peut fictivement considérer ce filet comme parcourant une trajectoire moyenne avec une vitesse moyenne u qui est la résultante des projections des vitesses variables du filet sur l'élément de sa trajectoire moyenne.
La résistance au mouvement qu'éprouve ce filet est évidemment dirigée suivant ladite trajectoire et en sens contraire du mouvement.
Lorsqu'il s'agit du mouvement dans les canaux découverts, on a la relation bien connue :
Rt = att -f- ^" +
Dans cette formule, t représente la pente ou plus exactement le sinus de l'inclinaison du fond du canal.
n est naturel d'admettre que l'écoulement de l'eau à travers les terrains perméables obéît à une loi semblable.
Mais, dans ce cas, la formule se simplifie.
Le rayon moyen des petits canaux est lui-même très petit, la vitesse d'écoulement est réduite h des dixièmes, des centièmes, des millièmes de millimètre; dès lors, les termes en u^, u^ sont négligeables, et la formule se réduit à :
ou plus exactement,
, . sm I (t) tt^« ,
(i étant une constante spécifique qui exprime la résistance du terrain au mouvement de l'eau.
La plus grande valeur que puisse prendre le sinus csl Tunilr; donc la plus grande vitesse que puisse prendre Teau coulant librement et d u:i moivcment uniforme dans
un terraiil perméable est égalé 4 —
Pour avoir le débit, il faut AttltiplicM' \ê viteflM pal* U section. Ici la section est représentée par Tensemble des vides qu'on obtient dans une coupe Alite normalement au courant.
Appelant m le rapport du mde au pleine on a pour le débit par mètre carré, q :
(a) q^mu^-^u
Les formules (i) et (a) sont fondamentales*
S. Expérience de ïtarcy. ^ Darcy sMUint proposa d'étudier le mouvement de Tcau u travers les filtfes en sables de diverses grosseurs est arrivé à la conciusioû suivante :
Le débit d*on filti^ est proportionnel à la charge H et eli raison inverse de l^épaissjur de ia couche traversée e.
K éUkûl uhé eoilsfafite sttéclfique.
Or il est facile de voir que - n'est iutre chose que siti û
En effet, toutes les fois que feeu deieend d'tfoe haaieur Cfi^ U (flgt 194 pi. V), cile parcourt tHU- dlittili AB««tff et i'oa â s
- ** mu h
Votei quelque* âodfléeë ttuffiërlques deistinée» k tèit9 eoiiflettfë Terdre de grandeur des coefficients.
Pour un gros sable défini ainsi i
o"',58 passant par un crible de * » ^""f??
o"*,i3 passant par un crible de i",io
e"*9i 9 passant par un crible de 4 ••. ^ .... « ... «,...,«< < ^"'^oo total 0,17 de menu gravier,
et ayant o,3S de vide, Darcy a trouve :
ce qui donne :
-=o,ooo3, m = o,38f f*= 1.966.
Dans cette expérience, il s'agit d*un sable assez grossier. Les sables fins employés pour les filti'es ne donnent guère que 6 mëtres cubes d'eau par â& heures avec une charge de i",5o.
Pour ces sables, on a :
Poar le saMe groMMr^ k vitesse de i'eau dan» le filire eet égale à
— rr- 00 0,00084
Pouf le saUe fin , elle eit eeoletneftt an
ou 0100017/i.
Sur une pente », ces vitesses seraient réduites k :
0,0008 sin/, 0,000 17Â sin^.
Dans les tiappes nquitkfeê, la petite «st sotitettt rddttite il qtidqtfès» cëntl^tnes et même k qiidqoes miUiiffles; où voit dône qtce lëê vitesses qtië pnmd feati dans lês
terrains naturels sont extrêmement petites.
Cette obseftfltioii conduit h tme eonséqneiiee itaportante f e*^t qu'il n^^ a jnmais Heu de ienit eompfe, dans les calculs, dé la/Mweit^ dtte I ta titesse. D^s lOf», 1m romniles fondamentales da mom$mm varié sMt les mentes que eeOei du moufeifient uniforme, ce sont toujours les formules (1) et (fl)«
3. Simpliicatioii dans les formulfls fondâiiiëntelM. — Les fttritttilM exactes (1) et (â) conduisent It des celctds ^tkkAemmi très cmapliqués, et mêtnë ifi^oftfbfei, sauf dans des cas limités; cela tient ft ce qtfa s}ii/ ne petit être exprimé qtte d*ttfle manière irrationnelle en fonction des coordonnées x et y.
On a:
sint =
'^Hiï
Dupuit a tdtimé cette difficufté en àssimitenf le stntis à fa tangente et le cosinas li Tunité, ce qni est snlfisamment exact tant qtte Tangie i est un petit ditgle. Cette circonstance se présente en effet dans !« pins grende partie des ndppes aquiftr^.
Dupuit po^ donc :
A celle simplification Dupuit en ajoute une autres
Dans un terrain perméable t lei ^«asiona hydrottatiquee ne se transmettent pas suifant la verticale, comme dans un liquide en repos. Di^NiU ne aeitd>le paa avoir aperçu celte différence, ou du moins il n'en parle pas. Il admet donc que la pression se transmet dans la verticale d'un terrain perméable suivant la loi hydrostatique.
Noos verrons pins tard que, par suite d'une compensation entre les erreureen sens eontrairea, ces kfpotbèaeet qni oni Tavantoge de simplifier eonaidéraUeaBmlt la lliéorie , a'en allèrent paa aeniiUemeot Texactittide.
à. Définition d'une nappe aquifère. — Diyers modes d'éooolement. — L'eau qui s'infiltre à travers ies vides d'un terrain perméable descend verticalement en filets plus on moins ténus ou en gouttes, jusqu'à ce qu'elle ait rencontré une couche ou assise imperméable qui l'arrête.
Elle s'amasse sur cette couche, et en même temps, elle chemine, avec une pente qui se rapproche plus ou moins de l'horizontale, vers les points bas. C'est à celte masse d'eau coulant sur une couche imperméable à travers un terrain perméable qu'on donne le nom de nappe aqmfire.
Une nappe aquifère peut se diriger vers des points qui lui donnent une issue au jour, ou bien elle peut s'enfoncer dans le sol et ne ressortir au jour qu à des points très éloignés de son point de formation.
Ce sont les nappes du premier genre que nous considérerons ici.
On peut étudier deux modes d'écoulement principaux :
1° Ou bien la couche imperméable a la forme d'un plan incliné de pente uniforme aboutissant au jour à un cours d'eau rectiligne ou à une galerie artificielle, également rectiligne, que la nappe aquifbre alimente;
3" Ou bien on a creusé dans le milieu de la nappe aquifère un puits dans lequel on aspire l'eau, et les eaux de la nappe s'écoulent vers ce puits en filets convergents.
Dans le premier cas, la nappe s'écoule par tranches parallèles; dans le deuxième cas, elle s'écoule par tranches convergentes.
3. Nappes aquifères à débit uniforme. — Dupuit a étudié ces deux cas, mais seulement pour des nappes aquifères à iéhii untforme. Dans ces nappes, te mmwement est permanent en chaque point et ne dépend pas du temps.
C'est le cas le plus simple.
Eu réalité, dans la nature, les nappes aquifères ont un débit varié; cependant diverses circonstances que nous examinerons plus tard font que le débit uniforme ou à peu près uniforme se réidise quelquefois.
Nous considérerons successivement les cas examinés par Dupuit.
6. Nappe aquifère à débit uniforme coulant par tranches parallèles sur un fond incliné. — Considérons une tranche de i mètre de largeur de la nappe aquifère , dirigée suivant la ligne de plus grande pente , et coupons-la par un plan vertical.
Rapportons la surface de la nappe à deux axes de coordonnées obliques, l'axe des yy vertical, et l'axe des xx dirigé suivant le plan de la couche imperméable.
Appelons (fig. i3, pi. V) :
t l'inclinaison du plan, supposée petite et comptée positivement lorsqu'il descend
et négativement lorsqu'il monte; b la hauteur de l'eau à l'origine; q le débit par mètre de largeur de la nappe aquifère; m le rapport du vide au plein; (JL le coefficient de résistance déjà défini;
c le produit —•
Si Ton admet avec Dupuit que la pression se transmet suivant la loi hydrostatique (oui le long d'une verticale, l'écoulement des iilcts liquides qui traversent l'ordonnée
verticale CM^^^y se fait avec une même viteaee, qui ne dépend que de la tangenle de Tangie que fait avec Thorixontale Télément de la courbe de suarface qui passe par le point M. On a donc sensiblement pour cette vitesse (équation i ) :
Les âéments liquides font avec Thorizontale des angles qui vont en diminuant depuis le point M jusqu'au point C. Pour avoir le débit de chaque élément, il faudrait multiplier la vitesse par le cosinus de cet angle. On suppose les angles asses pedts pour que ce cosinus puisse être assimilé à funité.
On a donc pour le débit :
Remplaçant ^ par c et séparant les variables, on peut mettre cette équation sous la forme suivante :
Intégrant et ^marquant que pour :r«»o,ona2^==-&,on Irouvc :
(6) x = j-^ ~ ^^, log nep
en développant le logarithme en s^rie , on trouve :
ac 3c* ^ ^ ' hc^
Si le fond est horizontal on n'a qu'une très petite pente, on peut négliger tous les termes après le premier, et Téquation se réduit à :
équation d'une .parabole dont Taxe est horizontal. La distance a du sommet de ia parabole est donnée par la relation :
Si dans Téqualion 8 on remplace c par sa valeur —, ou trouve :
" fi j: a
Entre les deux sections OB, CM, {b — y) est la charge,-^ est la section moyenne,
et jr est l'épaisseur de la couche traversée. On retrouve donc ici le principe fondamental déjà cité.
L'équation générale (6) peut se mettre sous une forme qui montre mieux Tanalogie qui existe entre le mouvement des eaux à travers les terrains perméables et le mouvement des eaux libres.
Il existe évideoimeni pour un débit doaaé une profondear d'eau uniforme H, sous laquelle la nappe aqui&re coolerail parallèlement à aon plan de base. Get&e hanteur est donnée par la relation :
ou
qui rappelle la relatien applicable aux cours d*eau de grande largeur,
Ht = au -f- ^tt^-
g* Si dans Tëquation (6) on remplace -r par H, et qu'on divise partout par H, on
trouve :
ix y b ,
C'est-à-dire que , dans les terrains perméables comme dans le cours d'eau ordinaire , on a :
Si on construit la courbe dans Thypothèse de H = i , cette courbe ou la table équivalente donnera les valeurs de ^ et ^ pour un cas quelconque.
Pour une nappe d'abaissement, ^ varie de i à zëro. Pour une nappe de gonflement,
~ varie de i à 4- ^o-
Le tableau suivant donne un certain nombre des valeurs covreapondantea de -g-
TlBLEAU A.
