FE

De sorte qu'on peut encore construire la nouvelle couri>e V^ , en réduisant dans le rapport ( i — u) tous les rayons vecteurs FE.

Quant à la construction des courbes V et V^ nous avons donné, au paragraphe &5, tous les détails nécessaires pour y parvenir. Il nous parait inutile d'y revenir.

CoioixAiai. La proposition V s'applique évidemment au contreversant; il suffit d'y changer rexprosaion versant en contreversant et viee fina, et V en V.

65. EKots produits par rabaissement ou rexhaussement d'une source. Points limites du tariaaament. (Fig. i3&, pi. XKXVIII). — Supposons d'abord qu'on abaisse

une source de versant, et qu'on lui fasse occuper les positions T^jT^ ; on voit

sur la figure que les courbes Vj, V^ , relatives 9m nouvelles positions de la

source , viendront rencontrer ia courbe Y du contreversant en des points B| 6, qui se rapprocheront de plus en plus du thalweg du contreversant. Ce sont les nouveaux points de partage des eaux*

Le bassin du versant, qui était TB, devient Tn^, TB, (le signe ^ indiquant nne distance horisootale). Il augmente.

Le bassin du contreversant dimînna de ia même longueur. Le débit de la source du versant augmente; celui de la source du contreversant diminue de la même quantité.

Si, an lieu d'un abaissement, la source du versant éprouve nu exhaussement, les nouvelles courbas V^, V5 rencontrent la courbe du contreversant V en des points B^, B3 de plus en plus élevés. Le bassin alimentaire du versant diminue , ainsi que

son débit. Le bassin alimentaire du contreversant et son débit éprouvent dos augmentations respectivement égales.

H est évident que ces propriétés s'appliquent aussi au contreversant.

Nous pouvons donc formuler la proposition suivante :

Proposition VI. Uahaissement d^une êource abaUse en même tempi k faite de la nappr pennanente. Il augmente le débit de cette source , et diminue JtautatU le dihk de la source de foutre versant

Lexhaussement tunie source produit des effets contraires.

Ainsi se trouve démontrée une propriété des sources , qui a été énoncée dans di s termes moins généraux par Darcy, et contestée depuis par plusieurs ingénieurs, notamment par Belgrand.

Étudions de plus près les variations du débit de la source du versant en fonction de rabaissement ou.de Texhaussement de la source.

1** Abaissement. — L'abaissement a une Umite, c'est lorsque la source est abaissée jusqu'au fond imperméable en F (fig. i3&).

La courbe V se réduit alors à une ligne droite, PB^, |>our laquelle on a (équation "lUo):

l-ho-

(rest rinclinaison commune des asymptotes de toutes les courbes V.

L'augmentation de débit de la source du versant atteint alors le maximum de co qu'il soit possible d'obtenir par un abaissement de cette source.

La figure i3& montre que les choses se passent de la même manière du coté du contreversant.

De ce côté, à mesure qu'on abaisse la source T', les courbes Y s'abaissent elles* mêmes, et lorsque la source est descendue à son point le plus bas, c'est-JHlire sur Ir Ibud imperméable en F', la courbe Y se réduit à la droite P'B' qui a pour inclinaison :

et qui est parallèle aux asymptotes des courbes V. (Équation 267.)

Lorsque la source du contreversant est abaissée en F\ sur le fond imperméable, elle atteint le débit maximum qu'elle puisse prendre par le fait d'un abaissemeoL

Prolongeons les droites FB^, F'B'^ jusqu'aux verticales des sources; elles les rencontrent en deux points J, J', qui sout des points Hmites.

Si la source du contreversant était placée en 1\ et la source du versant k son poiul le plus bas en F, tout le débit de la nappe irait au versant, la source du contreversant serait tarie.

Si ij source du contreversant était placée au-dessus du point J', l'abaissement progressif de la source du versant tarirait celle du contreversant avant d'être arrivé jusqu'au poiul F.

Si ia source du contreversant étoit placée au-dessous du point J', Tabaissemeot de la source du versant, même poussé jusqu'au fond imperméable, ne pourrait pas tarir la source du contreversanL

Le point J, situé sur la verticale du thalweg du versant, jouit de propriétés réciproques.

9' Exhauêsement. — Si rabaissement d'une source a une limite, son exhaussement a aussi une limite; c'est celle quon atteint lorsque tout le débit du bassin sVcoule vers la source du versant opposa.

Considérons sur la figure i3& la courbe V prolongée. Elle rencontre au point L la verticale du thalweg du versant. C'est k point limite de T exhaussement. Il est évident, en effet, qne si la source du versant ëtait exhaussée jusqu'en L, U versant n'aurait plus de source j et toutes les eaux s* écouleraient vers h thalweg du contreversant,

A mesure qu'on exhausse la source T en T^, T^, la partie droite de la courbe V prend les positions T^V^, T5V5, les points V, V^, V^, étant en ligne droite. Dans cette dernière position T^, le point Vj^ est situé sur la courbe Y'; la pente hydraulique de la nappe du versant est alors égale à 1 (S & 5). Au delà de T^, cette nappe n'est plus qu'une nappe à un seul versant» elle ne peut plus avoir de tangente horizontale; il n'y aurait plus de point de partage.

Cette solution est donc impossible^ et il faut admettre que Thypothèse fondamentale que nous avons faite sur la répartition du débit d'une nappe de thalweg entre la nappe et la contrenappe n est plus acceptable lorsque le rapport K prend une trop grande valeur. C'est ce que nous avions déjà indiqué au paragraphe 3 s.

Il n'y a aucune raison de supposer que le point limite L serait modifié par suite de cette circonstance; mais il faut admettre que le point V, extrémité de la partie droite de la courbe V, se maintient sur la courbe V, ou bien, qu'au lieu de se maintenir sur cette courbe prolongée, il suit un lieu géométrique tel que F, S, U, qui, à partir d'une certaine hauteur, s'infléchit vers le point L par lequel il passe.

Ces considérations ne présentent d'ailleurs qu'un iatérét théorique, l'exhaussement d'une source à une grande hauteur étant une opération pour laquelle pn ne voit d'application possible que dans des cas exceptionnels.

On remarquera une différence essentielle eatre les points i et les points^L.

Ces derniers ne sont pas fixes. Leur position est tiée à la position du faite , c'esUi*

dire au rapport des longueurs des deux versants.

Les points J, au contraire, sont Jixes. Leurs hauteurs au-dessus du fond imperméable, qui sont respectivement :

pour le point J ,

pour le point J', ne dépendent que de la pente hydraulique absolue du terrain (A)* dont 70, y^' sont les coefiicienl«, colonnes 9 et S du tableau E.

Au fond, les points J, J\ sont les limites extrêmes^ inférieures ^ qu'atteignent les

points L, L'y lorsque les sources du cou traversant ou du versant sont abaissées respeetivement jusqu'au fond imperméable.

On peut résumer cette analyse dans ia proposition suivante :

Proposition VU. H existe $ur la verticale de chaque source deuxpmnti limites L, J; L\ J .

Si Von maintierU Fune des sources dans sa position naturelle et qu*oti exhausse t autre sowce jusqiCau peint L , tout h débit de la nappe s^ écoulera par la première.

Si Ton maintient Vune des sources au point J et quon abaisse la deuxième au niveau du fond perméable , tout le débit de la tuippe s^ écoulera vers cette dernière.

Ces points limites d^ahaissement J, J\ ont une position fixe, qui ne dépend que de la penk géométrique e de la nappe et de son coefficient d* absorption S,

Si Tune des sources est située aurdessus du point J , elle peut être tarie par rabaissement de T autre y avant même que cette dernière soit abaissée au niveau du fond imperméable.

Cest pourquoi on peut appeler les points J, i\ points limites du tarissement,

66, Détermination du débit permanent d*uiie source abaissée ou exhaussée. < — Deux méthodes, Tune graphique, Tautre de calcul, peuvent être employées pour déterminer un pareil débit.

Préalablement à l'emploi de toute méthode, il faut déterminer les éléments spécifiques de la nappe naturelle. Nous indiquerons au chapitre ix comment on y parvient.

Ces éléments sont au nombre de 9, que nous appellerons :

H, hauteur totale de la nappe au faite, depuis la sur&ce jusqu'au fond imperméable ; Pf hauteur de la souroe du versant aunleasus du fond ; a, longueur du versant;

p\ (L — - a) les quantités analogues pour le contreversant ; s, la pente du fond;

S, le coefficient d'absorption total du terrain ; s, la pente hydraulique de la nappe naturelle du versant; t\ la pente hydraulique de la nappe naturelle du oOntreversant.

Détermination du nouveau débit par It méthode graphique. «^ La nappe naturelle étant ainsi complètement déterminée, on fera ie calcul des eourbes V et \' poar cette nappe, par la méthode exposée au paragraphe AB.

Si c'est la source du versant qui est exhaussée ou abaissée, on eonsiruira tes nouvelles courbes V, semblables h la première, par application de la proposition V.

Les points de rencontre de ces courbes avec la courbe du contreversant V, qui n^s pas changé, permettront de mesurer sur l'épure le relèvement ou l'abaissement de la nappe et la diminution ou Taccroisseoient de son bassin alimentaire, et, par suite, de son débit.

La méthode sera la même si c'est la source du contreversant qui est exhaussée ou abaissée, celle du versant restant sans changement.

. Détermination dn nonvaau débit par un oalool approximatif. *— Si, comme

cela arrive souvent , la modification apportée dans le niveau de l'une des sources n'est pas très grande, on peut considérer les courbes V et V' comme se confondant avec

leurs tangentes dam TéteAdue d£ ia modifiée lion, et alors le problème se simplifie beaucoup.

Il se réduit à trouver Tinterseotioa de deux lignes droitea.

i"^ Changement de niveau de la source du versant. — Nous prendrons pour origine des coordonn<^es le pied de la verticale du point de source du versant sur le fond : le point F (fig. i3/i). Les axes obliques seront donc cette verticale et la ligne du fond.

(p et (p' étant les coefficients différentiels des tangentes aux courbes V et V, au faite, dont les coordonnées rapportées au point de source du versant sont h^, a, on aura pour réquation de ces deux tangentes (équation 3&5) :

Tangente à la courbe V :

Tangente à la courbe V :

Dans le deuxième membre de cette dernière équation, ii faut mettre^ ie st^e moins, parce que la tangente ^' se rapportait au point de source du contreversant, tandis que nous rapportons cette droite aa point de source du versant pris pour origine des coorr données.

Supposons maintenant qu on modifie pur exhaussement ou abaissement la source du versant. * '

Soit u la fraction de ia( hauteur de la contrenappe p, dont le nirean est abaissé; '^""n s'agit d'un exhaussement, on fera u négatif.

Par le fait de rabaissement, toutes les coordonnées de la courbe V décroissent dans le rapport de

1 à (i-tt).

On aura donc , pour Téquation de la tangente k \t\ ùotivetle couïbe :

Les coordonnées An point de rencqntjce dç la courbe V modifiée seront données par la résolution des deux équations du premier degré (383) cl (384); on trouve : Abaifisement.de la nappe : ,

Augmentation relative de la longueur du bassin alimentaire et par suite du débit de la source du versant :

Q" Changement de niveau de la sùurce du contreversant — Nous prendrons, dans ce cas, pour origine des eootdo&nées, te pieA de la verticale menée «par k point de source du

oon^refversant sur le fond imperméaUe, en conservant 1« même axe des x, mais pris en sens contraire.

La fraction u qui mesure rabaissement de la source sera prise par rapport i la hauteur de la contronappc du contreversant|i'.

Les ëquations (383), (38&) peuvent être encore appliquées, en changeant :

a en L — a,

^' en ^

et inversement.

Les solutions seront données par les équations (385), (386), en introduisant les mêmes changements. On trouve ainsi :

Abaissement de la nappe :

Augmentation relative du débit de la source du contreversant :

Les équations (385), (386), (385 Ut), (386 ftit), permettront de résoudre très simplement le problème de rabaissement ou de Texhaussement d'une source, sans faire de graphique, dans le cas oii ces modifications seront peu importantes.

Cas d*une nappe tV affleurement. — Les calculs précédents s'appliquent à une nappe de thalweg.

Dans le cas d'une nappe d'affleurement, ;?«=>o, et les calculs pour la construction des courbes V, V tombent en défaut.

En effet, dans ce cas, la courbe V de ta nappe naturelle du yersant se réduit k la ligne droite, lig. i3/i, qui passe par le point de similitude F, de sorte qu'on ne peut plus construire des courbes V qui lui soient semblables.

H est clair que si l'on connaissait une seule de ces courbes, eda suffirait pour construire les autres, et le problème serait ramené au précédent Nous rappellerons la solution déjà exposée au chapitre y.

On calculera d'abord la pente hydraulique de la nappe naturelle du versant par la

formule ordinaire t* = 7, qui, en remplaçant (opar H et ^ par sa valeur —, devient ici :

ta t.

On en dëduira la valeur de S :

ïlt„

Cela fait, soit B une hauteur quelconque d'exhaussement de la source du versant,

< ans ><*.^-

Appelant y, jt les coordonnées du nouveau folle, on aura, en vertu de ia reiation

On a, d ailleurs, en vertu de la théorie des courbes V, S && :

Il «

ou :

Celte ëquation fournira (y-- B), quand on se sera donné t. Portant cette valeur dans réquation précédente, on aura :

/S, 6 étant les coefficients des colonnes 3 et 7 du tableau E.

Au moyen de ces deux dernières équations et en donnant k z des valeurs successives, on obtiendra, pour chacune de ces valeurs, les coordonnées y et a? du faite correspondant.

On pourra donc construire ta courbe V correspondante, et celle-là une fois tracée^ on tracera les autres courbes V par voie de similitude. La difficulté relative aux nappes d'affleurement est ainsi levée.

Appliquons la méthode graphique à une nappe de thalv^eg.

AppHeaAm numérique à une nappe de Aalweg. — Nous supposons qu'on a affiire à la nappe déterminée par Tobservation au chapitre ix et qui présente tes éléments suivants :

L«= 1.000"; /i=fio*; )*' = 5"; «=«0,01.

«== 700*; ^=0,0188; i=o,5i; r' = o,33. L — a = 3oo; «Q = -j=o,a66; K = (-J — 1 = 2,67.

On trouvera :

^«^0,00979 (équation a&B).

Inclinaison der l'asymptote, c6té versant :

^0 = 0,0188 X o,6oa = 0,011 3,

On trouvera de même :

^' = o,oi3fi.

Inelinaisdii de Tasympietev o6té oontrevenant :

Voici oiaintenant le tableau des calculs d'un certain nombre de points des courbes VetV:

Tableau U.