oo
léro.
Le laUeau B et la figure 93 démontrent que dès que le Tapp<H't ~ dépasse sensibleoient l'unité, les trois tracés sont pratiquement identiques. Cela tient à ce que les trois formules renferment toutes le terme i*^) dont Tinfluence est prépondérante.
Mais les drCKrenoes entre let trois courbes deviennent sensibles dans le voisinage de la source. Dans la nappe de Tëqualion (i 7), la hauteur minma de la nappe est ^le à c, et Yorifice de la source est vertical.
• se
Dans la nappe de Téqualion (19), la hauteur minima de la nappe est égale à — et lorlBce de la source est un quart de cercle.
Dans la parabole, la hauteur minima de ia nappe est égale à zéro et Torifiee; m réduit à un point, circonstance irréalisable.
Ces considérations démontrent que la méthode simplifiée de Dupoit est d'une exactitude suflSsanle pour le calcul des nappes. Elle ne cesse d'être exacte qu'à une petite distance des points de sources, ce qui pratiquement n'a aucun intérêt.
10. Vise en équation du problème des nappes. Équation de continuité. • — Prenons maintenant le problème dans sa généralité, en conservant l*hypothèse fondamentale de Dupuit.
Soient x^ z^yle» trois coordonnées rectangulaires d-un poùii de la surfaee libre d^une nappe dont le fond imperméable est constitué par le plan des xz.
L'axe des y est vertical.
Considérons un prisme vertical dxdz et projetons les vitesses des filets liquides sur les axes.
D'après l'hypothèse, les composantes horitontales de la vitesse des filets liquides sont les mêmes pour iiom les 'points vini0 iqsids uf domiée' * vsiiiesle* Les 'débits par mètre cairé sont donc aussi les mêmes*
Par la -face amont ydz normale aux j?, il entre pendant l'élément de temps dl un volume dleau égal à :
•' ' qdzdt,
q étant la composante parallèle aux :r du débit de la nappe par mètre de largeur. Il sort par la face d'aval un volume d'eau :
y + {%)d^]d^,iL
11 est déuc sorti du prisme un volume d'eau : ;
On trouverait de même que par la face ydx il est sorti du prisme un volune d'eau égal à : j
ixdzdt.
D'un autre côté, la nappe reçoit un apport pluvial par sa surface libre. Appelons H l'apport piuvial par mta^ carré et par seconde au point osnsidéré x^z. Lé volume d'oau éléi^eataire. reçu par le piisjBie vertical pendant i^ .temps di spra .:
Hdsizdt.
Cet apport aura pu détanniner une montée de la nappe correspondant à un aceroisae^ ment de volume dont la valeur eat évidemment :
(^i)dtda^
m étant le rapport du vide au plein.
Ecrivons que Taccroissement total de volume du prisme est égal à {apport pluvial, supprimons le facteur commun dxdzdt et nous aurons Yiquation de cmitinuiti :
A cette équation il faut ajouter les deux équations qui donnent les valeurs de q et j* :
Les trois équations (ai), (au), (dS) permettent de déterminer les trois inconnues ? ) 9*9 y* c'est-à-dire la forme de la nofpe et êtm débit ^ et par suite toutes les circonstances du mouvement.
On aura la projection horizontale des trajectoires des filets liquides en remarquant que la direction de ces filets est déterminée par celle de ta résultante des d^its élémentaires. On a donc, pour leur équation différentieUe :
y étant une fonction de op, z, t, toutes les dérivées de y qui figurent dans les équations ci-dessus sont des dérivées partielles.
Dans le cas où le fond de la nappe imperméable, au lieu d'être horizontal, est incliné avec une pente e, on peut prendre ce plan pour pian des xz^ Taxe des y restant vertical. Les coordonnées deviennent obliques.
Mais d'ordinaire l'inclinaison e est faible, et l'on peut confondre les x et les z avec leurs projections verticales. Il suffit alors de remplacer, dans les équations ci-dessus :
e et e" étant les composantes de la pente e parallèles aux x et aux z.
Happes cylindriques. — Dans le cas particulier des nappes cylindriques, c'est- À-dire des nappes dans lesquelles les filets liquides s'écoulent par tranches verticales
parallèles et identiques, on n'a plus besoin que de deux axes de coordonnées. Les z disparaissent, q" = o et les quatre équations se réduisent aux suivantes :
Si le fond de la nappe a une pente e, on remplacera, dans réquation(35) :
Les équations (9&), (û5) sont celles que nous appliquerons le plus fréquemment dans cette étude.
Nous recourrons aux équations plus générales (ai), (as), (93),(33Ut) dans quelques problèmes.
Intégration dans le cas des nappes permanentes d'affleurement sur fond imperméable horiiontal. — Les équations (91), (99),(33) ne sont généralement |)as int^rables. On peut cependant les intégrer dans le cas très simple d'une nappe permanente, coulant sur un fond imperméable horiiontal.
Prenons ce fond pour plan des xt^ Taxe des y étant vertical.
La nappe étant permanente, le terme (^ j disparaît.
On peut toujours ramener Téqnation de la nappe à la forme :
Y étant une fonction de x et de z.
On a successivement, en différentiant :
\dx/ afi\Ac*/ dz 9jBi\rf«*/
Substituant dans (^i), celle-ci devient :
Telle est Téquation différentielle à intégrer.
On remarquera Tanalogie de cette équation avec Téquation de la corde vibrante :
doiil Piutégrale est connue.
Les premien membres s'identifienl quaad on pose :
On parviendra à Tintégralion de Téquation (96) par le même procédé. On changera de variables en posant :
s cl ^ étanl les nouvelles variables, on aura *
On trouvera de même :
Snbstitoanl dans Tcqualion (96), il vienl :
inlégrant cette équation d'abord par rapport à fi, puis par rapport à a, on obtient, pour int^[rale finale :
/"et ^ désignant des fonctions arbitraires.
Remplaçant a et /S par leurs valeurs, et prenant la racine carrée, on a finalement réqoation de la nappe :
"ormule où 1= V — ^ •
Malheureusement cette formule est d'un maniement difficile et ne se prête qu'à un petit nombre d'applications.
ÉTII0I9 Slin 1.1s MDICKS. 3
10 bis. Théorie simplifiée. — Théorie exacte, d'après M. Limasset, ingénieur en chef des ponts et chaussées. — M. Limasset établit les équations générales de ia manière suivante ^^) :
FormtUes générales. — Soient :
p, la pression du liquide au point x,z, y, en prenant la tonne comme unité;
tf , v^ w les composantes de la vitesse du filet liquide suivant les axes;
V, cette vitesse effective ;
m, le rapport du vide au plein;
-, la vitesse que doit prendre Teau dans le terrain pour faire équilibre à son poids;
gy Taccélération de la pesanteur.
On admet que la résistance est proportionnelle à la vitesse. L axe des y est vertical et ascendant.
Parallèlement aux x^ l'élément du parallélipipède dxdtdy est soumis à trois forces :
i"* La pression, dont la différence sur les deux faces est égale à m(^\dxdzdy^ et dirigée en sens contraire du mouvement;
fk"* La résistance au mouvement, laqudle est proportionnelle à la surface de Télé-
ment mdzdy et à sa longueur dx et au rapport r--r- ou /lU ; c'est donc fiudxdzdy;
3° La force d'inertie —j- àxdzdy^ également dirigée en sens contraire du mouvement. La somme de ces trois forces doit être ^le à léro, d'où Téquation :
<fo 1 du
On écrira une équation semblable pour la projection sur Taxe des 2. Pour la projection sur Taxe des y, on aura à tenir compte d'une quatrième force égaie au poids de l'élément, c'est-à-dire :
i Xn^dxdxdy.
A ces trois équations s'en ajoute une quatrième, l'équation de continuité. On a donc les quatre équations suivantes :
, dp , i du . dp , i dv
rftt - d» dm
quatre équations entre quatre inconnues u, t^, to, p,
^') Notre travaid était terminé lorsque M. Limasset a bien voulu nous communiquer des coasidératîons originales sur ia théorie des nappes souterraines. Nous avons mis à profit dans quelques parties les intéressantes recherches do M. Limasset, â qui nous adressons nos remerciements.
Théorie ordinaire ou théorie simplifiée. — On admet que ia vitesse de Teau est partout très petite. Gela conduit à négliger les forces d'inertie qui, relativement aux autres, deviennent alors du second ordre. On admet encore que les nappes sont très étendues dans le sens des x et des z, et qu'elles ont une épaisseur faible dans le sens des y. On en conclut que la vitesse w est d^un ordre de grandeur moindre que u et o et on néglige fiw au regard de Tunitë. Les équations (A) se réduisent alors aux suivantes :
du ^ do ^ dw
La trotsiëffle équation est immédiatement intégrable. Si U représente une fonction quelconque de x^ z, t, Tintégration de ces équations donne successivement :
[kbit)
dx
dW
