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en appelant oj rinclinaison sur rborizontaie de iélém^t BB' de la surface libre.
VIL Dans les conditions du paragraphe précédent, le débit de Tean qui traverse une orthogonale est égal au produit de la longuaur développée de cette ligne par la vitesse à la surface et par le coefficient m. — Cette propriété se déduit immédiatement de la précédente. On a donc, en appelant l la longueur développée de Torthogonale et q le débit :
VIII. Dans les conditions des paragraphes VI et VII et pour une nappe à fond horizontal , le débit de Teau qui traverse une orthogonale est sensiblement égal
à - y X arc &i (fig. si, pi. VI). — En effet, Torthogonale étant une courbe à la fois
normale à la courbe de la surface libre et normale au fond, éUe se iDOnfond sensiblement avec le cercle qui a pour centre le point de rencontre R de la tangente au point N avec la ligne droite qui marque le fond de la nappe, c'est-à-dire avec Tare de cercle PN.
Con^dérons, en particulier, le cas d'une nappe à débit uniforme. On a ;
m^J^ arcPN-/-y~,
sm « ' 811) «
et d'après le corollaire VII, le débit :
Si l'on compare cette Formule à celle de Dupuil,
on voit qu'elle en diSëre par la substitution de â; à tang ca. La formule de Dupuit donne an point de source une vitesse infinie pour une section nulle. Cest évidemment une fiction, puisqu'une nappe de section nulle ne peut rien débiter.
La formule i5 serre de plus près la réalité.
La plus grande valeur que puisse prendre Tare cû est -. On aurait donc à la limite :
et Torifice d^émission de la nappe aurait une hauteur A'B' (fig. 99, pi. VII) égale à :
«n ou —
L'orthogonale terminale aurait la forme du quart de cercle B'B'', et la vitesse des
fileU liquides qui traverseraient cette section minima serait égale à -•
Ces conBéqneneea aoftt certainemeot inexactes, car la figuro s» montre que lea arcs de cercle successifs auxquels nous avons assimilé les courbes orthogonales, loin d'être parallèles, se rapprochent de plus en plus sur le fond de la nappe à mesure quon considère des points plus voisins du terminus. L'ordonnée terminale est donc plus
grande que — , et l'orifice d'émission doit avoir une forme plus ou moins ellipsoïdale
plus haute que large.
Pour éviter les impossibilités de la formule de Dupuit, on a quelquefois substitué dans cette formule le sinus à la tangente, en faisant :
(t6) g = -y^ = -ysin(y.
Celte formule donne :
pour la hauteur migiima de la nappe.
Il est intéressant de comparer les trois formules du débit.
9. Comparaison des trois formulas dans U cas d'une nappe à débit uniforme , conlant sur on fond horisontal :
1^ La formule (16) donne :
yiy ^^ c \/ duc^ + dy\
Élevant au carré et séparant les variables, on a :
On intègre facilement cette équatloo e^ posant :
et on détermine la constante par la condition que pour ^==00 on ait X'-=r 0. On
trouve ainsi :
^'^ On a pour la formule (i5) :
Or:
donc :
djt «i; = arccolangT-;
dxsa^lycotang —
Cette équation n'est pas intégrable directement, mais on peut développer la cotangente en série, suivant les puissances croissantes de ( - | (voir Trigonométrie de
Serret).
On a alors :
dx y te ^ /*V a /^ V
Int4%rHnt , on trouve :
(,8) ^ = g i|ognep; + i^(^y + ï^(^y + + «)n8tanle.
La constante se déterminera par la condition que x soit nul quand la tangente do la courbe est verticale.
On aura donc :
pourjr>»o - = -.
On trouve ainsi pour la constante :
constante =* — 0.38&5 e.
Divisant par r, on trouvera finalement : (,9) î = o.3845 + ^-ilognep(f)+^(-7+
3* La formule de Dupuit :
m dy " ^^ dx^
nous a conduit à trouver pour la nappe une parabole dont Téquation serait ici :
' SIP
en appelant a la distance de son sommet a lorigine de la nappe de la deuùëiiie formule, point pour lequel on a :
On a donc pour a :
L^éqnation de la parabole serait donc :
- — -o.ao35-|-?^
Les courbes représentées par les deux équations (19) et (ao) ont été tracées sur la Ggnre a3, planche VU.
La courbe de f équation (17) est plus élevée que les deux autres. Elle n'a pas été tracée pour éviter la confusion, les trois courbes étant très voisines Tune de Tantre.
Voici le tableau des cdculs :
Tableau B.
NAPPE AQUIFÈRB À D^BIT CONSTANT COULANT SDR UN POND HORIZONTAL. (Comparaison dts courbes des équations 17, t8, 19, ao.)
