ID
Les trajectoires orthogondes de ces projections qui correspondent aux lignes de niveau de la surface sont :
'^ étant une constante arbitraire.
— *>( 36 > Les filets liquides proprement dits sont définis par réqaatioD :
dx dz dy
\dTj \dz) ^Xdx' ^ dz^ y
Les lignes définies par Téquation (F) tantôt pénètrent dans la sarfaco libre (C), tantôt en sortent.
Dans ie premier cas, la nappe reçoit une alimentation extérieure; dans le second cas, elle restitue cette eau par des suintements ou des sources.
Les pressions suivent ia loi hydrostatique selon le cylindre représenté par Toquation (E).
La théorie simplifiée de M. Limasset renferme donc implicitement Thypothèse de Dupuit concernant la transmission hydrostatique des pressions suivant la verticale. Mais elle ne suppose pas, comme cette dernière, que les vitesses des filets liquides sont exclusivement horizontales. Elle détermine leur direction.
Voici un exemple qui s'applique à une nappe cylindrique. On suppose Taxe des y vertical.
Exemple. — Soit :
L =- v/— 9CX,
en posant
Un trouve facilement, en appliquant les ëqualions(B), (G), (U), (F):
y = \/ — acj?, surlace libre (fig. 23 &û, pi. VI); cVst une parabole ayant son sommet à Torigine;
M = — i/ , vitesse horizontale,
ro=-=^— -\/ , vitesse verticale ,
Ufixy X 2f = V sFj:, filets liquides,
F étant une constante arbitraire. Ce sont des paraboles ayant même sommet que la surface libre.
Débit suivant Tordoiinée de la surface libre pour i mètre de largeur :
mzu
> ,1 / ne me
= m\ — *xcx X — i/ = — ==tf.
^ aft\ X (i *
Il s'agit, par conséquent, d'une nappe à débit constant et fond horizontal. Cest la aappe de Téquation (8), en faisant t = o.
La théorie démontre que les filets liquides sont ici des paraboles semblables à celles de la surface libre, figure â3 bis. Au point 0, cestrà-dire au point de source, la vitesse est injime.
Il est clair que cette conséquence est impossible et incompatible avec les données physiques du problème.
La théorie simplifiée ne suffit donc pas pour rendre compte de ce qui se passe aux points critiques où les dérivées sont infinies. Elle ne se prête pas davantage à Tétude des problèmes qui s'appliquent à des nappes dans lesquelles Tordonnée y a des dimensions comparables aux largeurs suivant les x et les z. Il est indispensable dans ces cas de revenir à la théorie exacte.
Théorie exacte. — Dans la note B, à la suite du présent livre, nous reproduisons la théorie exacte faite par M. Limasset.
Elle consisterait à prendre les équations A dans toute leur généralité. Mais alors le problème mathématique devient inextricable. On le rend abordable en admettant une simplification qui consiste à négliger Tinfluence des forces vives, c est-à-dire les termes
en - des équations (A). Les vitesses des eaux souterraines étant généralement des
fractions de millimètre, leur influence est absolument négligeable dans Tensemble d'une nappe et elle n'est appréciable que dans le voisinage extrême des points critiques, comme le sont les jHnnts de êourcesy ou les fmnU de captage dans les puits et les galeries.
La méthode consiste donc à intégrer les équations (A), abstraction faite du terme
en -. On arrive ainsi à connaître aussi exactement qu'il est nécessaire la forme des
nappes et des filets liquides. On fait ensuite une étude spéciale des points critiques
en tenant compte des termes en - qu'on avjit d'abord négligés.
Forme de rorifice d'une source à Tair libre. — M. Limassel a Tait l'application de cette méthode au cas le plus simple, celui d'une nappe cylindrique à débit uni- Terme, coulant sur un fond horizontal. C'est le problème de Dupuit, équation (8), en faisant :
En neigeant les forces vives, on trouve avec les notations du paragraphe 6, cVstâ-dire en prenant l'axe des y pour axe vertical, que la surface libre de la nappe est repn^ntée par l'équation :
qui contient à la fois la droite et la parabole ci-dessous :
mais la discussion démontre que la solution y«o n'est applicable que poar x>o. De sorte que la surfaee tibre de la nappe est représentée par la parabole CBA, snivic
de la droite horizontale OA, dont la longueur est - (fig. a&, pi. VI).
Les filets liquides sont des paraboles hamofocales à la parabole CBA.
Les trajectoires orthogonales sont également des paraboles ayant mêmes foyers que les filets liquides.
On voit que Vorijiee h Vair libre est représenté par OA.
Au lieu de supposer que la nappe débouche à Tair libre, on peut admettre qu'elle débouche dans un cours d'eau, suivant une orthogonale telle que EB (fig. 95, pi. VI).
Cette solution n'est pas encore parfaite, car si on calcule la vitesse verticale tr, on remarque que la formule donne une vitesse infinie au point 0, ce qui est imposable.
Il faut reprendre les équations en y introduisant les termes relatifs aux forces vives qu'on avait négligés. On trouve alors que le profil exact de la surface libre de la nappe est le profil C'B'taK (fig. 96, pi. VI).
La surface réelle est asyiiiptotique à la parabole de l'équation (6). Elle se termine par une sorte de caverne 6aK, les filets liquides restant toujours paraboliques comme dans le cas de la figure âA.
On a :
dont la valeur est pratiquement négligeable,
9fi V Vf*
et approximativement,
Ort = OKxV2 = t,36. xOK.
Voici un exemple.
Dans un terrain de sable, on pourra avoir :
m «ai 0,90; fc^ati.ooo.
Pour un bassin versant de 3 kilomètres de largeur et un apport annuel moyen de o m. 90 de hauteur d'eau, on trouvera un débit :
g = o",oooo9, • d'où :
Les formules donneront :
BB' = o'",oooooooo695 , OK = o"*,ooooo 1 58 , Ofl = o",oooooi9/i.
Les longueurs ci-dessus sont absolument négligeables. L'effet des forces vives se réduit donc à arrondir d'une manière imperceptible la pointe du contour BAO, mais on peut parfaitement négliger leur influence.
^>rt-( 39 >t4*—
1 1 . Débit d*ane nappe limitée par ane paroi vertioale terminale. — La question des directions et des vitesses que prennent les filets liquides d'une nappe aux abords de la paroi verticale fur laquelle elle sort du terrain perméable, joue un rôle important dans Tétude des galeries et des puits de captage.
Nous avons vu qu'il fallait distinguer deux cas : i"* ou bien la nappe débouche à Tair libre; a"" ou bien elle débouche dans un réservoir d'eau ayant le même niveau qu'elle.
1*^ cas. La nappe débonche à Tair libre. — Si la nappe avait la forme donnée par Téqnation (19) [fig. 99 , pi. VII], son débit serait égal à :
doà, en posant :
Mais cette valeur est trop forte et la hauteur de la paroi verticale est nécessairement
Ai*
plos petite qne —
D'un autre cdté la théorie exacte de M. Limasset (note B) démontre que, dand une nappe débonehant 4 Tair libre (fig. 11&, pi. VI), la pression est nulle aux deux extrémités de la verticale OB dont la hauteur est égale à e.
Si au lieu de se terminer à Thorizontale OA, comme le suppose la théorie exacte, le terrain perméable se terminait à la verticale OB, la rédistanee que les filets liquides éprouveraient poor sortir an jour diminuerait de toute la résistance offerte par le terrain compris dans le triangle curviligne BOA. La nappe s*abaisserait et prendrait un profil tel que C'B'O, asymptote au profil CBA (fig. 27, pi. VI).
Le profil C'B'O est nécessairement tangent à la verticale en B'. En effet, on a le
do
long de cette paroi p=» o , 2^»» 0 ; la troisième équation (A) (en négligeant les forces
vives) donne alors : tv = pour tous les filets liquides.
Mais le fiiet liquide supérieur coulant à Tair libre, on a le long de ce filet j-«* o, H Téquation (ta) donne :
-stn ou
La vitesse réelle v étant au moins égale k - puisque sa composante verticale w est ^ale à - • on a nécessairement :
t7=««o; êina>»i; « = 90";
re qui démontre que le profil G'B'O est tangent à la paroi verticale au point B'. La nappe présente la disposition qu'indique la figure â8 , pi. VIIL Noos n^avons pu déterminer la vraie valeur de la hauteur OB' de la paroi verticale.
Elle est nécessairement comprise entre c et —
Nous pensons qu il n'y a pas dlneonvënient pratique à prendre pour cette hauteur la valeur la plus petite -^ en raison de ce que, dans le voisinage des parois en maçonnerie, le terrain est toujours fouillé et rendu perméable sur une certaine profondeur.
-^serait donc pratiquement la hauteur mininia nécessaire pour qu'une nappe de
débit q puisse sortir par une paroi verticale.
En d'antres termes, le débit maximum que pourrait fournir une paroi verticale de hauteur c serait égal à :
et la hauteur miniroa de la nappe sur la paroi verticale est égale h :
(aSWt) c' = -
2* cas. La nappe débouche dans un réservoir d*eaa. — La paroi verticale est alors une orthogonale. Dans la figure 95, pi. VI, on a supposé que le niveau de Teau dans le réservoir affleure au haut de la paroi verticale en B. Rien ne serait changé à Técoulemenl de la nappe si le terrain perméable se terminait à l'orthogonale BR, qui formerait paroi.
Mais si la paroi terminale était la verticale OB, les filets liquides auraient à surmonter la résistance du terrain contenu dans le triangle curviligne OBE. La nappe se relèverait nécessairement en B'C
La hauteur de la paroi verticale OB' est donc plus grande que c. Nous n avons pu déterminer sa vraie valeur, mais par les mêmes motifs que nous avons donnés ci-dessus, nous adopterons pratiquement pour sa valeur :
(29) OB'=c = J.
Il est évident que les propriétés que nous venons d'établir dans le cas d'une nappe à débit uniforme, c'est-à-dire sans alimentation superficielle, avec fond imperméable horizontal, s'appliquent à une nappe alimentée d'une manière quelconque, avec fond imperméable incliné ou non, parce quon peut toujours supposer sans erreur sensiblo que l'alimentation est nulle et que le fond est horizontal à une petite distance de la paroi verticale terminale.
12. Conclusion du chapitre II. — Nous conclurons de l'ensemble des considérations contenues dans ce chapitre qu'on peut se borner, dans l'hydraulique des nappes aquifères, à appliquer la théorie simplifiée de Dupuit, c*est-à-dire supposer que les pressions se transmettent sur la verticale suivant la loi hydrostatique et que la vitesse des filets liquides est la même tout le long de cette verticale.
Ces hypothèses ne tombent en défaut que dans le voisinage des points de sources. Mais l'étude de ces points est généralement inutile. Elle ne présente un intérêt que dans le cas où la nappe s'écoule par une paroi verticale. Et, pour ce cas, nous avons donné, nu paragraphe 1 1, les solutions à adopter.
