CHAPITRE VIIL

136. Des deux espèces de mouTeaieiit de Teaa à travers les terrains perméables. Libre* — Forcé* — Le mouvement de Teau à travers les terrains perméables n^a encore été que bien peu étudié au point de vue théorique et au point de vue pratique. Les phénomènes qu'il présente sont cependant intéressants à connaître, car les eaux souterraines jouent un rôle de plus en plus important dans Tagriculture et dansTindustrie, soit qu^on cherche à s'en débarrasser ou à les utiliser. Le drainage, les puits artésiens, les puits absorbants, les pierrées, les filtres naturels, les batardeaux, les étanchements et beaucoup d'autres travaux, ont tous des perfectionnements à espérer de la théorie que nous allons essayer d'établir dans ce chapitre.

Au premier coup d'œil, le mouvement de l'eau, qui se divise dans les pores si nombreux d'un corps perméable, parait plus compliqué que lorsqu'elle se trouve en masse dans une large section. Il n'en est rien cependant. Quand on envisage la question de plus près, on reconnaît que ce mouvement n'est qu'un cas particulier du mouvement ordinaire et que par cela même qu'il ne s'agit alors que de vitesses et de sections très-petites, les formules spéciales à ce mouvement se débarrassent de certains termes qui compliquent celles relatives aux grandes sections et aux grandes vitesses. .

Comme pour le mouvement ordinaire de l'eau, le mouvement à travers les terrains perméables présente deux cas distincts : le mouvement à surface libre et le mouvement à surface forcée. Dans le mouvement à surface libre, la pression à la surface est constante et égale à celle de l'atmosphère, le niveau de cette surface, variant alors avec la pente et la figure de la section, devient l'in-

connue du problème ; c'est le mouvement des premières nappes souterraines que rencontre la sonde et qui alimentent les puits ordinaires et celui des eaux dont on se débarrasse à Taide de fossés ou de drains. Dans le mouvement à surface forcée, la pression varie dans toute Tétendue du parcours; c'est elle qu'il s'agit alors de déterminer par le calcul, c'est le mouvement des nappes souter^ raines comprises entre des terrains imperméables, nappes qui alimentent les puits artésiens et les sources- jaillissante». La recUOTciie des formules relatives à ces deux espèces de mouvement fera l'objet de la première partie de ce chapitre ; dans la seconde partie nous en ferons quelques applications aux phénomènes que présente le mouvement des eaux souterraines.

137. Equation générale de ce mouTement. i"" Mon^ement à surface libre. — Rappelons d'abord les formules du mouvement Qrdinaire. Nous avons vu qu'en appelant :

t le sinus de Tangue duionid'un canal aveclUiorizon, (0 sa section mouillée, 3^ son périmètre, . u la vitesse moyenne de l'eau,

a et p deux coefficients constants pour lesquels on. admet ordinairemenjt dan&la pratique. les valeurs suivantes :

a = 0,000018, p = a,000348', on a la relation :

à l'aide de laquelle on détermine une des quantités i^-^;, iû^ Uf qi^and ouiCOeh' naît les trois autres.

Cette relation n'est du reste qu'une approximation, qui devient iiiauicten lorsque la section est large et profonde, cai* il faut alors t^r! compte de l'inéfgalité de vitesse des filets^ On a dans ce cas des formules plus compliquées que . nous avons présentées dans le chapitre V de ces études. Mais ces formulesfsent ici sans application, car, comme nous l'avons dit^ dans.le mouvemedOkt qve nous allons considérer, les sections sont toujours très-petites.

Imaginons que le canal doat il s'agit soit occupé par un icorps perméable,. du . sable par exanple; l'eau y prendra un mouvement beaucoup plus, lent en sécou? lant à travers les interstices des grains qui forineront une infinité da petits

tuyaux. Mais il est évident que si le sable est bien homogène chacun des filets d*eau aura la même f vitesse, car il aura le même moteur, la pente et la même résistance à 'vaincre, lefrottement du au périmètre du tuyau, et Ton pourra lui

appliquer la formule précédente dans laquelle le rapport — prendra une -valeur

déterminée |x qui dépendra de la nature du terrain perméable. On aura donc :

ï=rjjL(oeM+Ptt')=(jLaiinH-^ u|=ijiMxi*(H-20ii).

De plus, si Ton remarque que dans les phénomènes que nous voulons étudier Jamtessetest toujours trè&-petite,^plu6 .petite ^ueO^v^i» on pourra remplacer cette formule par la suivante :

Nous serions arrivé au même résultat en partant de l'équation relative aux tuyaux de conduite

qui, lorsqu'on néglige le .terme «n(ti% darîsnt ::

et nous en aurions conclu que Teau se meut dans le terrain perméable comme dans un tuyau dont le diamètre serait :

Enfin les faits confirment parfaitem'ent l'exactitude de la Tormule fondamentale t = [xu et pourraient au besoin servir à rétablir.

M. Darcy, dans son ouvrage (Fontaines de Dijon, page 590), cite des expériences qui avaient précisément pour but de cherdier les loîsale récoulemant à travers les terrains perméables et desquelles il résulte que si Ton appelle :

Q le produit par mètre carré d'une couche filtrante,

232 DU MOUVEM£iVT DE L'EAU A TRAVERS LES TERRAINS PERMÉABLES.

e son épaisseur,

H la charge ou différence de^ niveau entre les orifices, k un coefficient variable seulement suivant la nature de la couche,

on a toujours :

Ainsi, le produit et par conséquent la vitesse sont proportionnels à la charge et en raison inverse de Tépaisseur de la couche. C'est en faisant varier les charges et les épaisseurs des couches filtrantes que M. Darcy est parvenu à établir cette

formule. Or il est facile de se rendre compte que la quantité - n^est autre chose

que t dans le mouvement uniforme que nous avons considéré, car toutes les fois queTeau tombe delà hauteur H, elle traverse une épaisseur e (fig. 46) qui* a avec H le rapport constants, de plus Q est évidemment proportionnel ku; Téquation

peut donc être aussi considérée comme un résultat d'expérience. Si nous Tavons déduite d'abord des formules de Técoulement ordinaire, ce n'est qlie pour indiquer la liaison qui existe entre-les deux natures de mouvement.

Avant d'aller plus loin, il n'est peut-être pas inutile de faire voir comment le coefficient unique de cette formule peut être déterminé par expérience, et de donner une idée de sa valeur numérique pour quelques terrains, valeur tout à fait différente de celle des coefficients a et p de la formule ordinaire des eaux courantes.

Pour un gros sable que M. Darcy définit ainsi :

0,58 passant par un crible de 0"",77

0,17 de menu gravier

et donnant -— de vide, il a trouvé :

Or Q=iO,38ii, puisque l'eau ne coule évidemment que dans les espaces vides, on aurait donc :

et par conséquent, pi = 1 266.

Dans cette expérience il ne s'agit que d'un sable assez grossier. Les sables fins employés pour les filtres ne donnent guère que 6 mètres cubes d'eau par mètre carré et par 24 heures avec une charge de 1",50, soit 4", 50 pour une épaisseur et une charge de 1 mètre, en leur supposant 0,30 de vide. On a alors :

Quant aux vitesses du fluide, on peut' facilement s'en rendre compte. Dans le sable grossier qui a servi aux expériences de M. Darcy, on aurait :

t = 1266ti, et par conséquent u = ,0008 1.

Ainsi, pour traverser verticalement une couche de 1 mètre de ce sable, l'eau ne prend qu'une vitesse de 0"',0008. Maintenant si Ton imagine de Feau s écoulant à travers un pareil terrain, disposé sur le flanc d'un coteau ou dans le fond d'une vallée, la vitesse se trouvera réduite à des centièmes et à des millièmes de millimètre, et à des fractions plus petites encore pour des sables plus fins. Or il s'agit là de terrains facilement perméables, et la nature en présente de plus compactes et de plus serrés ; on voit donc que, dans l'ordre de phénomènes que nous étudions, le coefficient |jl représente toujours un nombre considérable et que la vitesse w n'est jamais qu'une fraction de millimètre, 11 faut remarquer, du reste, que la vitesse réelle est toujours un peu plus considérable grâce aux sinuosités que forment les pores des terrains perméables et que nous projetons sur l'axe de leur direction générale. On peut du reste déterminer par le calcul le noQibre et le diamètre des pores dont un solide doit être percé, pour que l'eau y prenne la même vitesse que dans un terrain perméable déterminé et pour que le débit par mètre carré soit le même.

On aura en effet, pour déterminer le diamètre qui donne la même vitesse, l'équation

et pour déterminer le nombre N de pores qui donne le même volume

d'où N = -. ^,.

Le rapport — étant une donnée d'expérience qui résulte de la nature du terrain

perméable, il n'y a d'inconnues dans ces deux équations que les quantités N et D qu'elles peuvent servir à déterminer.

Non-seulement Téquation i = (jlm représente le mouvement uniforme dans un terrain perméable, mais elle convient aussi au mouvement varié. En effet, on sait que dans l'écoulement ordinaire ce mouvement est représenté par l'équation

en appelant

^ la chute de la surface de Teau dans deux sections,

u et u^ les vitesses moyennes des deux sections, X • leur distance,

<p la résistance qu'éprouve le mouvement de Teau en un point

donné.

Pour appliquer cette équation aux terrains perméables, il suffirait d'y remplacer <f par la fonction (jiw propre à ces terrains ; mais de plus on doit remarquel* que les vitesses u et u' et surtout la différence des hauteurs dues à ces

vitesses — sont très-petites par rapport à l^ qui représente la différence

de niveau des deux sections, on peut donc écrire ;

ou en différentiant et en appelant y la pente -r^de la surface :

as

138. Equation de ce mouvement dans le cas où la couche aquifëre

repose sur un terrain imperméable d'inclinaison variable. — Â Taide de cette équation, on peut facilement déterminer la surface de Tcau qui s*écoule à travers un terrain perméable reposant sur un terrain imperméable d'inclinaison \ariable.

Soient {fig. 47) :

t rinclinaison de ce terrain comptée positivement lorsqu'il monte et

négativement lorsqu il descend, h la hauteur de la surface de Teau sur le fond, y son ordonnée, à partir de l'horizontale, s la distance à l'origine,

q le débit par mètre courant de largeur de la couche perméable, m un coefficient indiquant dans le terrain le rapport du vide au plein,

u! le rapport —, • on aura tnhu = q

ce qui donne j ==— .

Lorsque la petite du courant est faible, on a :

^~ ds~~ h'

on a de plus A ^= î^ — w

et par conséquent dh = dy -' ids.

L'équalion différentielle de la surface rapportée au fond du lit peut donc se

mettre sous la forme

• hdh

fji'^ + t'A

En intégrant et remarquant que pour 5 = 0, on a A = Ao, il vient : En développant le logarithme en série, cette équation devient :

=4^{''' -"■')- mi*'-"' -h mi" -"■')■

Si i était nul ou très-petit, c'esl-à-dire si le fond était horizontal ou avait une faible pente, on aurait :

équation d'une parabole dont Taxe est horizontal.

On déduit facilement de cette équation les lois du mouvement de l'eau à travers un massif perméable d'une certaine épaisseur. En appelant z la différence A^ — A ou la charge, l'équation précédente peut se mettre sous la forme :

et l'on en déduit que le débit est proportionnel à la charge Zy h la section moyenne -^-T — , en raison inverse de l'épaisseur du massif traversé.

On remarquera que la formule (4), qui donne la quantité d'eau filtrée par un massif vertical, est identique avec celle qui donne la quantité d'eau filtrée par un massif horizontal de même nature, de même épaisseur et ayant pour surface la moyenne entre les deux surfaces mouillées. Ainsi, le massif vertical ABCD fig. 48) donne, avec la même charge, le même produit que le massif EBCF placé horizontalement.

Les formules 3 et 4 peuvent trouver une application utile dans l'établissement des cloisons filtrantes des tuyaux de drainage et des batardeaux pour la construction des ouvrages hydrauliques.

L'équation générale (2) peut se mettre sous une forme qui permet de mieux apprécier les caractères de la courbe qu'elle représente suivant les circonstances dans lesquelles Técoulement peut avoir lieu^

Dans le mouvement ordinaire, quand l'eau s'écoule dans un lit de pente uniforme et de largeur indéfinie, elle prend une hauteur H, déterminée par l'équation

Hi = aw + j3ti*.

('ette hauteur est dite celle du régime uniforme. Dans les terrains perméables, cette hauteur est donnée par l'équation

au moyen de laquelle on peut éliminer (x' de l'éqUation générale (2), qui

devient :

'Il w = A, — ArbHIog'

en prenant le signe + quand t est positif et le signe — quand t est négatif. On peut aussi la mettre sous la forme :

c'est-à-dire que dans les terrains perméables, comme dans le mouvement orninaire (voir chap. III),

Il résulte de cette propriété que si Ton construit la courbe donnée par cetle équation dans Thypothèse de H = 1, ses abscisses et ses ordonnées auront avec celles de la courbe relative à une autre hauteur du régime uniforme une relation qui permettra de les déduire les unes des autres, et par conséquent de construire des tables qui dispensent de tout calcul.

Considérons maintenant le cas où la pente est dans le sens du courant, ce qui revient à prendre les signes inférieurs, comptons les s en remontant le courant de l'aval à l'amont, ce qui revient à remplacer dans les formules A par A» et ho par hf et rapportons la courbe du remous à la surface naturelle du régime uniforme en posant ^

pour le remous de gonflement A=H + y, Ao=H+ Y, pour le remous d'abaissement A =H — y, Ao=H — Y;

on a alors pour équation du remous

de gonflement Î5 = Y — y+Hlog-,

d'abaissement is=^ — (Y — y) 4- H log — •

A l'aide de ces deux équations on peut facilement déterminer la surface de l'eau sur un plan dont l'inclinaison est donnée.

On remarquera que la détermination de cette surface est indépendante du coefficient pi' de perméabilité, comme la formule du remous dans les courants ; ordinaires est indépendante des coefficients a et p. Cela tient à ce que ces quantités sont implicitement comprises dans la hauteur H du régime uniforme ; mais comme cette hauteur ainsi que la pente i est ordinairement une donnée de l'expérience, il n'en résulte pas moins, comme nous lavons fait observer dans le chapitre III, que la formule du remous est indépendante des erreurs qui peuvent s'être glissées dans la détermination expérimentale de ces quantités.

Lorsque les remous Y, y sont petits par rapport à l'épaisseur H de la nappe, on peut écrire

(voir le chapitre III), et par conséquent les équations précédentes deviennent

.> = [H+i(Y + y)]logI

Les quantités H + - (Y +y), H — ^ C^ + y)' pô^^veut être considérées

comme l'épaisseur ou profondeur moyenne P du courant dans l'étendue du remous considéré, de sorte qu'on peut écrire pour les deux remous

Pour les cours d'eau ordinaires, nous avions obtenu dans les mêmes circonstances (voir p. 91),

De la comparaison de ces deux équations, il résulte que la courbe du remous dans les terrains perméables, lorsque les remous sont petits par rapport à la profondeur, est exactement la même que dans les cours d'eau ordinaires qui ont une profondeur triple.

Dans ce cas les tables que nous avons dressées pourraient être appliquées en

DU MOUVEMENT OLli'EAU A TRAVERS LES TERRAINS PERMÉABLES. 23»

prenant une valear triple pour la hauteur du régime uniforme. Rien d^ailleurs de si facile que d'en calculer de spéciales.

La différence essentielle de ces courbes comparées à celles des cours d'eau ordinaires c'est qu'elles s'allongent dans le sens du courant avec lequel elles se raccordent beaux^oup plus loin. Autrement {fig. 49), un remous Y étant donné à lavai, le remous y à l'amcnt correspondant à la distance s est. plus grand dans le mouvement à travers les terrains perméables que dans les cours d'eau ordinaires. Ainsi lorsqu'on trouble par des travaux ou par des épuisements la hauteur des eaux souterraines, l'eSet s'en étend beaucoup plus loin que s'il s'agissait de cours d'eau ordinaires.

Si Teau passait, successivement dans des terrains de de^é de perméabilité différente, c'est-à-dire ayant des hauteurs de régime uniforme plus ou moins grandes, on déterminerait la surface de l'eau au moyen des formules précédentes comme dans les cours d'eau ordinaires, lorsque l'eau passe d'un canal large dans un canal plus étroit, et d'un canal étroit dans un canal large.

Nous avons considéré jusqu'à présent les eaux souterraines comme s'écoulanl dans un canal.d'une largeur constante, mais si celte largeur variait d'une ma^ nière gradueUe et déterminée en fonction de l'espace.^ l'équation différentielle ie la courbe de remous serait, en appelant / lalargueur variable,.

hdh

— = ds.

Pour éviter les difficultés que présente l'iiîtégratioii de cette équation, on peut déterminer la courbe par points en pariant de l'équation

dx ^ iii

En effet, la quantité o) étant déterminée à l'origine, l'inclinaison de la courbe donne un point à une petite distance, qui détermine lui-même un nouvelle valeur de (I) et un nouveau point, ainsi de suite. On pourrait aussi décomposer le canal à largeur variable en une série de canaux ayant, les mênoâs largeurs moyennes.

Ainsi ^quelle que soit la forme du lit, on peut déterminer la surface de l'eau, quand on connaît son volume et la perméabilité du terrain déterminée par un coefficient (x'.

2h0 DU MOUVEMENT DE L'EAU A TRAVERS LES TERRAINS PERMÉABLES.

139. Blouvement à surface forcée. — Examinons maintenant le cas

où la surface de Teau se trouve forcée entre des parois suffisamment résistantes.

Imaginons deux réservoirs communiquant entre eux par un corps perméable limité par une enveloppe imperméable. Du sable ou du gravier placé dans une conduite de fonte réaliserait notre hypothèse {fig. 50).

Appelons H la différence de niveau entre les deux réservoirs, L la longueur de la conduite, (0 la surface de sa section.

L'eau descendra du réservoir supérieur dans le réservoir inférieur avec une vitesse déterminée par Téquation

ainsi que nous l'avons fait voir au commencement de ce mémoire.

Si. l'on suppose la conduite sensiblement horizontale, la ligne ÂB qui réunit les deux réservoirs déterminera la pression de l'eau sur chaque point de la conduite. Son débit sera d ailleurs

co H

Si la section de la conduite, si la perméabilité du terrain étaient variables, on déterminerait facilement la ligne des pressions et le débit, en décomposant la longueur de la conduite en plusieurs parties où ces quantités seraient constantes, et Ton aurait pour chacune d'elles dâi équations de la forme

ce qui déterminerait la ligne des pressions.

En faisant la somme de ces équation^ on arriverait à la suivante

(1 OÙ Ton déduirait

On voit que le débit ne se règle ni sur la plus petite ni sur la plus grande section, mais sur une section moyenne qui dépend de la longueur de chacune d'elles et qu'on peut déterminer par Téquation suivante:

to ro. to), (0, '

qui donnerait pour Tune des trois quantités (x', /, co une série de valeurs, les « deux autres étant choisies arbitrairement. Chaque groupe de ces trois valeurs correspondantes aurait la propriété de constitu'er, sous le rapport du débit, un système de conduite équivalent au système considéré. On voit de plus que Tordre dans lequel se suivent les diamètres ne change pas le débit. Ce n'est donc pas par la surface des orifices d'entrée ou de sortie qu'il se trouve déterminé, quand ces orifices ont d'ailleurs la section de la conduite qu'ils terminent.

On remarquera que quand la section de la conduite est variable, le tlébit se trouve plutôt déterminé par les petites sections que par les grandes, c'est-à-dire que la section équivalente se rapproche beaucoup plus des plus petites que des plus grandes^ quand d'ailleurs les longueurs ne sont pas sensiblement différentes.

Supposons une conduite composée de deux parties de longueur«égale ayant

leurs sections dans le rapport de 1 à 5, la section équivalente sera déterminée

par l'équation

d'où on déduira : (o= 1 -,

tandis que la moyenne arithmétique serait 3. Nous n'insisterons pas davantage sur ces considérations parce qu'elles se trouvent développées dans notre Traité sur la distribution des eaux (pages 66 et suivantes), les conduites d'eau ordinaires donnant lieu à des formules analogues. Si la section de la conduite variait d'une manière continue en fonction de sa

3A3 DU MOUVEMENT DE L'EÂU A TlUVEftS LES TERRAOIS PERMÉABLES

longueur, on déterminerait son débit q et la section équivalente c*^ par les équations

(0 (Om

puis la courbe des pressions par Téquation

ds tù / co'

On voit que la tangente à la courbe s'incline plus on moins que la ligne droite donnée par la section co^ suivant que u) est plus petit ou plus grand que co^, on voit de plus que la courbe est indépendante de la perméabilité du terrain ; ainsi la conduite remplie de sable plus ou moins fin plus ou moins serré donnera toujours la même pression au même point.

l&O. Moavemerat dans im tuyau conique. — Exemple- : Considérons une portion de conduite de forme conique {fig. 51).

Soient :

RetTo les rayons des bases extrêmes,

r:=^R j-^s le rayon courant de la section a»,

s la distance à l'origine de la section w,

on aura : •

(0 irr' / R— r

d'où H =

^qda ^'Iq

q — --j itRr,,

le débit est le même que pour une conduite cylindrique dont le rayon serait y'Rr,; mais la ligne de pression n'est pas la même. Dans le cas de la conduite cylindrique, ce serait la droite qui réunit les niveaux des deux réservoirs; dans le cas de la conduite conique on aurait pour équation de la courbe AntB :

dou y-|-C =

HIt pour • # = 0, y=0; doac C = = — ^—

Hr.J et jf=

On remarquera que le débit est le même dans quelque sens que se présente le cône ; ce n'est qu'un cas particulier du principe démontré plus haut que quand une conduite est composée de plusieurs tronçons d'une section différente^ l'ordre dans lequel se trouvent ces tronçons n'influe pas sur leur débit; mais la courbe des pressions est différente, ou plutôt différenMnent placée. Si l'eau va de la plus grande base à la plus petite la courbe est convexe, elle est concave dans le cas contraire.

Nous avons supposé la conduite sensiblement horizontale, mais il est clair que ces formules s'appliquent à une conduite d'une inclinaison quelconque, seulement l'équation

dy ^

ne peut plus se représenter graphiquement de la même manière. 11 n'est peutêtre pas inutile de s'arrêter sur les phénomènes qui se passent alors, parce qn'ao point de vue pratique ils ont une grande importance.

l&i. Calcul de la pression daiis diverses dispositions de vases en communication. — Utilité pratique des issues ouvertes à l'écoulement des eaux souterraines pour en diminuer la pression. —

Les constructions hydrauliques étant souvent soumises aux pressions des eaux souterraines, il est important de se rendre compte de l'énergie variable de ces pressons suivant les dispositions qu'on peut adorer. Or cette énei^ie peut être complètement modifiée et même annihilée par un écoulement insignifiant.

2kU DU MOUVEMENT DE L'EAU A TRAVERS LES TERRAINS PERMËABf.ES.

comme dans le cas des barbacanes placées au pied d'un mur de soutènement. Ce serait une erreur de croire que Teffet de ces ouvertures se borne à faire disparaître la pression par l'assèchement du terrain ; sans doute quand les circonstances sont telles que cet assèchement peut être obtenu, la pression disparait avec l'eau qui la produit ; mais il arrive souvent que le terrain se trouvant en communication avec un réservoir indéfini, la barbacane n'a d'autre effet que de laisser prendre à la nappe une certaine vitesse, or cette vitesse quoique trèsfaible suffit pour diminuer la pression qui n'est jamais que le résultat d'un obstacle au mouvement de Teau.

Nous croyons devoir présenter quelques exemples du calcul de la pression dans les terrains perméables qui, quoique pris sur des abstractions théoriques, pourront servir à se rendre compte de son intensité dans des cas pratiques plus ou moins analogues.

Ce calcul est fondé sur la formule suivante :

= z — \ ix.udz^

qui devient, lorsqu'on substitue le débit à la vitesse :

p=z — \ u! — dz.

Si à partir de la verticale OZ on porte des lignes horizontales proportionnelles aux pressions p correspondant aux profondeurs variables z, on aura dans les figures 52 à 63 une représentation graphique de la pression.

Ainsi, dans la figure n* 52 où Teau n'a pas d'issue et n'a pas de mouvement, on a : g=^0, p = z. Les pressions sont limitées par une ligne droite à 45\

Dans la figure n* 53, où l'eau est censée couler librement par le fond, on a y=— / et;?=0; on voit que l'écoulement a complètement fait disparaître

la pression sur la paroi verticale.

Dans la figure n* 54, où il y a une charge d'eau sur la masse filtrante,

(oA + L A + L ' •

on a q^=-—f — j — et p=iZ = — [z — A); la pression est limitée par la

ligne brisée OmZ.

Dans la figure n** 55, (/ = -^ tt — f » p = z — -r, — ^r- (z — h), la pression est

limitée par la ligne brisée OmnZ. On voit que par rapport à Texemple précédent la pression a augmenté parce que le mouvement trouve un obstacle dans la conlre-pression h\

T. 1 a • KA .(oA + L + A' L4-A4-A' ..

Dans la figure n* 56, g=—, z , p=-z = (* — A),

U> Là Là

la pression est limitée par la ligne brisée OmnZ. On doit remarquer qu'elle dévient négative, c'est-à-dire inférieure à la pression atmosphérique à partir du

point z = h + L -r — -Tr On doit remarquer aussi que quelle que soit la position

du filtre L dans la colonne, le débit est le même. Ainsi Ton pourrait faire A= 0, par exemple sans diminuer le débit. La charge d'un filtre est donc mesurée par la différence de niveau entre les bassins mis en communication. Toutefois, il faut

que A'<H. pression atmosphérique; lorsque A'>Ha, on a fl'=— , j *

quel que soit h\

Dans les figures 57 et 58, on a : flr = — — (§ 139) , et Ton en déduit

pour la valeur de la pression dans la figure 57 : •

Hz •

p^=:z Tj YTT dans la hauteur L,

— p;- ^= r-;^ dans la hauteur L'.

On aurait les mêmes valeurs pour la figure 58, il suffirait de changer L en U, q! en li. Il faut remarquer que si la section supérieure est plus petite que la section inférieure, la pression devient négative. Cela se voit sur les expressions générales précédentes, mais plus facilement encore sur un exemple particulier.

Posons L = L'= -H, et il viendra :

p = z -, pour le diamètre supérieur,

îi — îi' ;? = (H — z) f pour le diamètre inférieur.

Ainsi, pour £l>iï la pression est toujonrs positive et toujours négative dans le cas contraire.

Le maximum de pression a toujours lieu au changement de section, et on l'obtient en faisant :^ = L dans Téquation générale; on a alors :

~Lû' + L'û* Supposons iï petit peur rapport àû, soit, par exemple, 0.'=:~Cl, on aura :

Faisons L' petit aussi par rapport à L, L'^— H, par exemple, Fexpression pré-

* Vf

eédente se réduira à peu près :

•L'exemple numérique, représenté par la figure 59, fait voir qu'une trèspetite ouverture au bas du tuyau suffit pdhr réduire la pression dans une forte proportion. La formule précédente ne saurait en donner une mesure exacte, attendu qu'elle repose sur une longueur déterminée de L^ et qu'elle donnerait P = Q, pour L'= 0. Cela tient à ce que si Ton suppose un étranglement brusque au bas du tuyau, il donne lieu à un phénomène du genre de celui de la contraction et que la théorie est impuissante à calculer la perte de charge produite par cette circonstance. Mais il est évident qu'il doit se passer près de l'embouchure quelque chose d'analogue à llrypothèse que nous venons de faire, c'est-à-dire que près de cette embouchure Peau ne coule plus que dans un petit tuyau de diamètre peu différent de celui de l'ouvertm^, ou mieux encore dans un cône {fig. 60).

Cest, au reste, le même phénomène que celui qui a lieu dans les tuyaux ordinaires dont, comme on le sait, le débit dépend très-peu de la grandeur de Torifice. Si nous calculons le débit du tuyau dans l'exemple numérique précédent, nous aurons q=z^——^ c'est-à-dire que le débit ne serait pas réduit à

fx' 1 ,90 ^

moitié par une réduction des — , de l'ouverture; Mais ce n'est là, nous le répé-

DU llOUV£II£MT DE L'EAU A TRAVERS LES TERRAINS PERMÉABLES. W

toDs^ qu'un type de calcul qui n'a pas de rapport avec la réalité, puisqu'on ne sait pas quel est Tefifet de la contraction dans la masse filtrante; rexpérience seule pourrait guider à cet égard. L'essentiel à retenir de cette ajialyse, c^est que le débit n'est nullement proportionnel à la section et qu'une très-petiie ou* verture suffit pour diminuer beaucoup la pression. Dans les troncs de cône représentés par les figures 61 et 62, on a (§ 140) :

TXrdz rz L — z

R désignant le rayon supérieur et r le rayon inférieur, d'où il suit que dans la figure 61 la pression est toujours positive et toujours négidive dans la figure 62. Rien ne serait si facile que de construire les courbes de pression en donnant des valeurs à R et r.

On voit qu'en général toute diminution de section augmente la pression et que toute augmentation la diminue. Il faut remarquer aussi que la pression est toujours nulle à Torifice d'émergence, car la vitesse de sortie étant toujours très-faible, on peut négliger la kauteur à laquelle elle ^st due.

Ces exemples nous paraissent mettre en évidence l'avantage qu'il paît y avoir à donner issue atix eaux souterraines dans les constructions hydrauliques. On amoindrit alors énormément les pressions auxquelles elles seraient soumises. C'est ainsi que dans certains murs de soutènement on établit avec raison des barbacanes et que l'obstruction de ces ouvertures amène quelquefois la chute des murs, parce qu'à la pression des terres vient alors s'ajouter celle de l'eau. Hais le système employé dans ces circonstances, et bien connu des constructeurs, nous paraîtrait devoir être généralisé avec avantage. Ainsi, dans les constructions d'écluses, de bassins, de formes, on est obligé de donner aux radiers des épaisseurs considérables pour qu^ils puissent résister aux sous-pressions qui naissent de la communication du sol avec des bassins où le niveau de Teau se trouve plus élevé. Dans une écluse de navigation, par exemple, où la chute serait de 2 mètres, on pourrait être conduit à donner cette épaisseur au jadier pour qu'il puisse résister à la sous-pression^ lorsque par une cause quelconque on serait obligé de le mettre à sec : de là d'énormes dépenses pour la fondation de toute l'écluse. Si, au contraire, on laisse dans le radier un certain nombre de petits

2A8 D(j iMOUVEMENT DE L'EAU A TRAVERS LES TERRAINS PERMÉABLES.

drains verticaux, l'écoulement qui se fera par ces issues détruira la pression et Ton pourra se contenter d'une épaisseur de maçonnerie beaucoup moindre. Il est vrai que^ dans certaines circonstances, on pourra être amené à épuiser sur le radier; mais ce travail prévu peut être rendu facile en établissant à priori sur la surface des petites rigoles qui doivent recevoir Teau des drains, enfin le puisard où doit être placé le tuyau d'aspiration de la ppmpe d'épuisement. Ce sont là, au reste, des détails de construction qui ne peuvent trouver leur place ici. Nous n'insistons q^ie sur le principe qu'il est dangereux d'arrêter le mouvement de l'eau à travers les terrains perméables et qu'il est souvent plus avantageux de lui ouvrir une issue que de lui résister.

Nous avons fait voir, sur de nombreux exemples, l'influence d'un changement de section sur la pression. Un changemefit dans la perméabilité du terrain produirait des résultats complètement analogues. JËn effet, si l'on remarque que quand, comme dans les exemples précédents, q est constant, a valeur de la pressioiy[)eut se mettre sous la forme : '

p=:ZT-q \ ^ dz;

Jo ^

d'où il résulte que celte pression est déterminée par le rapport — et qu'aug-

menter la perméabilité produit le même effet que d'augmenter la section.

Ainsi dans un filtre composé comme il est indiqué à la figure 63, on aurait

(oH 9 =

Si la perméabilité étant constante, la section variait au contraire, on aurait

et p=: z — ^ ^

./X X' X"\ Hi' - + - + — ),

expression qui devient identique avec la précédente en posant w' = — , w" = — j^,.

Ainsi les deux systèmes indiqués par la figure 63 donneraient les mêmes pressions aux mêmes hauteurs.

1^2. Temps nécessaire pour écouler l'eau d'un vase rempli d'un terrain perméable. — On a vu que le débit d'un filtre est

coH

Lorsqu'une conduite à section constante et à pente uniforme se vide et qu'il n'y

a plus de charge d'eau sur la partie supérieure, le rapport -j devient constant

et égal à t, sinus de l'inclinaison de la conduite; on a donc alors

col a i

^ [X WtO (X

la vitesse et le produit restent constants parce que la charge diminue dans le même rapport que l'épaisseur de la couche à traverser.

On sait que dans le mouvement ordinaire, la vitesse de l'eau sortant d'un vase qui se vide, va toujours en diminuant; ici la vitesse de l'eau est constante et ne dépend que de la perméabilité du terrain et de Tinclinaison de la conduite. Le temps nécessaire pour obtenir une diminution de niveau, y, serait évidemment

et par conséquent le temps nécessaire pour vider la conduite,

Si la conduite était verticale, on aurait i = 1 et par conséquent .

£ = (xy.

Si nous faisons y=l"*, nous aurons T=[x, c'est-à-dire que le coeffi- *cient \L est le temps nécessaire pour que l'eau contenue dans une masse perméable d'une hauteur quelconque et sous une charge -égale à l'épaisseur de la couche s'abaisse de 1 mètre.

Si la section du filtre vertical n'était pas constante, le temps de la vidange se calculerait facilement au moyen d une intégration, car on sait calculer le débit à un moment donné en fonction de la hauteur, et, comme dans les conduites,

250 DU MOUVEMEiNT DE L'^U A TRAVERS LES TERRAINS PERMÉABLES.

on trouverait que, dans certaines circonstances, il peut y avoir aspiration par la paroi.

I{i3. Comparaison entre le mouvement de l'eau à travers les terrains perméables et le mouvement ordinaire. — En résumé on voit que tous les problèmes relatifs au mouvement ordinaire de Teau, problèmes qu'on résout aujourd'hui à l'iRde de certaines formules d'hydraulique, peuvent aussi se résoudre quand il s'agit du mouvement de l'eau à travers les terrains perméables. Il y a plus môme, c'est que dans le mouvement ordinaire on ne parvient à la solution de la plupart de ces problèmes qu'en introduisant dans le calcul la vitesse moyenne au lieu de la vitesse de chacun des filets, c'est-àdire en négligeant les phénomènes de l'adhérence des filets entre eux.

Or dans le mouvement de Teau à travers les terrains perméables^ ces phénomènes sont toujours négligeables à cause de la petitesse des conduits dans lesquels le mouvement a lieu. On doit donc considérer les formules que nous venons de donner comme beaucoup plus exactes que celles qui sont relatives au mouvement de l'eau à travers les terrains ordinaires.

En comparant ces deux espèces de mouvement, on y reconnaît cette différence caractéristique qu'en général dans le mouvement ordinaire la vitesse et le débit sont proportionnels aux racines carrées des charges, et que dans le mouvement à travers les terrains perméables la vitesse et le débit sont proportionnels aux charges.

llilg. Application des formules précédentes au mouvement des eaux souterraines. — L'eau qui tombe sur la surface de la terre est en grande partie absorbée par les terrains perméables dans lesquels elle s'infiltre lentement, puis arrêtée par les terrains imperméables, elle en suit les pentes pour reparaître sur les points où ces terrains viennent affleurer le sol. Souvent cet affleurement n'a lieu que dans les cours d'eau ou dans la mer elle-même. C'est cet égouttement continuel des terrains perméables qui alimente les cours d'eau superficiels pendant les sécheresses et maintient dans la plupart d'entre eux une certaine hauteur d'eau à toutes les époques de l'année. ^

L'action incessante de l'eau qui traverse les terrains peraaéables en a modifié la constitution sur plusieurs points, soit en dissolvant ks éléments qui les composent, soit en les entraînant mécaniquement ; il s'est formé ainsi, dons certaines directions, des e^aces vides ^ans lesquds l'eau a |>u Ubremeot «cârculer et y prendre des vitesses considérable^ comme cela a Jieu dus les omnrs d'eau

ordinaires. Les masses perméables sont donc sillonnées çà et là de cours d'eau souterrains, dont la position n'est pas, comme celle des cours d'eau superficiels, déterminée uniquement par le relief du sol sur lequel ils reposent La nature primitive du sol, plus ou moins soluble ou plus ou moins mobile, a contribué à déterminer ces directions. C'est un di»ainage naturel, irrégulier, incomplet, mais qui fonctionne absolument comme les drainages artificiels qu'on fait aujourd'hui. Une source n'est autre chose que Taffleurement d'un drain naturel ^ qui s'alimente dans la masse perméable qu'il traverse.

Lorsque l'eau de la pluie s'est infiltrée à travers le sol jusqu'à la première

* couche imperméable, elle se rend, comme nous l'avons dit, dans les cours d'eau superficiels ou dans la mer, tantôt directement par le mouvement lent, qui est le propre des terrains perméables, tantôt par un mouvement plus rapide au moyen des canaux naturels creusés par le passage continu du courant. Dans ces circonstances la surface supérieure de l'eau est toujours libre. Mais lorsque l'eau tombe sur des touches perméables, comprises entre des couches imperméables qui viennent affleurer le sol sur des coteaux élevés, elle descend dans ces espèces de siphons dont elle presse les deux parois avec une force mesurée par la hauteur de son point de départ dimiauée de la perte de charge que lui a fait éprouver son mouvement à travers la masse perméable. Si l'on imagine qu*à laide de la sonde on donne à ces eaux forcées une issue dans un tube d'une hauteur indéfinie, elles s'y élèveront à une hauteur déterminée par leur pression et cette haniteur peut dépasser de beaucoup celle du sol. Si l'on

. coupe le tul^e au-dessoos de cette hauteur, oa obtient ixr débit d'autant plus considérable que le déversement se fait plus bas; c'est ce qu'on appelle un puits artésien.

Y a-t~il dans les masses artésiennes des sources ou drains naturels comme dans les nappes supérieures? C'est ce qu'il est difficile de savoir à priori. Il peut en exister sans doute, mais il y en a probablement moins que dans les nappes libres, parce que pour se frayer des passages les eaux n'ont guère pu agftp que chimiquement. Quoi qu'il en soit, on voit qu'on peut rencontrer sous le sol les mouvements à surface libre et à surface forcée, comme dans les cours d'eau et conduites ordinaires, et les mêmes mouvements à travers les terrains perméables.

Il est clair en même temps que les ondulations des terrains imperméables et que l'irrégularité de leurs limites doivent produire sous certains points du sol des espèces d'étangs ou de lacs oii les eaux sont à peu près stagnantes. A la superficie la vitesse des eaux a régularisé et nivelé le lit des cours d'eau et les ca-

taractes se sont peu à peu e£Eacées; sous le sol, si l*on excepte les petits courants dont nous avons parlé, la première couche imperméable a conservé sa forme originelle, de sorte que les étangs et les lacs souterrains doivent être beaucoup plus nombreux que ceux de la superficie.

Pour mieux nous rendre compte de la marche des premiers nappes souterraines, enlevons par la pensée le terrain perméable, et supposons que la pluie tombe directement sur la couche imperméable^ cette eau se précipitera par les lignes de plus grande pente dans les thalwegs secondaires, puis dans les thalwegs principaux, comme le fait à la surface du sol celle qui n*est pas absorbée, de sorte que peu de temps après la pluie, l'eau sera complètement écoulée. Les lois de ce mouvement sont tout à fait différentes de celles qui régissent le mouvement à travers les terrains perméables. Dans le mouvement ordinaire la vitesse dépend du développement de la paroi et de la section, de sorte que à une pente donnée t correspond un nombre infini de vitesses. Ainsi, dans un cours d'eau d'une largeur indéfinie, on a, en appelant H sa hauteur, la formule connue

qui fait croître la vitesse avec la hauteur du courant. C'est une circonstance heureuse parce qu'elle limite les crues. On conçoit parfaitement que si la vitesse des grandes eaux n'était pas plus grande que celle des basses eaux, il faudrait une hauteur beaucoup plus considérable pour avoir le même débit.. Or, il n'en est point ainsi dans les terrains perméables, la penle de la surface de l'eau détermine la vitesse, indépendamment de la section. Pour débiter deux fois plus d'eau avec la même pente à travers le même terrain, il faut nécessairement une section double. D y a donc pour cette espèce d'écoulement une cause particulière qui doit faire varier le niveau des nappes souterraines, mais cette cause est compensée par la lenteur du mouvement, qui le régularise d'une manière d'autant plus puissante que l'épaisseur de la masse à traverser est plus considérable. On conçoit parfaitement que si sur un filtre d'une épaisseiu* de 10 mètres l'eau ne baisse que d'un mètre dans un jour et qu'on ne rétablisse le niveau que toutes les vingt- quatre heures, nonseulement on n'aura pas d'interruption dans le débit du filtre, mais ce débit ne variera que d'un dixième. Si l'on double l'épaisseur du filtre, la variation ne sera plus que d'un vingtième, etc., etc. Quoi qu'il en soit, on doit comprendre que la hauteur des nappes d'eau souterraines doit éprouver des variations plus ou moins considérables suivant leur pente et leur position par

rapport aux terrains dont elles reçoivent régouttement. Ainsi, tout le monde connaît les crues souterraines qui ont lieu dans les quartiers nord de Paris et dont TÂcadémie des sciences s'est occupée plusieurs fois. Nous avons donné, dans notre Traité de la distribution des eaux^ les varisttions de débit des aqueducs de Paris, qui sont alimentés par des pierrées placées dans certaines nappes souterraines.

Il résulte de là que les sources et les puits ordinaires alimentés par les premières nappes souterraines sont, comme les cours d'eau superficiels, sujets à d'assez grandes variations de débit et peuvent même tarir, si le terrain supérieur est assez peu étendu pour qu'il puisse s'égoutter complètement entre deux pluies.

Transportons-nous maintenant au sommet d'une nappe artésienne (fig. 64), et cherchons qu'elles doivent être les variations de hauteur de la surface de ces espèces de réservoirs. Puisqu'ils ne sont alimentés que par la pluie, l'amplitude de ces variations de niveau ne peut dépendre que de celles de la pluie ellemême, et il est évident que si elle tombait toute l'année d'une manière uniforme, il s'établirait dans la couche un niveau constant, le débit ou la perte qu'elle éprouve étant lui-même constant. Nous pouvons assimiler ce phénomène à ce qui se passerait dans un réservoir percé à sa partie inférieure d'un certain nombre d'orifices. Il est clair qu'en y versant une quantité d'eau constante, on y obtiendrait d'une manière permanente le niveau qui rendrait la perte par les orifices égale à la quantité d'eau versée. Maintenant, si cette quantité d'eau versée, tout en restant constante par grandes périodes, éprouve des variations journalières, ce niveau variera lui-même, mais ces variations seront moindres que celles de l'eau versée, parce que le débit des orifices inférieurs diminuant ou augmentant quand le niveau s'abaisse ou s'élève cessera d'être constant. Nous pouvons donc, par les variations de la quantité d'eau versée, avoir une limite supérieure des variations du niveau de la nappe. Or, on sait qu'il tombe à la surface du sol line hauteur d'eau annuelle qui varie suivant les localités de 0",70 à 1 mètre; il faudrait en retrancher celle qui est évaporée, celle qui s'écoule à la surface, et multiplier le reste parle chiffre 2, 3, &, 5 ou 6 pour tenir compte du surcroit de hauteur que peut lui faire occuper la porosité des terrains, ce qui porterait à 2 ou 3 mètres la variation de hauteur que pourrait subir la surface de la nappe alimentaire, dans le cas oîi toute la pluie annuelle tomberait le même jour. Or, comme cette pluie se divise sur un grand nombre de jours, on en conclura que, quoique ces jours soient inégalement espacés dans l'année, les variations de la quantité do

pluie tombée ne peuvent occasionner qu'une variation de hauteur insignifîaiite dans le niveau des eaux qui alimentent les couches artésiennes, et que, par conséquent, la pression et le débit d'une nappe artésienne sont sensiblement constants, quand son point de dégorgement est assez bas par rapport à son niveau sirpérieur. C'est par ce motif que le débit des puits artésiens, qui, comme celui de Grenelle, sont dus à une grande pression au-dessus de Torifice, est luimême constant. Il en serait autrement si en élevant la colonne ascensionnelle on diminuait la charge : la diminution du débit pourrait devenir alors une fraction importante de débit total.

En partant de ces notions générales sur la nature et le mouvement des eaux souterraines et à l'aide des.formules que nous avons données dans la première partie de ce mémoire on peut, comme nous Tavons dit, résoudre plusieurs questions qui intéressent la science ou l'industrie. Nous n'en ferons ici l'application qu'à celle qui concerne les quantités d'eau qu'on peut* demander aux nappes ordinaires à surface libre et aux nappes artésiennes à surface forcée.

145. Des paits ordinaires. — Considérons maintenant le cas d'un puits ordinaire creusé dans un massif sablonneux ^ . 65) reposant sur le plan OX supposé horizontal. Ce massif entouré d'eau forme une espèce d'Ile circulaire doui le puils occupe le centre.

Soient :

R le rayon du puits,

L le rayon du massif filtrant,

Ao la hauteur de l'eau dans le puits au-dessus de la couche imperméable OX, pendant qu'on extrait le volume q par seconde, -

H la hauteur de Teau extérieure ou la hauteur normale du puits lorsqu'il est abandonné à lui-même,

g le volume extrait du puits par seconde.

D'après les considérations développées dans la première partie de ce mémoire» la courbe AmC de la surface de l'eau sera déterminée par l'équation :

dy

Or si nous considérons une section circulaire en m, sa hauteur verticale sera y, son périmètre lizx) on aura donc :

et Téquation différentielle de la coui4)e pourra se mettre sous la forme :

tly ji g ^ii^'q 1

dx 2iwu xy 2i: xy^

intégrant et remarquant que pour ;a?=R, y=zh., que pour 0?=^, y=H, il vient pour équation de la courbe :

*■-*■•=;* "«(fi)

y' — A'o loga?— logR H=— A\~logL — logR y' — H' log X — îog L H'— V~"logL — logR'

d'où

et

et pour le volume q débité par le puits :

% W — h\ 2ir H — A. ■ H 4- A.

^-^'j^ /L\~(x'logL-logR 2

Les diverses formes sous lesquelles on peut écrire l'équation de la surface de l'eau démontrent : 1" qu'elle ne dépend ni du volume débité ni de la perméabilité du terrain; 2'' que lorsque H, Ao, L, R sont donnés, la courbe est déterminée, quelle que soit cette perméabilité, qui alors ne fait plus que changer le volume débité. Donc pour un terrain et un volume donnés, quel que soit le diamètre du puits, la courbe de la surface d^Teau est la même. Quant au débit, il est proportionnel à la charge H — A» et à l'épaisseur

moyenne — - — ^ de la couche, comme dans le castiù Peau traverse un massif

perméable par filets parallèles, mais il n'est plus en raison inverse de l'épaisseur du massif L — B, la difEérence de ces quantités est remplacée par eellede. leurs

logarifhmes log / ^

Il résulte de cette dernière propriété que si L et R augmentent ou diminuent proportionnellement, le débit ne change pas, quoique l'épaisseur du massif à travei'ser doive éprouver une grande variation. Supposons^ par exemple,

258 DU MOUVEMENT DE L'EAU A Tll AVERS LES TERRAINS PERMÉABLES.

ces deux systèmes donneront le même débit, quoique dans le premier.répaisseur du massif à traverser soit dei98 mètres et de &9 mètres seulement dans le second. Cela tient à ce que Teau arrivant dans le puits par des rayons convergents et avec une vitesse croissante, la perte de charge par mètre courant augmente rapidement de la circonférence du massif au centre; par conséquent la partie du massif éloignée du centre du puits, traversée par Teau avec une faible vitesse, ne donne lieu qu'à une perte de charge insignifiante ; on peut donc l'augmenter ou la diminuer notablement sans changer le débit. Il n'en est pas de même de la partie . voisine du centre, parce que la vitesse y étant relativement assez grande, la perte de charge employée à la traverser est considérable. Cependant lorsque le massif a une grande épaisseur^ le rayon du puits influe peu sur son débit. On a en effet, pour deux puits de rayons différents, la relation :

j log(R) g' ^ log (L)

log (L)

On voit que quand R et R' sont petits par rapport à L, q* et q sont à peu près constants. Ainsi si Ton doublait le diamètre, le débit ^ deviendrait dans le cas deL=^100'»,

pour Rrirl", 9'i=l,17^

•pour R = 10", q'=itq.

On voit que le débit n'est proportionnel ni à la surface de l'orifice du puits ni à son périmètre.

Si le rayon du puits influe peu sur le débit, il est clair que sa forme influe encore moins, lorsqu'elle diffère peu du. cercle, car il n'y a alors qu'un peu plus ou moins de massif à traverser suivant tel ou tel rayon. Ainsi un carré, par exemple, aura évidemment le même débit qu'un cercle compris entre les cercles inscrits et circonscrits. Mais si le puits avait des dimensions sensiblement inégales en longueur et en largeur {fig. 66), en partageant la circonférence par des plans méridiens suffisamment nombreux, on calculera facilement le débit relatif à la section comprise dans l'angle 6 de ces plans, car pour chacun. d'eux, les quantités L et R seront connues; mais comme les variations de L sont sans influence, on pourra les négliger et calculer le rayon moyen par la formule :

L — 2it I I j + . . .

log 5 Ug ^ log ^

On obtiendra ainsi une limite inférieure du débit, car en réalité les filets ne suivront pas exactement la direction des plans méridiens , mais des courbes convergentes vers le puits et ayant la propriété de donner le moins de résistance possible pour la plus grande quantité d'eau. La soluliou exacte du problème rencontrerait des difficultés d'analyse qu'il est inutile d'aborder ici, parce que la solution approchée, que nous indiquons suffît pour la pratique ; car ayant trouvé ainsi une limite inférieure du débit, on aura une limite supérieure à l'aide du cercle circonscrit à la figure du puits, et par conséquent une liitiite de l'erreur commise. Le même système d'approximation pourrait être appliqué dans le cas où le périmètre du massif ne serait pas un cercle et où le puits ne serait pas placé au centre.

Remarquons que la position plus ou moins excentrique du puits dans le massif filtrant ne saurait avoir une grande influence sur le débit. En effet, joignons les

centres C, C du massif et du puits (fig. 67), et par un point o tel que ^ = t* ?

faisons passer une série de plans méridiens décomposant les deux circonférences en un grand nombre de sections égales, puis substituons aux arcs de cercle coupés par ces plans, sous des angles aigus ou obtus, des arcs de cercle normaux décrits avec les rayons L et R qui partagent l'angle en deux parties égales. Le débit qui se ferait dans chacun de ces éléments qu'on pourra substituer aux premiers, se calculerait alors comme si le puits était au centre, or pour chacun

de ces éléments le débit étant proportionnel à — : — r-^, et le rapport- étant

log-

par construction constant et égal à ^ , il est clair que le débit du puits calculé

dans ce système de division sera le même que s'il était situé au centre. Le débit est en réalité plus considérable que celui qui résulterait de ce calcul, car, comme nous l'avons déjà dit, Teau suivra la direction où elle éprouvera le moins de résistance, et il peut se faire que cette condition se trouve remplie par d'autres systèmes de plans méridiens el même par des surfaces courbes convergeant vers le centre «du puits. Mais, nous le répétons, cette recherche nous parait sans utilité pour la pratique.

Pour appliquer le calcul à la détermination des quantités d'eàu qu'on peut obtenir d'un puits, nous nous sommes placé dans une abstraction mathématique qui, au premier coup d'œil, parait essentiellement différer de la réalité.

Cependant les conséquences qui ressorlent de nos calculs peuvent servir à faire

voir qu'il y a entre cette hypothèse et la réalité une analogie telle qu'elle permet de les confondre lorsqu'il ne s'agit que de résultats approxtmatî£6t«

Comme nous l'avons dit plus haut, les nappes souterraines sont en générai situées sur des couches inclinées et descendent lentement vers quelque cours d'eau superficiel. Nous verrons plus loin, à propos des puits artésiens, comment la penle de ces nappes peut limiter le débit des puits, et, pour* ne pas répéter les mêmes considérations, nous naus bornerons à justifier ici l'assimilation * d'une nappe ind^nie à la nappe limitée, qui a servi de hase à nos calculs.

Imaginons donc qu'un puits soit descendu dans une nappe ind^nie et que par des moyens dépuisanent on en enlève une quantité g par seconde, en y faisant baisser Teau à divers niveaux h^. Il est clair que la surface horizontale de la nappe sera altérée et formera vers le puits une série d'entonnoirs coneentriques en se déprimant par courbes convexes vers le ciel, et qu'à une certaine distance. du puits, distance qui pourra varier un peu suivant les rayons, l'abaissement sera réduit à une quantité négligeable. Si donc on imagine un cylindre mrtical passant par les points où la surface du plus profond de ces entonnoirs vient se raccorder avec la surface primitive, nous pourrons, sans rien changer aux conditions du débit du puits, substituer à la masse perméable extérieure de VeÊH parfaitement libre et nous rentrerons dans les conditions de l'hypothèse qni a servi de base aux calculs précédents. Sans doute l'identité n'est pas oompiète parce que la surface ainsi obtenue par une section horizontale de l'ento»noir n'est pas un cercle concentrique avec le puits, mais nous avons vu que l'influence du rayon du massif et que l'excentricité du puits avaient peu d'influence sur le débit.

Les propriétés que nous avons démontrées plus haut relativement à l'influence de la charge et du diamètre des puits creusés dans des massifs perméables circulaires, peuvent donc être appliquées aux puits ordinaires, et l'on peut tirer parti des formules que nous avons données, soit pour déterminer tes quantités d'eau qu'on peut obtenir ou la perméabilité des couches aquifères.

Les calculs précédents supposent que le puits a été creusé jusqu'à la couche imperméable; s'il n'en était pas ainsi le débit serait moindre^ mais d'une quan* tité très-faible. £n effet, le terrain perméable laissé au fond du puits donnera une issue à l'eau par le fond, et la diminution de débit ne canrespondca qu'à l'excès de perte de charge dû à là traversée «de c^te petite masse. Ce sera en réalité comme si l'on diminuait un peu le dbunètre du pisits, et l'on a vu plus haut combien peu cette diminution influe sur fe débit. Si eetle condusiomne parait pas conforme à la pratique', cala tient i ce que mm» «ooiparans ki les

M MO€f eRfENT DE L*EAU A TRAVER!» LES TERRAINS PERMÉABLES. i&9

délÂt» dansh les mêmes drcombiiees^ e^est^à-dire atec la même déniveUation H-*- A.. Il favt roampqiier en effet qfue te maiînram de débit d'an puits correspond au maximum de Texpression W — h\ soit à Ao=0; donc lafnl qne le puits n*est pas suffisamment approfondi pour qu'on puisse faire Ao=0, le débit va en augmentant, mais demofu^ en moins rapidement parce que si d'un côté la charge augmente, de l'autre la section moyenne dûoinue.

On doit remarquer que la quantité d'eau qu'on peut obtenir d'un puits est, eu égard à son périmètre ou à sa surface^ beaucoup plus considérable que celle qu'on peut obtenir d'une galerie filtrante d'une grande longueur.

Imaginons une galerie d'une largeur 2R située dan» une ile àwm longueur indéfinie^ d'nne largeur 2L el alimentée latéralement, à droite et à gaacbe; soa produit, d'après ce que nous avons vu, sera par mètre courant :

pi' L — R ' celui d'un puits du rayon R dans les mêmes circonstances

, ^vr — A\

d'où

it(L— R) logL-logR;

rapfort

pour h:=^ IM^ oo aurait ^s? 6&.^« pour L=^ 200 Gaanraîl ^:r=^118»9 pour L=^1000 on aurak ^=3 454.f«

On voit par là que quand on veut obtenir de l'eau au moyen d'une galerie filtrante èkabftie dans le tol^ la quantité d'eau qu'on peut espérer par mètre couraad ée galène n'est qn'une trèfr-petile fraction de ce que donnerait un puits d'essai, et que quand les localités s'y prêtent, il peut y avoir avantage à substituer à ane longue galerie filtrante une série de puits ccHumuniquant entre eux oar des totaux, surtout lorsqu'on se trouve éloigné des nappes alimentaires.

Ce que nous avou$ dit des puits d'épuisement peut s'appliquer aux puits absorbants; il suffit de changer dy en — dy et de supposer h. > H, et l'on aura pour équation de la courbe CmÀ (Jig, 68) :

et pour \olume débité

ir h\—W q =

(x' logL — logR*

On remarquera que dans les puits ordinaires, le débit se trouve limité par la hauteur de la nappe aquifère et que quelle que soit la profondeur du puits, ce débit ne peut dépasser

[x'IogL — logR*

Il n*y a pas de limite de ce genre pour les puits absorbants, on peut maintenir le niveau de Teau dont on veut se débarrasser jusqu'à fleur du sol si cela est nécessaire et avoir par conséquent un débit très-considérable, si le puits est profond.

Le débit des puits absorbants étant, comme celui des puits ordinaires à peu près indépendant de leur diamètre, H en résulte des propriétés analogues en ce qui concerne les pertes d'eau qui se font dans les pièces d'eau, dans les réservoirs, dans les canaux, etc., etc., qu'on veut maintenir étanches. C'est que l'importance des fuites ne doit pas se mesurer d'après la grandeur des orifices, mais d'après leur position ; quelque^ fissures réparties sur toute la surface qu'on veut maintenir élanche, donneront des fuites infiniment plus considérables qu'un très-grand nombre de fissures réunies sur un petit espace, et si l'on se contentait de boucher la moitié de ces fissures, les autres débiteraient deux fois plus. C'est ce qui rend les travaux d'étanchement si difficiles. La moindre imperfection a les conséquences les plus graves, mais c'est encore là une question que nous ne ferons qu'indiquer ici.

146. Des puits artésiens. — Pour se rendre compte de la quantité d'eau que peut fournir un puits artésien, il faut avoir recours à une hypothèse analogue à celle que nous avons faite pour les puits ordinaire^. Imaginons donc une couche perméable circulaire comprise entre deux couches imperméables et alimentée par un réservoir dont la hauteur dépasse le niveau du terrain. Conser-

DU MOUVEMENT DE L'EAU A inAVERS LES TERRAINS PERMÉABLES. 261

vons .les notations que nous avons adoptées pour les puits ordinaires et complétons-les en appelant {fig. 69) :

e Tépaisseur de la couche aquifère que nous supposons constante, y une hauteur comptée à partir du niveau de ToriOce d'écoulement, H la charge sur cet orifice ou la hauteur à laquelle- Teau s'élèverait au-dessus de cet orifice dans un tube ascensionnel indéfini.

Par les mêmes considérations que pour les puits ordinaires, nous obtiendrons les équations suivantes :

"«(fi ^^

2iceH 9=

' '<« (fi)

On voit que, comme pour les puits ordinaires, 1* la courbe des pressions ne dépend ni du volume débité ni de la perméabilité du terrain ; t que lorsque H, ^ et R sont donnés, la courbe est déterminée.

Quant au débit, il est proportionnel à la charge H, à l'épaisseur e de la couche aquifère et à sa perméabilité. Le rayon R, l'épaisseur L du massif n'ont sur le débit des puits artésiens pas plus d'influence que sur le débit des puits ordinaires ; car on remarque que les formules de débit sont à peu près iden-

tiques. La seule différence, c'est que la hauteur variable — r— r^ de la section

moyenne des puits ordinaires est remplacée ici par la quantité constante e. Quant à l'équation de la courbe, elle offre aussi la plus grande analogie avec celle des putts ordinaires, il suffit de changer y* — A'o en y — Ao.

La proportionnalité du volume à la charge a été 'démontrée par de nombreuses expériences7aites sur divers puits artésiens, entre autres sur le puits de Grenelle. On les trouvera consignées dans l'ouvrage -de M. Darcy, que nous

a«2 DU IfOCVEHENT D£ £*EAO A TRAVERS LE3 TBRttAIM PCRMiABLflS.

tt^Mts cité. H 7 a donc là one confenaatîoa asiei rmnrquable è» forimileig auxquelles nous sommes arrivé.

t/i7. Influence du diamètre sur le débil. — Quant à Tinflence du diamètre diA puits ou plutôt du tube ascensionnel sur le débita qu'il nou» soit permis de citer ce qui est arrivé il y a quelques années au puits de Grenelle.

Lorsque la direction du service municipal de la ville de Paris nous fut confiée, le àébk de ce ptiit» avait bcaoeoup difunnifé par rait« d^un accid^uft survenu à la partie inférieure du tube d'ascension. Cette paffti« déviée de sa posi^ tion verticale, ne pouvait plus être débarrassée par la sonde des corps étrangers qui s'y étaient introduits. Ua nouveau tube êfxm pliis petit diamètre, placé dans rintérieur du premier, pénétra j,usqu'à la couche aquifère à Taide d'un trou de tarière percé dans le coude du premier, tulbe ; avais bientôt ce second tube commençant à s'incliner fit craindre que le même accident ne se renouvelât (/î^. 70). En effel, les sables et terres sortis da fube d^ascension, lorsqu'on l'a fait dégorger au niveau du sol, ont dû former autour du pied du tube et sur une certaine hauteur un espace vjtfe ou rempli de safele très-mobile, et l'on comprend que dans cette partie 1^ tube n'étant plus soutenu latéralement devait obéir à la moindre pression. Nqus ne vîmes d'autre moyen de remédier à cet état de choses que d'enraciner l'extrémité du tube dans la partie solide du terrain inférieur. Nous conseillâmes donc à M. Mulot, d'armer cette partie inférieure d'un fort pivot en fer, de chercher ensuite à le faire pénétrer le plus avant possible dans le sol résistant, et de se' contenter de ne pîus recevoir f'eau que par des trous percés dans Fa paroi latérale du' tuyatr; c'est ce quï a été exécuté. Ainsi aujourd'hui non-seulement l'eau arrive par un tube beaxicoup phiff petit que l'ancien, mais la partie inférieure de ce tube, complètement fermée par le bas et ne recevant reaw que par des trons percés cfens la paror verticale, contient une tige quadranguteire qui en diminue énonmément lia section. Eh bien F cettie opératfonv quiiaparfiaittemenf rétissf sous le rapport die fa solidité, a parfaitement réussi aussi sous te rapport du volume» On a retrouvé tout ce qu'on avait perdu ; d'où l'on peut conclure qu'une diminution très-considérable du diamètre du ' puits n'en a pas altéré le débit

'C'est un fiiit que chaque habitant de Paris peut d'ailleurs fàciltement s'expnquer, car à Paris il n'y » guère* de ménage où il n'y ait une petite fôntafne flltrante. Or chacun* sait qu'on* aurait beau* augmenter te nom-bre des robinets ou leur diamètre, on ne fîreratt pa* unegDutte d'eau ék pfn^ ou dte raoitrs du compartiment qui reçoit l'eau qui passe à travers le filtre, et que ce qui empêche Teau

DU MOUVËMEM^ I>fi L'EAU A TRAVERS LES TERRAU^S PERMÉABLES 368

d'arriver en aboiudaftce -^vâsid oa ouvre le i^obinet, c'e»t que la fmre ou la matière filtrante u'en donne qu'une certaine quantité par seconde. Il esi vrai cependaiU que le défaui de gruidair de rorifice fiaut deveoir ua obstacle et limiter indéfiniment le débit, mais on se rendra ooa)pta4e œ ^béOiMièafte pxv un calcul iort isim^le.

Supposons qii'ujQ puits artésien ait été pereé avec om grand diamètre, et qv'ea* suite on ait mis un tube d'ascension d'un diamètne D beaucoup plus faible., le nouveau débit q sera donné par 1 équation

Le premier terme de cette équation r^présenfe la perte de charge qui a lieu dans la masse fluide, et résulte des formules que nous venons de donner; le second terme^ celle qui est due au frottement du tube ascensionnel, calculée d'après les formules connues relatives au mouvement de Teau dans les tuyaux» (Voir notre Traité sur la distribution des eaux.) La longueur / du tube ascensionnel peut être considérée comme constante, parce que d'abord elle n'éprouve que des variatkms insigniiiaintes, et ensuite parce que hors de terre on est libre

de prendre un diamètre quelconque. Si l'on appelle h la perte 4e charge ^

l'expression du volume peut se mettre sous la forme

q=iï'Ke

î^'i^lg;

e'est-à-4ire que le frottement du tube asceasionnel correspond à la dimjjojutiaii de la cbaige H, d'une certaine quantité dont l'importance sera mi^urée pai* ihw rapport avec la charge H elle-même. Il suffira donc de calcjjjer la Vi4o.ur (Im

terme -^^ pour savoir la diminution du débit due à la petitesse du diamètre du

tube ascensionnel.

f {|8« Hoyeii de reconnattre si le ^Uamètre 4'iin paAnm fet^ Mt trafi petit. ~ On peut au reste, en comparant les débits i diverses hauteurs du tube^ reconnaître le rôle que joue dans cette circonstance le diamètre de la conduite

26â DU MOUVEMENT DE L*EAU A TIt AVERS LES TEHRAINS PERMÉABLES.

ascensionnelle, et s'il y a lieu de regretter d'avoir fait un forage d'un trop petit diamètre.

Représentons par une courbe la relation qui existe entre les débits et les charges, en menant aux divers points de Taxe du puits des lignes horizontales proportionnelles au débit que donnerait le tube ascensionnel s'il était coupé a ces différentes hauteurs* D'après ce que nous avons dit plus haut, l'équation de cette courbe aura nécessairement la forme

H — y^zoq-^bq^ en appelant {fig. 71)

H la hauteur au-dessus du sol à laquelle devrait s'élever le tube ascensionnel pour qu'on ait ^=0, y les ordonnées au-dessus du sol, a et 6 deux coefficients inconnus.

On voit donc qu'à la rigueur il suffirait de trois expériences pour déterminer les quantités inconnues H, a, b , et même de deux, car le diamètre moyen et la longueur du tube ascensionnel étant connus, b peut être donné par la formule

' =^. La courbe qui représente les débits est une parabole à axe vertical, les

coordonnées dû sommet sont — — • et H + tt*

Il résulte de là que si à la hauteur H on mène la tangente à Ja parabole ainsi

déterminée, c'est-à-dire la droite dont l'équation est

H— y=fl«r,

on obtient la limite des maxima des débits qu'on 'peut atteindre en augmentant le diamètre du tuyau ascensionnel, et les différences entre les abscisses de cette droite et celles de la parabole exprimeront par conséquent les profits qu on peut faire sous ce rapport. ^

Ainsi à Grenelle, par exemple, on trouve, en déterminant par le calcul la perte de charge qui a lieu dans le tube ascensionnel, qu'elle n'est que (Je { mètre environ, et que celle due à la masse filtrante est d'environ 56 mètres.

Il est donc évident qu'en augmentant indéfiniment le diamètre on ne pourrait augmenter le débit que de 2 p. 100 à peine. Il y a plus même : la hauteur de la colonne du puits de Grenelle n'est pas ce qu'elle devrait être pour obtenir le maximum d'effet utile.

En effet, il résulte des expériences précitées que Teau pourrait s'élever à 90 mètres environ au-dessus du sol. Si donc on voulait, sous le rapport mécanique, en tirer un meilleur parti, il faudrait donner à la colonne une hauteur de

45 mètres au lieu de 33, car le maximum de (H — y)y, est donné par y = - H.

On aurait ainsi un effet mécanique représenté par

45 X 45 = 2025 au lieu de celui qu'on a aujourd'hui

Augmentation: 144

Soit 8 p. 100 environ sur l'effet actuel.

En élevant Teau à 45 mètres le débit diminuerait dans le rapport de—,

et la perte de charge dans celui de( — j .

i&9. Dn débit firobable dv puits de Pasty en égard à son diamètre. — Les jaugeages du débit du puits de Grenelle à diverses hauteurs ne justifient donc pas l'espérance conçue d'obtenir à Passy un plus grand volume d'eau au moyen d'un forage d'un plus grand diamètre (*).

Si Ton attend ce plus grand débit du rayon du puits creusé dans la masse filtrante, cet espoir est tout aussi chimérique, car le vide qui se fait au pied du tube n'a pas de rapport avec le diamètre de ce tube. Lorsqu'une sonde pénètre dans la masse aquifère et que Teau vient à jaillir à la surface du sot^ il se produit un certain désordre dans cette masse» surtout si, comme à Grenelle, le tube d^ascension est assez petit pour entraîner les corps solides qui s'en détachent. Il se forme donc tout autour du tube un espace vide, ou rempli de matières qui ne peuvent être entraînées à cause de leur poids ou de leur volume. Jusqu'où s'étend cette altération de la masse aquifère, jusqu'à quel point estelle favorable au débit? C'est ce qu'il est assez difficile de déterminer. Mais ce qu'il y a de certain, c'est que le rayon réel du puits artésien, que nous avons désigné par R dans les formules précédentes, est beaucoup plus considérable

{*) Nous avons cru devoir laisser dans ce chapitre nos conjectures sur le résultat du puits de Passy telles qu'elles étaient dans le mémoire présenté à l'Académie des sciences. Nous le terminerons par quelques explications qui feront voir que la contradiction entre ces conjectures et ce résultat est plus apparente que réelle.

266 DU lfOUV£M£NT ££ L'EAU A TRAVEftS LES TERRAINS PERMÉABLES.

que celui du tube ascensionnel et n'a pas de rapport avec lui. D'ailleurs, les considérations que nous avons exposées à propos des puits ordinaires, et qui sont ici applicables, puisque la formule est la même en ce qui concerne cette quantité, ont mis en évidence le peu d'influence qu'avait le diamètre du puits sur son débit. Toutes choses égales d'ailleurs, on ne doit donc pas s'attendre à trouver à Passy plus d'eau qu'à Grenelle. Par toutes choses égales d'ailleurs, nous entendons qu'on s'adressera à la même couche aquifère et que cette couche aura à Passy la même épaisseur et la même perméabilité qu'à Grenelle.

On peut se faire, au sujet du puits de Passy, une autre question. Ce puits, en le supposant arrêté à la même nappe, altérera-t-il le débit du puits de Grenelle? On sait que le débit des puits forés dans la Tille de Tours a toujours été en diminuant à mesure que leur nonflbre a augmenté. Quelques-ims même ont complètement tari. M. Darcy qui, dans son ouvrage sur les fontaines de Dijon, a recueilli une foule de faits intéressants sur les puits artésiens, cite comme un exemple très-remarquable de cette influence réciproque, le puits de M. Bretonneau. Ce puits, situé à 1,350 mètres de celui de labattoir de Tours, a vu son débit notablement diminuer lorsque Tcau a jailli de l'abattoir; il n'y aurait donc rien d'étonnant à ce que le puits de Passy nuisît à celui de Grenelle, quoiqu^il en soit distant de 3 kilomètres environ.

Disons de suite qu^on ne peut, à cet égard, émettre que des conjectures plus ou moins plausibles, et que notre but est moins de résoudre la question que de signaler les seules indications que fournissent, à cet égard, les données dont on dispose.

Ce qu'on connaît du puits de Grenelle, c'est son débit et la cTiarge qui le produit; le rapport entre ces deux quantités est ce qui caractérise la couche aquifère qui alimente un puits artésien. Ce rapport est très- variable dans les divers puits connus.

150. Puissance de débit de divers puits artésiens. — Eu réunissant les données fournies par TH. Darcy, on trouve pour quelques-uns de ces puits les rapports suivants qui expriment ce que débiterait chacun d'eux avec i mètre de chaîne.

Pour le puits de GreneMe ce rapport e^t *e. 0,000 22 1

— Vilaines dans la Côte-d'Or 0,000 089

— M. Lambert àElbeitf. 0,000 130

— M. Richemont à Cangey 0,004 25

— — à Saiat-Aventin. . 0,002 80

DO MOUVEHEINT D€ L*BAU A TRAVERS LES TCBRAINS PE&MtABLÏB. «7

de M. Champotseatt (183») Q^Om 48

de M. Cbampoîseaii (le même ap-

Pour lœ puits de Tours ( profoadi) 0,d02 23

dans la toHr Charlemagne. 0,001 1 7

de la caserne de cavalerie 0,00 1 09

Pour le puits de Villandey à M. Hainguerlot 0,004 04

• On voit que le coefficient du pulls de Grenelle est un des plus faibles,

quoique son débit soit un des plus considérables. Cela tient à ce qu'à Paris on dispose d'une très-grande pression, de sorte qu'on obtient une assez grande quantité d'eau d'une couche aquifère beaucoup moins riche que celle, par exemple, qui alimente la ville de Tours. A Paris, au sol la pression est de 90 mètres environ, à Tours elle n'est guère, pour h première nappe rencontrée, que de 6 à 7 mètres. Oa voit que si l'on avait trouvé à Paris une nappe aussi riche que celle de Tours, on aurait eu quinze fois plus d'eau au sol. Voyons maintenant quelles sont les conséquences du débit et de la charge du puits de Grenelle par rapport au débit des puits qu'on pourrait forer à une certaine dîstairce de ce même puits.

f51. Inflncsnce réciproque des puits .artésiens forés dans la même nappe. — Au lieu de la nappe souterraine d'une grande largeur qui alimente un puits artésien, considérons un élément de cette nappe compris entre deux plans verticaux situés à une petite^istance et dirigés dans la dinection de la vitesse des filets fluides. Nous aurons ainsi une espèce de conduite à débit constant dans toute son étendue, débit proportionnel à la différence de niveau Z (fig, 72), entre les extrémités et fonction d'une certaine section moyenne qu'on peut calculer au moyen des formules données phis haut.. La pression en chaque point de cette conduite sera limitée par une courbe AmB, dont on peut avoir facilement l'équation, car on sait que l'inclinaison -de cbacun de ses éléments est proportionnelle à la vitesse de Teau au point correspondant de la conduite. Si la section était constante, cette, courbe se réduirait à une ligne droite. Faisons maintenant sur un point P de cette conduite une prise d'eau au moyen d'un tube limité à la hauteur z au-dessus du niveau du réservoir inférieur et cherchons à déterminer le débit de cet orifice.

Soient : Q le débit total de la conduite,

ç le débit de rorifiee O, H la charge sur cet orifice.

Remarquons d'abord que le débit d'une nappe artésienne est constant, car i! est nécessairement égal à la quantité d'eau qu'elle reçoit à sa partie supérieure. Ainsi, par Teffet de ce nouvel écoulement, la courbe des pressions BmÀ est remplacée par la courbe BOC, la portion OC étant parallèle à la portion fftÂ, puisque le débit est le même, et l'inclinaison de chacun des élémens de la portion BO

Ci — /i

étant à celle des éléments de Bm comme — rr-^.

Or, la proportionnalité entre le débit et la charge nous donne pour la portion de conduite BP :

dou q = Q - =

On peut se rendre compte de la signification et de la valeur du rapport ûP^"^ ^° point quelconque. Supposons que la nappe artésienne du puits

Z "T* Il

de Grenelle ait son débouché dans la mer, l'ordonnée ^ + H serait alors la hau* teur au-dessus de la mer de' la colonne hydrostatique du puits de Grenelle,

soit environ 1 28 mètres,

la pression H serait, comme nous Tavons dit, de 57

d'où Ton pourrait conclure que si l'on faisait en travers de la nappe une série

de puits contigus, on ne pourrait faire monter à la hauteur du tube de Gre-

nelle que les— ^ du produit total de la nappe et qu'on en perdrait nécessaire-

ment les

On remarquera que ces rapports sont indépendants de la perméabilité du terrain et de la section de la conduite, c'est-à-dire qu'en s'écartant plus ou moins des plans verticaux qui la terminent latéralement, en substituant au corps perméable contenu dans la conduite un autre corps qui le serait plus ou moins, cela ne changerait ni la ligne des pressions ni les rapports entre les débits.

On remarquera aussi l'influence du niveau de l'orifice inférieur B; ainsi, en supposant la charge H constante, le produit q du tube ascensionnel diminue

quand la hauteur z augmente. Ainsi un abaissement du point B diminuerait le débit de la prise 0, même en lui conservant la même charge. Cela se i^onçoit facilement : Teau se partage entre Torifice et Torifice B en raison de l'intensité des appels qui lui sont faits. Or, plus le point B se trouve bas par rapport au point 0, plus son appel est puissant.

Imaginons maintenant que des puits soient ouverts en 0' et 0'^ il est clair que leurs orifices, se trouvant au-dessus de la nouvelle ligne de charge, ne donneront pas d'eau , quoiqu'ils se trouvent au-dessous de la ligne de charge primitive et qu'ils pourront en donner si Ton ferme Torifice 0. Rien de si facile du reste que de déterminer le débit d'une série de puits dont on connaîtrait les hauteurs des orifices par rapport à la chaîne sur l'extrémité de la conduite et par rapport à la ligne de charge primitive. En effets le débit de chaque portion de se trouve déterminé par l'inclinaison de la ligne qui réunit les orifices branchés sur ses extrémités (fig. 73).

Ainsi soient : z^ zf^ /',.•• I^^ ordonnées des orifices par rapport à Thorizon-

taie passant par le point B, A, A', h!\... lés chaînes sur les orifices dans l'hypothèse où il

• n'y aurait que l'orifice d'extrémité,

9i ^j 7")<*- 1^ débits des divers puits Ibréa dans la nappe, Q le débit total de la conduite.

On aura :

Pour le débit de la portion de conduite ^p*' :

Pour le débit de la portion de conduite p"p' :

Pour le débit de la portion de conduite p'p :

On obtient facilement les valeurs de ^', ^', g en retranchant de chaque équation celle qui la précède. Comme pour les conduites ordinaires, les orifices ne

270 DU MOUVEMENT n£ L'EAO A TRATEfiS LES ITRRâlNS PERMÉABLES.

peuvent donner d*eau qu'autant qu'ils se troiweat au sommet d'un polygone présentant partout des angles saillaiits et dont rinclinaison des côtés ya tcnijtmrs en augmentant, ce qui donne un moyen de distinguer les orîfices qai débitent de ceux qui ne débitait pas.

Il suffit de les joindre par une ligne brisée et de réunir successivement les orifices situés en amont et en aval de l'angle saillant ; tou» le& oriCices sitmés au-dessus du polygone ainsi obtenu n 'auront aucun débit. Celui des autne& orifices est facile à calculer en vertu des équations précédente» : leur débit total est toujours égal à celui que donnerait Torifice le plus bas , s'il était seul sur la conduite, et, en général, le débit d'un nouvel orifice en amont est pri&sur celui qui le suit immédiatement à Taval. On a en effet, en vertv des équations précédentes :

On remarquera que e89 débits ou: pjbutèt' les sapports ^^ ^^ tt, sont indépendants de la section de la conduite et de la perméabilité du corps à travers *lequel l'eau s*écoule.

C'est ainsi que les choses se. passeraient si la nappe artésienne avait très-peu de largeur par rapport au diamètre du puits artésien, ou s'il y avait dans la nappe artésienne un drain transversal qui en recueillît les eaux dans toute sa largeur; mais il n'en est pas ainsi dan& fa) nstune,. ot les résuMatSi précédent» se trouvent modifiés de manière à ne plus pouvoir être aussi exactement précisés. On ne peut plus se rendre compte des phénomènes de ce mouvement que d'une manière approximative, parce qu'il est impossible de réunir les données nécessaires à la solution du problème.

Dans le cas que nous venons de considérer, la ligne de pression s'abaisse sur l'orifice et s'y brise suivant l'angle W^Cifig. 74); du côté d'amont elle reste parallèle à son ancienne diraction; du côté d'aval elle est moins inclinée ; le tuyau ne reçoit deVeau à sa partie inférieure que par l'amont. Donnops maintenant à ta conduite une largeur sensiblement pins grande que le- diamètre du tube ascensionnel'. Il ne ponrra plus enlever à la conehe aquifère une quantité d'eau

en rapport avec sa nouvelle lai*geur, c'est-à-dire que si par exemple on <a <lé^ cuplé la largeur, on n'aura pas un produit décuple, mais il en différera trèspeu. En effet, poui* que la partie aval de cette conduite débite plus que dims le cas précédent, il faut que la ligne de pression ait plus de pente, ce qui ne peut avoir lieu qu'au moyen d'un relèvement de la nappe en aval du puits. Or si la nappe se relève de N en », elle se relèvera de M en m à l'amont, et l'eau arrivera de tous les côtés au tube ascensionnel avec une vitesse plus grande, c'està-dire que près du puits les filets fluides convergeront tous vers le centre. La différence d'inclinaison des lignes nC et NC indiquera ce qui est échappé au puits, c'est-à-dire la quantité d*eau qu'il aurait pu amener à la surface s'il avait eu la largueur de la nappe. On voft donc que la nappe, en s'élargissant, cède XLéœssairement au puits une grande partie de son eau, car jpour que la partie aval de la conduite débite davantage, il faut que le point n s'élève, ce qui augmente le débit du puits; on comprend du reste que le rapport de la partie enlevée par le puits à la partie qui lui échappe va sans cesse en diminuant à mesure que la largeur augmente, attendu que les points m et n ne peuvent s'élever indéfiniment puisqu'ils sont limités par la ligne de pression.

On peut maintenant se faireune idée assez exacte de lallération que produit, dans le mouvement des filets fluides et dans la pression de la nappe, le forage d*un puits artésien.

Imaginons toujours la nappe divisée en un certain nombre de filets par des plans verticaux parallèks à la direction ^e la vitesse et écartés de manière que leur débit «mt ie même. H est dair que le puits absorbe un certain nonibrB de 'ces. filets, \iugt par eromple. En menant donc à droite et à gauche du puits ififf- 75) deux lignes MN, M'N' parallèles «a fllet qui passe par son cCBtre et comprenant chacune dix >fii€ts, on limitera la 7one ahmentaire du puits dans rancîen système de la directioti des iitets. Mais il est clair que cette limite a changé de place dans le nouveau système à cause delà convergence des filets, et que les lignes MN, M'N' sont revenues* en convergeant vers le puits se fermer à une certaine distance en aval suivant mp^ m!p. Toute l'eau contenue dans cette zone alimente le puits, toute l'eau qui lui est extérieure alimente la partie de la nappe située à l'aval. On voit que Téconomie primitive de la distribution des filets dans la nappe se trouve complètement dérangée par le débit qui a lieu sur un point et par l'espèce d'appel qui résulte de la diminution de pression sur le centre du puits.

Considérons maintenant le filet extrême de la nappe alimentaire du puits et le filet contigu qui continue de se rendre dans le réservoir d'aval; il est clair

272 DU MOUVEMENT DE L*EAU A TRAVERS LES TERRAIiNS PERMÉABLES.

que pour ces deux filets il y a pour ainsi dire équilibre entre Tappel de ces deux voies d'écoulement. Donc ce qui détermine le débit du puits, c^est la relation qui existe entre ces deux appels. Dans le cas d'une nappe étroite^ nous avons vu que le débit du puits est donné par Téquation

une relation analogue existe pour une nappe quelconque. En effet, si nous représentons le profil en long de la courbe de pression dans Taxe du courant et deux profils en travers sur CD, EF {fig. 75 bis, ter et quaier), nous reconnaîtrons, en appelant /(H) la hauteur moyenne dont se relève la courbe en aval du puits^ f(JS) étant une quantité plus petite que H , mais qui en diffère peu, qu'on a Téquation

et par conséquent

Cherchons maintenant à déterminer la fonction H — /(H) qui exprime rabaissement moyen de la surface de pression par l'effet de récoulement du puits. Cela revient à calculer l'ordonnée moyenne de la section transversale faite sur Taxe du puits. On ne peut déterminer rigoureusement la forme de cette courbe, mais d'après les calculs que nous avons faits, dans Thypothèse d'un puits ouvert au milieu d'un massif circulaire, nous en connaissons le type. Nous savons que cette courbe doit se relever rapidement à droite et à gauche de l'axe du puits, et à une grande distance se raccorder avec la surface primitive. Nous sommes donc autorisée prendre pour équation de la courbe :

Or la surface OCBA est (fig. 76) :

ÏM —

Di: MOUVEMENT DE L'EAU A TRAVERS LES TERRAINS PERMÉABLES. 278

donc H - /(H) = L 52^.

R étant négligeable par rapport à L , et log ^ étant une quantité indépendante de H, qu'on peut considérer comme un coefiicient constant, il vient

On voit que le dé^it d*un puits artésien est proportionnel à sa chaîne et en raison inverse de la hauteur de la colonne manométrique au-dessus du niveau de Torifice par laquelle la nappe dégoi^e naturellement, comme dans le cas où le puits embrasserait toute la largeur de la nappe.

On comprend en effet que plus Tappel vers Torifice naturel inférieur est

puissant par rapport à la charge sur J'orifice du puits, plus la zone qui alimente

le puits se resserre à droite, à gauche et à l'aval; que plus l'appel vers le centre

du puits est puissant, plus au contraire elle s'étend* En un mot/ c'est le rap-

H port ==-^ — qui limite pour ainsi dire le rajon d'activité du puits et la zone qui

alimente son débit.

Maintenant, si dans le voisinage d'un puits déjà existant on en creuse un nouveau, ce puits ne débitera qu'autant que son tube ascensionnel sera coupé audessous de la courbe des pressions déterminées par le premier puits ; si ensuite on baisse successivement l'orifice du nouveau puits, son débit augmentera et nuira de plus en plus à celui du premier et finira même par le tarir complètement pour une hauteur donnée.

L'épaisseur et la perméabilité de la nappe n'ayant, comme nous l'avons vu, aucune influence sur la courbe ou sur la surface des pressions, n'en ont pas non plus sur l'étendue de la zone dans laquelle deux puits se nuisent réciproquement; ces circonstances augmentent ou dipoinuent le débit du puits par mètre dediarge,- mais n'altèrent pas le rapport qui peut exister entre les débits d'un groupe de puits forés sur une certaine surface de la nappe aquifère.

Pour déterminer ce rapport par le calcul, il faudrait chercher dans la nappe les filets qui se trouvent en équilibre entre les appels qui tendent à les entraîner vers tel ou tel orifice; on limiterait ainsi l'étendue de la nappe qui alimente

274 DU xMOUVEMENT DR l/EAU A TRAVERS LES TERRAINS PERMÉABLES.

chaque puils et par conséquent son débit. On conoprend toutes les difficultés que présenterait ce calcul, mais les considérations que nous avons exposées dans ce mémoire peuvent faire prévoir quelques-uns de ses résultats et fournir d'utiles indications pour là pratique.

Imaginons que tout autour d'un puits artésien on fasse une série de fori^es avec des tubes ascensionnels indéfinis, Teau montera dans chacun d'eux à une hauteur qui dépendra de sa position et de sa distance; on obtiendra ainsi les ordonnées de la nouvelle surface de pression déterminée par le puits. Si donc on coupe tous ces tubes à la hauteur d ces ordonnées, aucun d'eux ne donnera de débit, quoique se trouvant inférieure la surface primitive.

Supposons maintenant qu'on supprime le débit du puits central en laissant monter Teau dans un tube ascensionnel indéfini; la surface des pressions se relèyera un peu et tous les autres tubes ascensionnels auront un débit dont la somme sera un peu plus faible que le débit du puits unique, car la courbe de pression étant la même sensiblenient, chaque zone concentrique de la nappe aura le même débit, puisque la vitesse de l'eau qui a pour mesure Tinclinaison de la courbe de pression sera sensiblement ia même. Pour que le débit total de tous ces puits fût égal à celui du puits central, il faudrait que leur nombre fût infini. Ainsi un nombre considérable de puits, dont plusieurs ont un niveau peu différent de celui du puits centcaU peuvent avoir un débit total inférieur à celui d'un puits unique dégorgeant un peu plus bas. Or nous savons que le débit des puils uniques est proportionnel à leur charge; nous pourrions donc déterminer une limite du débit total d'un groupe de puits, si nous avions .ponr l'un d'eux les constantes qui déterminent la courbe des pressions.

En etfet, en enfermant tous ces puits dans un cercle et supposant un puits foré au centre, nous déterminerions facilement la charge qui aurait pour résultat de faire passer la courbe des pressions au-dessous de tous les orifices, et nous gn conclurions que le débit total de ce groupe de puits est inférieur à celui de ce puits dont le débit serait connu par sa charge.

Cette limite du débit d'un groupe d'e puits est d'autant plus près de la vérité que les puits sont plus nombreux sur la surface ou sur le périmètre, car on doit remarquer que si l'on a une série de puits au même niveau, ceux qui se trouveront dans l'intérieur du périmètre seront nécessairement taris' par ^ux qui se trouveront sur le périmètre, et parmi ces derniers même, ceux qui se trouveront à l'aval débiteront beaucoup moins que ceux qui sont à l'amont. * Il résulte de ces principes généraux que Palimentation d une ville, au moyen de puits artésiens, présente plus de difficultés qu'on ne le pense généralement,

DU MOUVEHEMT DE VEkU A TRAVERS LES TERRAINS PËRMËABLEi^ 275

OU que du moins il £aut avoir égard à certaines considératicais dont on ne parait . pas s'être sufOsamment rendu compte jusqu'à présent.

Le succès du puits de Grenelle a fait croire qu'en focant de nouveaux puits dans les divers quartiers de Paris on trouverait partout la même c^uanlité d'eau, de sorte qu'on a pu mettre en compai*aison le» dépenses de ce système avec d'autres systèmes d'alimentation. £h bien I la base de ce calcul est complètement erronée. D'après ce que nous venons, de voir, un petit nombre de puits suffirait pour faire sortir de la nappe artésienne tout ce qu'elle peut fournir à la hauteur demaiidée. Une fois ces puits exécutés^ tous ceux qu'on ferait après ne donneraient d'autre eau que celle qu'ils prendraient aux autres puits. Si l'on voulait augmenter celte quantité, il y aurait grand avanta^ à sortir de l'enceinte de Paris pour écarter les orifices ; l'eau y serait ensuite ramenée à la surface du sol par des conduites ordinaires. La répartition de ces puits sur le sol, eu égard à son niveau^ à l'emplacement des quartiers à alimenter et à la dii'ection du mouvement de la nappe ne devrait pas être faite au hasard. Les puits devraient être ouverts successivement^ et l'altération que subirait leur débit éclairerait pour la détermination des puits nouveaux à ouvrir. i

L'usage des eaux jaillissaB tes, s'il venait àse généraliser, réclamerait d'ailleurs l'intervention de la loi pour assurer la jouissance an premier occupant. Il suffirait, pour tarir complètement le puits de Grenelle^ qu'un propriétaire voisin fit un forage dont la colonne ascensionnelle serait coupée un peu plus bas que , celle du puits de Grenelle. Or il est impossible que l'industrie aborde de pareilles dépenses sans avoir la certitude d'en jouir. Il y aurait donc lieu, dans l'intérêt de la société, de réglementer l'usage des eaux jaillissantes.

Les considérations dans les(]uelles -nous venons d'entrer n'ont pas pour but de blâmer ou de critiquer le forage qui se fait h Passy; c'esl une belle expérience qui fournira certainement des données intéressantes pour la science. Nous n'avons voulu que faire voir que dans les questions qui, par leur nature, semblent le plus échappera la puissance du calcul, la théorie peut être encore un guide précieux et fournir tantôt des dounées certaines^ tantôt des conjectures dont l'industrie peut tirer parti.

Âiusi, sous le rapport de rinfluence que 1^ puits de Passy pourra avoir sur celui de Grenelle, on ne peut évidemment émettre que des conjectures. On doit comprendre en effet que pour connaître comment la pression diminue à une certaine distance d'un puits, il faut avoir au moins un second forage. Cependant l'expérience de la ville de Tours serait de nature ù faire croire que cette influence pourra se révéler d'une manière plus ou moins fâcheuse. Deux

circonstances sont en faveur du puits de Passy : iMa distance de 3 kilomètres, à Tours cette influence n'a été reconnue qu'à 1250 mètres; 2* le niveau de Torifice de dégorgement de la nappe, H + ^, est probablement à Paris plus élevé qu'à Tours, c'est-à-dire que l'appel de cet orifice inférieur étant plus puissant doit limiter davantage la largeur des nappes qui alimentent les puits et par conséquent leur rayon d'activité; mais ces deux circonstances, dont la dernière n*est du reste pas certaine, ne compensent probablement pas l'effet de la charge. Les puits de Tours n'ont que 5 à 6 mètres de charge, tandis qu'à Paris la charge est de 57 mètres environ. Dans l'hypothèse qui a servi de base à nos calculs, celle d'un puits creusé dans un massif circulaire, cette circonstance n'influerait pas, parce que la courbe de pression se raccordant toujours au même point avec la surface primitive, les ordonnées restent proportionnelles, quelle que soit la charge. De sorte que si à Tours, à une distance de 1250 mètres, la charge de 6 mètres est réduite à 4 mètres, on en conclurait qu'une charge de 60 mètres est réduite à 40, et les volumes seraient réduits exactement dans le même rapport pour une charge forte que pour une chaîne faible. Mais il ne faut pas étendre cette hypothèse au delà de certaines limites; près de l'orifice du puits, la courbe de la pression se confond avec la logarithmique et peut servir à en calculer le débit, mais en s' éloignant de l'orifice elle s'en sépare successivement pour se rapprocher plus ou moins rapidement de son plan primitif. On comprend que pour prendre plus d'eau à la masse aquifère la pression est obligée de faire converger vers le puits des filets plus éloignés. Une plus grande pression est donc l'indice certain d'une altération plus étendue dans la nappe aquifère. Il n'y aurait donc rien d'étonnant à ce que le puits de Passy ne vînt diminuer le débit du puits de Grenelle, si de^ accidents de terrain ne rendent pas ces deux puits indépendants l'un deTautre.

En ce qui concerne le diamètre, on peut être plus affirmatif. La théorie et l'expérience sont d'accord pour démontrer que passé une certaine limite, cette

dimension n'influe pas sur le débit. Le diamètre d'un forage doit donc être uniquement déterminé par la considération de la dépense du travail. Il ne faudrait pas conclure de là que le débit ne sera certainement pas plus considérable à Passy qu'à Grenelle, mais que si cela arrivait, cela serait dû à d'autres causes qu'à la dimension du tube ascensionnel, telles que l'épaisseur ou la perméabilité plus considérable de la nappe, ou à une plus grande pression, si Ton s'adresse à une nappe plus profonde ayant son origine à un niveau plus élevé. Nous avons considéré le cas des puits artésiens forés dans des nappes à eaux courantes; la sonde peut rencontrer les nappes stagnantes en communication

avec des nappes courantes, l'eau peut ne pas arriver jusqu'à lai surface du sol et Ton peut utiliser le forage soit en faisant un puits ordinaire, soit en faisant un puits absorbant. Si le tubage d'un puits artésien est incomplet, les eaux peuvent se perdre en tout ou en partie dans d'autres couches à surface forcée ou à surface libre. Il peut y avoir dans les parois imperméables qui contiennent les eaux forcées des fissures naturelles qui produisent des résultats analogues. Enfin des cavernes vides, c'est-à-dire no contenant pas de terrains perméables, peuvent traverser les nappes sur des longueurs plus ou moins considérables et donner lieu à des phénomènes particuliers. Il y a là un champ nouveau ouvert à l'hydraulique appliquée. Nous n'avons voulu dans ce premier travail qu'en signaler l'étendue et en faire comprendre l'utilité pratique.