C6 CHAP. II. DU MOUVEMENT VARIÉ
marchera alors par courbes très-inclinées, comme dans la fig. 12. Si ru.li.cr. uct: e»l .111 contraire faible et la cohésion énergique, le fluide marchera par courbes d’autant moins inclinées que la cohésion sera plus forte (fig. i3), et il pourra arriver que l’adhérence et la cohésion, avec des valeurs très-différentes, donnent la même vitesse résultante. Si, sur l’ordonnée qui donne la vitesse moyenne (fig. 12 et i3), on élève des .normales, on aura ainsi une série de tranches qui jccprésentesont le mouvement d’un fluide d’une cohésion infinie et ayant une adhérence telle, que la vitesse commune de tous ses filets sera égale à la vitesse moyenne du fluide à cohésion plus ou moins faible. Nous avons vu tout à ‘l’heure dans quelles condition la formule ; . ( •
Hï(«U+(SU>)'
pouvait représenter ce mouvement particulier, et remplacer les formules du mouvement réel avec une approximation suffisante pour la pratique.
38. Lorsqu’ori substitue au mouvement réel par filets d’inégale vitesse, le mouvement par tranches de filets d’égale vitesse , l’égualion du mouvement varié est facile à établir. On a, en. appelant ç la chute qui a lieu à la surface entre deux tranches dont Ja distance est >, et <p la résistance au mouvement du liquide :
et en intégrant :
DSS KA)X CulltANTIiS.
Celte équation est aujourd’hui démontrée dans la plupart des traités d’hydraulique. U, suffit, pour se la rappeler, de remarquer qu’elle est identiquement la même que celle d’un corps solide glissant le long du canal incliné du liquide et y éprouvant une résistance <f. Dans le cas du mouvement uniforme, la vitesse étant constante, udu= o, et on a :
dj—*—? =jf ( «u+pu*. ).• •:*
On voit que, pour passer du. mouvement uniforme au mouvement varié,' il suffit d’ajouter le terme de l’accroissement de la force vive. Ainsi l'effet de la chute ç, comme l’a fait élégamment remarquer M. Vanillier, se divise en deux parties, dont l’une est employée à vaincre les résistances du lit et dont l’autre sert à augmenter la force vive du liquide en mouvement. 11 est d’ailleurs facile de se rendre compte que le travail de la pesanteur et de la- pression est toujours proportionnel à Ç pour un filet quelconque. Soit ç1 (fig. ,i4), la chute d’une molécule fluide entre deux plans verticaux voisins, z et z„ les distances à la surface de celle molécule dans les deux positions. ' •
Le travail de la pesanteur sera proportionnel à t’
Celui de la pression, à . z„ — z.
Le travail de ces deux forces Sera donc proportionnel à S’ -f- z0 — z.
Or, à la simple inspection de la figure i4, on a :
Ç,+-o=S+-5 donc ç'+z„ — z— Ç.
CHAP. II. Ml' MOIVEMENT VARIE
Ainsi quoique tous les filets tombent de luiuleui's différcuh-s, que quelques-uns même remontent', on peut les considérer comme tombant tous d’une quantité ç. La pression Supplée ircc qui manque à la chute.
L’équation du mouvement varié, telle que nous veuons de la transcrire (*) exprime la-chute de .la surface au moyen de deux termes : le premier est proportionnel à l’angmeitation de la force vive du produit du cours d’eau depuis l’tij-igine jusqu’au point Considéré; et le second, au travail de la résistance au mouvement dans celte étendue. Celte équation (a) serait parfaitement exacte , si tous les filets avaient la même vitesse u, et si on pouvÜt mettre j»ur 9 une expression rigoureuse de la résistance au mouvement qui tint compte de ^adhérence et de la cohésion. Mais comme tous les filets ont des vitesses différentes , et que dans -l’état actuel de la science, on est obligé de mettre pour çp l’expression
* fil
déjà inexacte pour le mouvement uniforme, il on résulte que 1’équatiefi du mouvement varié n’est qu’une approximation dont nous allons chercher à faire apprécier le degré d’exactitude.
:10. Nous allons nQus occuper d’abord du premier terme, celui relatif à la force vive du produit du cours d’eau. M. Coriolis a fait remarquer (Annales des Ponts et Chaussées 1836) qu’eHe était plus grande que QU4, à cause de la dif- , fércnce de vitesse des filets’, que par conséquent ce terme devait être multiplié par un coefficient a’, dont la valeûr peut s’élever jusqu'à' i ,47-
DBS BAUX COUVANTES.
H. Vaulhier, tout en admettant l’exactitude de cette correction, a fiât observer £ Annales de 1836) que, d’après la * loi de Publiai, qui restreint la différence des .vitesses h mesure que la vitesse moyenne augmente, la valeur de ce cocflicient de correction se trouvait limitée à 1,10, chiffre que tous les hydrauliSens admettent aujourd’hui. La loi de Publiât étant pour nous complètement fausse, et le coefficient « pouvant même dépasser les limites assignées par JLCoriolis, cette corroclion nous parait avoir "plus d’importance qu’on ne l’admet aujourd’hui, d’après l’observation de M. Vaulhier; et de plus nous allons faire voir, qu’en l'introduisant dans l’équation du mouvement varié, on a commis une erreur en sens contraire de çelle que l’on voulait corriger; on a augmenté un terme qui , dans la plupart des cas, est à diminuer. Cette erreyr tient à ce que qu’on a fait, dans le calcuftle la différence des forces \jves , une supposition inadmissible.
40. * Nous admettons, dit M. Belanger, page 7 a de ses » leçons lithographiées, que dans le mouvement permanent » par filets sensiblement parallèles, les vitesses des filets » qui traversent une section quelconque varient d’un fdet à » l'autre f suivant les mêmes lois que lorsque le mouvement » est uniforme. » • v
Or lin instant de réflexion suffit pour faire voir, que cette, hypothèse est contraire aux lofs de la mécanique ; qûe le mouvement varié change d’une manière complète et radicale la distribution- des vitesses dans les filets.
41 .^Imaginons que , dans la section O d'un canal, la cour-, be des vitesses soit représèntée par mn (fig. i5); que do O en O’ s’opère sur la surface fluide une chtte ç qui a pour effet d’augmenter -Sensiblement la vitesse* dans la section
C<IAP. II. DU MOUVEMENT VAB1É
rétrécie 0'. Cherchons à construire* la courbe des vitesses «'«' dans l’étranglement 0'. Noys avons vu tout à L’hdurc (}ue le travail de la pesanteur et de la pression sur chaque molécule fluide en mouvement était proportionnel à la chute ç de la surface, c'est-à-dire (jue syiueune force retardatrice ne se développait dans ce mouvement du liquide la force vive de chaque molécule augmenterait de celle due à laxhute ç. En appelant v„ et v la vitfessè d’une molécule dans les sections 0 et 0', on aurait donc :
donc » = v/2ÿï4-r.*
Erfréalité la vitesse dans la section 0' sera mqrns grande que la valeur . donnée par - l’exprefcgion ci-dessus, parce qii’ujie partie de la chute K sera employée à vaincre la résistance éprouvée par chaque filet. Mais s’il s’agit de deux sections voisines ,‘ cette résistance est fort peu de chose , puisque, dans les cours d’e;fu naturels, elle n’ubsorbe que quelques centimètres de la chute par kilomètre. Si les sections. ne sont éloignées que de \ o” , ce Sera beaucoup que de supposer qu’elle diminue de o,”o i la hauteur de la chute qui sert à augmenter la force vive. Car cela équivaudrait à une petite de i* par kilomètre, c’est-à-dire cinq fois la pente moyenne de la Loire. Pour fixer les idées, supposons que Ç soit de o" 16 et que le travail absorbé par la cohésion et l’adhérence dans le passage de l’étranglement soit précisément o"o i. Nous aurons pour déterminer la vitesse de
chaque filet * • ■’
u = \ /a fj X o, 1 5 ü(,ï=V/2,94 + Vo*
1>FS BAUX COCBAKTBS. 71
Si dans la section O on avait V, vitesse îi la surface=j" en O', on aurait V', vitesse à la surface==t,98- Si dans la section O on avait W, vitesse au fond =o,5o en O', on aurait W' vitesse au fond —1,78 •
42. Ainsi tandis queia vitesse à la surface aurait à peine doublé, celle du fond aurait presque quadruplé. Leur différence était dans la première section de 6,5o, elle est de 0,20 seulement dans la seconde. Le- rapport qui était dans la première section, celui de a à « est presque devenu l’unité dans le second. Calculons maintenant pxactemenl la force vive du fluide dans les deux sections. La formule ordinaire du mouvement varié lu supposait égale à
• . •qu*=.ê.u», /
U étant la vitesse jnoyenne. Si ‘cm a égard à la différence de vitesse des filets et qu’on suppose le cas du rectangle indéfini , elle sera :
ou en mettant pour v sa valeur (N° . 1 5)<
or on a : HLl* = H [V |( V— W)]3^ *
72 CHAP. II. — Dl! MOWEMBMT VABIÉ
Donc la quantité' H IJ* mise dans l’équation du mouvement varié est trop faible île la quantité
H(±V(VW\V)*- £(V-W)’)=H(Y-W)*j l^+.,ou^ j
C’est par ce motif qu’on a proposé ‘de remplacer Hl? par à’HU*., m' étant im coëfficiertt plus „grand qile l'unité. Cette substitution , commode pour le calcul', pouvait être à peu près exacte, et par conséquent admissible dans la pratique j lorsqu’on supposait que la courbe dos vitesses variait suivant les mêmes lois que la vitesse elle-même, que les quantités V'-pW et V — W croissaient en même temps que la vitesse moyenne; mais lorsqu'on reconnaît, comme "nous l’avons fait tout À l’heure , qu’une augmentation de vitesse entraîne une diminution dans la différence des vitesses , ce système de Correction devient tout-à-fait inexact. En effet, • le facteur
i5aY-)-iooW
peut se mettre sous la forme : . ;
^ — j-o,5oW-— f- o, itiW |C-j-o,r()W 6, aa 6,aa
ét par approximation Mi (N“ 18). La quantité à ajouter è Ht* est donc * .
•* ÎH(V— W)*U
On a ainsi pour déterminer à
flt'HL,3=HUs-f- i-HU(V— W)*
URS EAUX COnKAirTB».
d’où
ou en se servant de la relation (N" 18) Y — W=3(Y — V) :
■ "-'+tG- o* ■ •
On voit que a ne peut être constant qu’autaut que le V /
rapport est lui-môqie constant.: Nous avons vu dans le premier chapitre que. celui de ^ était renfermé dans les
limites 0,67 et «; celui de frest donc compris entre 1 et i,5o,
la valeur de « est. donc comprise elle-même entre ' 1 et
i,56. Si on admettait le rapport constant^ = 0,80, on mirait a'= i , 1 4 , qui peut convenir au calcul de la force vive du produit des cours d’eau ordinaires animés d’une vitesse Uniforme, dans lesquels les quantités Y et U nè s’éloignent
pas beaucoup dos limites entre lesquelles^. est à peu près
égal à 0,80. Mais il est complètement inexact dans Je calcul de la force vive du produit d’un Gours d’eau dans deux
sections voisines, de supposer que ce rapport -,etpar
conséquent *, soient constants. Il faut alors changer la valeur de a dans les deux sections, d’après la valeur exacte
du rapport ^ dans chacune d’elles. . .
CH A Pi If
Bli mH'VEHKMT VAIIIK
43. Il résulte de cette correction que la différence entre les forces vives dans les deux sections doit être multipliée par un coefficient spécial a" entièrement différent de a!. On a, en effet, pour le déterminer l’équation suivante :
' a"(H'U’* — Hl’)=
*=inr*— Hu*+ij Hir(V’— w*)*— h lt (v— wj*
d’où en remarquant que FITJ^HU
Mais, comme nous l’avons vu, oi\ a,:-
VfeV+siï et W t=W+*ÿC
d’où- on tire ! V-wC(V-W)^±^,
' V+W ' *fcr‘ ■' * i]
le rapport ■ ~ est sensiblement égal à celui de — ,
• • y -j— vV . . • , . li -
.on a donc :
fX-yy A— WYU* . :
-V »U’ / V~w)vi W
(,r coefficient a” est donc toujours plus petit que i , de .A— \vy
plus le rapport ^ — j-<- J ayant pour limite o,56, comme
nous venons de le faire voir, la. valeur de a" se ■trouve comprise entre i et 0,44 lorsque U’ est plus grand que U, c’est-à-dire lorsqu’il y a pente de l’amont à l’aval; lorsque L’ est plus petit que U, c’est-à-dire lorsqu’il, y a contrepente, a” peut descendre au-dessous de cette valeur sans
DBS BAUX COURANTES.
devenir nul. Car de la condition — — - = > , on tire, eu
ut
mettant pouc *1?' sa valeur approchée, V'+W-':
Ur ôn aurait de môme : V' — \Y'=Y-fW, épations incompatibles.
44. Les calculs précédents démontrenf que le coefficient de correction a' est effectivement un nombre plus grand que i , mais qui varie avec w, de manière qu’on a
/ü’ • ~lj’
a'udu=a” ./ u du t , .
a” étant toujours une fraction. L'examen préliminaire que nous avons fait" de la variation qu apporte dans la distribution des vitesses une chute ç de la surface de l’eau, fait cfailleurs parfaitement concevoir celle transformation du coefficient dé correction ; puisqu’elle fait* vojr que le coefficient a' «pii convient à la force vive de la section d’amont «jui est à retrancher de colle d’aval, est plus grand que celui qui convient à cette dernière. D’où il résulte que la différence de ces deux quantités corrigée*! par des c’oéfficients est plus petite que la différence entre ces mêmes quantités non corrigées. Tous les calculs faits jusqu’à présent, et qui reposent sur la différence de la force vive de« deux sections voisines, sont donc complètement erronés. S’il s’agissait de rectangles indéfinis ou de .sections régulières, les formules qui précèdent^ ou d’autres analogues pourraient servir à les rectifier, .niais les sections des cours
