VI

le terme

-Ho*

a une valeur limitée par les valeurs ex-

trêmes de fi , ainsi dans lp cas que nous considérions tout à l’heure, si les limites de fa vitesse4 étaient* i“ et i",56, la plus grande valeur de ce terme serait o ,66, tandis

(pie le terme J' jds peut atteindre une limite quelcon-

que, si les sections sont éloignées. Les trois ou quatre centimètres d’erreur qu’on pourra commettre sur qe lurme, auront donc peu d’influence stir le résultat final. Nous verrons plus tard que, dans toutes les .questions pratiques de remous, ce terme n’a d’ailleurs qu’une inUuence complètement-secondaire. *

Enfin on ne doit pas perdre de vue que la valeur de a" (a) (V 43) suppose les deux sections assez rapprochées

CHIP. II.

DU .MODVBDRDT TABIÉ

pour que l’effet du frottement à la paroi soit négligeable. A mesure que. la section d’aval s’éloigne de là chnte ç, la vitesse du fond se ralentit par l’effet du frottement dont elle augmente l’énergie, celle delà surface s'accélère, parce qu’elle est moins retardée par la cohésion; de sorte que la tourbe des vitesses tend à reprendre la position» qui convient au mouvement uniforme, et alors il faut avoir recours à la valeur de «” (i) (N* 43) qui devient positive. Nous n’avons considéré dans les calculs précédents que le cas du rectangle indéfini, toute autre section donnerait des résultats analogues.

Dans les sections irrégulières que présentent les coure d’eau, on ne connaît donc ni la valeur, ni le signe de a”. L introduction de ce coefficient dans la formule du mouvement varié n’est alôrs qu’une complication au moins inutile. Ce qu’il est important de savoir, c’est que toute solution qui repose en grande partie sur le calcul de la différence des forces vives des deux sections d’un coure d’eau naturel 'est une solution très-douteuse et très-incertaine.

L’examen que nous avons lait plus haut du changemeul qu’opère dans la distribûtiou des vitesses une chute Ç dans la surface, explique les graves affouillenienls qu’on rencontre souvent à Laval des travaux qui ont pour résultat de produire mie cataracte à la surface de l’eau. L’effet de cette cataracte est, comme on vient de le voir,’ d’augmenter la vitesse du fond dans un rapport beaucoup plus considérable que la vitesse à la surfaèe, et on se tromperait gravement en cherchant à se rendre compte de l’effet d’un étranglement par les seules variations de la vitesse moyenne; en supposarft , par exemple , qu’en réduisant la 'section d’un courant à la moitié de sa surface primitive on ne fait. que doubler la vitesse du fond.

DES R At'X COURANTES.

Ce qpe noirs venons de dire relativement à l’accroissement plus rapide de I4 vitesse du fond, par rapport à celle de ki surface, s’applique aussi à la vitesse des bords- par rapport à la -vitesse du filet central. Ainsi il est bien «'-vident que toutes les fois qu’il y a chute , cette chute agit sur tous lus.filets de la surface et que leur force vive est augmentée suivant la formule : ' .

a?ç=VM— Y*

«pii a pour effet, comme nous l’avons fait Voir, d’égaliser les vitesses. C’est, au reste, un fait que l’observation de ce <|ui se passe dans les étranglements des cours d’eau naturels nous avait fait pressentir. Dans ces circonstonces, ori voit en effet tous les filets .se précipiter avec une vitesse sensiblement égale, tandis «pie dans les* paï-ties du lit, oü la section est permanente, on trouve en s’éloignant des bords une augmentation de vitesse bien sensible. • De là souvent dans les .étranglements ^es corrosions de rives JJ que ne semble pas. justifier suffisamment te rétrécissement «le la section.

48. Le second terme de la formule du mouvement varié, (2)(N*38): . • ’

(<xU-j-0U*), . ■

qui est proportionnel au travail des résistances, n’est pas moins susceptible de correction «pie celui qui exprime l’accroissement de la force vive. Nous avons fait voir en e/fet, pour le cas du mouvement uniforme, que la substitution de la vitesse moyenne à la vitesse à la paroi transformait une formule exacte, mais à peu près inutile pour la pra-

CIUP. H. DU MfH'VRHW.NT VARIÉ

•üqiM', en une formule d’approximation fournissant les quantité» dont on pouvait avoir besqjn avec plus ou moins d’exactitude, suivant les cas. Nous avons présenté les formules exactes qui tiennent, compte des deux espèces de, résistances et donnent d'une manière précise le surcroît de vitesse dé au défaut de cohésion des molécules fluides. Pour le mouvement varié, la formule qui exprime la résistance en fonction de la vitesse moyenne, n’est encore qu’une approximation grossfère, et il n’est pas permis de In remplacer par les formules exactes que nous avons données pour le ras du mouvement uniforme.

V v* iJr • *

49. Cherchons d’abord à nous rendre compte des mouvements moléculaires qui ortt lieu dans la masse fluide, lorsque la secjion •nlcsl pas constante. Dans le mouvement uniforme, chaque' filet peut être considéré isolément,, il n’y h jtynais mélange des molécules d’un filet avec celles des filets voisins; il n’en est pas de même dans le mouvement ' -varié. Considérons,' par Exemple, Coran* tout à l’heure le cas d’un étranglement de fond ayant lieu en 0’ (fi g, 1 5) et pour simplifier notre explication, supposons qu’en 0’ la vitesse du filet de surface soit double de ce quelle est en Oj comme cela avait lieu dans l’exemple numérique que nous avons choisi. Imaginons qu’aux points 0 et 0' soient placés des anneaux ne pouvant donner à la fois passage qu’à une seule molécule d’eau. Il est clair que dans le second anneau il passera- deux fois plus de molécules .que dans le premier; il faut donc nécessairement admettre qoe de 0 en 0' le filet supérieur ait reçu du filet inférieur un nombre égal de molécules, c’est-à-dire •que le filet supérieur ait complètement .absorbé le filet inférieur. Pour se rendre compte de la manière dont se fait

SI

BSl (AO* COVR APtTKS.

celle pénétration des lilols, imaginons un ooüranl composé d’un filet uuique. .. - ,

J1 est clair que si la vitesse est uniforme, ce courant pourra être représenté par une série de points équidistants.

Mais si, dans uue certaine étendue de ce filet, la vitesse augmente, la distance entre les molécules y ‘augmentera proportionneHemenlrà la -vitesse, car un observateur placé en un point quelconque du filet ne devra jamais voir passer que le même nombre de molécules dans le même espace de temps. Ainsi IA,où la vitesse sera double, l’intervalle entre les molécules sera double, lit où elle sera triple cet intervalle sera triple-, -etc. Uue file de soldats assujettis à marcher plus ou moins rapidement sur divers espaces de terrain représenterait exactement les circonstances de ce mouvement Supposons maintenait deux iilets^conligus soumis à lette variation die vitesse, indiquons -par des points blancs et noirs (fig. iti) les molécules qui, dans la section O, appartiennent nu premier ou au seçoud filet. Dans chacun de ces deux filets s opérera delà meme manière l'espaeemqul des moléfcules, en raisou Ue l’accroissement des vitesses, mais à mesure. qu’il a lieu, las. molécules du filet inférieur smsir uuent peu à peu dans 1 intervalle des molécules du filet supé rieur, de manière à finir par s’y loger complètement , Jorsqut cet intervalle e?t devenu double de ce qu’il était primitivement. Le rapprochement des filets, est proportionnel, à l’es- ; , pacemcnt des molécules, de manière que la densité d’une •*'-

• section faite dans le liquide est constaiile.sOe double mouvement pourrait être parfaitement imité par une double file

• de soldats marchant eut) sur deux rangs, et passant en O' sur un seul rang, mais avec une vitesse double.

Ce que nous venons de dire pour le cas de la .vitesse double suffit pour faire comprendre-ee qui se passe dans le

)Ü . CHAF. II. -nv. MOI'VBMRDT VABIK

ras où la viteÿse varie dans un rapport quelconque, les^mo-

lécules appartenant à* un même tilet s’éloignent ou s’approchent, suivant que la vitesse augmente ou dimmue, les molécules des filets voisins s’approchent au contraire ou s’éloignent dans les mêmes circonstances. Nous disantes filets voisins, car on doit comprendre que le même mouvement s’opère dans le sens horizontal et ditns le sens vertical. Evidemment -cette pénétration des filets très-différente dans une même section, car, comme nous l’avons vu, les vitesses varient dans uu rapport, très-différent , depuis la surface jusqu’au fond , cette pénétration donne lieu à qpfe certaine absorption de travail -qui n’est plus mesurée par l’inclinaison des tangentes de la courbe des vitesses. .

50. Il faudrait donc se garder d’appliquer au mouvement^ • varié les procédés de calcul que nous avons employés pour tenir compte de l’excédant de vitesse dû au défaut de cohésion, car cette analyse ne fient compte que du déplacement moléculaire qui a lieu dans le sens du mouvement; et dans le mouvement vgrié, comme ôn rient de le voir, il y a, outre ce déplacement, un autre déplacement dans le sens • perpendiculaire au fnouvement. Ainsi nous pensons que les deux -applications que M. Navier a faites de ses formules générales au mouvement varié de l’eau dans un tuyau rectangulaire et dans un tuyau cylindrique sont inexactes, en • ce qu’elles ne tiennent compte que tie la résistance due ait frottement des filets que M. Navier a du reste fort exacte- • ment représentée *par

et qu’elles ne tiennent pas compte du déplacement perpen-

UES IMI< COlUUlSTBÜt St

diciilatre à l'axe des tuyaux. Il y' a coutwdiction complète, selon nous, dans les données du problèirtc (pie s’était posé ce savant, qui considère le moyvemcnt varié dans un tuyau de section coudante. Ur toutes les fois que la section est constante, le mouvement est uniforme , et toutes les fois que le mouvement est varié lq section varie elle-même; la section du tuyau aurait beau élre'ConstuQte,.lu section mouillée varierait, c’est-à-dire, que l’eau ne coulerait pas à plein tuyau. •

C’est ce qui arrive, par exemple, lorsqu’on fait couler ^de l’eau par un. tuyau- incliné débouchant à l’air bbre. La .section de leau en tombant le long de ce tuyau va sans cesse en diminuant jusqu’fc ce quelle ait atteint une vitesse uniforme.

Le mouvement varié cause donc dans la masse fluide une perte de travail qui n’existe pas dans le mouvement uniforme. Nous n’essaierons pas de l'introduire dans le calcul, parce que nous ne voyons pas ponr le moment de moyen de tirer parti , pour la pratique , des formules plus compliqués qui résulteraient de ces considération» tiouvelles. Nous avons voblu faire voir seulement l’énorme influence qu’avait le mouvement varié sur la distribution des vitesses des filets, parce que, dans certaines circonstances, il est utile de s’en rendre compte d’une maniéré' approximative, et qu’on peut éviter ainsi dq tomber dans d’assez graves erreurs,' en faisant de fausses applications des for- ' mules pratiques ordinaires , ou en leur attribuant une exacti/hde qu’elles ne comportent pas. . •*

« On voit, en effet, qu’eu substituant dans la formulé du du mouvement varié • ‘ »•

dï = ad a -f -—{aa'-\-l>n')dt •

tu 4P. ii. — do uanimtn vahie

à 10 vitesse du fond , « vitesse moyenne, on ne représente plus que d’une .manière assez grossière la résistance au înouwemeni du liquide, puisque la vitesse, du fond et la vitesse moyenne croissent dans un rapport tout-à-fait différent.

Ainsi , dans l’exemple numérique <jue nous avons choisi (Y 41), une cataracte de <qi 5 portait la vitesse moyenne de 0,75 à i,88, et la vitesse du fond de o,5o à t-,78. Si donc on a convenablement déterminé les coefficients a et fi pour qu’ils représentent la résistance en fouet ion de la vitesse moyenne dansia première section, ces coefficients se t trouveront complètement erronés .pour la section suivante,, car. ifs feront entrer dans la formule une vitesse triple au Keu d’ùne vitesse quadruple; et comme la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, on aura une résistance exprimée par, 9, lorsqu’elle devrait être exprimée par 16. L’enreurserait bien plus forte si nous avions supposé plus de différence entre les vitesses dans la première section.

fil . Quoi qu’il en soit,, la considération de la résistance due à la pénétratiqn ou à la division. de> filets, loin d’altérer la formule ordinaire du mouvement varié, ajoute au contraire à la probabilité de son, exactitude. Nous avons déjà vu que la formulé • .

est d’autîtnt plus près de kr vérité, que la cohésion est plus forté, que V est plus près de W. Or c’est là précisément lu résultat, de la résistance due à cette pénétration des filets, et peut-être est-ce là-encore une des causes qui empêchent les courants naturels de prendre à la surface ces grandes

' ' DES EAUX CULHANTES.

vitesses que leur donne la formule du mouvement uniforme. Nous croyons donc qu’on peut appliquer cette formule au mouvement varié avec au moins autant de chances d’exactitude qu’au* mouvement uniforme. Ce que Aohs venons de dire, si cela ne les a pas augmentées, servira du moins à n’accorder aux résultats que 4é degré de confiance qu’ils méritent, et à n’employer dans le calcul que des procédés en rapport avec le degré d’exactitude qu’on peut espérer.