CHAR. IIJ

rons dans le chapitre suivant. Les formules que nous al torts présenter, ('■tant donc destinées à recevoir dans leur application une certaine extension au-delà de la limite que leur imposerait une analyse coureuse, il sesa permise simplifier jusque à un certain point les expressions, sans crain- è dre de diminuer l’exactitude des résultats. Ainsi nous supposerons que, dans les calculs}. qui vont suivre, la forme du canal est un rectangle de largeur invariable. Ce serait inutilement .compliquer les formules que d’admettre d’autres formes de section, parce qu’en réalité, 11 faudrait alors modifier l’expression de la résistance, ce (pie ne permet j*as l’état .actuel de la science.

Soient : i le sinus de la pente du lit, comptée posi- .

tivoment lorsque le lit monte, et négativement lorsque le lit descend.

u le produit du cours d’eau par mètre

courant = -y—liu.

L la demi-largeur du cours d’eau; h la hauteur variable comptée au-dessus du fond; #

a. la largeur du «anal comptée positivement ■y •• de l'amont à l’aval. • • • • . .

Si dans l'équation du mouvement varié :

' (*<*hW V“" ’

on met pour rfç sa valeur tirée de la relation : ' 4 ' •

- y.-vty ■*, , . (/*+<$!

que donne la figure 17, et pour w, -jf-,

'•* DJ»1M un fi*N*L RKr.UI.IEK. 89

. V . (i! h*yiit *;•?

il vient : (l»==* ïjLt T (■)

Culte équation ést toujours facile à intégrer, puisque les . t variables sont séparées. Elle peut être considérée- comme représentant la courbe de la surface de l’eau dans un courant permanent' gu^bonquc.

Alpsi quelle que soit l’inclinaison du lit ,, la largeur et la liautcur d’un cours d’eau, l’équation différentielle de la <

courbe de là surface de Teau est toujours la même. Mais il ne faudrait pas en conclure que la courbe est lamême; cette équation représente en effet, dans sa généralité, suivant la valeur numérique de ses coëfficienls, des courbes de for- ‘m|is aussi différentes entre elles que les sections coniques, qui sont toutes représentées cependant par une équatiort du second degré. Nous allons les examiner suc- • cessivement.

53. Supposons d’abord le fond horizontal i = o, l’inclinaison de la tangente à la courbe est alors exprimée par :

quantité toujours négative jugu’à la valeur *

qui la rend infinie, et toujours ppsitive pour une valeur plus

9(> ciiap. ni. — mi.MouvBHMT v*»i«

■ dh ’ ' . ‘

petite que )t. Enfin plus h est grand, plus . est petit, c est-

à dire, que vers fumont, la çcwijbe approche de l’horizontale; elle a donc la forme indiquée par la figure 18. Elle a une languit te verticale en A et une partie m A convexe; une partie «A concave, qui revient en sens contraire du cou- ^ mut. Cette partie « A n’est qu’une de*çes solutions fournies jiar les formules algébriques dans lesquelles on n a pu faire entrer toutes les données du problème. Nous en verrons pjus «l’un exemple. Il^est clair qu’une fois que feau est ar-^ rivée .a tomber verticalement, elle ne pei^t plus revenir en arrière; il est donc inutile de s’occuper de cette partiel la courbe que l’expérience ne peut réaliser. . 9

54. Pour obtenir les divers -points «^e la courbe, iU n’y aurait qu’à intégrer J’équajfjpd différentielle (.) (N* 53).

' qui serait facile eu déçomposant le dqpommate.ur de dit en deux fractions du premier degré : *

(Lfi) H'* + ftf’) a q q .

• Mais on peut simplifier beaucoup le résultat, en remarquant que a étant beaucoup plus petit qüe (3, le facteur xqh+fiq* est à peu près constant, et qu’on peut poser J^oÿ/i'+ffy1, en appelant h' une valeur moyennc .de h dans la partie "Üu cours d’eau considérée. t)n a alors en intégrant :

V Soit Ih, la haitteur du coprs d’eau- au point wVl’on çom-

DAMS rl)H C.AfcAA IIBCUI.IEU* » 91

menée à Compter les distances. En faisant «huis celte équation |=o, A=sA0, on déterminera la constante C et on aimw

Exemple : on suppose «pie le produit du courant soit q— 0,Ro', que la seotion soit un trapèze ayant i”,3oan fond, i",4° A l’ûffleuremwit du couronnement, ce qui donne L=o“,67) on demande la distance qui sépare h,==im,yo de la hauteur A=o*,4n. *

C’est le premier problème qifc •s’esl proposé M. Relancer dans son oiivrage intitulé : Èssài sur ta solution numérique des quelques problèmes relatifs au mouvement des eaux iourarUes. Cet ingénieur l’a résolu au moyen d’une série de substitutions de valeurs de A, décroissant de dix en dix centimètres, dans l'équation différentielle. Ce qui l’a conduit à dresser un tableau -de treize colonnes verticales et de quatorze colonnes horizontales, pour y placer les différents résultats de ses substituions dans une équation beaucoup plus compliquée que celle que nous avons donnée (i) (N* 53) , attendu que M. Be langer n’a pas cru pouvoir assimiler' te trapèze de' la section h un rectangle. Nous considérons ces laborieux calculs comme inutiles, la formule précédente qu’il serait* facile de simplifier, si elle devait être d’un usage’ plus fréquent, résoud immédiatement le " problème. En y substituant les données de la question, on aura :

û=^:!)iî^==:o,t>o A’=i,o5 a=:o, 0000243 ^=o,ooo3t)6 i,34

92 c.H krt ni. — dv Mm vfjkm vaiuk

d’où en substituant dans ta valeur de » : ’

— °>9 1 ’5-f o,r>84) j=4,6'ia“.

M. Belanger trouve 4)^ao*> nc faudrait pas conclure de là que notre résultat est exact à quelques millièmes près. Nous ne faisons que substituer ici un procédé de calcul rapide et facile à une méthode longue et compliquée. La formule primitive à laquelle il est appliqué reste avec toutes les imperfections que nous avons signalées, et elle doit nécessairement altère* les résultats dans une assez forte proportion. Ainsi cé serait une erreur de croire, par exemple, qu’en prenant rigoureusement l’intégrale de Té-* quation différentielle par la méthode que nous avons indiquée, on obtiendrait, nécessairement une valeur plus approchée de la vérité. En-substituant, dans la formule du mouvement varié, la vitesse- n&oyenne à la .vitesse à la paroi, on commet une inexactitude assez grave pour ne plus pouvoir atteindre la vérité {>ar les procédés de calculs rigoureux. C’est donc à tort, selon nous, que M. Belanger en intercalant de nouvelles substitutions et trouvant qu’elles ne donnent qu’un millimètre de différence sur l’ordonnée, dit, p.,/7 : On en conclura que la profondeur thcrcliée est un peu pim qvande que 4m,ü7, et à moins de / millimètre èfjalc à . Ce qu’il faut conclure, ce n’est pas que te

résultat est exact à i millimètre près, c’est que les deux méthodes de calcul sont équivalentes. , #

Si au lieu de chercher la distance qui sépafe deux ordonnées de la courbe, on cherchait une de ces ordonnées, à un point donné; il faudfeit d’abord substituer une or-

o,ooo 1 47 (,î9)8 1

oâm, un canal bégulik».

donnée arbitraire dans la formule et s’approcher du résultat par tâtonnements. Deux substitutions suffiront «a généra^

Ainsi, sym demandait à quelle hauteur sera la combe à 3757* en amont du point qù elle est à o",4o, la substitution de l’ordonnée i",7o ayant dc*mé 4t>3a», on substituerait i“,6o et ayant trouvé une longueur moindre que 3 707“, on pourrait considérer la courbe comme droite entre Ces deux ordonnées et diviser leur distance en parties proportionnelles. * *

Si au lieu d’un cours d’eau étroit, dans loqud.il e6t aécessaire'de tenir Compte de la résistance des. bords, nous considérons un cours d’eau naturel, Comme une rivièr#, en général assez large pour qu’on puisse regarder le rapport connue égal à l’unité, l’équation de. la courbe se réduit à :

qui représente une parabole du quatrième degré, dont le calcul n’oflre aufcune difficulté.

55. Considérons. mai n tenant le cas où i est positif, c’est- -à-dire où le fond est incliné en sens inverse du courant.

La valeur de — tiréerde l’équation (i) (N* 5») : *:<

ih*+kk!i(aqh+fiq’)

donnerait pour In courbé représentée par cette équation (fig. 19) les mêmes caractères généraux que dans le cas où

Cil AP. III. — »UB MOUVBMBNT VAkltt

le fond est horizontal : po \trh très-grand elle ti fine tangente horizontale, et elle reste concave vers le fond jusqu’à

.la valeur h1— pour laquelle elle lui est perpendiculaire,

et au delà de laquelle elle devient convexe. L intégration

complète de l'équation. ne présente aucuue difficulté, soit qu’on y applique le procédé général des fractions rationnelles, soit une méthode approximative. La plus simple serait d’opérer la division algébrique et d’intégrer chaque terme. Nous présenterons toiîft à l’béure des exemples de ce*calcul, {jour le cas où l’angle i est négatif, qui nous dispensent d’entrer dans aucun détail à ce SwjtJ. Keinarquons ml passant que lorsque l’eau coule sur un plan horizontal , ou sur uu plan eu contrepente, elle préseute toujours une surface convexe qui se termine par une croule brusquement arrondie. Nous rappellerons tout à l’heure celte .circonstance à propos du phénomène du mascaret.

SG. Passons, au cas où l’inclinaison du lit est dan? le sens du courant, c'est en général celui de tous les cours d’eau naturels, car si sur certaines parties ces cours d’eau présentent des conlrepcntes elleS n’ont d’autre effet que de

modifier la résistance. En effet l’équation ç= / ,<j xk subr

siale entre deux {joints quelconques, pour lesquels la vitesse moyenne est la même, on peut substituer au lit naturel un lit fictif donnant la môme- résistance par mètre courant et qui aurait entre les deux points donnés la pente de la surface. La profondeur de ce courant supposé rectangulaire serait donnée par l’équation :

If * aAi-H3La * * . *

DMIS.UM CAKAL JlKOl LIER. 95

En réalité'^ les inégalités du lit produisent autour de celle ligne de pente une sinusoïde qui serpente au-dessus et au-dessous suivant -les variations de la section (c’est ce qu’ont 4éjà sigillé MM. f.egrOimel Chaperon, dans un intéressant Mémoire,. Amples des Vont* ci 'Chmmicx, ASSti)-, mais dans la plupart des cas pratiques, on peut iaire abstraction de ces écarts. Le lit 'naturel se trouve alors transformé en un autre sensiblement équivalent ayant', des fientes parallèles à celles de la surface, et des profondeurs qu'on détermine par la formule précédente.

Supposons donc que dans un pareil lit l’eau soit soulevée ou abaissée, au-dessus du au-dessous de la hauteur II qui donne la pente uniforme, par des travaux quelconques ét cherchons la position de la nouvelle surface de l'eau.

L’inclinaison de la tangente à la courbe nous est donnée par réquatio^uiAqle ? tirée de- l’équation (i) (!S° 5a) on changeant t en. —4 > .

* • ~ flr

Pour étudier d’abord la forme générale de la colirbe, négligeons a par rapport à (3 et ^ par rapport à i.‘ Il est

d’ailleurs facile de s’assurer que ces quantités ne modifient pas les propriétés que nous a Uni es déduire de l’équation simili

t’/i*— .flo* H