CHAP. IV. •*— DU MOUVEMENT VARIÉ

régulière, que laprofohdeur et la vitesse sont sensiblement constantes dans toute la largeur. Or il arrive ordinairement que l 'étranglement se faisant par les bords où la vitesse et la profondeur sont moindres-, le rétrécissement réel n’est pas proportionnel à la largeur. .

Supposons que dans la section AC B (fig. 1 1) de profon- • deur variable, on construise uné digne CD, qui retranche de la section ACB, la partie A CD, de profondeur beaucoup moindre, le remous n’est plus exprimé par la différence H'-H des profondeurs moyennes des sections avant et après l’étranglement, car n’y. eut-il pas de remous, U’ hauteur . moyenne de la partie restante 1)CB, serait encore beaucoup plus grand que H. Le remous n’est eu un mot que la différence entre la profondeur moyenne de la partie DCB avant et après la construction de la digue. Pour tenir compte de cette circonstance, il faut considérer lç> changemçnts comme s.’opérant non pas par l’effet d’un rétrécissement sur la largeur, mais par l’effet d’un changement de volume dans la partie B CB. On a alors en appelant </ le volume avant l’étranglement et Q le volume après l’étranglement : ' • ’V ' •

i fc-p -i!— -p .9* .

- • H l.*Hs p L*H *

d’oû H’=H \/f , Y=R -H=h(1/^- .)

et par approximation, lorsque Y est petit par rapport à II:

naît* VU CàJiAL IRHKftl'I.lRR.

c'est-à-dire que ce u’est ni par la largeur, ni même pitr la surface (pie doit se mesurer l’étranglement, mais par les. volumes, ce qu’il était d’ailleurs facile de pressentir. Au reste, il ne faut pas perdre dè vue que tous ces résultats . . ne doivent être considérés que comme des approximations plus ou moins exactes, suivant la différence plus ou moins grande qui doit ayoir lieu entre les sections, et suivait la régularité de leur profil transversal. S’il s’agissait de canaux parfaitement réguliers, les formules du chapitre premier de ces Études, résoudraient facilement le pro- • blême, mais pour des cours d’eau ordinaires à sections irrégulières, il n’y a plus de possibles, dans l’état actuel

de la science, que des calculs approximatifs.

80. La formule qui précède, donnant le remous produit par une augmentation de volume, peut servir à déterminer la loi que doit suivre la hauteur des crues, d'après, le volume des eaux quelles entraînent. Comme on le terra plus tard, ce* volume n’est pas un chilfre fixe et déterminé. En dehors des cas prévus et déjà observés, le hasard peut amener, et le temps amènera nécessairement, un concours de circonstances qui produira une crue extraordinaire supérieure à celle dont les populations ont' gardé le souvenir. Aussi, lorsqu’on a à se défendre contre les grandes eaux, a-t-on soin d’élever les digues à One certaine Ivauteur au-dessus, des limites connues. Cet excès de hauteur a aussi pour but, nous le savons, de protéger les •ligues contre l’etiet du vent et des vagues qui s’élèvent au1 dessus <lu niveau moyen; mais on ne contestera pas que la considération de s^metlre à l’abri de crues plus élevées que celles qui sont observées n’entre pour beaucoup dans la détermination de leur hauteur; él sous ce rapport ,

CHAR. Hl. DU MOUVEMKT VARIÉ

la formule, apprend comment cet excès de hauteur doit être fixé. En effet, si au lieu du volume q , ou- a le volume 0, le- surcroît de haulour, pour des points où la hau- . teur primitive des grandes eaux était II et H', sera exprimé par : > ■

•ï=h(1/£-,), ï=ir(l/f,)

*• Si la rivière que vous endiguez présente dans son parcours des hauteurs de ente différentes, telles que.5m, 6", 7”, 8”, 9", et que vous ayez jugé prudent de vous tenir à o"5a au-dessus des grandes eaux, là où la rivière à 5*1 de- hauteur, il faut donner o™,6o, o",70, o“,8o, o”,go dans les autres parties, proportionnellement aux hauteurs.primitives de la crue ‘ observée. Ou si cet excès de hauteiw n’a pas été donné, et qu’une crue survienne, attendez-vous à ce que les points les plus menacés seront ceux où' la crue primitive était la plus forte, c’est là qu’il faut préparer et porter vos moyefis- de défense. Nous pourrions citer des exemples qui confirment pleinement cette théorie, mais il nous semble qu’elle peut s’en passer, le simple raisonnement peut en effet conduire à ce résultat. Si le même volume passe à un point 'donné avec 5” de hauteûr et un peu plus loin avec 7", c’est que dans le premier point la pente, la largeur, les circonstances locales favorisent beaucoup plus l’ écoulement que dans le second; si üne augmentation de volume survient, les mêmes circonstances agissant donneront évidemment . une augmentation dans le même rapport. •

IfANS- l'N CAffAL IRRÊGyLIKR .

81. Avant de passer à l’étranglement ou à l’élargissement brusque , il importe de considérer les efTets d’un étranglement ou d’un élargissement graduels, produit soit par le relèvement ou l’approfondissement du lit ou fuir une altération du parallélisme des rives. C’est ce dernier cas que nous éxaminerons d’abord.

Considérons trois sections du courant (fig. afi) : i" la section A située à l’aval de l’étranglement, là ch'i le lit a repris son profil. Dans cêlte section la hauteur H et la vitesse U sont celles qui conviennent au régime unifomlè; a0 la section B, là où a lieu le maximum de l’étrauglcment, dans laquelle la hauteur H’ et la vitesse moyenne 17 sont à déterminer-, 3° la section G située en amont au point où le canal a repris son profil uniforme, mais dans laquelle le liquide se trouve déplacé et où fuir conséquent la luiuleur H” et la vitesse U" sont aussi à déterminer.

L’éqifiUion générale du mouvement varié

résoudra Immédiatement le problème. En effet, en substituant dans cette équation pour sa valeur dy-{-ids et intégrant entre B et A, on aura pour expression de la hauteur du liquida comptée à partir de la surface naturelle :

’ Us— U’*

en appelant X la longueur BA. U’=Ü

-, il ne reste

- donc à déterminer que le dernier terme, qui exprime l’excès de résistance, de A èn B, du lit ♦étréci sur le lit ordinaire. On peut facilement avoir la valeur de cette intégrale en supposant que dans l’étranglement la résistance est Ioil-

UH

CH AP . IV. i)t MOOEMEM VAH1K

jours exprimée par —(au -f- (3 a*); mais nous .'avons fait

yoir que l’effet de l’étranglement était, d’abord de troubler

complètement la distribution des vitesses, et ensuite de produire ime pénétration des filets fluides (N“ 49 et 5o), ce qui amenait une résistance nouvelle*, de sorte qu’on ne doit regarder cette hypothèse que-comme une approximation dont le calcul rigoureux ne conduirait pas à un résultat plus exact que celui de la formule que nous allons donner.

Nous supposerons que dans l’étranglement le rapport -ï-

reste constant et égal par conséquent à ce qu’il est dans la section naturelle , • (nous négligerons, comme nous

l’avons déjà lait souvent, le coëllicicnt <x par rapport à (S). Enfin nous supposerons que la surface w d’une section quelconque varie proportionnellement à sa distapce aux sections extrêmes <•>’ et Q, de manière qu’on a :

ou a‘dp même pour la vitesse moyenne d’une -section quelconque : u=U — . En faisant ces substitutions dans l’ex-

pression dé la résistance, il vient :

ÜJ

mettant

cette valeur de <p dans l’expression : ./*(? — . • ‘ •

DANS US CtAL 7hHÉGULI£B.

et intégrant, on aura : /

Ht o«

ou en mettant pour U’* sa valeur : l'* —

™ • • • « vr p -*•

y,='ê-1) Sx- |^-,4°H(,+“)jw

ou

. 0(^:4oH(, + L^)|(?3)

Sous celte forme il est très-facile de reconnaître les circonstances qui influent sur le signe et la grandeur de y':

en effet, tant que X.est plus petit que 140 II ^1

y’ est négatif; c’est-à-dire qu’il y a dépression en b, et celte- dépression est d’autant plus considérable pour un étranglement donné, que la hauteur H du régime uniforme est plus grande, et que la pente du cours d’eau est plus

forte. Lorsqu’on a A= 140JB Ç 1 + — ^ , il n’y a dans

l’étranglement ni exhaussement , ni dépression. Eqfin

quand i> j4o1I ( 1 -f-— J, il .y a un relèvement. Cette

«i .» iin.il. 1. I f , - ; 4 ’

(*) Pour avoir l’équatioa de la courbe dans l’étranglement, il suffirait de remplacer dans -l'équation (3) y’ par y , > par t, et L' par

L ^ »; mais dans la pratique il suffira presque toujours d'avoir

l'ordonnée y’ qui correspond au maximum de l'étranglement.

ISO

CBAP. IV.* * DU ■OUVBME’JT VARIÉ

discussion fait voir que, suivant qu’un étranglement est plus ou moins long, suivait que la hauteur des eaux est plus ou moins grande, suivant que l’étranglement est plus ou moins prononcé, il y a abaissement ou relèvement de la surface naturelle.

Supposons un Cours d’eau avec un étranglement graduel qui en réduit la largeur à moitié, et voyons les effets de cet étranglement pour deux états différents de ce cours d’eau. Soient : H=i" pour les eaux basses , 11=5” pour les grandes eaux, et ï=o,ooo3, la formule se réduit alors à :

’ (hW — — <<* "(‘ + TÎ^)Î

et on tfuuve par tâtonnement les valeurs suivantes de y' :

Pour un étranglement «le ioo® de longueur. 200“

4QO" - 1,000*

o",oo

om, 36

Ainsi, en grandes eaux comme en basses eaux, il y a pour un étranglement court, dépression d’autant plus forte que les eaux sont plus grandes, à mesure que l’étranglement s’allonge la dépressibn diminue et devient nulle beaucoup plus promptement pour les basses eaux que pour les grandes eaux'; de manière que pour certaines longueurs intermédiaires d’étranglement, il y a relèvement en basses eaux et abaissement en grandes eaux; et enfin à jwrlir d’une

DANS UN CANAC IJ R KfilLIF, li .

certaine longueur d’étranglement, il y a relèvement pour les deux cas. Ce relèvement iVàbord plps fort, pour les basses eaux que pour les grandes, l’est ensuite plus pour

ces dernières et se trouve limité au-dessous de

quantité qui se réduit à 11 dans l’exemple numérique précédent. Ces résultats .et d’autres analogues, dont' nous nous occuperons tout à l’heure, sont très-importants sous le rapport pratique. * •

Appelons y" la hauteur cc'.qui est le remous apparent, nous, aurons en répétant, le calcul lait plus haut : >

j rï -u u7*— -ir* , .,,/n* \

f / (?■— H* ( -TT, — I )

1/ fi ajf \o> 6i /

la valeur de y” est toujours positive puisque U' est plus grand que U”. En appelant Y la hauteur Ce, qui est le remous réel occasionné en C par l’étranglement, on anra de même * '

KJ 1X6) ✓ X 6) 6) S ]

équation qu’ctn peut obtenir en faisant la somme des valeurs de y' et do y".

Quoique le second terme contienne des quantités qui dépendent de Y, .cependant il est facile do déterminer cette hauteur par tâtonnement. Pour première approximation, on peut supposer que les vitesses en C et ên A sont sensiblement égales, et on obtient :

iv. — ‘ bu wovvrwBNT VABié

D« celle équation il serait facile de déduire des valeurs très-appfi>chée» de U" et de «" qui, mises dans fex pression de Y, en donneraient une valeur plus exacte, que celle déduite dfc l’expression de Y'. Mais cette dernière suflit pour signaler les caractères généraux de l’étranglement sur lesquels nous voulons- surtout insister.

On voit d’ahord que cette valeur d’e ‘Y ' toujours positive, puisqu’elle représente l’excès de force retardatrice du lit étranglé sur le lit naturel ne dépend que d’une manière très-secondaire de la hauteur H des eaux. En effet, si l’abaissement ou le relèvement qui a lien en B n’est pas -«> çi

tel qu’il modifie sensiblement le rapport — , la valeur

de Y ne changera pas quelle cpie soit la hauteur II. On

peut d’ailleurs la mettre soils la forme :

> • . • • pr«. ■'

qui met en évidence cette propriété. Ainsi dans l’exemple, numérique considéré plus haut, on aurait pour un étranglement de X=V= 1 oo“, Y— en basses eaux, Y=o",oç> en hautes eaux. Pour un étranglement de i=X’=:ooo”, on aurait Yz=qn’,44 on basses eaux, Y^o”r^a en grandes eaux. Il va sans dire qu’on suppose que la forme du lit est telle, que l’étranglement conserve le même rapport dans les deux situations du cours d’eau. Car il arrive souvent que des digues qui resserrent le lit des grandes eaux, n’allèrent en rien le lit des eaux bisses et même des eaux

• • <*>A!W t>H CACUL 1)Rtffil)tmR.

moyennes. Alors le remous Y qui a -lieu en grandes eaux disparaît, lorsque ces eaux baissent.

83. Les formules précédentes s’appliquent au cas' de rélargissement graduel (bg. 37), il sutlit de donner à o>' et àû les valeurs spéciales qui conviennent à ce -cas. Par le fqit de cette substitution les valeurs de y' et de Y changent en général de signe et. s’atténuent, ù’est-à-dire qUe dans le court élargissement, ou a un soulèvement y’^poius fort que l'abaissement donné par le oourt étranglement. K11 tète de l’élargissement long ou court il y a toujours abaissement. Un exemple numérique fera de suite comprendre l’influence de la longnéur de l'élargissement sur la hauteur des remous. Nous aurons, en ellet, sur le cou» d’eau dont la pente

est o,ooo3 et en admettant pour ~ le rapport ~ :

les longueurs } qui rendent y nul sont moitié de ce qu’elles étaient dans l’étranglement; ou a pour 11= 1" it = a 1 0“

pour. H = 5" X= 1 o5o“ : (Voir page i5<j)

On aura ponr un élargissement de

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