La solution de tous

2 Cil AP. 1“ DU MOUVEMENT UNIFORME

donc exposer lu insultât dus recherches faites jusqu’à pri M'ut sur eus deux résistances, en essayant d’y ajuuler quelques notions nouvelles.

Leur existence nous est révélée par un phénomène que nous avons tous les jours sous les yeux ; la vitesse des cours d’eau naturels, quelle que soit leur pente, est sensiblement uniforme, et n’est jamais en rapport par conséquent avec la hauteur de la chute depuis la source jusqu’au point considéré. 11 faut donc nécessairement que dans ce mouvement se développent des forces retardatrices qui croissent avec la vitesse, de manière à faire" équilibre à la force accélératrice de la pesanteur.

'Une autre propriété des forces retardatrices que nous considérons, et qui a été démontrée |wr des expériences de Duhuat, c’est qu’elles sont indépendantes de la pression. 11 est facile surtout dans les tuyaux de faire varier la pression, sous laquelle s’opère l’écoulement, dans des limites trop étendues pour qu’il puisse rester le moindre doute à .l’égard de cette propriété. Si, comme pour les solides, la résistance était proportionnelle à la pression, il y aurait de telles variations dans Hî débit d’un tuyau, suivant que la pression serait plus ou moins grande, qu’elles ne pourraient échapper aux expériences les plus grossières.

2. Ces simples notions ont suffi à M. de Prony pour établir les équations d’équilibre d’une masse liquide coulant dans un tuyau avec une vitesse quelconque (*). Nous allons reproduire ses calculs; mais pour plus de simplicité, nous supposerons qu’il s’agit d’un rectangle d’une largeur indé- •

(*) Recherchai physico - mathématiques sur la théorie des eaux courantes (N* 143).

DBS BAUX COURANTES.

finie, et dont les parois latérales n’opposent aucune résistance. Dans ce cas, il est évident que tous les filets, situés dans une jcouche parallèle au fond, ont une vitesse égale et qu’il suffit de considérer ce qui -se passe dans Une section

verticale parallèle à la vitesse.

Soient : i le sinus de l’angle du fond du canal avec l’horizon (quantité toujours assez petite dans les * cours d’eau naturels pour être confondue avec l’arc ou la tangente).

H. la hauteur de l’éau sur le fond du canal. s une partie de la hauteur comptée à partir de la surface. .

«W, «'"•*>, v", v’ les vitesses des » diverses

couches depuis celle de la surface r<n> jusqu’à celle du fond v ' .

n la densité du fluide.

Le filet de la surface , dont la vitesse uniforme est r<">, se trouve dans le même cas qu’un solide glissant le lorfg d’un plan incliné, et son équation d’équilibre est la même. La force accélératrice de la pesanteur agit sur lui avec une intensité proportionnelle à son poids et au sinus de l'angle d’inclinaison. La force retardatrice qui lui fait équilibre dépend évidemment de la vitesse relative (cw — t-(n',)) du filet supérieur par rapport au filet immédiatement- inférieur, et croit avec elle, car cette condition est essentielle pour que le mouvement puisse se maintenir uniforme sous une inclinaison quelconque. On aura doue pour équation d’équilibre du filet supérieur: • . ’

IïÿiA ?=/■(«(*)— »<«-«>)

ou plus simplement, en supposant les coefficients de la

CHAP. 1. DU MOI VHMBIW UK1FOBMB

fonction qui exprime lu résistance due à la cohésion divisés (Kir llÿ, produit qui ne varie que d’un fluide à un autre :

la lonclion /'étant indéterminée, mais de nature à croître avec sa variable.

Le filet placé immédiatement au-dessous de celui qui est à da surface reçoit évidemment de la pesanteur une force accélératrice proportionnelle à i\z et de sou glissement sur le filet inférieur une force retardatrice proportionnelle à /,(ié"-.1> — mais en outre le filet supérieur, en glissant sur lui , l’entraîne avec pne force accélératrice précisément. égale à la force retardatrice qu’il en éprouve. C’est ainsi qu’un corps solide en glissant sur un plan, tire ce plan dans le sens de son mouvement avec une force égale au frottement qui retarde sa chute. On a donc pour équation d’équilibre du filet immédiatement inférieur à celui de la Surface :

on aurait pour un filet quelconque de l’ordre m :

ihz=f(vW — »(*•*)) — f(v — u(*))

et pour le second filet en partant du fond :

iïz=f(v"-vr)-f(v"’^v”)'

quant au filet qui glisse immédiatement sur la paroi, il éprouve, suivant M. de Pronjq deux espèces de résistances. L’uné particulière à cette paroi qu’il exprime par F (v’) ; et . l’autre qui proviendrait du glissement de ce filest sur une couche liquide adhérente Ma paroi, et par conséquent de