AUX QUESTIONS POSÉES
Pour procéder avec prudence dans l'accomplissement de cette tâche difficile , nous nous efforcerons de suivre fidèlement deux maximes d'une justesse incontestable, savoir : 4° admettre l'incompréhensible, lorsqu'il est démontré; 2° repousser l'absurde et le contradictoire , lorsqu'ils sont bien et dûment reconnus pour tels. Je dis que ces deux
fini; Gerdil , Démonstration mathématique contre V éternité de la matière [Recueil de Dissertations , Paris , 1760, in-12); Newton, Optices, lib. m,qu8est. 31, et Philosophiœ naturalis principia mathematica, lib. m, prop. 6, cor. 3 (Ed. prim. 1686).
(1) Voyez saint Augustin, saint Thomas , Fenélon et Euler, cités ci-après, deuxième Partie, p. 98.
— 5* — maximes sont incontestables : car, 1 ° dans tous les ordres de connaissances il y a des vérités que nous concevons et que nous démontrons sans les comprendre, et nous ne pourrions les rejeter après démonstration sans nous condamner soit au scepticisme absolu , soit à la plus flagrante inconséquence; 2° admettre l'absurde, le contradictoire, dans certains ordres de connaissances , ce serait se priver du droit de les repousser dans quelque ordre de connaissances que ce fût; ce serait renoncer à la raison. Autre chose est de ne pas voir le rapport et la conciliation de deux propositions, autre chose est de voir clairement qu'elles impliquent contradiction entre elles. Quand deux propositions sont démontrées séparément, nous sommes assurés que leur conciliation existe; mais elle peut se trouver au-delà de ce que nous comprenons actuellement, ou même au-delà de ce que nous sommes actuellement capables de comprendre. Au contraire , quand la contradiction se montre à nous avec évidence , c'est qu'elle existe en deçà des limites de ce que nous pouvons comprendre présentement. Qu'il s'agisse de l'infini ou du fini , peu importe; car il y a dans le fini des choses que nous savons, que nous voyons et que nous ne comprenons pas, et il y a dans l'infini des choses que nous comprenons et qui suffisent pour nous montrer ce que l'infini ne peu t pas être : autrement nous ne pourrions ni en parler , ni même y penser. Si , dès qu'il s'agit de l'infini, le principe de contradiction cessait d'être applicable , il faudrait bannir la notion de l'infini , non-seulement de la philosophie, mais aussi des mathé-
Cela posé , abordons pour notre propre compte les trois
questions dont nous avons critiqué la solution affirmative. Commençons par la question de l'origine du monde dans le temps. Quelques penseurs ont cru faire merveille en imaginant , contrairement à la croyance universelle , que non-seulement le monde, mais le genre humain, ont existé toujours. L'existence éternelle du monde considéré dans son ensemble ne peut évidemment être ni prouvée , ni contredite par les sciences physiques. S'il fallait en croire certaines inductions astronomiques présentées par des savants éminents , la terre et tout notre système solaire se seraient formés par la condensation successive* d'une matière gazeuse. Quant à l'origine de l'homme , des inductions géologiques bien plus dignes de confiance et dont la probabilité approche beaucoup de la certitude paraissent établir que le genre humain n'a pas toujours existé sur la terre. La triple hypothèse de l'éternité .du monde, de la terre et du genre humain dans le passé ne s'appuie donc nullement sur des données scientifiques. Cette même hypothèse a contre elle l'opinion raisonnée de très-grands philosophes et la croyance presque unanime des nations à toutes les époques. Cette croyance d'un commencement du monde se fonde d'une part sur la tradition , d'autre pari sur le bon sens , qui est la raison irréfléchie. Je dis que le bon sens est contraire à la supposition "d'un monde sans commencement. Une comparaison va nous prouver combien cette supposition répugne , non-seulement au bon sens, mais à la raison réfléchie.
Supposons une chaîne suspendue horizontalement en l'air, et dont un bout nous est caché, tandis que nous voyons l'autre bout soutenu par un ouvrier , qui va tou^-
jours y ajoutant de nouveaux chaînons. A l'aspect de cette chaîne, qui s'accroît toujours par son bout visible, le bon sens affirme que l'autre bout , qu'on ne voit pas, doit pourtant exister et avoir un support. L'imagination vulgaire se représentera peut-être cet autre bout et ce support à une certaine distance. L'imagination philosophique et mathématique déclare que la distance peut être plus grande, plus grande . encore , et ainsi indéfiniment. Jusque-là l'imagination est dans son droit; car elle ne suppose rien d'impossible. Mais , si elle va jusqu'à supposer que le nombre des chaînons soit effectivement et absolument infini, et que cette chaîne dont nous voyons un bout n'ait ni autre bout ni support, alors le bon sens s'étonne, se trouble, mais ne se rend pas. La raison , qui est le bon sens réfléchi, intervient à son tour : elle dit que le nombre des chaînons est inconnu, et qu'ainsi subjectivement, . c'est-à-dire dans notre esprit, il est indéterminé, mais qu'objectivement , c'est-à-dire en lui-même, il est certainement défini, puisqu'au lieu d'être simplement possible, il. a une existence réelle dans la somme des chaînons que nous voyons et des autres qui n'existent pas moins, quoique nous ne les voyions pas et que nous ne puissions pas les compter. Empruntons pour un instant le langage net et précis des mathématiques. Soit M ce nombre inconnu des chaînons : ce nombre n'est pas indéfini , puisqu'il est un nombre réel d'objets réellement existants ; il ne peut donc être que fini ou bien infini. Or, il ne peut pas être infini ; car, s'il l'était, il n'y aurait pas de premier chaînon soutenu par un support ; il n'y aurait donc pas non plus de second chaînon soutenu par le premier; s'il n'y en avait pas un second, il
n'y. en aurait pas non plus un troisième soutenu par un second, ni un centième, ni un millième , soutenus par les chaînons précédents , et ainsi de suite à l'infini ; le chaînonde rang M, que nous avons sous les yeux , ne pourrait donc ni se soutenir ni exister. Ainsi , évidemment la supposition d'un nombre infini de chaînons avant celui que nous voyons est une supposition absurde , qui se contredit elle-même. . Ce que nous venons de dire de cette chaîne supposée et de ses chaînons , nous pouvons l'appliquer à la durée passée de l'univers ou du genre humain, et aux unités de temps successives dans lesquelles cette durée se décompose, par exemple, aux années qu'elle contient, l'année étant prise ici pour une certaine unité de temps qui garde sa valeur indépendamment des phénomènes astronomiques employés maintenant à la mesurer. L'année actuelle est marquée d'un certain nombre ordinal parmi les années du monde ou du genre humain : ce nombre est inconnu pour nous, mais il existe, et, quelque grand qu'il soit, il n'est pas infini; car s'il Tétait , il n'y aurait jamais eu une première année ; or, s'il n'y avait jamais eu une première année , il n'y en aurait jamais eu une seconde , ni une troisième , ni une millième, ni une année de rang quelconque à l'infini , et par conséquent l'année présente , quel qu'en soit le rang, ne pourrait pas exister.
Ici l'on m'arrête en me disant : (< L'éternité successive du monde se compose de deux parties séparées par l'instant présent, limite mobile dans la durée infinie de l'univers. L'une de ces deux parties est l'éternité passée , l'autre est l'éternité future. En elles-mêmes, ces deux éternités sont pareilles : nier la possibilité de l'une , c'est nier en même
temps la possibilité de l'autre. Ainsi, nier que la création ait pu être éternelle dans le passé, ce serait nier que la conservation puisse être éternelle dans l'avenir. Ce serait donc non-seulement refuser à Dieu le pouvoir de conserver sans fin l'univers visible , mais aussi supprimer l'immortalité des âmes -humaines. »
Voilà l'objection, que je ne crois pas avoir affaiblie en la résumant. La réponse à faire me semble claire et facile. Entre l'éternité passée , qu'on suppose , et l'éternité future, il y a une différence essentielle : c'est que l'une serait déjà accomplie , tandis que l'autre ne l'est pas et ne le sera jamais. L'éternité future est incompréhensible , comme tout ce qui va à l'infini ; mais elle ne présente rien d'impossible ni de contradictoire. Quant à l'autre éternité, qui serait déjà accomplie , je comprends parfaitement qu'elle est impossible , parce qu'il y a contradiction évidente dans les termes. Si je suis maintenant en un temps où la première moitié de l'éternité totale soit déjà écoulée , il pourra donc venir aussi un temps ou l'autre moitié , c'est-à-dire l'éternité future, sera écoulée à son tour. Admettre l'éternité passée , ce serait admettre que l'infini a pu finir, et que , par conséquent, il le peut encore : ce serait admettre que l'infini n'est pas infini , ce serait se contredire.
On insiste en me disant que tous les temps, présents , passés ou futurs pour nous , sont également présents devant Dieu , qui voit ainsi tous les instants de l'éternité future, et que, par conséquent, il peut voir aussi tous les instants d'une éternité passée, l'une étant devant lui aussi possible que l'autre. Je réponds que la manière dont Dieu voit la somme de toutes les parties de la durée du monde
illimitée dans Fa venir est incompréhensible pour nous , mais que nous ne voyons pas pourquoi cette connaissance serait impossible à Dieu. Je comprends que l'existence de chacune des parties dont se composerait un passé infini , impliquerait contradiction, parce que chacune pourrait être considérée comme la dernière d'une éternité écoulée , c'està-dire comme le terme de ce qui , par définition , ne peut avoir de terme. Mais , au contraire , de toutes les parties que Dieu voit dans l'avenir sans fin du monde et de chaque âme, il n'y en a pas une seule pour laquelle cette contradiction existe , parce qu'il n'y en a pas une seule qui puisse être la dernière. Et cependant, Dieu voit tout l'ensemble de cette succession , qui a eu un commencement et qui n'aura jamais de fin : c'est là l'incompréhensible , que ma raison, incapable d'embrasser l'infini , doit accepter humblement ; mais, une succession sans commencement , ce serait là le contradictoire et l'absurde , que ma raison doit repousser avec une fermeté inébranlable.
La durée présentement accomplie par le monde ne peut donc pas être infinie ; mais le passé du monde va s'accroissant toujours et approchant toujours de l'infini , qu'il n'atteindra jamais. L'avenir illimité des êtres qu'il plaît à Dieu de conserver toujours, ne s'épuise pas, ne diminue pas, parce que cet avenir n'est pas une quantité réelle et finie dont les parties soient rejetées successivement du côté du passé : cet avenir est une possibilité indéfinie qui reste toujours la même, à laquelle la réalité des temps écoulés n'ôte rien, et qui garde son immuable raison d'être dans la toute-puissance du Dieu créateur et conservateur. De même, nous . prouverons tout à l'heure que l'étendue présente du monde
ne peut pas être infinie , bien qu'elle soit plus grande que tout ce que nous pouvons imaginer. Nous ignorons si elle augmente : en supposant qu'il en fût ainsi , elle tendrait vers l'infini, qu'elle ne pourrait jamais atteindre. De même encore, le nombre des atomes et des substances simples contenus présentement dans le monde dépasse toute imagination; mais il ne peut pas être infini. Nous croyons que . ce nombre s'augmente par la. création d'âmes nouvelles; mais il n'atteindra jamais l'infini , bien qu'il puisse en approcher sans cesse. Toutes ces propositions seront prouvées d'un seul coup , si nous prouvons qu'aucun nombre réel d'objets réels ne peut être infini ; car toute collection d'individus se compte , et toute quantité continue, comme la durée et l'étendue , se mesure à l'aide d'une unité répétée un certain nombre de fois. Ainsi, tout ce que nous dirons de l'infini en nombre sera vrai de l'infini en étendue et en durée.
Evidemment il est de l'essence de toute quantité , considérée métaphysiquement et abstraction faite des circonstances physiques , de pouvoir s'augmenter par l'accession d'une autre quantité semblable; il est de l'essence de tout aombre de pouvoir s'accroître par l'addition d'unités de même nature. Le nombre qui représente soit telle collection d'individus réels , soit les unités comprises dans telle quantité continue , peut être variable ; il peut être indéterminé , si le temps n'est pas spécifié; mais, en un instant donné , toute collection réelle se compose d'un certain nombre d'individus, toute quantité réelle se compose d'une certain nombre d'unités de telle espèce avec ou sans fractions de cette même unité. Ce nombre, même considéré en un
instant donné , peut être indéterminé pour notre esprit , c'est-à-dire inconnu ou imparfaitement connu ; il peut être plus ou moins indéterminé pour notre esprit, lorsque nous connaissons plus ou moins de propriétés de ce nombre , sans connaître pleinement quel il est. Mais ce nombre, en un instant donné, ne peut être que parfaitement défini , puisqu'il est le nombre des unités de telle espèce réellement comprises dans un tout donné en un certain instant : ce nombre ne peut donc pas être indéfini. Peut-il être infini? Voilà la question. Pour y répondre, il faut d'abord savoir ce qu'on entend en général parce mot, l'infini , et en particulier ce qu'on entend par ces mots , l'infini en nombre , ou en étendue /ou en durée , l'infini mathématique.
Il y a un Être infini, que je conçois sans le comprendre. Je conçois que cet Être est souverainement parfait , et par conséquent la notion que j'en ai n'est point une abstraction vide de toute compréhension; car l'objet d'une telle notion, bien loin d'être parfait , serait ce que certains sophistes de l'école transcendantale veulent que Dieu soit , c'est-à-dire le néant de toute perfection , le néant de l'être , néant d'où tout sortirait par le devenir, c'est-à-dire par un développement sans principe actif, par une production sans cause. Une telle conception de l'Être suprême est le rêve d'une imagination en délire, qui combine nominalement des notions contradictoires. Cette conception du Dieu néant qui devient tout, ne peut être donnée ni acceptée par la raison , qui a horreur de l'absurde. Ma raison conçoit que , dans la simplicité de l'Être infini , de même que dans la simplicité de l'âme humaine , il y a nécessairement des attributs dis-
tincts et des puissances distinctes , mais qu'en Dieu toutes les puissances , tous les attributs ne peuvent être qu'infinis. La notion que j'ai de cet Être suprême est donc essentiellement affirmative. Si , en pensant à l'Être infini, à ses attributs , à ses puissances , je pense à des limites quelconques, c'est pour nier ces limites , comme ne pouvant s'appliquer à lui, mais seulement aux êtres finis, qui n'ont que la quantité d'être qu'il leur a donnée ; et, si je nie de lui toutes les limitations imaginables , c'est que j'ai de lui à priori une notion affirmative, qui les exclut. Je conçois cet Être infini comme essentiellement indivisible et immuable, et je conçois que de même chacun de ses attributs , chacune de ses puissances, est essentiellement indivisible et non susceptible en lui de plus ou de moins. Je conçois , au contraire, que, parmi les êtres créés, il y en a dont la substance même est essentiellement divisible et susceptible de plus et de moins; que dans tous les êtres finis, même dans les substances simples , tous les attributs qui expriment une certaine aptitude, toutes les facultés sont susceptibles de plus et de moins , et que les quantités de ces aptitudes et de ces facultés seraient même toujours comparables en nombres , si nous pouvions les connaître assez pour les comparer à une unité idéale. L'étendue des corps est divisible et appréciable en nombres. En Dieu , ce qui correspond à l'étendue , c'est ce qu'on est convenu d'appeler Yimmensité divine. Mais , entre celte immensité indivisible et l'étendue des corps, il y a une différence complète de nature et non pas seulement une différence de degré. L'étendue, considérée abstractivement , est essentiellement et indéfiniment divisible. Mais toute étendue
réelle a pour substance une force résistante , qui la constitue corps. L'atome non divisé est-il indivisible par nature, de telle sorte qu'il ait pour substance une force unique et simple, résidant à son centre et opposant une résistance invincible à. tout autre atome qu'une impulsion tendrait à faire pénétrer dans la sphère où s'exerce la force d'impénétrabilité du premier? Ou bien chaque atome a-t-il pour substance une force divisible elle-même indéfiniment , mais qu'aucune force physique existante ne soit capable de diviser ? Quelque parti qu'on prenne dans cette alternative controversable , l'étendue de l'atome, considéré abstractivemént , reste indéfiniment divisible; car, même dans la première hypothèse, on conçoit toujours la possibilité d'un autre atome dont la force résistante aurait une sphère d'impénétrabilité moindre de moitié que celle de l'atome précédent , et ainsi à l'infini. Au contraire, la puissance de Dieu n'est point localisée comme les forces physiques inhérentes aux atomes , ni comme la force motrice que l'âme exerce dans le corps vivant. La puissance divine est logiquement antérieure à toute étendue, puisque nulle étendue n'existe que par création; cette même puissance est logiquement antérieure à tout lieu , puisque tout lieu suppose une étendue créée. L'immensité de Dieu est l'infinité de cette puissance considérée dans ses rapports avec l'étendue créée , c'est-à-dire avec celle du monde, et avec l'étendue possible, c'est-à-dire avec l'espace, où elle peut réaliser indéfiniment de nouveaux corps. Cette puissance est nécessairement infinie; elle appartient essentiellement à l'Être nécessaire; elle ne lui a point été donnée et mesurée ; elle n'est point susceptible de plus et de moins ; elle est d'une
r.Min-T nhs<>hir : )» restreindre ou l'augmenter par la ivnsêc . c* sorsii la nier tout entière. L'étendue idéale et mdélînif de l'esjvw* trouve dans cette puissance infinie sa raison dôlre: l'étendue réelle, celle des corps existants, iroiive dans octte puissance créatrice et conservatrice la mit* de son commencement et de sa durée. En s'appliqunt à l'étendue de l'univers, cette puissance non immanente , mais supérieure , ne s'y divise pas; elle y est présente partout tout entière. Ainsi l'immensité divine est entièrement indivisible : 'elle n'est point le produit d'une addition, d'une multiplication, d'une augmentation soit réelle, soit idéale ; nulle diminution, nulle division même idéale ne peut l'atteindre : pour elle, être moins, être autrement, ce serait n'être pas. La même indivisibilité se retrouve nécessairement dans l'existence absolue de l'Être infini, c'est-à-dire dans son éternité : cette existence nécessaire, que rien ne circonscrit et ne mesure, est logiquement antérieure à toute existence successive, c'est-à-dire à toute durée, qui ne peut se produire que par création. Dans cette existence absolue et dans la puissance créatrice qui l'accompagne, se trouve la raison suffisante de la durée idéale et possible, c'est-à-dire du temps, et la cause efficiente de la durée réelle, c'est-à-dire de celle des créatures , produits externes de la volonté libre de Dieu. Placée en dehors du temps et de la durée, l'éternité divine est présente à toutes leurs parties, sans s'y diviser, parce qu'à chacune elle est présente tout entière.
Peut-il y avoir, en étendue, en durée, en nombre, un autre infini actuellement existant,. formé par addition, par multiplication, composé de parties, d'unités; un infini d'ë-
tendue actuelle ou de durée actuellement accomplie, infini divisible , exprimé par un nombre infini? Pour savoir si cette notion de l'infini mathématiqne est légitime et en quel sens elle l'est, il faut examiner comment on y arrive et à quelles conclusions elle conduit légitimement. Mais, d'abord , il faut la distinguer de ce qui n'est pas elle. L'indéterminé est une grandeur inconnue, dont on ne peut pas trouver la limite , soit qu'elle ait ou non une limite réelle et fixe. L'indéfini est une grandeur qui, n'ayant aucune limite fixe, peut croître ou décroître toujours. L'infini mathématique, dans le sens le plus restreint et le plus ordinaire , est une grandeur plus grande que toute grandeur assignable; dans son sens le plus absolu, il est une limite idéale qu'aucune grandeur réelle ne peut atteindre, mais de laquelle les quantités indéfinies peuvent approcher toujours de plus en plus. L'infini mathémathique , même dans ce dernier sens, n'est ni Dieu, ni un attribut de Dieu ; mais il fait penser à Dieu, parce qu'il ne peut évidemment avoir qu'en Dieu sa raison d'être. Toute existence vient de Dieu et témoigne de son auteur. Mais il y a des esprits qui , tout occupés de la vue des choses réelles et finies, ne songent pas à se demander quelle peut en être la cause première : pour eux, le monde est, parce qu'il est ; ils ne cherchent rien audelà du cercle des faits positifs et visibles : suivant eux, toute la science consiste à classer ces faits et à les réunir par groupes sous des notions générales. Cependant ils ne peuvent pas rejeter les mathématiques à titre de science des nombres abstraits et des formes abstraites. Or, dans les mathématiques , ils ne peuvent pas aller bien loin sans être forcés de s'élever à la considération de l'infini, et cette con-
sidération inévitable, pour peu qu'ils la suivent et la comprennent, les oblige à se transporter par la pensée au-delà du réel, dans le champ indéfini du possible, et à concevoir même , au-delà du possible indéfini , une limite qu'il ne peut pas atteindre sans cesser d'être une quantité. Dès lors, ils doivent comprendre que, comme solution d'un problème qui concerne des quantités essentiellement divisibles, Finfini absolu est l'expression d'une impossibilité absolue. Mais , ce qui reste , c'est le possible s'étendant à l'infini , sans aucune limite finie de grandeur. Or, pour peu qu'ils veuillent écouter leur raison, elle leur dira que le possible indéfini n'est pas réalisé nécessairement tout entier, et que par conséquent l'existence de tout ce qui est a besoin d'une raison d'être et ne peut s'expliquer que par une cause première efficiente; en outre, elle leur dira que le possible indéfini suppose au-dessus de lui une puissance infinie , sans laquelle rien ne serait possible à l'infini. Sans doute, ce serait une illusion aussi absurde que dangereuse , de croire trouver Dieu au bout d'une équation, comme signe d'une quantité qui, en devenant infinie, cesserait d'être une quantité : ce Dieulà ne saurait jamais être le vrai Dieu, le Dieu vivant. Mais, quand on a trouvé l'infini mathématique au bout d'une équation, si l'on veut ée rendre compte de sa raison d'être, on est obligé de sortir du domaine des êtres contingents et des quantités divisibles, pour fixer sa pensée sur une notion supérieure, sur la notion de Dieu , être nécessaire et infini, cause première de tout être, et seule raison d'être de toute possibilité indéfinie. La notion de l'infini mathématique suppose et réveille celle de l'Être infini, notion qui préexiste, trop souvent inaperçue , au fond de toute âme raisonnable.
Ainsi Dieu seul est l'infini vrai et substantiel, et tout en lui est réellement et affirmativement infini. L'infini mathématique n'est ni Dieu, ni quelque chose de la nature divine. Il n'est pas l'indéterminé ; il n'est pas non plus l'indéfini : dans le sens le plus absolu, il est la limite supérieure vers laquelle l'indéfini peut tendre sans pouvoir l'atteindre. Cette limite est-elle une quantité réelle ou possible? Non, car alors l'infini serait compris lui-même dans l'indéfini , qui est essentiellement susceptible de s'accroître toujours, et par conséquent l'infini n'en serait plus la limite. Si les quantités possibles, contenues sous la notion de l'indéfini, pouvaient atteindre l'infini même, elles pourraient le dépasser, puisqu'il est de leur essence de pouvoir toujours s'augmenter par une addition nouvelle. Ainsi l'infini mathématique, dans le sens le plus absolu , est la limite du possible pour les grandeurs et les nombres indéfinis, qui n'ont pour limite aucune grandeur finie, aucun nombre fini. Cette limite est donc au-delà du possible; c'est l'impossible, dont les quantités croissantes peuvent approcher indéfiniment , mais qu'elles ne peuvent pas atteindre.
Il est vrai que l'infini mathématique s'entend souvent dans un sens moins absolu. L'infini, disent ordinairement les mathématiciens , est une grandeur plus grande que toute grandeur assignable. Il y a dans cette définition un mot qui a besoin d'explication. Appelle-t-on assignables toutes les grandeurs que les mathématiciens puissent jamais avoir le besoin, l'occasion, la possibilité d'assigner? La notion de l'infini, ainsi expliquée, suffira toujours pour la pratique, mais non toujours pour la théorie. Si nous l'acceptons, il est évident que l'infini, ainsi compris comme
pins grand que toute grandeur assignable, pourra être plus petit que d'autres grandeurs, qui , sans être assignables, seront possibles. Par exemple, la distance de la terre à l'étoile la plus lointaine dont on ait déterminé la parallaxe annuelle, est une grandeur assignable approximativement en rayons de l'orbite terrestre, c'est-à-dire ces rayons étant pris pour unités de distance. Maintenant prenons pour unité nouvelle la distance même de cette étoile à la terre. Multiplions-la par l'unité suivie d'un milliard de zéros ; puis élevons ce nombre à une puissance marquée par un exposant égal à l'unité suivie d'un milliard de zéros. Le nouveau nombre représentenl-t-il encore une gîandeur assignable ? Prenons cette grandeur elle-même pour unité et traitons-la comme l'unité précédente. Si cela ne suffit pas, supposons la même opération exécutée ainsi un milliard de fois sur un milliard d'unités formées successivement d'après cette progression effrayante. Le nombre final qu'on obtiendrait ainsi est parfaitement déterminé par les opérations trèsprécises que je viens d'indiquer. Seulement il faudrait bien des vies humaines pour l'écrire à la manière ordinaire. La distance représentée par ce nombre de rayons de l'orbite terrestre dépasse-t-elle la limite de ce qu'on appelle les grandeurs assignables ? Si elle ne la dépasse pas, on peut supposer que le même ensemble d'opérations soit répété autant de milliards de fois qu'on voudra; l'on obtiendra toujours ainsi un certain nombre précis et déterminé, et l'on arrivera toujours à cette alternative : ou tous les nombres possibles sont considérés comme assignables, et alors l'infini en nombre est par définition au-delà de tous les nombres possibles ; ou bien il y a des nombres qui ne sont
plus considérés comme assignables, sans cesser pour cela d'être possibles, et alors la série des nombres possibles se continue à l'infini par-delà le dernier des nombres dits assignables. D'une manière comme de l'autre, on est nécessairement conduit à concevoir bypothétiquement un infini en nombre qui soit plus grand que tous les nombres possibles, un infini en grandeur qui soit plus grand que toutes les grandeurs possibles , et nous allons voir que la considération de cet infini idéal est réellement et utilement employée dans les mathématiques. Seulement il est évident que ce nombre infini par hypothèse est l'impossible par excès en fait de nombre. Tout ce que je viens de dire des nombres, je puis le répéter des grandeurs continues exprimées par les nombres. L'on conçoit un infini en grandeur comme plus grand que toute grandeur possible ; cet infini est l'impossible par excès en fait de grandeur. Le nombre infini, la grandeur infinie, ne sont donc plus, en ce sens, un nombre possible, une quantité possible, mais une limite idéale, qu'aucun nombre, aucune quantité ne peuvent atteindre.
De même, V infiniment petit, disent les mathématiciens, est une grandeur plus petite que toute grandeur assignable. Si dans cette définition l'on entend qu'au-delà des premières quantités qui cessent d'être assignables à cause de leur extrême petitesse , il y a pourtant d'autres quantités plus petites encore, qui sont possibles et qui même existent réellement, alors la série des quantités décroissantes se continue au-delà de ce qu'on est convenu d'appeler ainsi l' infiniment petit dans un sens relatif; mais ces. quantités décroissantes ont elles-mêmes une limite absolue , dont elles peuvent approcher indéfiniment, sans pouvoir jamais l'at-
teindre tant qu'elles restent des quantités. L' infiniment petit, dans le sens absolu , est cette limite au-delà de toute petitesse possible. Les quantités décroissantes au-dessous de l'unité sont des fractions qui ont l'unité pour numérateur et dont le dénominateur augmente toujours. L'infiniment petit dans le sens absolu , c'est l'unité pour numérateur avec l'infini dans le sens absolu pour dénominateur. C'est l'impossible en fait de petitesse : ce n'est pas une quantité; c'est le rien, où cesse toute quantité indéfiniment décroissante.
Ces notions, ainsi expliquées, me paraissent parfaitement claires et brillantes d'évidence. Ces explications, bien loin d'infirmer l'emploi qu'on fait de la considération de l'infini en mathématiques, justifient cet emploi en le faisant mieux comprendre , et elles empêchent d'en tirer en philosophie des conséquences fausses, qui ne pourraient que le compromettre. Prenons quelques exemples. En géométrie analytique, pour quelle valeur de l'abscisse l'ordonnée de l'hyperbole sera-t-elle exactement égale à l'ordonnée de l'asymptote? Ce sera pour une valeur infinie de l'abscisse, répond la théorie mathématique. Qu'est-ce à dire? Ya-t-il, au-delà de toute distance assignable , mais dans la série des distances possibles, un point où l'hyperbole rencontre l'asymptote ? Non , l'infini est pris ici dans son sens mathématique le plus absolu. Y a-t-il donc, au-delà de toute distance possible, un point où l'hyperbole et l'asymptote se rencontrent? Non , un point situé au-delà de toute distance possible est un point qui n'est et ne peut être situé nulle part; c'est un point qui n'existe pas et qui ne peut pas exister. L'ordonnée de l'hyperbole et celle de l'asymp-
tote sont deux variables dont la différence va décroissant indéfiniment; mais cette différence ne peut jamais devenir nulle. De même, l'abscisse correspondante va s'accroissant indéfiniment, sans pouvoir jamais devenir infinie dans le sens absolu du mot. Entre l'hyperbole et l'asymptote il n'y a aucune petitesse de distance qui ne soit possible ; mais, plus on s'éloigne de l'origine des coordonnées, plus la diminution de distance entre la droite et la courbe devient imperceptible pour une même augmentation de l'abscisse : ce qui est impossible entre l'hyperbole et l'asymptote, c'est une distance absolument nulle, qui ne serait plus une distance. De même, tous les accroissements imaginables de l'abscisse commune à l'hyperbole et à l'asymptote sont possibles, excepté l'accroissement infini, qui donnerait une abscisse infinie, pour laquelle l'hyperbole, en touchant l'asymptote, cesserait d'être une hyperbole. La réponse donnée par la théorie mathématique signifie donc deux vérités importantes, savoir : 1° que l'hyperbole et l'asymptote ne peuvent se rencontrer à aucune distance de l'origine des coordonnées ; 2° qu'en s'éloignant de cette origine ces deux lignes se rapprochent indéfiniment suivant une loi connue, qui donne pour ce rapprochement une progression rapidement et indéfiniment décroissante.
Prenons un autre exemple. La théorie mathématique dit que deux droites parallèles ne se rencontrent pas même à l'infini, attendu que, bien loin de décroître indéfiniment, leur distance reste toujours la même. Mais supposez entre deux parallèles une perpendiculaire commune, qui en mesure la distance ; puis, du sommet de la perpendiculaire, c'est-à-dire de son point de rencontre avec la parallèle su-
périeure, menez une ligne qui divise l'angle droit en deux parties égales, et qui, rencontrant l'autre parallèle, devienne l'hypoténuse d'un triangle rectangle isoscèle ; ensuite , du même sommet de la perpendiculaire, menez successivement d'autres hypoténuses , dont chacune divise toujours en deux parties égales l'angle restant en dehors du triangle rectangle précédent, et forme toujours, avec la perpendiculaire et avec une partie de plus en plus grande de la parallèle inférieure , un nouveau triangle rectangle de plus en plus scalène. Le petit angle restant au sommet de la perpendiculaire en dehors du dernier triangle, et le petit angle de ce triangle entre la parallèle inférieure et l'hypoténuse seront toujours deux angles égaux entre eux comme alternes internes. Ces deux angles seront infiniment petits, quand la base du triangle sera devenue infiniment grande. Or, si l'on appelle infiniment grande une ligne plus grande que toute ligne assignable, mais moins grande pourtant que d'autres lignes possibles, la base et l'hypoténuse du triangle seront aussi grandes qu'on voudra, mais elles ne seront pas infinies dans le sens absolu du mot ; les deux petits angles égaux subsisteront, bien qu'ils soient alors plus petits que tout angle assignable. On ne peut pas supposer que la base et l'hypoténuse du triangle soient chacune la plus grande de toutes les droites possibles; car, parmi toutes les droites possibles, il ne peut pas y en avoir une qui soit la plus grande de toutes, puisque toute ligne droite possible est toujours indéfiniment prolongeable ; et ici en particulier la base infinie n'est pas la plus grande de toutes les droites possibles, puisque par construction l'hypoténuse est plus grande encore. Maintenant il ne reste plus qu'une
seule hypothèse à faire. Essayons donc de supposer que la base et l'hypoténuse du triangle soient toutes deux plus grandes que toute droite possible, c'est-à-dire absolument infinies, et qu'ainsi la ligne menée du sommet de la perpendiculaire rencontre la parallèle inférieure à une distance absolument infinie du pied de cette même perpendiculaire. Alors il faudra que les deux petits angles soient absolument nuls ; car, s'ils ne l'étaient pas et quelque petits qu'on voulût les supposer, la ligne qui les forme avec les deux parallèles rencontrerait la parallèle inférieure à une distance qui, quelque grande qu'elle fût, ne serait pas absolument infinie. Ainsi, du moment que cette distance est supposée absolument infinie, les deux petits angles égaux doivent être absolument nuls. Or , de la nullité de l'un de ces deux angles, il résulte que l'hypoténuse doit coïncider exactement avec la parallèle supérieure, et de la nullité de l'autre angle il résulte que cette même hypoténuse doit coïncider exactement avec l'autre parallèle. Ainsi, pour que cette hypothèse d'une sécante infinie comprise entre deux parallèles pût être vraie, il faudrait qu'une même ligne droite pût coïncider à la fois avec deux lignes parfaitement distinctes et séparées par une distance notable et constante. Repoussons sans hésiter l'hypothèse impossible qui conduit inévitablement à cette absurdité palpable. Les deux angles alternes internes qu'une sécante forme ne peuvent jamais devenir nuls, parce que la sécante, de même que toute autre ligne droite susceptible de croître indéfiniment, ne peut jamais être réellement et actuellement infinie dans le sens absolu du mot, c'est-à-dire plus grande que toute ligne possible.
Cette conclusion peut évidemment s'appliquer à l'étendue du monde. Un diamètre du monde actuel peut être plus grand que toute ligne assignable ; mais il ne peut pas être infini dans le sens absolu du mot. Car donnez à ce diamètre une parallèle, et entre les deux parallèles tracez par la pensée une perpendiculaire ; puis répétez par la pensée les constructions que nous venons d'indiquer : le diamètre infini sera la base d'un triangle rectangle qui aura pour hypoténuse une sécante infinie entre deux parallèles, et ainsi l'on, sera conduit inévitablement à la même conséquence absurde , qui manifeste l'impossibilité de cette hypothèse. Du reste , cette réduction à l'absurde n'a rien qui doive surprendre ; car l'absurdité peut être constatée immédiatement dans l'hypothèse elle-même. Le diamètre du monde est-il seulement plus grand que toute ligne droite assignable ? Il y a donc des lignes possibles qui sont plus grandes que lui, et par conséquent il n'est pas infini dans le sens absolu du mot. Ce diamètre est-il laplus grande de toutes les droites possibles? Non; car parmi toutes les droites possibles il n'y en a pas et il ne peut pas y en avoir une qui soit la plus grande de toutes , puisqu'il est de l'essence de toute grandeur possible de pouvoir s'augmenter par addition, et de l'essence de toute ligne droite possible d'être indéfiniment prolongeable. Le diamètre du monde est-il plus grand que toute droite possible ? Alors il est idéalement et hypothétiquement infini d'une manière absolue ; mais alors aussi il est impossible par définition, puisque, par définition, il dépasse les limites du possible, et par conséquent il est absurde de supposer qu'il existe comme diamètre réel d'un monde réel.
Prenons un autre exemple plus arithmétique et moins géométrique que les deux précédents. Soit un cube pris pour unité de volume. Divisons-le par la pensée en deux parties égales ; divisons de même Tune des deux parties et ajoutons-en la moitié à l'autre partie ; ajoutons de même la moitié du reste, et ainsi de suite à l'infini. Les sommes obtenues par ces additions successives seront toujours égales à l'unité, moins le dernier reste, qui est toujours égal à la moitié du reste précédent. Les bissections continuées ainsi indéfiniment donnent une progression indéfinie dont la raison par quotient et le premier terme sont |, et l'on a la série des fractions suivantes : -H- | : \ : s : îê
La somme des termes de cette progression indéfinie approche d'autant plus de l'unité, que l'on continue la progression plus loin. Quand cette somme sera-t-elle exactement égale à l'unité? Ce sera, répond la théorie mathématique, quand „ on aura un nombre infini de termes. Mais cette hypothèse est-elle réalisable ? Non, répond la raison ; car, pour qu'elle fût réalisée, il faudrait qu'un reste, moitié de quelque chose, fût égal à zéro : ce qui implique contradiction. Il est vrai que les restes deviennent bientôt si petits , que dans toute opération pratique on peut n'en plus tenir compte; mais, au-delà du point, quel qu'il soit, où l'on s'arrête, la bissection pourrait toujours se continuer mathématiquement et les restes décroître, sans atteindre jamais la limite absolue des quantités décroissantes, c'est-à-dire que ces restes ne deviendraient jamais absolument nuls. Ainsi, 1 ° la somme des termes de la progression ne peut jamais devenir exactement égale à l'unité, parce que leur nombre ne peut jamais devenir absolument infini ; 2° cette somme
peut approcher indéfiniment de l'unité, parce que le nombre des termes peut s'accroître sans fin. Voilà ce que signifie la réponse de la théorie mathématique : l'interpréter ainsi, c'est la confirmer.
Supposons maintenant deux progressions par quotient , indéfinies et croissantes , dont le premier terme soit l'unité et dont la raison soit 2 pour la première progression et 3 pQur la seconde. La somme des termes de chacune de ces deux progressions ne sera infinie, que lorsque le nombre même de ces termes sera infini. Or, évidemment la somme d'un nombre quelconque de termes consécutifs de la première progression , en commençant par le premier terme , est plus grande que la somme d'un nombre égal de termes pris de même à partir du premier dans la seconde progression. Supposons que le nombre des termes soit infini de part et d'autre. Dans chacune des deux progressions, la somme des termes sera un seul nombre infini , et il faudra que la somme infinie des termes de la seconde progression soit un nombre infini plus grand que le nombre infini qui sera la somme infinie des termes de la première progression ; ou bien , si Ton veut supposer que les deux sommes infinies soient égales, il faudra que le nombre infini des termes de la première progression soit plus grand que le nombre infini des termes de la secondé. En outre , dans chacune des deux progressions , la somme infinie des termes sera plus grande que leur nombre infini. Ces deux progressions indéfinies impliquent donc l'existence de quatre nombres infinis , dont trois au moins sont inégaux entre eux. Cela posé, le nombre des termes de chacune des deux progressions est-il seulement plus grand
que tout nombre assignable ? Alors il en est de même de la somme des termes de chacune d'elles ; mais la limite des nombres assignables doit être reculée plus loin pour le nombre infini le plus grand que pour les deux autres , et plus loin pour le nombre infini moyen que pour le plus petit des trois. Ces trois nombres, infinis en un sens restreint, peuvent ainsi être inégaux, parce qu'ils ne sont qu'immensément grands, sans être absolument infinis. Au contraire , le nombre des termes de chacune des deux progressions est-il supposé plus grand que tout nombre possible ? Alors il en est de même de la somme des termes de chacune d'elles. Mais alors aussi nos trois nombres inégaux , absolument infinis par hypothèse , sont trois nombres impossibles; seulement il est vrai que , s'ils pouvaient exister, ils seraient inégaux entre eux. Leur inégalité hypothétique signifie pourtant quelque chose de très-réel, dont la théorie mathématique doit tenir compte : c'est qu'ils sont les limites que ne peuvent jamais atteindre trois séries de nombres qui croissent indéfiniment, suivant des lois différentes et plus rapidement les uns que les autres.
Maintenant , dans les deux sommes infinies des termes de chacune de ces deux mêmes progressions continuées à l'infini , remplaçons les nombres abstraits par des nombres concrets. Supposons , par exemple , que chacune des unités de chacun de ces deux nombres infinis inégaux soit un volume égal à celui de la sphère qui a pour rayon la distance moyenne du centre de la terre à celui du soleil , et supposons que les deux nombres infinis de ces unités représentent les volumes de deux sphères concentriques. Voilà donc deux sphères concentriques infinies , dont l'une dé-
passe l'autre. Si Ton appelle ici infini ce qui est plus grand que toute grandeur assignable , mais non plus grand que toute grandeur possible, les deux sphères sont immenses , plus grandes que tout ce que l'homme peut concevoir en fait d'étendue ; mais elles ne sont pas infinies dans le sens absolu et philosophique du mot; elles sont bien réellement inégales entre elles , et parmi les sphères possibles il y en a de plus grandes que chacune d'elles , par exemple celle dont le volume en rayons moyens de l'orbite terrestre serait exprimé par la somme des termes d'uçe progression infinie commençant à l'unité et dont la raison par quotient, au lieu d'être 2 ou 3, serait 4, ou 5, ou 6, ou 7, etc. Un monde qui serait infini à la manière de l'une quelconque de ces sphères ne serait donc pas vraiment infini; il ne serait pas le plus grand de tous les mondes possibles : l'étendue de ce monde serait plus grande que toutes les étendues que nous pouvons assigner ou concevoir ; mais elle serait plus petite qu'une infinité d'autres étendues possibles. Au contraire , appelle-t-on ici infini ce qui est plus grand que toute grandeur possible? Alors ces sphères dont nous parlons sont des grandeurs impossibles d'après cette définition même , et par conséquent aucune d'elles ne peut représenter l'étendue du monde qui existe réellement , et qui , par conséquent , s'il est sphérique , a réellement quelque part son centre et quelque part aussi sa surface , bien ' qu'il bous soit impossible de déterminer ce centre et d'imaginer l'étendue et, les limites de cette immensité écrasante pour la pensée humaine. Les volumes impossibles et idéalement inégaux de ces sphères supposées absolument infinies ont cela de commun, que chacun d'eux est la limite
vers laquelle peut tendre indéfiniment la somme d'une série de termes croissants suivant une loi donnée; ils diffèrent en ce que ces séries croissent plus rapidement Tune que l'autre.
Dans ces mêmes progressions, remplaçons l'unité de volume par une unité de durée : supposons , par exemple, que, dans nos deux progressions, l'unité soit une période de mille ans : si , dans les deux progressions , le nombre, dit infini, des termes est seulement plus grand que tout nombre assignable, la somme des termes de la première progression donnera un nombre de milliers d'années plus grand encore que le nombre infini de ces mêmes termes , et la somme des termes de la seconde progression donnera un plus grand nombre de milliers d'années , mais aucun de ces trois nombres inégaux ne sera infini dans le sens propre du mot, et, parmi les nombres possibles, il y en aura déplus grands encore. Si Ton veut supposer que l'un de ces deux nombres de milliers d'années exprime la durée passée de l'univers, cette durée aura eu un commencement, qui, quelque reculé qu'on veuille ainsi le supposer au-delà de toute antiquité imaginable , pourrait cependant l'être encore davantage. Si, au contraire, dans les deux progressions, le nombre des termes est supposé absolument infini, c'est-àdire plus grand que tout nombre possible , la somme des termes dans chacune de ces deux progressions sera aussi , par hypothèse , un nombre excédant là limite du possible. Ce nombre imaginaire de milliers d'années sera ce qu'un nombre réel ne peut pas être; ce nombre impossible sera l'expression d'une durée qui ne peut pas et ne pourra jamais être accomplie. Il n'est donc pas permis de sup-
poser que ce nombre soit l'expression d'une durée sans commencement réalisée dès maintenant dans le passé* La durée absolument infinie -qu'il exprime ne sera non plus jamais réalisée dans l'avenir sans fin. C'est dans l'avenir que ce nombre infini de milliers d'années trouve son application, mais c'est à titre de limite qui ne pourra jamais être atteinte, et vers laquelle, par conséquent, la durée du monde pourra tendre toujours , de même que l'hyperbole peut tendre toujours vers sa rencontre idéale et impossible avec l'asymptote , ou de même que la somme des termes de la progression indéfiniment décroissante par quotient dont le premier terme et la raison sont \ peut tendre toujours , par l'accroissement indéfini du nombre des termes , vers l'égalité idéale et impossible de cette somme avec l'unité.
L'infiniment petit donne lieu à des distinctions analogues à celles qui concernent l'infiniment grand. Revenons à la progression géométrique décroissante dont le premier terme et la raison sont j. Entre l'unité et la somme des termes de cette progression continuée à l'infini , la différence est infiniment petite. Supposons toujours que l'unité , prise pour point de départ de la bissection continue , soit un cube. Ensuite supposons un autre cube égal au précédent et pris de
même pour unité; prenons-en les -3, puis les •§ du reste, puis les | du nouveau reste, et ainsi de suite à l'infini. Nous aurons une progression indéfinie, dontle premierterme sera | et dont la raison par quotient sera -| . Supposons cette progression continuée à l'infini. Entre l'unité et la
f% A tt Q
somme des termes en nombre infini, -5, •§, % v % v etc., la différence sera infiniment petite , de même et plus encore
que pour la première progression. Ces deux différences sont donc deux infiniment petits dont l'un est plus petit que l'autre, et voilà ce qu'il s'agit d'expliquer. Dans chacune des deux sommes , le nombre des termes additionnés est-il seulement plus grand que tout nombre assignable f Alors la différence entre l'unité et chacune des deux sommes est seulement plus petite que toute fraction assignable ; mais, parmi les fractions possibles , il y en a de plus petites que chacune de ces deux différences , et l'une de ces différences est bien réellement plus petite que l'autre, si de part et d'autre le nombre des termes additionnés est le même. Du reste, dans la pratique , chacune de ces deux différences est tout à fait négligeable : aucune des deux sommes n'est exactement égale à l'unité ; mais toutes deux sont pour nous comme si elles étaient l'unité même. Au contraire , le nombre des termes de chacune des deux progressions est- il supposé plus grand que tout nombre possible ? Alors la différence entre l'unité et chacune des deux sommes est plus petite que toute grandeur possible, c'est-à-dire qu'elle est absolument nulle par hypothèse. Mais, un nombre de termes plus grand que tout nombre possible étant un nombre impossible, la même impossibilité s'applique à la valeur nulle de la différence dont nous parlons : c'est une limite de laquelle les différences réelles peuvent approcher indéfiniment, mais qu'il leur est impossible d'atteindre. Rappelons-nous que nous avons considéré les deux progressions comme données par la division d'un cube dont on prend la moitié ou les deux tiers, puis la moitié ou les deux tiers du reste, et ainsi de suite à l'infini. La somme des parties ainsi prises est égale à l'unité» moins le reste : pour qu'elle soit
exactement égale à l'unité, il faut qu'il y ait un reste absolument nul; il faut donc que la moitié ou les deux tiers de quelque chose ne soient rien : ce qui est évidemment impossible. Mais , après un nombre d'opérations égal de part et d'autre et plus grand que tout nombre assignable, on a deux restes , qui , bien que réels , sont tout à fait négligeables , et ces restes , dont le plus grand est déjà négligeable , sont trèfr-inégaux entre eux, puisque, si le nombre des opérations est n, l'un des restes est à l'autre dans le rapport de (4) n à (|) n , c'est-à-dire que le plus petit est les (|) " du plus grand. Si n est plus grand que tout nombre assignable , le plus petit des deux restes est une fraction extrêmement petite du plus grand, qui était déjà lui-même extrêmement petit. Cette remarque nous conduit à nous occuper des infiniment petits de différents ordres.
Nous venons de voir comment s'explique en mathématiques l'inégalité des infiniment petits ,, abstraction faite de la grandeur de cette inégalité. Pour montrer que notre manière de considérer l'infini confirme la théorie mathématique bien loin de l'infirmer , il nous reste à expliquer ce que sont les uns par rapport aux autres les infiniment petits de différents ordres. On sait que toute fraction dont le numérateur diffère de l'unité, équivaut à une fraction qui a pour numérateur l'unité et pour dénominateur la fraction primitive renversée. Ainsi l'on peut dire que, dans chacune des progressions décroissantes que nous, venons de considérer , les restes successifs de la division perpétuelle qui les produit sont des fractions dont les numérateurs sont égaux à l'unité, et dont les dénominateurs deviennent de plus en plus grands, suivant une progression par quo-
tient qui a pour raison le dénominateur de la raison de la progression principale. Quand la progression principale est continuée à l'infini , le dénominateur du reste devient infini par hypothèse , et alors le reste est infiniment petit. En général, l'infiniment petit est une fraction dont le numérateur est l'unité , et dont le dénominateur est infini. Hais Ton conçoit que dans certaines valeurs algébriques un dénominateur monôme peut être formé de plusieurs facteurs, qui peuvent devenir tous infinis par hypothèse, et que ce dénominateur devient ainsi telle ou telle puissance de l'infini. Ces infinis pris ainsi un certain nombre de fois comme facteurs et constituant le dénominateur d'une fraction dont le numérateur est l'unité, font de cette fraction un infiniment petit de l'ordre marqué par l'exposant de l'infini. Comme valeurs données pour des inconnues par la solution d'un problème, ces infiniment petits, étant tous des quantités sinon nulles, du moins négligeables, seraient équivalents entre eux dans la pratique. Mais ces infiniment petits sont théoriquement très-inégaux , puisque la valeur d'une fraction diminue considérablement , quand on élève le dénominateur à la seconde puissance ou bien à une puissance plus haute. Les infiniment petits d'un ordre supérieur, étant des parties infiniment petites d'un infiniment petit d'un ordre inférieur, sont négligeables par rapport à ce dernier et non pas seulement par rapport aux quantités notables. Mais un infiniment petit d'un certain ordre n'est pas négligeable par rapport aux infiniment petits d'un ordre supérieur ou égal. Le calcul infinitésimal, qui se sert de ces infiniment petits de différents ordres , ne les obtient point pour eux-mêmes ni comme solutions définitives des
problèmes qu'il traite ; mais, au contraire, il ne les obtient que pour les employer comme moyens de solution , afin d'arriver par eux à déterminer les valeurs de certaines quantités finies. Pour cet usage qu'on en fait dans le calcul infinitésimal , ces infiniment petits de différents ordres sont réellement et pratiquement très-différents entre eux , soit qu'on les considère comme des limites que ne peuvent atteindre , mais dont peuvent approcher indéfiniment des nombres qui décroissent suivant des lois données, soit qu'on voie en eux des différences plus petites que toute grandeur assignable, différences inégales entre elles, et auxquelles correspondent des différences appréciables , que l'on cherche, entre des quantités, finies.
La conclusion évidente de tout ce que nous venons de dire, c'est qu'il n'existe réellement aucun nombre infiniment grand ou infiniment petit dans le sens propre du mot, c'est-à-dire plus grand ou plus petit que tout autre nombre possible , ni aucune quantité infiniment grande ou infiniment petite , c'est-à-dire plus grande ou plus petite que toute autre quantité possible. Le nombre ou la quantité plus grands que tout autre nombre ou toute autre quantité possibles, ne pourraient pas être compris eux-mêmes parmi les nombres ou les quantités possibles, puisque ces nombres et ces quantités sont essentiellement susceptibles de plus aussi bien que de moins. Le nombre ou la quantité absolument infinis sont donc le nombre ou la quantité absolument impossibles, limites idéales, qui ne peuvent être atleintes par rien de réel. Ainsi, quelque grande que soit actuellement l'étendue du monde , elle pourrait être plus grande encore : elle n'est pas infinie; elle a des limites , qui
pourraient être plus loin dans toutes les directions. Quelque grande que soit en cet instant la durée passée du monde, elle pourrait être plus grande encore en cet instant même : elle n'est pas infinie, elle a eu un commencement; la somme totale de cette durée ne deviendra jamais infinie 4 . elle sera toujours comprise entre ce commencement , limite immuable, et le présent, qui passe , limite mobile , qui va s'éloignant toujours du commencement et tendant vers Tinfini sans pouvoir l'atteindre jamais.
Cependant ici je suis arrêté par une objection nouvelle , à laquelle il faut répondre. On me dit : « L'infinimeni grand et l'infiniment petit peuvent être réalisés; car ils existent sous nos yeux dans une étendue quelconque , dans une durée quelconque, puisque cette étendue et cette durée, divisibles à l'infini, contiennent réellement un nombre infiniment grand de parties infiniment petites. » Je réponds qu'il faut distinguer d'une part la division idéale , qui est possible indéfiniment, mais non effectuée actuellement à l'infini, d'autre part la division réelle et effective, qui, toujours limitée, peut bien présenter des parties extrêmement? petites, plus petites même, si l'on veut, que toute grandeur assignable, mais non des parties d'une petitesse absolument infinie, c'est-à-dire d'une grandeur nulle : d'où je conclus que ces parties sont en nombre extrêmement grand, plus grand même, si l'on veut, que tout nombre assignable, mais que leur nombre n'est pas absolument infini, c'est-à-dire plus grand que tous les nombres possibles. Dans toute durée, il y a des divisions naturelles , , marquées par certains changements; mais elles n'y sont pas en nombre infini. Dans chacune de ces divisions, une divn
sion ultérieure est possible indéfiniment, mais elle n'est pas actuellement accomplie : ce qui préexiste et survit à toute division , quelque loin qu'on la pousse , c'est la continuité de la durée. De même, dans tout corps il y a des molécules séparées par des distances réelles, et ces parties très-petites sont en nombre très-grand. Chaque molécule est-elle composée d'atomes , dont chacun soit un tout continu? S'il en est ainsi, la molécule ne contient pas un nombre infini d'atomes , puisque chacun d'eux a une certaine étendue , et chaque atome ne contient pas un nombre infini de parties , mais un nombre indéfini , puisque la division de l'atome n'est pas effectuée, mais indéfiniment possible au moins pour la pensée , en supposant qu'elle soit physiquement impossible? Ou bien chaque molécule se compose-t-elle d'atomes dont chacun ait pour substance une force simple, résidant en un point mathématique et exerçant dans une certaine sphère autour de ce point une résistance absolue, qui constituerait l'impénétrabilité? Je dis que le nombre des points et des forces contenus dans toute molécule et dans tout corps d'une certaine étendue , pourrait être plus grand que tout nombre assignable, mais que ce nombre ne pourrait pas être absolument infini ; car, en supposant même qu'un nombre pût l'être , pour que celui-ci le fût, il faudrait évidemment que les distances entre tous les points d'application des forces, pris deux à deux, fussent plus petites que toute distance possible, c'est-à-dire qu'elles fussent nulles , et alors tous les points se réduiraient à un seul : le corps , avec son étendue, aurait cessé d'exister.
Je pourrais me borner à cette réponse; mais il vaut mieux approfondir mathématiquement la question , de ma-
aière à exclure même l'ombre d'un doute. L'objection suppose que l'existence de l'inûniment petit est inséparable de celle de ('infiniment grand : en cela elle a parfaitement raison. Mais nous allons démontrer mathématiquement que ni Tinfiniment petit absolu , ni l'infiniment grand absolu » ne peuvent avoir une existence réelle dans les grandeurs continues et indéfiniment divisibles. D'où il résultera encore que ni l'étendue actuelle du monde , ni sa durée passée ne peuvent être absolument infinies , et que par conséquent Tune ne peut pas être sans limites quelconques , ni l'autre sans commencement.
Supposez que dans une valeur algébrique de la forme jEj f les quantités a, b, c, d, soient des variables telles que les différences a — b et 0— d puissent recevoir des valeurs décroissantes jusqu'à zéro inclusivement. Représentons par m la différence a — b, et par n la différence c — d. La valeur proposée devient \. Or, on peut supposer que a et b soient égaux et c plus grand que d : alors m devient zéro , et la valeur se réduit évidemment à zéro. Hais auparavant m a pu passer par une multitude de valeurs décroissantes, qui ont été des fractions déplus en plus petites de l'unité, ^-, ^05, etc. La petite fraction m et avec elle la valeur Sj sont devenues infiniment petites dans le sens absolu de cette expression, c'est-à-dire, absolument nulles, quand le dénominateur des fractions décroissantes qui représentent la valeur de m est devenu absolument infini par hypothèse. Ainsi , 00 étant le signe algébrique de l'infini , il est clair que, si cet infini est pris dans un sens absolu, nous aurons 1 » 0. Si, dans les fractions qui représentent la valeur de m, le dénominateur est seulement plus grand que
toute grandeur assignable , la fraction m, et avec elle la fraction ^, sans être absolument nulles, sont plus petites que toute grandeur assignable. Il est donc évident que l'infiniment grand et l'infiniment petit mathématiques se correspondent par un rapport nécessaire , et que l'un ne peut pas exister sans l'autre ni à des conditions différentes. Quand l'un est plus grand que toute grandeur possible , l'autre est plus petit que toute grandeur possible : l'impossibilité de l'un est liée à celle de l'autre.
Maintenant supposez que c et d soient égaux et a plus grand que b, de sorte que la différence n se réduise à zéro , la différence m restant une quantité finie. La valeur devient •[J, c'est-à-dire égale à l'infini ; car il est évident que plus le dénominateur n diminue, plus le quotient de m par n augmente, et qu'il en est ainsi indéfiniment, de sorte que, si n devient zéro, la fraction 2 devient infinie. Cette conclusion paraîtra plus évidente encore, si l'on considère qu'avant de devenir zéro , la quantité variable n a pu devenir successivement des fractions de plus en plus petites de l'unité, ^, ^, etc., et que la valeur* a toujours été égale à m divisé par chacune de ces fractions , c'est-à-dire multiplié par leur dénominateur. Ainsi, n étant devenu infiniment petit , c'est-à-dire I , alors 2j est devenu m x <x> , c'est-à-dire infini. Si n est devenu infiniment petit dans le sens absolu du mot, c'est-à-dire nul , la valeur ^, qui est maintenant ^ , est devenue absolument infinie par hypothèse , c'est-à-dire plus grande que toute valeur possible. En d'autres termes, \ n'est plus une quantité possible, quand n est devenu zéro; car, entre m, qui est quelque chose, et n, qui par hypothèse n'est plus rien, il ne
peut plus y avoir aucun rapport. Si, au contraire, n est devenu seulement plus petit que toute fraction assignable, alors la valeur \ est devenue plus grande que tout nombre assignable, mais cette valeur n'est pas absolument infinie. Nous voyons donc en quel sens Tinfiniment grand en nombre nous est donné comme quotient de la division d'une quantité réelle et finie par une quantité infiniment petite. Déjà nous avions vu en quel sens Tinfiniment petit nous est donné comme quotient de la division d'une quantité réelle et finie par une quantité infiniment grande. La corrélation nécessaire de Tinfiniment grand et de Tinfiniment petit en nombre nous est donc une seconde fois démontrée. En même temps, il nous est démontré que Tinfiniment grand et Tinfiniment petit relatifs sont des quantités réelles et finies , mais trop grandes ou trop petites pour pouvoir être appréciées, et que Tinfiniment grand et Tinfiniment petit absolus ne sont plus des quantités possibles , mais des limites que rien de réel ne peut atteindre.
Enfin , supposons à la fois Tégalité de a et de b et celle de c et de d. La valeur £, qui peut se mettre sous la forme m x 4 » se réduit alors à ^ , ou bien , ce qui revient au même , àOx|; c'est-à-dire que xœtte valeur devient le produit de Tinfiniment petit par Tinfiniment grand, 1 x oo . Ainsi la valeur ^ est alors tout à fait indéterminée; car tout nombre et toute quantité continue peuvent être considérés comme composés d'un nombre infini de parties infiniment petites, et c'est tout ce que signifie l'expression 1 X oo . Mais comment arrive-t-on à cette valeur indéterminée? C'est en mesurant la quantité ~ avec des unités de plus en plus petites , qui s'y trouvent contenues des nombres de fois de
plus en plus grands. Quand l'unité de mesure est plus petite que toute grandeur assignable , quand elle est plus petite que toute fraction assignable des unités usuelles * elle est contenue dans la quantité proposée un nombre de fois plus grand que tout nombre assignable. Si l'unité supposée pouvait être plus petite que toute quantité possible, c'est-à-dire si elle pouvait être absolument nulle, elle serait contenue dans la quantité finie un nombre de fois , plus grand que tout nombre possible , c'est-à-dire un nombre de fois qui n'est pas et qui ne peut pas être. Mais alors aussi la division elle-même est une division qui n'est pas et qui ne peut pas être ; car évidemment une division en parties absolument nulles n'est pas une division possible.
Ainsi , après comme avant l'objection que je viens de réfuter , et mieux encore après les éclaircissements dont elle m'a fourni l'occasion , je suis en droit de répéter ce que le raisonnement philosophique nous avait enseigné , ce que l'arithmétique , la géométrie et l'algèbre confirment : l'infiniment grand et l'infiniment petit proprement dits sont deux limites que nulle quantité réelle , nulle étendue, nulle durée ne peuvent atteindre. Si quelque chose pouvait être en nombre infini , ce seraient les points indivisibles dans l'étendue et les instants indivisibles dans la durée. Mais ces points et ces instants ne se distinguent que par les intervalles réels et finis qui les séparent. Pour que les points fussent en nombre infini dans une étendue finie , pour que les instants fussent en nombre infini dans une durée finie , il faudrait qu'il n'y eût entre eux aucune distance , et alors tous les points , tous les ins-
tants , ne seraient qu'un seul point, qu'un seul instant : il n'y aurait plus. ni étendue, ni durée. Le nombre absolument infini , ce nombre plus grand par hypothèse que tout autre nombre possible , ce nombre qui, par conséquent, ne pourrait pas s'accroître en se doublant ou bien en s'additionnant avec tels autres nombres qu'on voudrait ; ce nombre dont la moitié ne saurait être ni finie , puisqu'alors le tout devrait l'être de même, ni infinie , puisque alors la moitié serait égale au tout ; ce nombre hypothétique , auquel on est ainsi obligé de refuser les propriétés essentielles à tout nombre, n'est évidemment pas un nombre possible , et par conséquent ne peut pas être actuellement réalisé : il est ce dont la série indéfinie des nombres croissants peut approcher indéfiniment, sans y arriver jamais. Cependant , s'il existait actuellement un monde infini , ce monde contiendrait un nombre infini d'unités réelles de volume; si ce monde n'avait jamais eu de commencement et par conséquent avait existé pendant une éternité actuellement écoulée , son passé contiendrait un nombre infini d'unités réelles de durée. Mais la raison nous a montré l'impossibilité de ces infinis divisibles et, comme tels , essentiellement susceptibles de s'accroître par addition et par multiplication ; car ces infinis prétendus sont finis , s'ils sont compris parmi les quantités possibles , dont aucune ne peut être la plus grande de toutes, puisque toutes sont essentiellement susceptibles d'accroissement ; ou bien, s'ils ne sont pas compris parmi les quantités possibles , il faut donc reconnaître qu'ils sont impossibles. Les considérations mathématiques viennent de confirmer pour nous ces conclusions ; les mathématiques mal comprises , qu'oit
nous opposait , se sont expliquées , et elles se sont déclarées pour nous. Toutes les sciences s'accordent entre elles , à la condition de n'enseigner que ce qu'elles savent et de se comprendre elles-mêmes ; toutes gagnent à éclaircir leurs obscurités, qui seules peuvent les mettre en contradiction apparente les unes avec les autres dans leurs propositions légitimement démontrées : les antinomies prétendues ne sont que des erreurs à corriger ,.ou bien des malentendus à faire disparaître.
Nous croyons avoir prouvé que l'univers ne peut pas être infini en étendue actuelle ni en durée passée. Mais, quand bien même notre argumentation , toute rigoureuse qu'elle nous semble , ne le paraîtrait pas autant à quelques esprits prévenus , il nous semble qu'après l'avoir méditée , ces esprits eux-mêmes devraient du moins être forcés de convenir que l'infinité du monde et son éternité dans le passé sont très-loin d'être des .vérités certaines à priori. Or, cet aveu de leur part sera déjà la ratification du jugement que nous avons porté contre les preuves prétendues de ces hypothèses dans la première Partie de cette discussion.
Nous prions de remarquer aussi que, dans cette seconde Partie , nous n'avons point imité la fausse méthode qui r partant de l'absolu , où elle trouve la possibilité des êtres finis et de leurs lois contingentes , prétend en déduire, par voie de conclusion nécessaire , l'existence réelle de ces êtres et de ces lois telles qu'on les observe ou qu'on les imagine ; méthode qui , concluant ainsi du possible au réel, essaie de construire à priori ce qui ne peut être connu que par l'observation et par l'induction. Nous ne sommes point tombé dans la même faute ; car nous avons
seulement emprunté aux sciences à priori certaines notions sur les principes nécessaires qui limitent la possibilité des choses, et nous avons été parfaitement en droit de conclure que ce qui est impossible n'est pas. C'est ainsi que nous avons pu nier légitimement que l'infini soit actuellement réalisé dans ce qui est fini par essence. En un mot , nous avons rejeté sans hésitation l'impossible et l'absurde, et nous avons admis sans hésitation l'incompréhensible démontré par le raisonnement ou constaté par l'expérience. Nous procéderons de même pour la solution de la dernière question qui nous reste à traiter. Nous croyons avoir prouvé que ni le passé de l'univers , ni son étendue présente , ni le nombre des êtres qu'il contient , ne peuvent être absolument infinis , mais que seulement ces grandeurs peuvent être incomparablement supérieures à toute grandeur que nous puissions assigner. Il nous reste à prouver que le monde actuel n'est pas et ne peut pas être le meilleur des mondes possibles.
Après les considérations que nous venons de présenter , il me semble qu'une première preuve bien simple et bien évidente établit l'impossibilité d'un monde meilleur que tout autre monde possible. En effet , les degrés de perfection des mondes possibles doivent former une série de valeurs indéfiniment croissantes au-dessous de l'infini absolu, qui est l'impossible en fait de perfection pour un ensemble d'êtres créés , et qui est par conséquent une limite qu'aucun monde ne peut atteindre. Cette série essentiellement indéfinie, dont chaque terme est essentiellement susceptible de plus et de moins , ne peut pas contenir un dernier terme qui soit supérieur à tous les autres et qui soit le monde
actuel ; car, dire que ce monde est la limite absolue de la perfection des mondes ^possibles , c'est dire qu'il est luimême en dehors de la série indéfinie de ces mondes tous susceptibles de plus et de moins ; c'est dire qu'il est ce qu'un monde réel ne peut pas être. D'un autre côté , dire qu'il n'est pas la limite absolue de la perfection des mondes possibles , c'est avouer qu'au-delà de ce inonde il y a la possibilité d'une perfection plus grande, et cet aveu est la négation de l'optimisme absolu , que nous combattons.
D'autres preuves viennent confirmer et développer celleci. Nous avons prouvé que le monde ne peut pas être absolument infini en étendue , et qu'il ne contient pas actuellement un nombre absolument infini d'êtres de quelque nature que ce soit. Le monde pourrait donc être plus étendu qu'il ne l'est , et contenir un plus grand nombre d'êtres ; par exemple , il pourrait contenir d'autres astres habités par des êtres intelligents , à d'immenses distances de tous les astres qui existent , et cela sans aucun préjudice pour ces derniers et pour l'harmonie de l'ensemble. L'existence de ces astres et de leurs habitants ajouterait donc quelque chose à la perfection du monde. Nous avons déjà remarqué que certainement sur la terre, par exemple dans les diverses variétés de l'espèce humaine, beaucoup de choses pourraient être beaucoup mieux qu'elles ne sont, et cela sans que le libre arbitre fût compromis, et sans aucun inconvénient pour le reste de l'univers. Le monde n'est donc pas actuellement le meilleur des mondes actuellement possibles.
Il est vrai qu'on peut invoquer la doctrine du progrès, et dire que le monde actuel , considéré dans l'ensemble de son état présent, de son passé et de son avenir réunis, est
le meilleur de tous les mondes qui puissent tendre vers la perfection. Mais nous venons de voir que le passé du monde ne peut pas être actuellement infini. Nous avions démontré, d'ailleurs, que si le passé du monde pouvait être infini, il faudrait, ou qu'il n'y eût pas du tout de progrès , ou que ce progrès , comparable à la distance croissante entre l'asymptote et l'hyperbole à partir de leur contact imaginaire à l'infini, n'eût commencé à devenir notable que depuis une époque qui ne serait pas infiniment éloignée de l'époque actuelle. Mais il est trop évident , comme nous l'avons fait voir, que ce progrès si tardif est inconciliable avec l'optimisme absolu (1). Nous allons voir que cet optimisme est tout aussi inconciliable avec la seule hypothèse qui reste admissible, c'est-à-dire avec celle d'un commencement du monde et du progrès. En effet , prenons certains intervalles de temps suffisamment grands pour que chacun présente un progrès notable , et considérons , suivant ces intervalles , la série des états successifs de ce monde en progrès depuis son origine jusqu'à ce jour et ensuite à travers sa durée indéfinie dans l'avenir. Ce monde, dans l'ensemble de sa durée , serait évidemment plus parfait, si le second état avait été l'état initial ; ce monde serait plus parfait encore, s'il avait commencé par le troisième état, ou mieux encore par le quatrième, et ainsi de suite indéfiniment. En d'autres termes , le meilleur des mondes possibles aurait dû commencer tout de suite par le meilleur des états possibles. Mais cela n'est pas; car, d'abord, il est évident qu'alors tout progrès serait impossible pour l'en-
(1) Voyez la première Partie, p. 17-24.
semble de l'univers , et les partisans de l'optimisme absolu avouent que dans leur système la supposition du progrès est indispensable; ensuite, il n'est pas moins évident que Tétât actuel du monde n'est pas le meilleur possible , et c'est précisément pour cela qu'on est forcé d'avoir recours au progrès, quand on essaie de justifier l'optimisme absolu. Ainsi cette justification est évidemment illusoire. D'ailleurs , parmi ces états que parcourrait successivement immonde qui se perfectionnerait à l'infini, il n'y aurait aucun état qui pût être le meilleur de tous; car, par hypothèse, celui-là serait le dernier : or, dans une durée qui se continue à l'infini , il n'y a aucune époque qui puisse être la dernière. Ainsi , quelque parfait qu'on puisse supposer l'état initial d'un monde, on pourrait toujours supposer un autre état initial plus parfait encore , qui pourrait être suivi d'un progrès tout aussi rapide et de même sans terme. Donc, parmi tous les mondes possibles avec progrès ou sans progrès , il ne peut pas y en avoir un qui soit plus parfait que tous les autres pris chacun à part. Par conséquent , en voulant imposer à Dieu la nécessité morale de créer le plus parfait des mondes possibles et non aucun autre, on lui imposerait l'impossibilité métaphysique de créer quoi que ce fût
Cette conséquence d'un faux système était facile à prévoir. En effet, comme nous l'avons vu, dans le possible indéfini il ne petit pas y avoir une limite qui s'y trouve incluse : cette limite idéale est au-delà du possible indéfini, et bien que le réel en progrès puisse se rapprocher sans cesse de cette limite, il ne peut jamais l'atteindre. La fausseté du système se trahit encore par d'autres conséquences.
Si un monde créé pouvait jamais épuiser le possible en fait' de perfection, ce monde épuiserait aussi la toute-puissance divine, qui, moralement obligée au mieux possible, ne pourrait rien faire autrement qu'elle ne fait. Cette toute-puissance passerait ainsi nécessairement tout entière dans son œuvre nécessaire : l'œuvre et l'ouvrier se confondraient ensemble sous l'empire d'une même nécessité ; l'ouvrier serait la substance infiniment active , se manifestant suivant les lois nécessaires de sa nature parfaite ; l'œuvre serait la manifestation adéquate et le phénomène nécessaire de cette substance divine : avec la personnalité libre de Dieu disparaîtrait toute liberté, non-seulement dans la nature naturante, mais aussi dans la nature naturée et par conséquent dans l'homme. Qui battrait des mains à de telles conclusions ? Ce serait le panthéisme. Mais non. La seule perfection plus grande que toutes les perfections possibles des mondes possibles, la seule perfection à laquelle on ne puisse rien ajouter par la pensée , c'est la perfection infinie; mais elle est essentiellement impossible dans les créatures. Obliger Dieu à réaliser dans le monde une perfection supérieure à toute autre perfection possible, ce serait le condamner à créer nécessairement ce qui ne peut pas être créé, et à ne pas pouvoir créer autre chose. Je le répète : en voulant rendre la création infinie et moralement nécessaire , on rendrait toute création métaphysiquement impossible.
L'optimisme vrai n'est pas l'optimisme absolu d'Abélard (1), de Malebranche (2) et de Leibniz (3), mais bien
(1) Theologia christiana, V, p. 1353. — (2) Traité de la nature et de la grâce. — (3) Théodicée , part. III , § 416.
l'optimisme plus sage de Platon (1), modifié et complété par saint Augustin (2), développé par saint Thomas (3) et par Fénelon (4), et reproduit par Euler (5). v Puisque l'Être infini se suffit à lui-même, nulle nécessité, même morale, ne l'oblige à créer ; mais, du moment qu'il prée, l'ensemble de son œuvre ne peut être que très-bon dans sa fin, et très-parfait dans les moyens combinés pour l'atteindre. Puisque présentement cette œuvre est soumise à la loi du changement, on doit penser que l'accomplissemertf de cette loi amène un progrès conforme au dessein très-sage du Créateur. Les êtres dépourvus de liberté obéissent nécessairement à leurs lois. Dans chacun des êtres libres, pendant l'état d'épreuve, le progrès est obligatoire : c'est une loi morale, à laquelle l'agent peut se soustraire , mais non sans des conséquences terribles pour lui-même. Dans chacune des sociétés humaines, le progrès est libre et il n'est pas infaillible. S'il y a un progrès moral infaillible dans l'ensemble de l'humanité malgré toutes les fautes individuelles, c'est que la Providence éternelle prépare et produit ce progrès, en faisant sortir le bien du mal même. Y aura-t-il toujours dans l'univers des êtres libres soumis a
(1) Timée, p. 28D-29 A, p. 29E-31 B, p. 37D-38 C.
(2) De civitate Dei, XI, 5, 6, 21, 22; XII, 11, 12, 14, 17 ; XXII, 2; et Contra Epistolam Manichœi quant vocant Fundamenti, c. 33 et suiv , n" 36 et suiv., t. VIII, col. 174 et suiv. (Bened.).
(3) Summ. theol, I, q. xxv, art. 5 et 6. Comparez ibidem, q. xxii, art. 2; q. xlviii, art. 2, et Summa contra gentes, II, 26-29.
(4) Réfutation du système du P. Malebranche sur la nature et
la grâce.
(5) Lettres h une princesse d'Allemagne, II , 21. Comparez II ,
20 et 22.
la condition de l'épreuve et à l'obligation du progrès, tandis que d'autres auront atteint leur destinée bienheureuse ? Sur cette question, la philosophie ne doit rien affirmer, parce qu'elle .ne peut rien démontrer.
Bien n'est infini que Dieu : pouvant créer ou ne pas créer, à plus forte raison il a pu ne créer qu'une partie des êtres simultanément possibles ; il a pu ne donner au monde qu'une certaine étendue, immense, mais non infinie; il a pu ne donner à chacun des êtres et à leur ensemble qu'un certain degré de perfection initiale. Il y a des êtres raisonnables auxquels le Créateur a imprimé le caractère évident d'une destinée sans fin ; il y aura donc toujours des créatures raisonnables , avec tout ce qui est nécessaire à l'accomplissement de leur destinée immortelle. Il est possible que Dieu fasse tendre, sinon tous les êtres, du moins quelques-uns d'entre eux et l'ensemble de la création, vers une perfection plus haute. Si l'on suppose que ce perfectionnement se continue sans fin, la création tendra toujours vers l'infini, sans l'atteindre jamais.
II y a, en un certain sens, quelque chose que Dieu ne peut pas, mais ce que Dieu ne peut pas n'est rien ; car ce serait l'impossible et l'absurde. C'est ainsi que Dieu ne peut pas créer un monde sans commencement, un monde absolument infini en étendue, un monde contenant un nom-, bre absolument infini d'êtres, un monde plus parfait que tous les mondes possibles ; car tout cela, comme nous l'avons vu, implique contradiction.
La volonté éternelle et immuable de l'Être omniscient, tout-puissant, infiniment bon, est la cause du commencement et de la continuation de l'existence du monde physi-
que avec ses lois nécessairement observées ; elle est la cause de l'existence des êtres libres, soumis aussi à ces mêmes lois ; elle est la cause de l'existence du monde moral , auquel les êtres libres appartiennent, et qui a ses lois spéciales, librement observées ou librement enfreintes. Mais la li-, berté ne peut se mouvoir que dans les limites tracées par la volonté suprême, et sans que les écarts individuels, éternellement prévus, puissent déranger l'ordre général. La même volonté éternelle, infiniment bonne et sage, se manifestant comme Providence spéciale, produit les faits particuliers du monde physique par le concours éternellement préparé des causes créées agissant suivant leurs lois , et ce concours a été ménagé avec la prévision éternelle de la conduite des agents libres. Cette même volonté divine, toujours présente en toutes choses, intervient dans les faits du monde moral, pour éclairer , pour soutenir, pour exaucer, pour récompenser , pour punir et pour pardonner. La philosophie spiritualiste , si elle veut être conséquente, est bien obligée de reconnaître en Dieu ce pouvoir sur le temps de l'épreuve, puisqu'elle est obligée d'invoquer ce même pouvoir, avec une application plus complète, pour le temps de la rétribution.
Cette même intervention de Dieu peut-elle aller quelquefois jusqu'à communiquer soudainement à un homme vivant sur la terre une force ou des connaissances supérieures à sa condition présente? Cette même intervention peut-eile quelquefois et par exception s'étendre directement aux pW* nomènes du monde physique, soit sans l'intermédiaire des causes secondes, soit en prêtant pour un instant à «es causes une énergie extraordinaire? La philosophie n^st
pas obligée de répondre à ces deux questions ; mais elle n'a pas le droit d'y répondre négativement ; car elle ne peut pas démontrer que des faits de cette nature ne puissent pas être déterminés , à une époque donnée, par la volonté éternelle, d'après des vues immuables et infiniment sages. Ne pouvant pas prouver que l'homme n'ait pas une destinée surnaturelle, c'est-à-dire plus sublime que ne le demanderaient strictement ses facultés présentes , la philosophie ne peut pas prouver non plus que Dieu ne donne pas à l'homme pendant l'épreuve certains secours surnaturels, pour le préparer à celte destinée supérieure.
Dans l'histoire du monothéisme hébraïque et du monothéisme chrétien , il y a certains ftftts dont l'influence immense subsiste et grandit dans la vie de l'humanité , avec le christianisme , qui repose sur eux : ces faits se nomment prophéties et miracles. Je n'examine point ici la réalité de ces faits. Je constate seulement que , parmi les esprits les plus judicieux qui depuis plus de dix-huit cents ans en ont étudié sérieusement les preuves , presque tous ont cru devoir reconnaître dans ces prophéties des prédictions dont l'existence est constatée dès une époque très-antérieure aux grands événements, alors humainement impossibles à prévoir, que quelques-unes annoncent avec une étonnante précision ; presque tous ont cru devoir reconnaître dans ces miracles des phénomènes inexplicables par des causes naturelles , miracles accomplis au grand jour , en dehors de toute possibilité d'illusion ou de fraude , devant de nombreux témoins, dont quelques-uns ont scellé leur témoignage de leur sang ; presque tous ces critiques judicieux déclarent que ces faits merveilleux, une fois admis, expliquent
urrautre fait plus merveilleux encore , c'est-à-dire la vaste et rapide diffusion de Ja religion chrétienne , propagée par quelques pauvres et ignorants pêcheurs- de la Galilée , malgré l'opposition universelle et implacable du pouvoir politique , des religions ,• de la philosophie et des mœurs du vieux monde.
En présence de ces faits , qu'il est possible de contester , mais non d'écarter par un dédaigneux silence , la philosophie peut se borner à dire avec vérité qu'ils ne sont pas de son domaine, et elle a le droit de laisser à une autfe science le soin de s'en occuper. Mais la philosophie n'a pas le droit de dire que cette étude doive être négligée comme inutile. Car, même absftaction faîte de toute autre considération, s'il est une histoire qui doive renfermer pour tous les hommes de grands et utiles enseignements , c'est celle des origines du christianisme : or , pour ne pas reconnaître, dans cette histoire étonnante, l'importance des faits merveilleux qu'on y rencontre, il faudrait un incroyable parti pris de ne voir qu'un côté des choses. Pour soutenir que ces faits sont indignes d'attention , il n'y a qu'un moyen, c'est de prétendre qu'ils n'ont jamais existé. Mais alors il faudrait détruire les preuves qui les appuient. Or, il ne faudrait prendre ce parti qu'après mûr examen ; car il ne faut pas oublier que si des témoignages , revêtus de tous les caractères qu'il est raisonnable et possible d'exiger, peuvent tromper cependant sur des faits palpables, c'en est fait alors de l'autorité du témoignage en général , et avec lui non-seulement de l'histoire politique, mais de l'histoire de l'esprit humain , et que c'en est fait aussi des sciences physiques , qui seraient bien pauvres si , privées des tré-
sors transmis par le témoignage, eilea étaient, réduites pour chaque savant aux ^phénomènes découverts ou vérifiés par lui-même.
Il y a bien, comme nous l'avons dit (4), une philosophie ennemie du surnaturel, qui accepte pourtant une.partie des
faits auxquels nous venons de faire allusion, et une multitude d'autres faits merveilleux de tous les temps et de tous les pays, dont un grand nombre, n'étant- pas établis d'une manière suffisante, ne devraient pa&. être acceptés par une critique judicieuse; et cette philosophie explique tous ces prodiges, en inventant de prétendues, lois naturelles, qu'on ne peut entendre énoncer sans stupéfaction. Cette philosophie ne voit pas que l'explication surnaturelle, qu'elle a en horreur, laisse subsister toutes les lois constatées par la science, et que l'ordre surnaturel, entrevu au-delà et au-dessus de ces lois, peut dominer l'ordre naturel sans le détruire ni l'altérer, de même que Tordre moral ne détruit point et n'altère point l'ordre physique, avec lequel il coexiste sous l'autorité suprême de la sagesse divine. Cette même philosophie ne voit pas qu'au contraire les lois imaginaires qu'elle prétend introduire dans l'ordre naturel, sont la négation de cet ordre et de ses lois les mieux constatées. La science cosmologique peut s'accorder avec la religion et avec la théologie, qui ont leur domaine à part; mais elle ne peut pas s'accorder avec la magie renouvelée, qui s'emgare de son domaine pour le livrer à des superstitions irréligieuses (2). En niant à priori la possibilité d'un ordre, surnaturel sans
(1) Première Partie, p. 44-47.
(2) Voyez première Partie , note de la p. 46.
s'inquiéter des témoignages, on risque fort d'ouvrir la voie à ces égarements de la superstition savante , et en même temps de compromettre la certitude des sciences d'observation, riches de l'héritage du passé et des communications du présent, qui ont pour garantie le témoignage.
Il y a pourtant une théorie spiritualiste qui , une fois acceptée , autoriserait la philosophie à repousser ainsi à priori la possibilité de toute intervention naturelle ou surnaturelle de Dieu dans le monde, mais non sans produire tous les inconvénients que nous venons de signaler. Cette théorie est celle que nous avons combattue •: c'est la théorie qui, prétendant que tous les effets de la volonté divine doivent être éternels, n'attribue à cette volonté que la création d'un monde éternel et l'établissement de lois immuables ; c'est la théorie qui refuse ainsi à la Providence toute action spéciale sur les faits particuliers du monde physique et du monde moral, sur l'histoire du genre humain, sur la vie et l'avenir des individus. Maïs nous croyons avoir montré combien cette théorie est téméraire dans sa méthode, fausse et dangereuse dans quelques-uns de ses principes, et erronée dans ses conclusions , qui, poussées à leurs dernières conséquences, infirmeraient même, avfec la notion de la Providence, la sanction de la loi morale et les espérances légitimes de l'autre vie (1 ) ,
La philosophie doit affirmer et maintenir énergiquement tout ce qu'elle peut prouver. Mais ce devoir est précisément pour elle une raison de se défier beaucoup de certaines spéculations hasardées , qui , en la conduisant à nier sans
(1) Voyez vers la fin de la première Partie, p. 36-50.
preuves ce qui n'est pas de son domaine , la forcent en même temps à rejeter des vérités qu'elle peut et doit établir. Si la philosophie spiritualiste , oubliant sa méthode ferme et prudente , cédait à cette tendance aventureuse , elle risquerait de compromettre ainsi ses propres doctrines, même celles auxquelles elle tient le plus et à bon droit, et de contribuer malgré elle à préparer le succès des erreurs contraires.
Je soumets avec confiance aux maîtres et aux défenseurs de la philosophie spiritualiste ces considérations, qui m'ont été inspirées par un amour sincère et profond pour cette philosophie, naturellement favorable à tout ce qui relève la dignité de l'homme en le rapprochant de son auteur.
