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lion de ce problème : Mener un plan tangent commun à trois ellipsoïdes concentriques. Diaprés un théorème conDUy trois sur&ces du second degré concentriques ont toujours un système de plans diamétraoji conjugués communs. Prenons ces plan><^ pour les coordonnés, les trois ellipsoïdes auront pour équations
JC* V* »•
les plans tangens demandés forment évidemment un octaèdre dont les &ce8 sont parallèles deux à deux, et dont les six sommets sont sur les trois axes. L'ellipsoïde circonscrit qui a les diagonales de ce polyèdre pour diamètres conjugués, est celui qui passerait par les points directeurs des dlipsoïdes donnés. Soient A, B, G les trois paramètres inconnus de cette sur&cej on devra WtAr pour les déterminer les trois équations
é/* C* pJ*
on en déduira facilement x* S* c' ^^ fonction de «^ f , y^ àL\ etc.; substituant ensuite ces valeurs dans
on aura Féquation des plans tangens demandés»
Ce dernier problème n'est qu'un cas particulier de celui-ci : JBùant donnés les directions de trois diamitre^ conjugués et trois poinU d' une surface du second ordre^ la déterminer. Même daas ce cas général, il peut se résoudre par la Géométrie descriptive ^ au moyen des divers théorèmes démontrés plus haut. Je vais indicpier cette solution. Je crois qu'un peu de réflejiion iuppléeni aux figures qui seraient trop compliquées pour être placées dans cet ouvrage.
Soient OX . O Y5OZ les directions des trois diamètres conjugués 9 A y B^ C les trois points donnés. Soient pareUlement A', B', CJ, A", B'', C, A'", B'", C"^ les p^>iuU syméti-tques de A , B , C , dans les angles soHdes formés par les plans XOY, XOZ^ YOZ , qui ont TaxeOX pour arête commune.
Au moyen de ces données proposons-nous de con^ siruire le plan diamétral de la surface demandée, con** jugué à la direction AB'^ Ce plan devant passer par le centre O, el par te miCeu de AB'^, il suffit de trouver un autre de ses points. Or, les deux plans parallèles BB'B^B'^ CCOC% rensemWe des deux plans BB'CC'^ '^WCG^, et Fensemblc des deux autres BB"CC", B^B^'^CC^', peuvent être considérés comme trois surfeces du second degré , ayant huit points communs avec la surfitce proposée; leurs plans diamétraux conjugués à la direction AB'' se couperont en un point par lequel devra passer le plan diamétral de la sur&ce proposée, conjugué à la même direction (page 37, théorème) lequel sera dès-lors complètement déterminé*
Cela posé, les courbes ABC, A^B'C de la surface proposée 1 sont situées sur un cylindre dont Taxe parai-
lUe à la directkmOY, contient les centresdé ces mêmes com'bes. Ce cylindre , la sorfiice proposée et Tensemble des deux plans ABC, A'B'C^ ayant mêmes intersections, leurs plans diamétraux conjugués à une direction quel^ con^e , se couperont suivant une même droite (page 35 , théorème). On construira les plans diamétraux de la aur&ce et de l'ensemble des deux plans conjugués à AB''j le plan mené par leur intersection parallèlement à OY^ aéra un des diamétraux du cylindre. Par ime construc* tion semblaUe, on déterminera le plan diamétral de ce même cylindre conjugué à AC". Ûinterseclion de ces deux pbns sera l'axe du cylindre, et doxmera le centre de la courbe ABC. Cette courbe sera donc complètement déterminée.
Maintenant, potu* trouver en longueur un des trois diamètres de la sur&ce, il suffit de mener, suivant OX par exemple, un plan quicoupera k courbe ABC en deux points M et 19; ces points suffiront pour construire la section Êdte par ce plan dans la surface, et par suite la longueur de Taxe OX.
Les problèmes précédens sur l'inscription d'un ellipsoïde dans l'octaèdre, peuvent être utiles dans la con* struction des voûtes ellipti(]ttes, lorsque les dimensions du toit sont données.
