BX*»C «'• BX
d'où enfin p = j^-
L'Analyse algébrique indique ici à la Géométrie la solution la plus^recte de la questionproposée. On pourrait en rffet trouver d'autres moyens de construction, enisiisant remarquer l'identité du point demandé avec celui de contact d'un cercle tangent au cercle donné,
5 assaut par les points A et B. Mais cette transformation e l'énoncé ne donnerait qu'une solution indirecte. Le plus souvent, l'étude des équations finales ne fait qu'indiquer le moyen de simplifier la construction des lignes dont les intersections doivent donner le point
(7«) demande» Cest ordinairement par des considératioDS
géométriqnes, que l'on vient à bout de oette simplification* On peut donner un exemple de cette siinplifieation , sans s'écarter de k question précédente-Supposons en effet qu'il £àiUe que la droite CG^, au lieu d'être pa<« i-allêle à AB, aille passer par un troisième point D^ Dans ce cas, nous résoudrons ce nouveau problème : Inscrire dans un eercte donné un triangle dont hs côtés soient assujétis a passer chacun pa^ un point donné. Ce nW qtj^mi cas particulier du problème de h page 58 y et cependant on ne peut arriver qu'à sîm* plifier de même k construction de l'équa^tion finale;.
Les opérationsquel'on fiiit subir aux équations finales^ pour simplifier la construction des lieux géométriques^ ne les laissent pas toujours téb qu'ils se présentent. Très souvent au contraire^ une certaine eombinaison des différentes parties du résultat, donne une neuvdUe ligne plus facile à construire que les primitives. C'est ainsi qu'en traitant par l'Analyse algébriqueleproblème de mener une tangente à un cercle donné par un point extérieur, on obtient d'abord outre celle de la circon-férence donnée , l'équation d'une ligne droite autre lieu géométrique des points de contact ; combinant ensuite cette nouvelle équation avec celle du cercle donné , on parvient à trouver un autre cercle facile à déterminer de grandeur et de position, sur lequel doivent aussi se ttoùvet les mêmes points de tangence. .
Transformations des coordonnées^
3o. Si les constructions à effectuer, malgré toutes les recherdies que l'on pourrait faire pour Jw abréger^
étaient encore Iwp compliquées, on pourrait placer les données par rapport aux axes coordonnés, de manière a &ire di^raitre le plus grand nombre de lignes rekh tives à leur position arbitraire. Mais alors la construction n'a Ueu que d'après ces seuls axes principaux j il est vrai qu'ils ont souvent des positions tellement liéesà la figure proposée, qu'uneconstmction par les ordonnées et lesabscisscs, peutquelquefois se démontrer Sjrnthétiquement.
La position la plus avantageuse n'est pas toujours évidente. On ne sait pas toujours quelles lignes il faut supposer nulles cni égales en grandeur, queUes directions doivent être perpendiculaires , parallèles aux asLCS coor-* donnés, ni même quel doit être l'angle de ces axes. U Ëiut alors chercher par la transformation des coordon» nées dont les fi)rmules contiennent des indéterminées, €{ue1]es sont les valeurs de ces constantes aiâ>itraires qui correspondent au but proposé.
Le changement du système des axes est d'une grande utiUté pour dévoiler les secrets de PAnalyse. La disons^ $îon complète des lieux géométriques , la détermination de certains points particuliers, la démonstration de l'identité de certaines lignes, enfin beaucoup de recherches précieuses, ne sauraient s'effectuer sans le secours de la transformation des coordonnées ; il est même des problèmes qui semblent ne pouvoir être résolus analytiquement que par son emploi. Tel est celui qui suit.
Problème. Trouuer h lieu géométrique du point d'intersection da deux droites tangentes d une courbe du second degré y et perpendiculaires entre elles.
Je suppose d'abord que la courbe ait un centre; son équation^ rapportée àdeux axes rectangulaires, sera de
(7B) U forme
Soient a et & les coordonnées du point I dlntersectîon des deux tangentes que je désignerai par T et T'; X , Y les cosinus des angles que forme la droite T avec les axes AX et AY; X\ Y' les cosinus de ceux que la deuxième tangente T' forme avec les mêmes axes j x\y les coordonnées variables par rapport aux tangentes IT, IT' rectangulaires considérées comme axes ; toutes ces quan^. tités seront liées entre elles par les relations
*r=Xj/ + Y>+a\ jfa=Ya/4-ry+* (a)^ X* + X'*=i. ¥•+¥'*=« 1, XY + XTr=Q (5).
Si l'on élimine s et y entre les équations (a) et (i), l'équation résultante
-f- fty(maX'+»iY')+ôj/(maX+ji*Y)+(ma*+iiA»— i) r=o,
escrime la courbe rapportée aux axes TI, Tl, Puisque cette courbe doit être tangente aux nouveaux axes, il &ut qu'en &isant dans son équation ^ s=: o , ces valeurs de 9^ correspondantes soient ^ales, ce qui donnera i'équation de condition
iim(*»X* + û*Y* — aaiXY) = mX* + ttY»; il &ut aussi qu'en y faisant x'sso, les deux valeurs de y soient ^ales y ce qui donne ime nouvelle équatioa de condition symétrique de la précédente
mn ( i*X'* + a^Y'* — aoiXTT ) s^mX'* + »Y'* j
en ajoutant ces deux équations ^ l'équation résultante se réduit, en vertu des relations (3), à
cette dernière résout le problème. On j voit que le lieu
géométrique demaiidé est un cercle concentrique à la courbe donnée par Féquation (i). Si cette courbe est
une ellipse, les quantités ~-, - seront positives et égales
A% B% A et B étant ses demi-axes, en sorte que le rayon du cercle sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont A et B seraient les côtés. Si Féquation (i) représentidt un cerde , le cercle (4) aurait pour rayon la diagonale du quarré du rayon donné , ce dont il est aisé de s'assurer à priori par la Géométrie simple. On irerra aisément que si l'équation (i) représentait une
liyperbole, une des quantités —, - étant négative, 8ui«
vaut que l'angle des asymptotes dans lequel se trouve la courbe, sera plus petit , ^al ou plus grand qu'un droit^ le lieu géométrique sera un cercle, se réduira à un point, ou n'existera pas.
Si l'on répétait les mêmes calculs , en supposant quela courbe donnée fut ime parabole, on trouverait sa directrice pour le lieu géométrique demandé; d'ailleurs, en <:onsidérant la parabole comme une ellipse dont les
axes A et B sont infinis, et le rapport -r fini et égala j9^
on prouve aisément que le cercle (4) se réduit à une ligne droite, c'est-à-dire à un cercle de rayon infini, ou dont la courbure est nulle. En efiet , l'équation du cercle rapportée au sommet de l'ellipse est
^ donntp'^^assio lorsque T=o, -j =p. Ainiu on
peut conclure généralement que si k Heu géométrique
demandé existe , c^est nn cercle concentrîqae à la courbe du second degré donnée.
Par des calculs identiques aux précédons^ on peut résoudre les deux problèmes suivans.
Troui^erle lieu géométrique de F intersection de trois plans rectangulaires tangens à une surface du second degrés
Troui^er le lieu géométrique de l'intersection com^ mune de trois droites rectangulaires tangentes d une surface du second degré.
Si Ton suppose que la surface soit représentée par réquation
mx* -f- »y* + P** = if
ces lieux géométriques seront
m ' n p pour le premier ;
\n p/ \fn • p/ \m n/ mn pn pnC
pour le second. En sorte que si la sur&ce du second degré était un eUipsoïde aux axes 2A, aB, sC^ les lieux géométriques lui seraient concentriques; le premier re*
présenterait une sphère de rayon \/A**|^B*-+*C* et le second l'ellipsoïde qui aurait pour axes
V^-+Bq:c- V»*+ân:ô' V^'+lé^-
L'ellipsoïde donné pourrait se réduire à une sphère de rayon R ; alors les deux Ueux géométriques seraient deux q)hères concentriques entre elles et la proposée, l'une
de rayon R \/Z. l'autre de rayon R V»»
Symétrie.
3i* U &ut remarquer dans la aolution précédente^ que k symétrie de quatre équations enti-e les quatre Aneommes X , Y, X^ Y', « suffi pour les éliminer toutes » et obtenir une équation finale indépendante de ces inconnues.
En générad, la ^rmétrie entre les données d'un pro» blême abrège, diminue^ les travaux du calculateur} on ne saurait rejeter un principe qui fournit des moyens d'élimination si rapides, qui simplifie les immenses ter sultats de PAlgâ>re, et sert à les démontrer, à les énoifrcer de la manière la plus élégante.
Uarrive quelquefois qu'un problème misen équation^ établit une symétrie réelle entre les données et les iorconnues. Cette symétrie remarquée, étudiée avec soin ^ met la solution demandée sous la puissance du calcul , pour ainsi dire au moment où il s'y attend le moins.
Pour donner un exemple de cesheureusesrencontres, je me propose de résoudre le problème suivant par la Trigonométrie.
PaoBLÈME. Oonatruire un triangle équilatiml qui ait ses sommets sur trois circonférences concentriques^ de rayon donnés.
Seit ABC (fig. ^5) le triuigle demandé, x son câté^ O le centre commun des trois cercles donnés, OA sâsa, OBssA, OCisse leurs rayons. L'un des angles ^ux du triangle équilatéral, l'angle BAC par exemple, est
égal à la somme (Hi à la différence des deux angles CAO^ BAO, dont les cosinus sont
cosCAO:== ^'^'^~ -. coiBAO=a^'*"'^'T^f
on a donc l'éq[aation
arcicoss-— ^ : — jxarcfcos:^: — 2— i±:= = o»
\ aox / \ aoa? / 3
Cette équation est symétrique en a et x. On déduit de cette remarque , que si les trois ciitxmférences concen-* triques avaient pour rayons h^c^x^a serait le côté du triangle équilatéral demandé ; 3i donc on inscrit entre les deux circonféi*ences de rayon 5 et c, une droite MTf s=sa, que l'on construise sur cette ligne un triangle équilatéral MP^P, la ligne inconnue x sera égale à la distance QP du sommet isolé de ce triangle équilatéral eu centre commun des cercles donnés. Il est aisé de voir qu'il y a deux solutions, c'est-à-dire, que Finconnue x est susceptible de deux valeurs. Deux constructions, semblables auraient encore été indiquées si l'on avait considéré l'un des angles ABC, BGA^ et comme les trois triangles MNO de ces trois constructions ont les côtés égaux , on en déduit la proposition suivante.
TiiEORiiBfE. Si sur les trois côtés d^un triangle ABC (fig. a6)j on construit des triangles équilatéraux ABM^ ACN, BCn?, les lignes AP, BN, CM seront égales.
Et eu efiët , par un raisonnement semblable à celui dont on fait usage dans la proposition du quarré de l'bypotéixuse , on prouverait que les triangles ABN, ACM sont ^aux ainsi que les triangles ABP, MBC, que par conséquent BN= AP=CM.
11 est d'ailleurs très aisé de voir que ces droites se coupent en un même point. En effet, si oous considérons la droite AP, elle coupe en un point O le cercle CPB , partage FarcCPB, et par suite l'angle BOC=| d'angle droit en deux parties égales; d'où il suit que BOA
s=C0A=3=j, (fie les lignes CO, B() opèrent pareillement la bisection des angles AOB, AOG, qu'elles passent donc par les points M et N milieux des arca AMB, ANB appartenans aux cercles AOB, AOG. Les droites AP, BN, CM se coupent donc en un même point O. D'après cela, il est aisé de résoudre le problème fluiyant«
PaoBLÈME. Trouver sur le plan d'un triangle un point d^où ses trois côtés soient vus sous un même angle.
C'est ainsi que la Synthèse en démontrant un théorème que l'Analyse à trouvé , en fait une proposition isolée^ d'où peuvent encore découler plusieurs autres {Propositions.
Méthodes în^rectes.
3a« Une des preuves les plus incontestables de la richesse 9 de la généralité delà (iéométrie , c'est sans contredit le secours qu'elle tire des sciences qui lui doivent sinon leur naissance, du moins leur accroissement et leur clarté; car si la science de l'étendue prête ses figures aux autres sciences exactes et naturelles qui les considèrent à leur manière, soit avec la rigueur des démonstrations, soit avec l'incertain de l'expérience, elle peut souvent déduire de ces nouvelles considérations qu'on lui croit absolument étrangères, des principes à démontrer, quielqueibis même les points de départ des plus belles tliéorics.
La Mécanique est sans doute la science qui promet le plus de découvertes a la Géométrie; la Statique em^ prunte souvent sa synthèse, ses principaux théorèmes^
(84) et hà donne en échange , soit one noavelle démonstration d'un prlodipe déjà oonun, soit h aolntion d*un pro* blême dont elle a traduit Fénoncé dans son propre langage. C'est ainsi qne^ la rechercbe du centre de gravité d'un triangle y prouve que les lignes <pii joignent iea sommets et les mîHeox des c6tés c^pposés, se coupent toutes trois en un même point. Quelquefois la iscienoe de l'équilibre se fiiit un jeu des problèmes les plus diffif* elles de la Géométrie^ et va quelquefois de pair avec les calculs les plus élevés de l'Analyse algébrique.
Les maxima etmùuma des distances ou des sommes de distances, sont souvent l'écueil de la Géométrie « de l'Algèbre même; et beaucoup de problèmes sur les extrêmes grandeurs resteraient sans solution , si le calcul infinitésimal ne s'en était occupé. Un des grands avan-tages delà Statique dans ces sortes de questions , si toute* fois elle peut les^tmduire, c'est defiiire ecmnaitreles relations que les conditions entre les longueurs établissent entte leurs directions respectives, car il n'est pas d'équilibre qui ne s<Ht dû autant à la direction des forces ^ qu'aux rapports de leurs intensités. G»nme cette trans* formation des lignes aux angles est souvent très difficile à trouver par la Géométrie simple, il n'est pas étonnant qu^élIe se présente alors inférieure à laStatique , comma on peut le voii* dans la solution suivante.
Pboblèhb. Trouper un point tel, que la somme des distancée de ce poifft à trois points donnés soit un. minimum.
Si l'on suppose trois anneaux fixés aux points A, B^ C (fig« 37) , et un quatrième attaché au point extrémité d'unetcorde f laquelle passeia suecessivement par
JSeft «nnoiia: fixe B , A » par Fannean mobile O , et enfio , ï>ar le quatrième fecé en G; il est évident qu'une force quelconque qui tirerait le cordon suivant Od, sera en équilibre avec la résistance des anneaux fixes, lorsque la sonune des cordons partiels sera un minimum; le point demandé est donc la position de l'anneau mobile Oy lorsque réq^libre à lieu* Mais les cordcms partiels AO, BO, CX> doivent être tendus paiement; Tanneau O est donc tiré suivant ces trms directions par des forces ^ales j si donc l'équilibre à lieu entre ces forces, il fiiut que la direction de l'une quelconque d'entre elles divise l'angk des deux autres en deux partie égales , ou ce qui wvient au même, que les angles ACfi, AOC, BOC soient ^ux entre eux et aux quatre tiers de l'angle droit« Le point demandé sera donc Fintersection de deux^segmens capables de | d'angle droit, construits sur deux des côtés du triangle AfiC. Le dernier problème du chapitre précédent donne encore un moyen de dé-* terminer le^ point O.
U pomrrait arriver que l'un des angles du triante, Tangie A par exemple, fijt plus grand que | d'angle droit, alors V construction ne serait plus possible. Mais il aisé de voir que le point demandé serait le sommet A lui-même. En effet, si l'on conçoit que ce point soit toujours situé .^ur la ligne AO, le point O intérieur au triangle ABC satisfiera toujours au problème, même si le point A se confondait avec lui, c'est-^-dire si l'angle A était égal à ^ d'angle droit; à plus forte raison ce point Asera-t'il encore la solution du problème, lors* ^e l'angle A sera plus grand que f d'angle droit.
Far une supposition entièrement semblable , on prou*
verait que le point qui jouit de la propriété de donner un minimum pour la somme de ses distances y à autant de points fixes que Von voudra, est celui autour duquel seraient en équilibre autant de forces égales dont les directions serait assujéties à passer chacune par un des points donnés. On peut exprimer analytiquement que l'équilibre a lieu relativement à ces mêmes directions, car on doit avoir en désignant par X , Y, Z les angles que forme l'une d'entre elles avec trois axes rectangulaires quelconques, parX', Y', Z'ies mêmes angles pour xme seconde direction , et ainsi de suite
(i) cos X -f- eos X' + cos X* + etc. = o , CCS Y + cos Y' +COS Y" +. . • == o , 008 Z -f- cos Z' -f- cos Z* +• . . = o*
Si les points donnés sont situés dans un même plan , l'équilibre sera entièrement exprimé par les deux premières équations. Si de plus les points se réduisent à trois, on aura cosX-f- cosX' = -— cosX*, cosY-f- cos Y' = -— cosY^.
Ajoutant les carrés de ces équations et observant que
co«*X + cos'Y = i , co$»X'-f cos*Y'= 1,
cos*X'+ cos'Y'' = 1 , et ços X cos X' +• co» Y co§ Y* =co8 V,
V étant l'angle fonné par les directions OA et OB, on trouvera acos V •+• i as oj l'angle V est donc effectivement égal à I d'un droit.
Si les pcnnts sont au nombre de quatre, toujours dans \m même plan , les é<{uations
cos X + cos X' =: -— (cos X" •+• cos X*) , «08 Y + cos Y' = — (cos Y'' + cos Y*},
dont on déduit en ajoutant leurs quarrés
cos Xcos X'+ coa Y cos Y'=c ces X" cos X* + co« Z*co8 Z*,
indiqueront pour le point demandé y le point d'intersection des diagonales du quadrilatère.
Le Gdcul infinitésimal donne aussi les équations (i)« En effet, siAjCyy^ a!^ Cy y\ etc. ^ sont les coordonnées des points donnés ^ x^y^z celles du point cherche , la somme des distances sera
et devra être un minimum. La diflerentiation succès^ sive par rapport aux trois variables , donne des équations identiques avec les équations (i) trouvées précédemment.
33. INous avons à peu pressasse en revue tous les moyens que le géomètre peut employer dans la solution des problèmes. U est vrai que nous n'avons fidt qu'effleurer plusieurs d'entre eux , pour nous attacher aux principaux; peut-être même ceux que nous avons néghgés, ont ils une marche plus difiicile à suivre que les autres. Mais le degré d attention que Ton doit apporter à un sujet quelconque doit toujours être proportionné à son degré d'utilité.
Nous aurions peut-être dû approfondir un peu plus cette méthode mixte ^ où des considérations purement géométriques fournissent des équations étrangères à l'Analyse deDescartes, La recherche de ces sortes d'équations ofire les mêmes difficultés que la Géométrie simple; et si leur résolution ne dépend que de l'Algèbre , elle entre souvent pour la moindre partie dans la solution des problèmes. On peut d'ailleurs appliquera la fois à
(8«) cette méthode mixte, les principes que noiifl avons énoncés en traitant séparément des méthodes simples qu*elle renferme.
Je ne ferai que citer pour exemple la théorie de la cristallisation si élégamment traitée par son auteur» De simples considérations géométriques Pont conduit à ses calculs, et cette méthode o&e ici ce grand avantage^ qu'en ne perdant pas, pour ain^ dire, la Géométrie de vue , il est pins JÈicile d'interpréter à ton profit les résultats de l'Algèbre.
34. Ce n'est pas que cette théorie ne puisse se calccH 1er par abscisses et ordonnées; cette manière d'aborder la question ofire même de son côté de grands avantagea* Mais peut-être serait elle insufiisante ai l'on cherchait à connaître les rapports des longnelirs, plutôt que les angles des cristaux. Peut-être aussi ce nouveau calcul cxîgeraît-il des œnnaissances mathématiques un pea plus grandes, du minéralogiste qui voudrait étudier €ette théorie ^ et que pour wmédier à cet inconvénient'les méthodes les plus élémentaires sont toujours préférables.
Cependant , pour prouver que l'Analyse de Descartes n'est pas incapble de traiterime des plus belles applicationa du calcul à la Géométrie , Je vais indiquer la marche que Fonpourrait }M:endre. Si je réussis à donner une analyse simple et facilement apphcable, je m'applaudirai d'avoir fiiit rentrer sous le domaine d'un calcul qui doit être général, un sujet <{ui sembkit le fiiir Et si, malgré mes tentatives, ce calcul se trouve cornpUqué, on ne pourra du moins rien conclure contre la généralité de son application.
Préliminaires.
Les axes cjoe nous considérons seront oUi<]ms; nouii défigneron4 par «, Cyy les angles YAZ^ XAZ, XAY. L'équatioii du plan sera toujooi-s mise sous la £>iino
Ht n p lea quantités m, n, jp que fapp^erai les paramètres du pkn , r^résenteront alors les distances de Forîgine des coordonnées auK points où le plan vient rencontrer les axes des a^ desy et des z
Dans ce système d'axes ^ la distance d'un point dont les cocHdonnées sont XyjTfick l'on§[ine, est exprimée par la formule
I>^=sar^4">^+i^*'4*9>scMi*4*9X2eo«C*^aayco6>;
et pour avoir la distance entre deux pointa dont les coordonnées soient x^y^ z pour le premier, a/, y y J pour le second , il suffit d'y dianger *,y, z en («—*'),
Cette formule peut se démcmtrer ainsi qu'il suit* Supposons par le point M (fig. 28), MP parallèle à
AZ^ PQ À A Y et menons APÀ'« Le triangle APM
donnera
D«s=ss« 4. ApV a«* AP cos MPA'.
Iklais le triangle APQ donne
AP = ap» +,y* + *^ ^^ V> et la projection de AP sur AZ étant égale à la somme des projections de AQ et de QP, on a APcosMPA'
j^S « COS € -f-J^ COS fll.
Substituant ces deux valeurs dans D% la formule pré ^sédemment énoncée sera démontrée.
La fioimule qui donne le cosinus de l'angle que forme les deux droites , dont les équations sont or = az , y^ssib% pour la première, et x^s^a'z^yz^iVz pour la seconde , est alors
Pour la démontrer, soit pris sur la première droite un point M aux coordonnées x^y^z^ et dont la distance à l'origine soit Tunité; soit également pris sur la seconde droite un point M' aux coordonnées x\ y\ 2', tel que AM'=s AM = i. Le triangle MAM' donnera cos V
= 5; • Substituant la valeur de MM' en fonction
de :»,^, 2, *'; y, z\ et observant que*AM="ÂM'= i^ on aura
cosV===[2z'4.a:x'+jyXxy+yx)co8y4-(j^^'4-yx)co5-
Si dans les équations qui expriment que AM==i, AM'*=:i , et dans cette valeur de cos Von lait x^=:az^ y=^bzy a/s=a'r',y=:6V, ces équations ne contiendront plus que z et z^j et si Ton élimine ces deux quantités, le résultat sera la formule à démontrer.
Pour trouver l'équation d'une droite perpendiculaire à un plan , il suffit d'exprimer que la droite est i>eii)endiculaire aux traces de ce plan.
Soit (i) x = az,y =6z, les équations inconnues de la perpendiculaire , et
celle du plan donné; sa trace sur le plan des^z a pour
(91 ) équations a: =: o, j^ = ~ - z-^n» On exprimerd qu'elle est perpendiculaire a la droite (i)> en exprimant que eus V est nul y lorsqu'on y fait a':=:o, ô^sas— --, ce qui donne entre a et & une première équation de condition ^-.--.-cos^j-f-ar-cosff— -cosyj -f" ^ f ""Cos»— — j=o.
C)n peut en déduire l'équation exprimant que la droite (i) est perpendiculaire aune autre trace du plan, en j changeant les lettres b^€eln^ en a^ <x, //i, et réciproquement;, d'où
(— — -cosf }+6( — cosit— -cosy j+c( — cosff— -)=o, m p / ' \m p / • \/n p/
Ces deux équations donneront les valeurs de a et 6 ^ et les équations de la perpendiculaire au plan seront connues.
Pour calculer les équations d'une perpendiculaire à i'un des plans coordonnés , par exemple y au plan des scy^ il suffira de faire dans les relations précédentes
— s=o,-c=o, ce qui les réduira à 1» ^ n 7 1
a cos y -f- i + co5 1« = o ^ a 4" ^ C06 y -+- cos C =±: o ,
cos a — coâ ff cos y
d'où J=-
8 in* y
^ cos f — cos a cos y
sin*y
Si €L:=:Çzssyy ces valeurs se réduisent encore à
r^^^ cos «
1 + cos «I
Nous rappellerons que l'angle de deux plans est le
f90 m£me que cdim formé par deox perpendicalaires à ees'
plans, et que celui d'une droite et dW plan, est le oomplément de l'angle de cette droite et de la perpendiculaire au plan*
Du paralléUpipide.
Supposons d'abord que la &Tme primitive soit un pa*rallélipipède quelconque dont les arêtes soient A, B, G, et les an^es i^> C, y. Prenons les axes parallèles aux «rétes. Les huit angles s(^e& formés par ces axes cor* respondent aux huit angles^olidès du cristal. De sorte que si l'on veut considéier un décroîssement sur un de ces angles, il suffira de considérer la &ce qui en résulterait sur Fangle à l'origine qui lui correspond. Nous supposerons toujours les plana dedécroissemejis menés par cette origine parallèiemeat à leur direction i suppcMsition qui nous est permise , puisque nous ne voulons calculer que les angles de ces diâerens plans.
Voyons maintenant comment nous ferons pour trour ver l'équation de ces plans. Considérons l'un desk angles solides du cristal, par exemple» celui qui correspond à l'angle de l'origine dans lequd les coordonnées soiExt po<^ sitives. Le décroissement sera le pltis général possible , s'il a lieu par une soustraction de m fois Taréte A siii«
vaut AX, de/3 fcHsl'aréteBsuivantl'aïie AY, etàtpîois^ l'arête G suivant Taxe AZ, les trois nombres m,/^,jp étant différens; d'où il suit que les paramétres de la fiice résultante de ce décroissement, seront prc^rtionnels à mA, nR, pC. L'équation d'un plan qui kd s&niX parallèle, mené par l'origine sera donc
(93 ) Si le décroîâsement avait liea rar im antre angle
solide du cristal primitif, il faudrait pareillement considérer l'angle à l'origine qui lui correspond. Pour com;prendre tous les décroissemens dans une seule équation , U auffit d'indiquer que les paramètres sont susceptibles de dianger de signes, ce qui donnera
Si le décroissement est du gem*e que M. Hauy à nommé intermédiaire, les nombres m^ ny p sont tous différens ^ s'il a lieu sur un angle sans être intermédiaire , deux de ces nombres sont %aux; enfin, si le décroissement a lieu sur une arête, un des nombres m, n, /i est infini , et l'équation du décroissement est de l'une quelr conques des fi>rmes suivantes
mA nB '
L*axe da cristal est ordinairement supposé parallèle à IHine des arêtes; quelquefois il joint deux sommets
aigus, et ses équations sont alow delà forme X=^^=\^
L'angle qu'une fiice de décroissement fitit avec l'axe, est complément de celui que &it cet axe avec une per^ pendiculaire à la fiice. L'angle de deux &ces est le même que Fangle &rmé par deux perpendiculaires à ]em*s plans. Les fi>rmules préliminaires donneront le moyen de calculer ces angles s'il en est besoin. Enfin, si l'on veut calculer les angles plans d'un cristal, on cherchera
(94) les angles formés par les droites ^intersections de la &ce que l'on considère et des &ces adjacentes.
Cette méthode a cela d'avantageux que l'on peut trouver immédiatement l'angle que &it telle face d'un cristal secondaire, avec telle face d'un autre cristal, pourvu que l'on connaisse les déa^oissemens qui font naître ces deux fiices.
Applications.
Si le cristal primitif est un parallélipipède rectangle, les cosinus des angles tt^ Q^y sont nuls. Les formules préliminaires se simplifient singulièrement, aussi le calcul des angles est-il beaucoup plus simple.
Si le parallébpipède est un cube^ on a de plus As B EsC, et l'équation d'un décroissement quelconque est de la forme
m n p la valeur de cosinus Y est
les équations d'une perpendiculaire au plan
m n p sont «=£.«, yss^jLi
Proposons-nous de calculer Fangle de Foctaèdre ré^ gulier, cristal secondaire provenant d'un décroissement d'une rangée en largeur et d'une en hauteur sur les angles du cube. H suffira de fidrepsssmss/ssss ijles
(95) éqaatious de deux &ces adjaceates seront
Si a et bj dans la valeur de cos Y, appartiennent à la perpendiculaire au premier de ces plans, leur valeur sera -f~ i . Si a' et 5' appartiennent à la perpendiculaire > au second leur valeur sera — • i , en sorte que cos V=^ .
Pour calculer l'angle plan on observera que la lace
est adjacente aux deux £ices
son intersection avec la première a pour équations
son intersection avec la seconde
Si donc on fait dans cos V," a = — i, 6 s=:o, a' = o , i'= — I , on aura cos V = j , d'où V = --g— j et en effet,
chaque fiice de Foctaèdre est un triangle équilatéral.
Le dodécaèdre rhomboïdal provient d'un décroissement d'une rangée en largeur, et d'une en hauteur sur les arêtes du cube. Les équations de ses faces seront
et il y aura deux angles à considérer, celui que font \e% &ces
et celui que font celles représentées par les équations
(96) Les équations des perpendiculaires aux deux premiers
plans donnait a ses I , fisso^ o^ r^ i, £'=09 d^où
cosY ssOy V= ICO*.
Les équations des perpendiculaires aux deux antres plans donnent a=:i, 6=0, a'sszOf b'ssi^ d'où cosV=i,V2a66*f.
Quant à l'angle du rhombe, on observera qnela &ce it<— j^çsoest ad)aomte aux deux autres jC'-f-xissso, jr-~xtsso; sou intersection avec la première a pour équations x^z:s»Oyy-^zsssOy son intersection avec la seconde jp— •r=so,^— z=o. Donc, en supposant a s=— I, Jsss— I, a'=s i^^ssi, on aura pour cosY^-j» On pouvait prévoir ces résultats en observant que le dodécaèdre peut provenir d'une troncature tangente à tous les angles de l'octaèdre.
Le dodécaèdre pentagonal de la Minéralogie , provient d*un décroissemait d'une rangée en laigeur et de deux en hauteur sur les arêtes du cube. Ses &ces auront pour équation
«±•2^ = 0, x±.*sso, ydb-cao.
a fl ' -^ a
Les anglesibrmés par leurs plans sont de trois espèces* Le premier^ formé parles fiices s 4**^3550, z — ^zszo^ donne cos Ys=~*|* Le second, formé par les &ces r+^=so, *4-|=o^a pour cosinus f; et enfin, le
troisième, formé parles fiice8«pf--sso,jr-—-s5::o, a pour cosinus j.
Les angles du pentagone sont pareillement de trois espèces. Le premier est formé par les intersections du
plan ap — -s=ao, el des deux autres zdti-=o lesa a ' "
quelles ont pour équations «=iz,^=s2Zj «=r^« J'= — 2r; faisantdoncass 1,6=3, a'sssi 6'=: — a^
on aura pour te connus de cet angle co» V= '-. I^
deuxième est fonné par les droites d'intersection du plan «-—- =r o , et des deux autres « —2! -~ o ^-,,j..^__Q
lesquelles ont pour équations 4^=3 «,^a8S3jr, «=si« .r==—ia ; les hypothèses a=:a' s=|, ô=sa, i'==-li^ donnent cosVaa— ^. Enfin, le troisième est formé
par les intersections du plan.A'-laBo, avecles autres plans « -^ 1= o, jr-f- ^=0; ces intersections ontpour
ëquations*=o , j^= i «, *= i e, j,a=-ia ^ et le CO8 V devient — ~, en y supposant «te^, a'as|, a'sss*.
Les plans du dodécaèdre pentagonal et ceux de Toctaédre donnent par leur ensemble l'icosaèdre. On parviendra aisément à caltuler les angles de cç solide, puisque l'on connaît les équations de toutes ses feces; je me dispenserai de les chercher, et de calculer pareUlement les élémens du trapézoèdre solide qui peut dériver du cube par un pointement à trois faces sur les angles. Mon but n'est pas de donner la théorie complète de la Cristalljçraphie, mais seulement de laisser entrevoircomment on pourrait la développer au moyen des calculs précédeos.
Si leparalléJipipède est du genre de ceux que M. Hauy a nommés rhomboïdes, ona *=C=).,etAs=sBs=:C.
L'équation générale des décroissemens est
( 9» ) la formnle qui donne Tangle de deux droites donne
Les jéquations dVne perpendiculaire ^u plan
^ m n » ii»cos«e
sont *îa= . T g
p m 11 p cos ^
'1 1 1 . i P m n pcosei
Xàcs tixÀieàtiires dor les sommets auront pour équation
U.^Z jL ^ssos celles dtd ont lieu sur les anciles laté« m ^ n p ^ ^ o
raux^ront représentées par les trois équations
— — «ri. -(-- -SbO^
^4«ml -^ -s»o.
L'axe du rhomboïde a pour équations xsasf =a2«. Pour queles troncatures latérales lui soient parallèles, il faut que leurs équations soient satisfaites par les hypothèses
xz==:yt=sZy c'est-à-dire qu'il faut que Pon ait — = -
«4-r - . Si le déci^iisement qui donne lieu a cette trou-^
P cature sur l'anglati'eA pas int^teédiair^, on doit avoir
n=^Pi le cristal secondant sera un prisme hexaèdre
(99) régulier si n c:^ $m > car alors ces faces seront parallèles
à l'axie. Si le décroisscment a lieu sur les arêtes, - =st o.
Il faut alors que mz:sn pour qu« le cristal secoudaire soit encoi^ un prisme hexaèdre.
En général I les troncatures latérales conduisent à des dodécaèdres; et les troncatures sur les arêtes du sommet à d^ rh<mibotdes. l4es formules préliminaires donneront le moyen de calculer tous les angles de ces solides.
Par exemple, les trois &ces d'mi rhomboïde secon*
daîre peuvent être représentées par les écpjiations ^
•+• ~ î=: o, ^ 4* ^^=^0^ ^ -f- ?a550. Les équations de la droite d'intersection des deux premiers plans sont «s=5 — — j:;,j^sss—jcj celles de l'intersection du pre«
mier et du troisième sont pareillement pcssz^^ z.
yssz^ z. Si donc l'on fait as:; i 6»= --, a';;=— ;♦
mm
y = ~ — danscos V, onauraPangleplan du rhomboïde. Dans lecas particulier ou ms:n, on a aos*^ i, 6=: i,
a'=i,&'=5— 'I etcosV=s=~^^.(c=!CoseO-
Le parallélipipède peut être encore tel, que sa base repose sur les arêtes; alors deux des angles ^^C^y seulement sont égaux. Il peut être oblique à base rectangle^ ou droit a base oblique. Enfin , sa base peut être un rhombe : ces cas particuliers produiront de grandes sim-> plifications dans les formules générales. Il est extrême*
( lOO )
meut rare qae le parallélipipède soit parlaitemâcit irrégulier.
De Voctaèdre, du tétraèdre, du prisme hexaèdre.
Si l'on T^t seulement placer l'octaèdre le plus symétriquement posâîble, on peut prendre pour axes coor' donnés ses trois axes de figure. Soient i^A, ^B, :2C leurs longueurs; les équations des&ces de ce polyèdre seront
ai sa base était un rectangle, fl vaudrait mieux prendre les axes coordonnés qui doivent être situés dans son plan , parallèles aux côtés de ce rectangle. Les équations des fiices seraient alors de la forme
Le tétraèdre a toutes ses Êices parallèles à celles dixm octaèdre ; il peut donc être placé de la même manière que lui, par rapport aux axes coordonnés ; c'est-à-dire, que ces axes peuvent joindre deux à deux les milieux de deux arêtes opposées et non adjacentes. Si l'octaèdre et le tétraèdre sont r^uliers , le système d'axes sera rectangulaire; si Toctaèdre est symétrique et le tétraèdre ihréguliclt, le système sera oblique.
Les axes seront ainsi placés de la manière la plus symétrique par rapport aux corps que nous considérons. Mais comme M. Haûy est parvenu à feire dépendre le calcul des décroissemens sur Foctaèdre et le tétraèdre, de celui des décroissethens sur le parallélipipède , il vaut mieux prendre alors pour l'angle solide à l'origine un des Angles solides du tétraèdre* Dans ce cas, les plans
( lOI )
passant par cette origme paraUèiement aux faces de Poetaèdre, seront représentés par les équations Ar=:o>
^=o,£5s=o., -r-+-^+^=<>î-ArB,C étant les trois
arêtes du tétraèdre contigaes au sommet que l'on considère.
Quant au prisme hexaèdre et au prisme triangulaire ^ la réunion de deux prismes triatigulaires forme aussi un parallélipipede , ce qui ramène encore le calcul des dé* croisscmens sur ces nouveaux corps ^ à la théorie du paraUélipipède que nous avons décrite précédemment»
Je me dispenserai de développer comment M. Haûy est parvenu à mesurer les angles des cristaux secondaires de la nature , et à déterminer les nombres relatift aux décroissemens. 11 me suffira d'ohserver que sa méthode est applicable à toute formule générale qui don-^ nerait les angles d'une forme secondaire quelconque ^ et que de telles formules peuvœt s'obtenir au moyen des calculs précédens.
35* Un des grands caractères de la généralité d'un calcul, c'est la facilité avec laquelle on peut l'appliquer a des questions totalement différentes. Les formules qui nous ont servi dans la théorie précédente, peuvent être utiles dans toutesles questions sur les surfaces qui exigeraient que les axes dissent obliques. Pour prouver en quelque sorte cette assertion , )erapprocherai de l'application précédente de cesmémes formules ^ une autre application non moins utile , mais sur un sujet bien différent.
La détermination de l'inclinaison des couches miné-raies par le sondage , dépend de la solution de ce pix>blême : Déterminer t angle apec Vhorizon et un plan
dont on cannait trois points, question qui jpeut se traiter de la manière fiiûvànte.
Soient A, B^ G (Hg. 3o) les projections horizontales des points donnés ou les ouvertures de trois trous de sonde 3 je désignerai par y, g'^ g" les côtés BC, AC, AB du triangle ABC, par y Tangle BAC, pr /?, />', p" les ordonnées verUcafès des points donnes^ ou les profoudeùrs des trous de sondé A, B , C. On peut prendre pour axes coordonnés les droites AB, AC, AP, car comme ce système d^axes n'annule aucune des quantités /y^^/;', p^'j 9« 9^ ç'\ ^ formule finale né laissera pas que d'étrê symétiique, par rapport aux élemens oui déterminent la position des points donnés.
L'équation du plan PP'P" sem de la forme ~ -+- ?
-] — =51. Pour résoudre le problème » il suAit de calculer
l'angle que formé la perpendiculaîris à ce plan avec la droite AP. Si nous désignons par a et h les constantes qui déterminent les équations de cette perpendicidaire^ les formules préliminaires donneront pour le cosinus, et par suite pour la tangente de cet angle ^
cogyra-- ^ ■ ^ tangV==Vfl*-^^7+3aîco8r;
les mêmes formules donnent encore pour déternfiiner a , i&, les équations
a4"icoQY-=^^;
si donc on en déduit les valeurs de ces constantes et qu'on les substitue dans tang V, on trouvera , toute
hSâuction feite^
il ne s^àgit plus que de calculer . , ^
Les traces du plan sur ceux des 9Z et des yt devant passer par les points P^^ V^\ on doit avoir
D'ailleurs le triangle ABC donne
lia substitution de ces valeurs dans tang Y bondui t à
ott ce c{ui reTtent au même,
lia symétiie de cette formule la rend d'un usage &cile pour la prati<]ue.
Dans le cas particulier on p'^^p'' elle se réduit à
tang V s= ^^f'/Jf^ i si l'on désigne par h le perpendiculaire abaissée de A surBC^ona deuxsurCÂBGss^A, d»où taug V = e:jÊ^, ce qu'U est «isé de vériEer par la Géométrie.
[ io4 )
On peut toujours ramener le problème a ce cas pap^ ticulier, encherchautsurla ligne PP^dontles équationa
«ont a:=;o,'2--|- =1, le point dont Pordonnée verli-
c&le serait ^ale à j?'; or on a pour déterminer sa coor«
donnée^, l'équation *^«f-^ = i , ce qui donne, en y
substituant - trouvé précédemment ,
Si donc on voulait déterminer la direction de la couche, ou ce qui est la même chose une horizontale parallèle au plan , il suffirait de prendre sur AC une
longueur ADss: ^f \^J^. i la droite BD serait la direction demandée. La distance perpendiculaire P entre deux couches parallèles, est facile i calculer d'après cela, lorsque Ton connaît leur distance D sur la verti-^ cale; la simple considération du triangle rectai^le dont D est lîiypoténuse et P l'un d^ côtés conduit à P==DcosV.
36. Les calculs précédent sont fondés sur la forme dont nous nous sommes servi pour Féquation du plam Cette forme établit une e^)èce de symétrie entre les coordonnées 9%^j Xy ea les rapprochant séparément des quantités qui ont avec chacune d^ellea un rapport plus immédiat qu'avec les deux autres. Le plan n'est pas le seul lieu géométrique dont jl'équaUon puisse posséder cette symétrie. Les lignes et surfaces comprises
dans les équations — -{-via= i ^*^ "^ *+• 7:: + •!= ^
( ïo5 ) )oiiissexit de la même propriété. Cette symétrie rend mémeleur étude très &cile^ et la discassiou suivante en sera la preuve.
Théorème sur les courbes et êUffaces gui ont pour
équations
La courbe — •4-'î!-s3=i rencontre les axes en des
points distans de Forigine de a et de b.
L'équation de la tangente à cette courbe au point x\ y peut se mettre sous la forme
sf X v' V
les p<4nts où cette tangente vient rencontrer les axes^
aont distans de l'origine de ^^; et de-^jj^^jces
quantités seront moindres ou plus grandes que a^by sm* vaut que l'exposant « sera plus p^tit que l'unité ou la surpassera. D'où il suit que la courbe est convexe du côté des ai^es lorsque. A<^iy et concave pour tf > i. Oa s'assurera aisément que dans le premier cas les axes ^ont des tangentes à la courbe^ que dans le second ce sont des normales.
liCS seules constantes a et 5 sulfisent pour déterminer cette courbe ; nous les désignerons soùs la dénomination commune de paramètres. Gek posé, on peut déduire de ce qui précède que les paramètres de la tangente au
(io6) point :t\y\ de la courbesont entre eux dans le rapport
Parmi les courbes que nous discutons , on distingue 1*. Lorsque ak i^ la ligne droite -^+'| = x«
a\ Loi^ue «sa a, Pellipse -^ 4"*^ =5s i* 3*. Lorsque «=:-— i, Hyperbole rapportée à deux parallèles a ses asymptotes - H — ^==3 1 •
4*. Lorsque «ass*^^ la parabole rapportée à deux de ses tangentes ^ 4^*31 âss i.
5*. Enfin, lorsque it:p=7> la développée de rellipae
Potar que Forîguie des coordonnées soit le centre de la courbe , il fiiut que a soit pair^ les exemples (2*X (5^) sont dan& ce cas; la coOrbe est alors symétrique par rapport aux deux axes coordonnés Lorsque Pexposaut À est impair, Torigine descoordonnees n'e$t pasle centare de la cQfurbe , cette courbe n*est pas symétrique par rapport aux ans, et même lorsque a est plus petit ^le Tunité, la courbe ne sort pas de Pangle des coordMinées poàtlTes, ex. (i*) (4*).
L'exposant « seul caractérise l'espèce de combe que Pon considère; et pour cela, je désignerai par couilie «^ courbe C, cdles dont lesexposans seraient a cl C
Iraa^ons que Ton donne pour paramètres à courbe «t les coordonnées d'un point^ que nom
( «97 ) merons directeur^ seolement assujéti k se trouver sur une autre courbe C in?ftriable, que j'appellerai courbe directrice. L'ensemble de toutes les courbes a ainsi dirigées, sera enveloppé par une courbe y du genre que nous considérons, et il y a cela de particulier, qu'une courbe y est réciproquement Venveloppe de toutes les courbes ^ qui auraient leurs points directeurs sur une courbe «. Ce théorème que nous allons démontrer, et dont nous déduirons nombre de conséquences , est ana« logue à un autre théorème sur les surfaces, que nous démontrerons aussi par la suite.
Soient m etn les paramètres variables de la courbé génératrice a j elle aura pour équation dans une position particulière
ml* h*
Soient a et & les paramètres constans de la directrice €y elle aura pour équation
Si Pou élimine f$ entre ces deux écpiationa, on n^aura plus qu'un seul paramètre variable dans l'équation des génératrices, et il sera facile ensuite d^en trouver l'enveloppe. Or, ces deux équations peuvent se mettre sous k forme
•^^=1 ;• ry— « ^l
n* m* 4* tt^
si l'on élève la première à la puissance C, la deuxième à la puissance a , et qu'pn les multiplie ensuite l'une par l'autre, n se trouvera éliminé, et les génératrices auront poui équation
( ïo8 )
OB en déduira Fé^juation de l'enveloppe, en la différent ciant par rapport à m, ce qui donne
on (a) ^ s= — , OTraar*"*'^^*"^^;
éliminant m entre les écjuations ( i) et (n) y on en déduit successivement
telle est Féquation de Fenveloppe y; elle est du genre des courbes que nous discutons, et il existe entre les exposans de la directrice, de l'enveloppée et de l'enve-' loppe, la relation
G>mme cette équation est symétrique en « et ^, la réciprocité que nous avions annoncée s'en déduit aisé-^ ment.
Dans toute cette discussion , Fangle formé par les axes peut être arbitraire j nous profiterons de cette généralité clans les exrafiples, pour en déduire des principes plus étendus. U est bon de remarquer que toutes les fois que
ei (ir) •^--i?- + --;f*==ï;
( I09 11013S con^dérons la courbe 1 coxame k développée de l'ellipse^ nous sous-entendons que les axes sont rectangulaires.
Si a=:i, f 5=1, on a^sssi. Donc si par un point D (fig. ^îq) pris sur le côté BÇ d'un triangle ABC , on mène DM, DN parallèles à AB, AG, la diagonale MN du parailélogranune AD sera tangente à la parabole CDB inscrite dans l'angle BAC, et dont B et G seraient les points de contact avec AB et AC. Cette parabole est unique, puisque quatre points déterminent une parabole, et que deux contacts équivailent à quatre points*
On peut déduire de cette propriété un moyen géométrique de mener à une parabole dont on connaît seulement les deux tai^ntes en deux points détermitiés, une autre tangente assujétie à passer par un point donné sur son plan.
La soiatlon du problème se réduit à trouver sur BC (fig. 29) le point D , pour lequel la diagonale MM passera par le point P, Concevons MN prolongée jusqu'à la rencontre de BG en L, meuons par le point P les lignes PE et PF, parallèles aux côtés AB, AG du triangle ABC. Le parallélisme des lignes MB, PË, MD, et celui des trois autres MD, PF, NC, donnent les proportions
LB:LD::LMiLN::LD:LC::LE:LF,
d'où LB— LE:LD— LÉ::LE— .LDÎLF— LC, et BE.CF=:=DE.t>F.
11 suffit donc de partager la ligne ËF en deux parties dont le rectangle »oit égal à BE.CF.
Le problème aura deux blutions, une seule ou sera impossible suivant que BE« GF sera plus petit , ^al ou
plus grand que ^EF ; c^est qu'alors le point sera dehoi^s , dessus ou au dedans de la parabole.
Sî h point P n^élaîf pas dans l'angle BAG, le point D se troinr^niit sur le prolongemeut de EF^ il suffirait alors de construire deux lignes DE, DF de différence donnéeET dimt lerecf angle serait BE.CF; dans ce cas, il y aurait toujours deus solutiDns.
On peut d'ailleurs déterminer aisément la droite qui joint les points de contact des tangentes menées par le point P a la parabole. A cet effet, on construirsi les points directeurs des tangentes primitives, relatirement à ces nouvelles tangentes considérées comme axes; la droite qui les joindra devra contenir leurs points de contact avec la courbe. On pourrait ainsi construire la parabole par points.
2*. Pour Assaut , €^si2 , la rdiatâon - = i -f-Tj donne
On en déduit aisément la solution de ce problème indéterminé : Inscrire une ellipse dans un parallékhgramme donné. On peut se donner en outre ou bien le rapport des diamètres, ou bien un cercle à la surftce duquel celle de Tellipse proposée devrait être équiva*- Jente.Pour le premier cas, ilsuffitde menerpar Forigine une droite telle, que $es coordonnées soient dans le rap^ port donnéj son intersection avec Tellipse directrice, sera le point directeur derellipsedemandée. Pourrésoudre le second, désignons par B. le rayon du cercle donné, par aa^ abj les diagonales du parallélogramme, par J^ l'angle qu'elles forment entre elles, par x 9 v lesdemi'-diamètres de Fellipse cherchée j on aura pour les déterminer les deux équations
0) 2i+iï=^^ ^^7ïn^^
Si Von ajouta les équations (i) et (a), lea inconime» àe^ VTont encore ^atis&ire à réquMinn resuJtante
les ]^hits directeurs inotmnu& serùai donc donnéd par lintersection de l'ellipse ( i ) et de la droite (3). Le ra pport deir paramètres de cette droite est toujours celui des a xes aétb'^ elle est àunù eottstamment parallèle à un des côtés du rhombe. Si l'on màie à l'ellipse circonscrite uiie tangente parallèle àcette droite , le |K)int de contact détarminera l'eUipsé inscrite dont la sur&ce est un maximum. Pour Cett^ courbe, les différentielles des équations (i) et (a) doivent avoir lieu eu même temps^ on doit donc ayoir
^ y c^ b^ au*
Fellipse wiaTtimum inscrite est donc semblable à Tellipse circonscrite.
Les deux problèmes précédens peuvent servir dans la construction d une voûte elliptique, lorsque l'espace qui doit la contenir est terminé par une base rectangulaire ou plus géoéralement parallélogramtque.
On déduit encore de ce second exemple un moyen de mener une tangente commune à deujr ellipses concentriques rapportées à deux axes quelconques passant par leur centre commun ; elles ont pour équations
Si on lesretrancheFune de Vautra , Féquatîon résultante
(iiO
(A — A')x* + (B — ir)jçy4.(C — <y)y = o, sera celle de deux droites passant par le centre et par les points d'intersection des ellipses proposées^ U est aisé de conclure de là que ces quatre points d'intersec* tion sont les quatre sonunets d^un parallélogramme , et qu'en menant par le centre deux diamètres parallèles à ses côtés , ils seront conjugués entre eux pour l'une et Fautre eUipse.
Prenons pour axes ces deux nouyeaux diamètres. Les tangentes communes demandées forment é\'idemment un parallélogramme à lafois circonscrit aux deuxellipses. On. peut déterminer aisément Pellipse qui lui est eflemême circonscrite, et qui a ses diagonales inconnues pour diamètres conjugués y car on connaît deux de ses points y savoir, les directeurs des ellipses proposées. Cette considération ramène la solution de ce problème à celui-ci: Faire passer par deux points donnés une ellipse dont on connaît le centre et les directions de deux diamètres conjugués. On trouvera dans le problème de la page 53 tous les élémens nécessaires pour achever la présente solution.
3\ Poura=:t5^=2,ona=2,ff=i, on aj^ssf.
La courbe lest , comme nous l'avons indiqué, la développée de Fellipse; on peut le démontrer de la manière suivante.
Soit(i)-^-f-^=ïj réquation d*une ellipse rapportée à son centre et à ses axes ; l'équation en «y de la normale au point x , y sera
(ii3) Pour avoir une équation qui appartienne au point de rencontre de cette normale, et de son infiniment voisine, îl/suffit de différencier (a) par rapport à x et à y y ce qui donne
L^éiimination àBps^y entre (i), (a) et (3) conduira à l'équation en s^y de la développée. Si l'on pode •
La substitution de ces valeurs dans les équations (i) et (3), donne les deux équations
/T;^ AVy . By« '^^^ (A* — K^'^CB»— K*)'~*^'
entre lesquelles l'élimination de K doit conduire à Féqua* tion de la développée. Or, si F(«,y, R)=: o représente
la première, t^sssq représentera la seconde j donc la
développée de l'eUipse proposée est Fenveloppe d'mie série d'autres eUipses qui lui sont concentriques, dont les aies a, b sont liés entre eux par l'équation résultante de l'élimination de K* entre (6) ass A — • ^,
K* £=:B — -g-, et qui est
a b (7) Si + T^—^^
la suite des points directeurs de ces ellipses est donc une ligne droite, leur enveloppe d'après l'exemple dont nous nous occupons, est donc la courbe |, et cette dei>
C ii4 )
nière courbe est identique avec le développée de Vei^ lipse.
Il suit de ce troisième exemple y que si l'on construit
l'ellipse dont les axes sont -t^- — B , A — v » et qui a leA
mêmes sommets que la développée, tousses points seront directeurs des tangent es à la développée ^ lesquelles socit normales k l'ellipse proposée.
<Jn peut s'appuyer sur cette propriété pour menef une normale à l'ellipse par un point P donné.
Si le point P était sur la développée, il y aurait une des normales qui lui serait tangente en ce point. Oh constiniira cette droite en observant que ses paramètres
sont entre eux dans le rapport W -tt-, et que par conséquent son point directeur est celui de Fellipse circon-» sente, dont les ordonnées sont dans le même rapports
Si le point P était sur un des axes, sur celui des x\^v exemple, il déterminerait l'abscisse des points de Fellip^ directrice, directeurs des normales demandées.
En général y ces points sont donnés par les intersec--' tions de rellipse directrice, et du lieu géométrique den points directeurs de toutes les droites passant par lé point P. Cette dernière courbe est une hyperbole qui passe par l'origine, et dont les asymptotes sont les pa*^ rallèles aux axes menées par le point donné. En effet ^ soient m et n ses coordonnées, se y y les paramétrai d'une droite quelconque menée par ce point; ou devril avoir
(8) ^ + ;=.î et comme » et jr déterminent le point directeur de cettéi
^it>ite, réqufttion (8) en est le lieu géométrique : en la discutant on reconnaîtra aisément ce que nous avions imnoncé.
Sous le rapport de la Géométrie, on pourra décrire par points cette hyperbole ^ ptiisque l'on connaît ses asymptotes et l'un de ses points; ses intersections avec l'ellipse directrice compléteront la solution* D'après la forme de la développée à laquelle on vait mener une tangente par le point donné y s'il est intérieur, il y aura quatre solutions, deux seulement lorsqu'ilsei^a extérieur | enfin I l'hyperbole aura avec l'eUipse directrice deux points communs , et un contact lorsque le point donné sera situé sur la développée même.
Sous le rapport de l'analyse , l'élimination de l'une des coordoimées, j^ par exemple, entre l'équation (8) et celle de Pellipse cUrectrice, que je mettrai sous la forme
(9) ""» '+'fe ^^^ > conduira à une éqiiation du quatrième
degré en x , qui aura ses quatre racines réelles et inégales ^ réelles et deux ^ales, ou enfin , deux réelles et deux
imaginaires, suivant que l'on aura -1 -H -7— i, néga-
tif , liul ou positif* On peut réduii'e la diflficalté à la résolution d'une équation du troisième degré de la manière suirante : mettons les deux équations (8) et (9) 3003 h forme
ûxy anx a m y ao ak ab
z étant une indéterminée quelconque, si on les ajouté^
réquation résultante sera celle d'un Heu géoniétr΀[ue du second degré, passantparlesintersections des courbes (8) et (9). On peut disposer de Findétenninée z , pour que cette nouvelle équation
représente l'ensemble de deux lignes droites. Cette condition exige que z soit une des racines de l'équation
fàmn
Si donc on peut résoudre cette dernière équation du troisième degré, qui manque déjà de second terme, une quelconque des valeurs de z substituée dans l'équation (10), la rendra décomposaMe en deux facteurs du premier ordre, qui, combinés successivement avec l'équation (9) , donneront les coordonnées des quatre points cbercbés.
On pourrait encore se proposer dans Fexemple pré-' sent, d'inscrire dans la courbe |,tuie ellipse dont le rapport des diamètres fiiit donné, ou dont la surfitce fût équivalente à un cercle de rayon R. Le premier de ces prc^lèmes se résout en menant par l'origine une ligne telle que ses coordonnées soient dans le rapport donné; son intersection avec la droite directrice sera le point directeur de l'ellipse demandée. Pour résoudre le second problème, soient x^jr les diamètres de l'ellipse chercliée , <r l'angle formé par les axes ; on devra avoir
xys=z^-j^. Le point directeur de l'ellipse sera donc
donné par l'intersection de la droite directrice et d'une hyperbole , qui aurait pour asymptotes les axes coor^
donnés. Il y anra en général àeva. Solutions; si elles se réduisent à une seule ^ c'est que la sur&ce de l'ellipse inscrite est une extrême grandeur; diors l'hyperbole étant tangente à la directrice, ne pourrait l'être qu'au point milieu de cette droite; il sera donc le point direc^ teur de l'ellipse inserite dont la sur&ce est k plus grande, et qui, dans ce cas, est semUaLle à l'elKpse circonscrite
On résoudrait absolument de la même manière ces deux autres problème : Inscrire âafis la courbe f un parallilogramme, ou dans ta dépehppée de Vellipse^ un losange qui ait ses sommets sur les axes, dont les diagonales soient dans un rapport donné, ou tien dùni la surface soit éqmwilente à celte d^un carré donné K\ On verrait que> dans ce dernier cas, leproblèmeadmet deux solutions ; que le parallélc^ramme inscrit dont la sur&ce est un maximum, a pour point directeur celui de contact d'une tangente à l'ellipse directrice, parais lèle au côté du pandlébgramme cirooinsorit, auquel celui que Vont Teut.inscrire sera semblable.
La discussion des surfiices représentées par les équa*» lions
se fera de la même manière que cdle des courbes pre« cédentes. Les seules constantes a, 6, c et l'exposant ce suffisent pour déterminer la sur&ee. L'exposant a en spécifie l'espèce, et les paramètresa, fi, c la particularisent en elle-même. Je désignerai dorénavant par sur&ce a, l'espèce de sur&ce dont l'exposant est «•
Imaginons, comme dans la discussion précédente, que les coordonnées d'un point que j'appellerai i2fn^cfeiir
servent de paramètres à une sur&ce a , el qae ce point soit seulement assujéti à se trouver sur une autre sur&ce € que Rappellerai aussi surface directrice; l'ensemble de toutes les sur&ces a sera enveloppé par luie autre sur&oe y qui sera du nombre de celles que nous, discutons; et il y aura cela de particulier, que la sur&ce (y) pourrait être encore l'enveloppe de toutes les sur&ces C qui auraient pour directrice une sur&ce «. Ce théorème peut se démontrer de la manière suivante.
Désignons par m, n, jp les paramètres dWe snr&ee génératrice et , para, b^ t ceux de la sur&ce directrice C« On devra avoir
Félittiioation d'un des paramètres yaiidble$, dtf/y par exemple ) doutie
on obtioidra Fenveliippe de tontes les snr&ces et , en différenciant sitccessivetnent l'équation (i) par rapport à m et Aj et éliminant ces deux paramètres au moyen des écpations difl^entielles
\ m- «.-y i* \ o? ^} I»*' rfles donnent -^ =s^ -^ » 7> =s^ ; on eii déduit succès^
( "9 ) Jivement
mr nr
et enfin on a^ pour l'équation de Fenreloppe^
fl*-Ff 4*^-c ^-4*c
elle est comprise dans réq[uation générale^ son exposant > est lié aux exposans «t, C par k relation
cette éqtiafion étant symétrique en a et C, la récipro-* cité ({oe nous avons annoncée en est une conséquence.
SiFonfiiit /xsssa^^ssa, on trouve >aci.
Lora donc que la génératrice est un dlipsoide ainsi que la directrice , l'enveloppe a pour équation
et comprend les huit plans qui passent par trois des six sommets de la directrice, en sorte que cette enveloppe est un octaèdre symétrique.
On peut se proposer d'inscrire dana wi tel octaèdre un ellipsoïde quelconque. Le problème est alors iudé^ terminé , il suffit de prendre pour axes les trois diago^ nales de ce poljrèdfe, de concevoir un dlipsôïde qui aurait ces mêmes diagonales im^ ^by 2c pour diamètres conjugués; un quelconque de ses points pourra servir
de directeur à Ff Uipsoïde inscrit demandé. Si Von. voulait que les paramètres de cette sur&ce fussent dans des rapports donnés y il suffirait de chercher l'intersection de Fellipsoïde directrice avec un diamètre dont les coordonnées seraient dans les rapports demandés ; c'est un problème de Géométrie descriptive assez simple ; de plus , l'Analyse donnerait aisément les coordonnés de ce point d'intersection.
Supposons que les diagonales du polyèdre soient rectangulaires ; on pourra demander que Fellipsoïde inscrit ait une soKdité donnée, par exemple celle d'une i^faère de rayon R. Détôgnonspar Xjyy % les axes de la surfiice inconnue; on devra avoir
(i) ;ry» = R'.
et tous les points d'intersection de cette sur&ce et de FeQipsœde, pourront servir de directeurs à Fellipsoïde demandé. Le problàfne est donc encore indéterminé ; mais si l'on exige qu'en outre la section horizontale de cet eUipsoïde ait une sur&ce donnée, par exemple celle d'un cercle de rayon R', on devra avoir (a) xy =z=R'% et le point d'intersection de ces deux sur&ces et de Fellipsoïde directrice
sera le directeur de la sur&ce demandée* Le demi-axe
R* vertical sera xs=çn ^^ ^^ àpsn demi^^uies horizcmtaux
les coordonnées dupointd^tersectiondes deux courbes
Nous avons ramené précédemment la recherche de cette intersection à construire celle d'une ligne droite et d'une ellipse. U y a donc deux solutions; mais les sur&ces correspondantes ont le même axe vertical.
Sila solidité de Tellipseinscritedoitétre laplus grande possible, il &udra que Ton ait d'après les équations (i) et(3)
^ij. or* d!r , V» dy . z* dz a" X o* y <r %
Multipliant la première de ces différentielles par ^ et les retranchant, il faudra que l'équation
soitsatisfeite, quelquesoitle ^9 ce qui €xi§^ ^ Pon
^it (8) - =:^ = -. L'ellipsoïde inscrit mebximum doit
donc être semblable au circonscrit. Les équations (5) et (6) sont les différentielles des équations (i) et (3) j en les combinant ensemble, on exprime que les deux sur&ces sont tangentes; les relations (8) transforment les équa* lions (5) et (6) en
c'est l'équatiijn différentielle du plan tangent 11 est parallèle à l'une des faces de l'octaèdre, ce qui donne ua moyen fedle de trouver par la Géométrie descriptive,
k joint db^eeteur de l'ellipsoïde inscrit, Tnommzi/i» ea sofi^té.
On peut pareilîeme»t déàiire de cet exemple la sol»-
