f- ca’ -f" bb

cos V = — — ' — ;

les équations d’tme perpendiculaire au plan

sont

Proposons-nous de calculer l’angle de l’octaèdre réguber, cristal secondaire provenant d’un décroissements d’une rangée en largeur et d’une en hauteur sur les angles du cube. U suffira de faire ps=s/n==n= i^les

é<juations de deux faces adjacentes seront

Si a et t, dans la valeur de cos V, appartiennent à la perpendiculaire au premier de ces plans, leur valeur sera + i . Si a' et h' appartiennent à la perpendiculaire t au second leur valeur sera — > i, en sorte que cosV=^ . Pour calculer l’angle plan on observera que la face x 4 *^ + a = o»

est adjacente aux deux Êices

son intersection avec la première a pour équations a?+2 = o, ^ = o; son intersection avec la seconde

Si donc on Élit dans cosV,a = -— i, ftc=o, a' — Oy

I, on aura cosV=ï, d’où V = -g— jeteneflFet, ,

chaque fece de l’octaèdre est .un triangle équüatéral.

Le dodécaèdre rhomboïdal provient d’un décroissement d’une rangée en largeur, et d’une en hauteur sur les arêtes du cube. Les équations de ses faces seront

xdzy = o, x±:z = o, j±2 = o,

et ü y aura deux angles à considérer,*elui que font les faces

eteeliü que font celles représentées par les équations x + z = o, y + 2 = o.

Les équations des perpendiculaxres aux deux premiers plans donnent as= I, 6 = 0, a'=;— i, 6'=o, d’où cos V =0, V = lOO*.

Les équation^ des perpendiculaires aux deux autres plans donnent a=i, ô=o, a'=o, 6's=i, d’où cosV=f, V = 66‘ f.

. Quant à l’angle du rhombe, on observera que la face j'=oest adjacente aux deux autres *-4- z = o, x—z^Oy son intersection avec la première a pour équations ar-|-z=o,j' + z=o, son intersection avec la seconde x — z=o,^— z=o. Donc, en supposant a = — iyb = — I, a'= i,b'=i, on aura pour cos V,-ÿ- On pouvait prévoir ces résultats en observant que le dodécaèdre peut provenir d’une troncature tangente à tous les angles de l’octaèdre.

Le dodécaèdre pentagonal de la Minéralogie , provient d’un décroissement d’une rangée en laigeur et de deux en hauteur sur les arêtes du cube. Ses Ëices auront * pour équation

Les anglesformés par leurs plans sont de trois espèces. Le premier, formé par les faces z = o , z — ^ = o ,

donne cos \ = — j. Le second , formé par les faces 2”l“ “ = o, a pour cosinus et enfin, le

troisième, formé par les faces x-f--=:o,ar~-=o,a pour cosinus f.

Les angles du pentagone sont pareillement de trois espèces. Le premier est formé par les intersections du

plan»-— - = o, et des deux autres zdz^z=o Ina- ^ , a ’

quelles ont pour équations | r, z

J'== — 2z; faisantdonca=|,i»=2, a'=i,6'=:-^2

on aura pour le cosinus de cet angle cos Y — Lg

deuxième est formé par les droites d’intersection du plan X — 5 = O , et des deux autres z ^ = o ,

lesquelles ont pom- équations *= lz,y:=z 2 z, xzsiz'z

J'= — Î2;Ieshypothèsesa=a'=i,6=2,ô'=-li*

donnent cosY= — Enfm, le troisième est formé par les intersections du plan x—^ =o, avecles autres plans ar-|-î=o,j' + |=o;ces intersections ontpour équations a;=o , r = s « ? *= t z , jr =— i z , et le cos V devient U, en y supposant b=^, a'=i, b'z=^.

Les plans du dodécaèdre pentagonal et ceux de l’octaèdre donnent par leur ensemble l’icosaèdie. On parviendra aisément à calculer les angles de ce solide, puis- , <pae l’on connaît les équations de toutes ses faces- je me dispenserai de les chercher, et de calculer paredlement les éiémens du trapézoèdre solide qui peut demer du cidje par im pointement à trois iàces sur les angles. Mon but n’est pas de donner la théorie complète de la Cristallograpliie, mais seulement de laisser entrev oircomment on pourrait la dév elopper au moyen des calculs précédons. ^

Si leparallélipipède est dugenre de ceux (jueM. Haüy a nommés rhomboïdes , on a a = et A =B = C L’équation générale des décroissemens est

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la formule qui donne l’angle de deux droites donne